Diviser un angle en trois parties égales

Le problème peut facilement se transformer dans le suivant: par un point donné A d'une circonférence de cercle, mener une droite qui coupe le cercle en X et un diamètre quelconque donné en }', de telle sorte que XY soit égal au rayon. Faisons abstraction du diamètre, le lieu géométrique de Y sera une courbe du quatrième ordre, ayant pour points doubles les points circulaires imaginaires à l'infini et le point A, et qui passe en même temps par le centre du cercle. Comme les diamètres forment un faisceau de rayons dont le centre n'est pas un point remarquable de la courbe, la condition nécessaire pour que nous puissons résoudre le problème, c'est que l'ordre de la courbe soit d'une unité supérieur à une puissance de 2. (Voir les ouvrages cités plus haut). Le problème ne peut donc pas se résoudre avec la règle et le compas.

Nous venons de démontrer de cette manière que ces célèbres problèmes anciens ne peuvent pas se résoudre;

mais il n'en est pas de même pour un autre problème également célèbre, celui de la quadrature du cercle. Dans ce dernier, il s'agit de démontrer que n ne peut pas s'exprimer au moyen de racines carrées; ce théorème dans une forme plus générale a été démontré de M. Lindemann à l'aide d'une méthode due à M. Hermite. 419. On donne un point P et deux cercles. On demande de mener une ligne passant par P et une tangente à chacun des cercles de telle manière que P et les deux points de contact soient les milieux des côtés du triangle formé par les trois lignes. Le triangle doit avoir les cercles à son intérieur.

Soient X çX. Y les points de contact. Il faut donc maintenant de placer le triangle XYP de telle manière que les hauteurs de JT et F passent par les centres des cercles. Donnons au point P une position particulière telle qu'il puisse être centre de rotation des deux cercles. Faisons tourner autour de P le cercle qui passe par X de manière qu'il vienne sur le cercle passant par F; X vient en un point X\ tel que PY et PX\ font des angles égaux avec la ligne menée de P au centre du cercle. Le rayon mené suivant Xx fait un angle connu avec PY\ car avant la rotation il était perpendiculaire à PY et on l'a fait tourner d'un angle connu. Si maintenant on cherche à construire le triangle PX\ O, où O est le centre du cercle, le problème se ramène à 408 et par suite ne peut, pas se résoudre avec la règle et le compas.