a, ha et b^-\rc^ (b et i

39. Construire un triangle rectangle, connaissant la hauteur correspondant à l'hypoténuse, deux points de l'hypoténuse et un point de chacun des côtés (b et e).

40. Circonscrire un carré à un triangle équilatéral, de manière que les deux figures aient un sommet commun.

On cherche à déterminer le sommet opposé du carré (e et c).

41. Construire un triangle, connaissant «, ^ et ^ (e, coroU. 2).

42. Couper une droite donnée en deux segments qui aient pour moyenne proportionelle un segment donné (e et b).

43. Etant donné un triangle rectangle, construire un cercle tangent à l'hypoténuse, qui passe par le sommet de l'angle droit et ait son centre sur un des côtés (d).

44. On donne deux parallèles, un point A sur l'une d'elles, et un autre point 0 situé d'une manière quelconque en dehors. Mener par O une droite qui coupe en X la parallèle passant par A y en Y l'autre parallèle, de manière que AX = AV.

On cherche à déterminer le milieu de XY.

45. Déterminer un point d'où l'on voie sous des angles égaux les trois segments AB^ £C, CD d'une même droite donnée (f).

LIEUX GEOMETRIQUES DE POINTS. jC

46. Dans un triangle, déterminer un point d'où les trois côtés paraissent de même grandeur (soient vus sous le même angle) (e).

47. Déterminer un point d'où trois cercles donnés paraissent de même grandeur.

Les distances du point aux centres des cercles doivent être entre elles dans le rapport des rayons; on trouve alors le point au moyen de f.

48. Construire un triangle, connaissant a, ha et b:c (b et f).

49. Dans un quadrilatère donné trouver un point dont les distances à deux des côtés opposés aient une somme donnée et les distances aux deux autres un rapport donné.

50. Sur une circonférence donnée, trouver un point dont la somme des distances a deux droites données soit un minimum (k).

51. Construire un cercle qui coupe orthogonalement trois cercles donnés (h, coroll. 3).

52. Construire un cercle, qui coupe trois cercles donnés suivant des diamètres (h, coroll. 2).

53. Dans un cercle donné, inscrire un triangle rectangle dont les côtés passent chacun par un point donné (e).

54. Dans un cercle donné, inscrire un triangle rectangle, connaissant un angle aigu et un point d'un des côtés (e).

55. Sur un billard circulaire sont placées deux billes sur le même diamètre; comment doit-on lancer l'une pour que, après réflexion, elle vienne rencontrer l'autre! (f).

Dans les problèmes qui précèdent, on pouvait immédiatement appliquer les lieux géométriques, parceque tout se ramenait de suite à la détermination d'un point; ou bien parcequ'on voyait aisément que le problème était résolu quand on avait déterminé un pareil point. Quand il n'en est plus ainsi, on fait usage des règles suivantes:

l6 LIEUX GÉOMÉTRIQUES DE POINTS.

On introduit dans la figure les éléments donnés; si, par exemple, la somme de deux lignes est donnée, il ne suffit pas que ces lignes y figurent isolément, il faut aussi introduire la somme donnée elle-même; en thèse générale, on le fait en s'arrangeant de telle manière qu'une extrémité tombe en un point donné.

On soumet la figure à un examen attentif, pour trouver les lignes et angles qui, sans être donnés, peuvent se déterminer facilement au moyen des éléments donnés.

On cherche ensuite à découvrir une portion de la figure, qui soit d'elle-même déterminée par les éléments donnés et qui puisse ainsi, quand on l'a tracée, servir à déterminer les autres parties de la figure. On peut avoir ici-le choix entre plusieurs parties; en règle générale, il faudra prendre celle pui permettra d'obtenir immédiatement la plus grande portion de la figure cherchée. En particulier, on employera souvent le principe, qui consiste à rechercher des triangles dont trois éléments sont connus.

Pour introduire les côtés d'un triangle, ou leurs sommes et leurs différences, on se sert souvent des quatres cercles inscrits au triangle. Sur chaque côté se trouvent deux sommets et quatre points de contact, et la distance entre deux quelconques d'entre eux peut s'exprimer simplement au moyen des côtés du triangle. Si l'on désigne par s la moitié du périmètre du triangle, on a en particulier les résultats suivants:

a) Le cercle inscrit détermine sur les côtés les segments s — «, s — b^ s — c.

b) La distance de A aux points où le cercle de rayon Qa est tangent aux côtés b et c, est s. La distance de ces points de contact à celui du cercle inscrit est a.

c) Le cercle inscrit et l'un des cercles ex-inscrits sont tangents à « en des points qui sont également éloignés de .5 et d7 et dont la distance de l'un à l'autre est b — c ou c — b.

Exemples.

56. Construire un quadrilatère, connaissant AB, BC, AC, BD et ^ D.

Le A ABC peut être construit immédiatement; on détermine ensuite D (a et e).

57. Construire un quadrilatère inscriptible, connaissant Z A, / ABD, AC çX BD.

On construit A ABD\ par là, le cercle circonscrit se trouve déterminé et on obtient C au moyen de a.

58. Construire un parallélogramme, connaissant AB , AC et AD.