Construire un triangle, connaissant ha, B — C et bc

362. Par un point donné A, mener deux cercles qui se coupent suivant un angle v\ on donne le rapport de leurs rayons égal à /" et chacun d'eux doit être tangent à une droite donnée.

On multiplie l'une des droites données par yi. par rapport à ^; le problème se trouve ramené à 181. 5. Soient données deux figures semblables; si leurs éléments se suivent dans le même sens de rotation (dans ce qui suit, nous supposerons toujours qu'il en est ainsi pour les figures semblables) elles auront toujours un centre de rotation, c. a. d. un point autour duquel on pourra faire tourner l'une d elles de manière qu'elle vienne se superposer sur l'autre; le rapport de rotation est déterminé, puisque deux lignes homologues quelconques sont entre elles dans ce rapport, et l'angle de rotation est l'angle compris entre deux lignes homologues.

Pour trouver le centre de rotation, on pourrait se servir du rapport connu de ses distances à un couple de points homologues; mais on peut employer une construction plus simple.

Soient A et a, B et b deux couples

ya^^^^^ZZr^^^. ^^ points homologues. Les lignes ho-

yf^ ^"\ \ mologues AB et ab doivent alors com-

a/( \ \ prendre entre elles l'angle de rotation;

/ [^-. . \ I ce même angle est aussi celui que

I \ ■---„ \i feront les droites qui joignent deux

\ \^ yfP poiï^ts homologues au centre de ro-

'^nT "^ "y tation; ce dernier doit donc se

^■^ ^ trouver sur le même cercle que

le point d'intersection de deux lignes homologues et que deux points homologues situés sur ces lignes.

Le centre de rotation de deux lignes homologues, dans deux figures semblables, est le centre de rotation des figures elles-mêmes; car si l'on fait tourner une ligne de manière qu'elle recouvre l'autre, une des figures devra aussi recouvrir l'autre.

Le centre de rotation de deux lignes s'étendant à l'infini, considérées comme figures semblables, est entièrement indéterminé; si sur les lignes on choisit deux points comme points homologues, on a un cercle pour le lieu géométrique des centres de rotation; si l'on donne encore deux points homologues ou, ce qui revient au même, le rapport de rotation, le centre de rotation sera complètement déterminé; il n'y en a qu'un, puisque les cercles se coupent pour la seconde fois au point d'intersection des lignes.

Pour deux cercles, le centre de rotation est indéterminé, puisque deux quelconques de leurs points peuvent être regardés comme points homologues; comme les distances du centre de rotation aux centres des cercles doivent être entre elles comme les rayons, le lieu géométrique de ce centre sera un cercle qui coupe la ligne des centres harmoniquement suivant ce rapport (c'est le cercle qui passe par les centres de similitude des deux cercles donnés et a son centre sur la

THÉORIE DE LA ROTATION. 7 g

ligne des centres). Si l'on choisit deux points des cercles comme points homologues, le centre de rotation est déterminé et se trouve de la manière la plus simple à l'aide des deux rayons homologues, puisque les centres sont toujours des points homologues.

6. Le centre de rotation des deux côtés opposés d'un quadrilatère est aussi le centre de rotation des deux autres.

Soit 0 le centre de rotation de BA et CD\ alors A AOB r^ A DOC\ mais on en déduit facilement que A AODro £^ BOC, et il en résulte encore que 0 est le centre de rotation de AD et BC. Dans le premier cas B et C, A et D sont des points homologues; dans le second, ce sont B et A, et C et D.

On voit de la même manière que le centre de rotation de AB et CD est aussi celui de A C et BD.

Prolongeons les côtés opposés jusqu'à ce qu'ils se rencontrent; les cercles qui déterminent le centre de rotation, sont circonscrits aux quatre triangles, formés dans la figure; on doit se servir des mêmes cercles pour déterminer le centre de rotation de deux éléments quelconques de la figure qui ne se coupent pas à l'une de leurs extrémités; on a donc ainsi le théorème suivant:

Dans un quadrilatère complet, les cercles circonscrits aux triangles qu'on forme en négligeant successivement un des côtés, passent tous par le même point, et ce point est le centre de rotation de deux segments quelconques de la figure qui ne se coupent pas en l'une de leurs extrémités.

7. Si l'on divise suivant le même rapport les droites qui joignent les points homologues de courbes semblables, le lieu géométrique des points de division sera une courbe semblable aux courbes données, et deux quelconques de ces courbes ont le même centre de rotation que les premières.

Soient A et a deux points homologues et supposons la droite Aa divisée par P, suivant un rapport donné. Soit O le centre de rotation; la forme du triangle AOa doit rester con-

stante; il doit aussi en être de même du A AOP et par suite P doit décrire une courbe semblable aux courbes données, quand le triangle tourne autour de 0.

Coroll. Si dans un quadrilatère on mène deux systèmes de droites qui divisent les deux couples de côtés opposés en parties proportionelles, les droites d'un même système seront elles-mêmes divisées suivant le même rapport.

Applications.

363. On donne deux droites, sur chacune d'elles un point, A et B , et en outre un point extérieur P. Mener par P une droite qui rencontre les lignes données en X et Y de telle manière que les segments AX et BV soient dans un rapport donné.

On détermine le centre de rotation O des lignes données, en considérant A et B de même que X et V comme points homologues. Le rapport donné est ainsi le rapport de rotation. Comme alors A OJTFro A OAB la ligne OP sera vue de X sous un angle connu et par suite X se détermine facilement.

Remarque . Ce problème a été posé et résolu par Apollonius dans son ouvrage «de sectione rationis». L'ouvrage lui-même a été perdu, mais Halley l'a rétabli d'après une traduction arabe.

364. Par un point donné, mener une droite qui coupe deux courbes semblables données en des points homologues.

Ce problème est une généralisation simple du précédent et se résout de la même manière.

365. On donne deux droites, sur chacune d'elles un point, A et B^ et un point extérieur P. Mener par P une droite qui coupe les droites données en X et Y de telle manière que les segments AX et BY aient une somme donnée.

On porte sur une des lignes le segment BD égal à la somme donnée; alors AX =- YD et le problème se réduit ainsi au problème 363.

366. Par un point donné P, mener une droite qui forme, avec deux autres droites données, un triangle de surface donnée.

Soit A le point d'intersection des droites données; on représente la surface donnée sous la forme d'un triangle, dont un côté est AP et dont l'autre côté tombe sur une des droites données. La droite cherchée doit maintenant être telle que l'élément de surface qui s'ajoute au triangle soit égal à celui qui est détermine par la section dans le triangle. Mais ces deux surfaces sont des triangles dont les hauteurs sont connues. Le rapport des bases de ces triangles est donc aussi connu et par suite le problème est ramené à 363.

Remarque. Ce problème est aussi dû à Apollonius. L'ouvrage qui en traitait, «de sectione spatii» est perdu; il a été rétabli en partie seulement par Halley.

367. On donne deux circonférences de cercle, sur l'une un point Ay sur l'autre un point B. Déterminer respectivement sur les deux circonférences les points X et F de manière que les arcs AX oX. BY soient semblables et que XY ait une longueur donnée.

On détermine le centre de rotation des deux cercles en regardant A ^X. B comme points homologues; Jf et F sont alors aussi des points homologues et les triangles ABO et XYO sont par suite semblables.

Ce problème renferme celui du N^ 262, où le second point d'intersection des cercles est le centre de rotation.

368. Construire un rectangle dont les quatres côtés passent chacun par un point donné et dont les diagonales aient une longueur donnée.

On mène les deux cercles qui sont les lieux géométriques de deux sommets opposés du rectangle; le problème se ramène alors au précédent.

369. On donne deux lignes droites AB et CD. Tracer un cercle passant par leur point d'intersection et coupant AB en X et CD en F de telle manière que AX\ CF et XB : YD soient égaux à des rapports donnés.

Le cercle passe par le centre de rotation de AX et CY, et par celui de XB et YD.

370. Par deux points donnés A et B , mener deux droites, faisant entre elles un angle donné z' et coupant une droite donnée et un cercle donné respectivement en X et Y de manière que AX:BY soit égal à un rapport donné i : k.

On multiplie la droite donnée par k„ par rapport au centre de rotation de AX et BY.

371. On donne un point A et deux droites BC et DE. Trouver sur ces lignes respectivement les points X et Y tels que BX et DY soient entre eux dans un rapport connu et que l'angle Z XAY soit égal à un angle donné.

On fait tourner BX jusqu'à ce qu'il couvre DY; A tombe en un point connu Ai et l'angle AYAx est connu.

372. Placer un quadrilatère ABCD de telle manière que B et C soitnt en des points donnés et que A et D soient sur des lignes données; on donne en même temps B — C et le rapport BA : CD.

Se simplifie par un retournement (4).

373. Par un des points S d'intersection de deux cercles, mener deux droites ASa., BSb {A et B sont sur une circonférence, a et b sur l'autre) qui comprennent entre elles un angle donné et qui soient telles que les triangles ASB et aSb aient même grandeur.

Le point d' intersection des cercles est le centre de rotation de Aa et Bb ., comme aussi de AB et ab. Si l'on fait tourner AB jusqu'à ce qu'il couvre ab, S vient en un point connu 6"i, ab a une longueur connue et ses distances à 5 et 5i sont entre elles dans un rapport connu.

On a une solution plus simple en remarquant que les perpendiculaires menées par ^ sur les deux cordes coupent la ligne des centres à égale distance de son milieu.

374. On donne deux cercles, sur l'un d'eux un point A et sur l'autre un point B. Tracer par A et B wn cercle qui coupe les deux cercles en ^ et Y de manière que les arcs AX et BY soient semblables.

On détermine le centre de rotation O des deux cercles, en prenant A et B comme points homologues. Comme AX et BY sont des lignes homologues, elles se coupent sur le cercle ABO; mais elles se rencontrent aussi sur l'axe radical des deux cercles donnés.

375. En joignant les milieux des côtés d'un triangle, on forme un nouveau triangle semblable au précédent; comme on le voit aisément l'angle de rotation pour ces deux triangles est 180- et le rapport de rotation ^. Le centre de rotation doit donc diviser toute ligne, joignant deux points homologues, en deux segments qui sont entre eux dans ce rapport; et comme les médianes sont des lignes remplissant ces conditions, le centre de rotation doit être à leur point d'intersection. Comme les points d'intersection des hauteurs sont des points homologues et comme ce point, dans le petit triangle, est le centre du cercle circonscrit au grand triangle, on voit que dans tout triangle le point de rencontre des hauteurs, celui des médianes et le centre du cercle circonscrit sont sur une même droite, dont les segments sont dans le rapport de I à 2.

376. On donne un cercle, les points O et P et un angle v. Une droite menée par P coupe le cercle en A et B. Déterminer le lieu géométrique d'un point X tel que ^ OBX== / OAX^v.

Le cercle AOXB coupe OP en deux points fixes. Il se meut donc autour de 0 comme centre de rotation, de telle manière que son centre parcourt une droite. X décrit donc aussi une droite. Si O est le centre du cercle donné et ^7=90^, X décrit la polaire de P.

8. Si l'on a trois systèmes semblables A, B et C et si un point 0 est le centre de rotation de A et B et en même temps celui de B et C, il doit être aussi le centre de rotation de A et C. Ce point est donc le centre commun de rotation des trois systèmes; et il peut naturellement en être de même pour un nombre quelconque de systèmes.

Si l'on joint trois points homologues a, b ç.\. c des trois systèmes au centre de rotation 0, les rapports de ces lignes et les angles qu'elles font entre elles sont constants; il en résulte que la forme du triangle abc est aussi constante et, pour cette raison, je l'appellerai le triangle fondamental. On voit de la même manière qu'à plusieurs figures semblables, ayant un centre commun de rotation, il correspond un polygone fondamental de forme constante. S'il tourne autour du centre de rotation de manière qu'un sommet décrive l'une des figures, les autres sommets décriront les autres figures et tout autre point du plan, considéré comme appartenant au polygone fondamental, tracera une figure semblable aux autres. Comme le polygone fondamental arrive à prendre successivement toutes ses positions, le centre de rotation des figures données est aussi le centre de rotation du polygone fondamental dans toutes ses positions.

g. Pour deux lignes, sur lesquelles on donnait deux points comme points homologues, le centre de rotation devait se trouver sur un cercle passant par les deux points et par le point d'intersection des deux lignes; pour trois lignes, sur lesquelles on donne trois points comme points homologues, le centre de rotation est alors déterminé; c'est le point d'intersection de deux cercles du même genre; le troisième cercle doit passer par le même point. En joignant les trois points, on forme le triangle fondamental; il peut donc avoir une forme quelconque puisqu'on peut choisir arbitrairement les trois points; mais aux différents triangles fondamentaux correspondent différents centres de rotation. On peut facilement déterminer le centre de rotation pour un triangle fondamental donné en construisant sur les trois droites un triangle semblable au triangle donné (par exemple, comme au problème 154) et en déterminant de cette manière trois points homologues.

Si les trois droites passent par le même point O, ce dernier sera le centre de rotation pour chaque triangle fondamental, en sorte que les triangles semblables à un triangle fondamental donné sont semblablement placés et ont O pour

THÉORIE DE LA ROTATION, 8l

centre de similitude. Il y a cependant un cas particulier où le centre de rotation est indéterminé; si en effet les sommets A et B du triangle parcourent AO et BO et si Z C = Z AOB, C parcourra une droite passant par 0.

lo. D'après 5, le centre de rotation de deux cercles est indéterminé et on peut par suite trouver un centre commun de rotation pour trois cercles; comme ce point est déterminé par l'intersection de deux cercles (voir 5), il y a deux solutions, toutes les deux également admissibles; ce sont les deux points dont les distances aux centres des cercles sont entre elles dans le rapport des rayons.

Si l'on prend l'un de ces points comme centre de rotation des cercles, on peut aisément déterminer l'angle de rotation; car les centres des cercles sont des points homologues et les lignes qui leur sont menées du centre de rotation sont des lignes homologues. Le triangle, dont les sommets sont les trois centres, est le triangle fondamental et tout autre triangle, obtenu en joignant trois points homologues, est semblable à celui-ci.

n. Si un polygone, qui reste semblable à un polygone donné, se meut de telle manière que trois de ses points décrivent des lignes droites (qui ne passent pas par le même point), tout autre point de la figure décrira aussi une ligne droite.

Le triangle, qu'on obtient en joignant les trois points, é une forme constante. En le prenant pour triangle fondamental, on peut déterminer le centre de rotation des trois lignes sur lesquelles se meuvent les points. D'après 8, ce point est aussi le centre de rotation de toutes les positions du triangle fondamental et par suite de toutes les positions du polygone auquel le triangle appartient. Mais comme le mouvement du polygone consiste en une rotation autour d'un point fixe, tous ces points doivent décrire des courbes semblables et par suite des lignes droites.

Si les trois lignes passent par le même point, il peut y avoir un cas où le théorème n'a pas lieu, ainsi qu'on l'a fait voir dans 9.

Le théorème peut facilement se généraliser; car le polygone peut se mouvoir de telle manière que trois de ses points glissent sur trois courbes semblables ayant un centre commun de rotation. Pendant le mouvement, les trois points doivent cependant coïncider constamment avec trois points homologues des courbes, et le triangle qu'ils déterminent doit donc être le triangle fondamental des courbes. S'il en est ainsi, on voit de la même manière que plus haut que tout autre point du polygone doit décrire une courbe semblable aux courbes données. Mais on voit facilement ici que les conditions en question sont plus nombreuses qu'il n'est nécessaire pour déterminer le mouvement; il faut donc d'après cela chercher à se débarrasser des conditions surabondantes, en ne considérant que le cas où les trois courbes sont des cercles; car c'est celui-là seul qui peut avoir ici une signification pour nous. Nous devrons en particulier examiner si nous aurons le même théorème que pour les lignes droites, à savoir: que le triangle fondamental peut seulement se déplacer sur les trois cercles de telle manière que ses sommets tombent toujours en trois points homologues.

On a démontré qu'à trois cercles correspondent toujours deux centres communs de rotation; le triangle fondamental doit néanmoins rester le même, quelque soit celui des points qu'on considère; car les trois centres des cercles sont dans les deux cas des points homologues et l'on obtient le triangle fondamental en joignant trois quelconques de ces points. Considérons maintenant un point A sur l'un des cercles; il aura pour homologues sur les deux autres lés points B et C, si l'on employé l'un des centres de rotation, ou bien les points â et c, si l'on se sert de l'autre centre. Le triangle fondamental peut donc, quand l'un de ses sommets tombe en A, prendre les deux positions ABC et Aâc et on peut aisément démontrer qu'il n'en peut prendre d'autre. En effet si l'on résout d'une manière générale le problème de placer le triangle fondamental de manière qu'il ait un sommet en A et que les deux autres soient sur les deux cercles, on n'obtient, d'après la construction donnée plus haut, que deux solutions qui doivent par

suite coïncider justement avec celles qu'on vient de trouver ici d'une autre manière.

Le triangle fondamental ne peut donc se déplacer sur les trois cercles, qu'avec ses sommets tombant en des points homologues; mais le mouvement peut s'effectuer de deux manières différentes.

12. Si un polygone, semblable à un polygone donné, se meut de telle manière que trois droites de la figure (ne partant pas du même point) contiennent chacune un point fixe, toute autre droite de la figure passera aussi par un point fixe.

Supposons que les trois droites AB, BC et CD passent respectivement par les points fixes M^ N et P\ il s'agit simple ment de démontrer qu'une quatrième droite DA doit aussi passer par un point fixe. Il est d'abord évident que toutes les positions du polygone doivent avoir un centre commun de rotation. En effet si l'on cherche ce centre pour deux positions ABCD et A\ Bx C\ D\ du polygone, on doit, d'après 5, construire un cercle qui passe par les points homologues B et B\ et par le point il/ d'intersection des lignes homologues; ce cercle doit aussi passer par N et on peut ainsi le construire immédiatement puisqu'il passe par les deux points fixes M et N et est capable de l'angle donné B. Le centre de rotation 0 est donc fixe, parce qu'il doit en outre se trouver sur un autre cercle, passant par N et P, et qu'on construit d'une manière semblable. Un cercle qui passe par O, P et Z>, doit alors passer aussi par D\ et par le point d'intersection des lignes homologues AD et AiDi, pour une position quelconque de ces dernières lignes; donc leur point d'intersection est fixe. Ce théorème se prête aussi tout naturellement à une généralisation qui peut s'établir d'une autre manière en envisageant les choses à un autre point de vue.

13, Faisons tourner, autour d'un centre fixe de rotation, un polygone semblable à un polygone donné; jusqu'ici le mouvement avait été déterminé par la condition qu'un point du polygone parcourût une courbe donnée; mais on peut aussi imaginer que ce mouvement sera réglé par la condition que, pendant le déplacement, un côté du polygone sera constamment tangent à une courbe donnée (l'enveloppera, l'engendrera). Dans ce cas, toute autre ligne du polygone devra aussi envelopper une courbe semblable à la courbe donnée. Imaginons en effet que, dans ses contacts successifs avec la courbe donnée, AB prenne les positions AB, AiBi, A2B2 &c. et qu'une autre ligne BC du polygone prenne les positions correspondantes BC, BiCi, B2C2 &c.; par une rotation autour du point fixe les deux systèmes de lignes doivent pouvoir être amenés à superposition, si l'on prend pour angle de rotation l'angle constant compris entre les lignes correspondantes et pour rapport de rotation le rapport constant des distances de deux de ces lignes au centre de rotation. Les figures que forment les deux systèmes de lignes sont donc semblables et, comme ceci est indépendant du nombre de leurs positions, la proposition subsistera encore quand ce nombre deviendra infini et quand les figures ainsi formées seront justement les courbes engendrées.

On voit aisément que le point donné est aussi le centre commun de rotation des courbes engendrées; l'angle de rotation est égal à l'angle compris entre les lignes génératrices et le rapport de rotation est égal au rapport des distances de ces lignes au centre de rotation. Prenons le polygone dans une position déterminée, tous ses côtés toucheront les courbes engendrées en des points homologues et seront aussi eux-mêmes des lignes homologues pour les courbes. Un système d'autres lignes homologues quelconques des courbes formera naturellement un polygone, semblable au polygone donné, et jouera ainsi un rôle complètement correspondant à celui du polygone fondamental; je le nomme d'après cela polygone fondamental de seconde espèce. Il y a une liaison intime entre les deux polygones fondamentaux; celui de pre-

mière espèce peut être inscrit dans celui de seconde espèce et continuera à y rester inscrit si l'on fait tourner le polygone autour du point fixe de telle manière qu'un des sommets du polygone inscrit reste constamment sur le côté correspondant du polygone circonscrit.

Le mouvement du polygone, qu'on a considéré ici, peut aussi se déterminer d'autres manières; cependant nous n'examinerons que le cas où le déplacement est réglé par la condition que trois côtés du polygone glissent sur des courbes semblables. Pour que le mouvement puisse être le même que ci-dessus, ces trois courbes doivent avoir un centre commun de rotation et les trois côtés du polygone être constamment tangents aux courbes en des points homologues; comme ceci est suffisant pour la détermination du mouvement, celuici doit être le même que ci-dessus et doit consister en ce que le polygone se meut autour du centre de rotation des courbes, tandisque chacune de ses lignes engendre une courbe semblable aux courbes données; le triangle, formé des trois côtés du polygone qui glissent sur les courbes données, sera pour celles-ci le triangle fondamental de seconde espèce. Le théorème de 12 est un cas particulier de ce dernier, dans lequel les courbes sont des points.

14. Si l'on détermine le centre de rotation de deux cercles, en prenant comme homologues deux points A et a, les tangentes en ces points formeront un angle, déterminé par la position de ces derniers, et qui restera invariable, si ^ et ^ parcourent des arcs semblables. Réciproquement, on peut, quand l'angle est donné, déterminer un couple de points homologues et le centre de rotation correspondant. En effet deux tangentes, comprenant entre elles l'angle donné, toucheront les cercles aux points homologues. (Deux solutions).

15. Une rotation autour d'un point donné peut toujours être remplacée par une rotation autour d'un point quelconque et une translation, le rapport de rotation et l'angle de rotation ne changeant pas, et la translation ne dépendant que de ces quantités et de la position du centre de rotation.

Comme le rapport de rotation demeure invariable, la figure acquiert par la nouvelle rotation la grandeur convenable, et comme l'angle de rotation est resté le même, les lignes de la figure tomberont dans les directions requises. La translation sera ainsi déterminée, en grandeur et direction, par la ligne qui joint les deux positions où un point quelconque de la courbe est amené par les deux rotations.

Soit donc O le centre donné de rotation, Oi le nouveau centre. La rotation autour de O amènera le point Oi, qu'on peut considérer comme appartenant à la courbe, en un nouveau point (92, tandis que la rotation autour de Oi le laisse invariable. La ligne OiOi détermine ainsi la translation. La translation est donc déterminée par la ligne que parcourt le nouveau centre de rotation, quand on le fait tourner autour du centre donné.

Réciproquement, une translation et une rotation peuvent toujours être remplacées par une rotation autour d'un nouveau point qu'on peut déterminer facilement en procédant successivement comme ci-dessus.

l6. L'ordre du succession, dans lequel s'effectuent deux rotations successives, peut être renversé, pourvu qu'on leur adjoigne une translation.

Car, quelque soit l'ordre de succession qu'on choisisse, chaque ligne tournera d'un angle égal à la somme des angles de rotation donnés et sera multipliée par le produit des rapports de rotation donnés. Les deux figures obtenues doivent donc avoir même grandeur et leurs côtés homologues même direction; une translation peut donc amener l'une à superposition sur l'autre.

Soient A Qt B les deux centres de rotation et considérons le centre A\ pendant la rotation autour de ^, il reste immobile et la rotation autour de B l'amène en un point C. Si au contraire on fait tourner d'abord autour de B, A vient en C, puis la rotation autour de A l'amène en un point D. CD ou DC est donc la grandeur de la translation qu'il faut adjoindre, quand on changera l'ordre de succession des deux rotations.

TBCéORIE DE LA ROTATION. 8?