AP

Les points cherchés sont donc à distance constante de C. Pour déterminer sur AB les points par lesquels passe le cercle , faisons en A, / BAD = 4$°. De B, avec un rayon a, décrivons un arc de cercle qui coupe AD aux points D et I?i. De D et Di abaissons sur AB des perpendiculaires; leurs pieds £ et jEi sont les points cherchés; car

a^ = n£-\- £b' et a^ = 'D^I -f ~Ë^^ mais DE^AE et DiEx = AEx.

k. Le lieu géométrique de tous les points dont les distances à deux droites données ont une somme ou une diférence donnée, est un système de quatre droites.

Soient AB et AC les droites données, P un des points cherchés, par suite PC -\- PE == a. Faisons PD = PE\ le lieu géométrique <ie D se composera de deux droites, parallèles à y^^T et à la distance a de celle-ci. Soient BD et D\.B\ ces droites. Les points cherchés doivent maintenant être à égale distance de AE et d'une de ces droites; ils seront donc sur une des quatre droites qui bissectent les angles aux points d'intersection BetBi. Le problème est aussi résolu par là même, quand a différence des •distances doit être a. Car un examen attentif de la figure montre aisément que les quatre segments limités BF, FBi, B\ F\ et F\ B correspondent au cas où la somme des distances est a , tandisque les portions illimitées restantes se rapportent à la différence.

Remarque . Si l'on convient de regarder CP comme positif ou négatif, suivant que P sera d'un côté ou de l'autre de la droite donnée AF\ et de même, de compter EP positivement ou négativement, suivant que P sera d'un côté ou de l'autre de AB, on aura pour lieu géométrique une droite illimitée; car on a respectivement pour les quatres lignes :

CP -\- EP = a\ CP — EP = a\

— CP -\- EP = a\ — CP — EP = a.

A l'aide de ces lieux géométriques, on peut résoudre les problèmes qui suivent; on considère individuellemeut chacune des deux conditions imposées au point cherché; on obtient ainsi deux lieux géométriques pour le point.

12 LIEUX «iOMÉTRlQUKS I>1' roiNTS.

Exemples.

1 . 1 )éterminer un point ciui soit h égale distance de trois points donnes (c).

2. Déterminer un point h égale distance de trois droites donnés (d).

3. Construire un triangle, connaissant ses trois côtés (a). Construire un cercle de rayon donné,