Construire un triangle, connaissant a, B et h — l'a

On prolonge /(„ du segment donné b — ha au delà de a {182).

88. Construire un triangle, connaissant A, a — c, et h^-\-C]\ D désignartt le pied de Aj.

On prolonge CD jusqu'en E, de manière que TjE = h,, et BA jusqu'en /'", de manière que AF =-- a ~ c. Comme on le voit facilement, on peut tracer CE, / CEE === 45° et mener par F une parallèle à CE. On détermine alors B (183).

:89. Construire un triangle, connaissant a, A et h ■\- ne; n est un nombre donné.

.90. Construire un triangle, connaissant ^, i -f c et a -!- c.

On prolonge 6 de c au delà de A jusqu'en D, et c de a au delà de B\ on voit alors qu'on peut tracer CI), puis DB et déterminer B (183).

:9i. Dans un triangle donné ABC, inscrire une demi-circonférence, tangente à BC en un point donné P et .dont les deux extrémités soient sur les deux autres côtés.

On multiplie AB ou AC par — i par rapport à /' et le problème se ramène au N° 173.

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Une droite tourne autour d'un point fixe P {le centre d'inversion) tandisqu'en même temps un point mobile A de la droite parcourt une courbe donnée K. Sur la droite, déterminons un point J, par la condition que PA.PA^ = 1, où / (la puissance d'inversion) est une quantité constante (positive ou négative). Le point A^ décrira une courbe K^. On dit des courbes K et S", que l'une est la courbe inverse

réciproques).

de l'autre (la transformée par rayons A ei A^ sont dits points correspondants.

La courbe inverse d'une droite est un cercle qui passe par le centre d'inversion.

Soit PB une perpendiculaire à la droite donnée , S et fij deux points correspondants et A et A^ deux autres points correspondants. De la relation

PA.PA, == PB. PB, il résulte que les triangles BPA, A^PB, sont semblables, en sorte que Z PA,B, = — . Le lieu géométrique de A, est donc un cercle qui a PB^ pour diamètre.

Si la droite donnée passe par le centre d'inversion, elle est à elle-même sa propre courbe inverse.

Si A, parcourt la circonférence, A décrira la droite; la courbe inverse d'un cercle passant par le centre d'inversion est donc une droite.

La courbe inverse d'un cercle, qui ne passe pas par le centre d'inversion, est un cercle; et le centre d'inversion est un centre de similitude pour celui-ci et pour le cercle donné.

Soient B et B, deux points correspondants, tandis que PB coupe le cercle une seconde fois en IJ. Les deux produits PB>iPB^ et PB X PU sont alors constants; par suite le rapport PB, : PI) est aussi constant. On trouve donc le lieu

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;K on ETHIQUE s D

géométrique de S, en multipliant par rapport à P le lieu géométrique de I> (le cercle donné) par une constante. Le lieu est ainsi un cercle semblable au cercle donné et ayant P pour centre de similitude. Si la puissance d'inversion est égale à la puissance de P par rapport au cercle donné, ce dernier sera à lui-même sa propre courbe inverse.

On a prouvé que B et 6^ parcourent en même temps des circonférences; il faut toutefois remarquer qu'ils ne décrivent pas en même temps des arcs semblables; au contraire B^ et D parcourent des arcs semblables et semblablement placés.

On peut maintenant résoudre le problème général suivant:

Par un point donné P, mener une droite sur laquelle deux courbes données K et K^ déterminent deux segments PX et PX , dont le produit soit donné.

Faisons abstraction de ^j ; le lieu géométrique deX, sera la courbe inverse de A", qui aura P pour centre d'inversion et le produit donné comme puissance d'inversion. X^^ sera donc déterminé comme point d'intersection de cette courbe avec K^. Le problème peut se résoudre avec ie compas et la règle, toutes les fois qile les courbes données se composent de droites et d'arcs de cercle.

193. Par un point donné P mener une droite qui coupe les côtés d'un angle donné en A et B de telle sorte que PA.PB^a"^, a étant un segment donné. 193. On donne un cercle, un de ses diamètres et un point P. Mener par P une droite qui coupe le cercle en X et le diamètre en Y, de manière que PX.I'Y^a'^.

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194. Par l'un des points d'intersection de deux cercles mener une droite telle que les cordes déterminées sur elle par ces deux cercles aient un produit donné.

195. Construire un triangle ABC, connaissant le côté du carré inscrit dont deux sommets sont sur BC, zl ^ et le produit des deux segments qu'un sommet du carré détermine sur AB.

196. Construire un triangle, connaissant a, A et BD . BA, D étant le pied de h,.

L'inversion s'employe souvent avec avantage, quand on veut exécuter une construction ou donner une démonstration, parceque la figure inverse est souvent plus simple que la figure donnée. Nous appellerons entre autres l'attention ici sur les relations suivantes qui existent entre deux figures inverses.

a) Si deux courbes se coupent ou sont tangentes en A, les courbes inverses se couperont ou seront tangentes au point A^ qui correspond à A.

En effet, si A est sur les deux courbes, A^ doit se trouver sur les deux courbes inverses; et si deux points d'intersection se réunissent en A, leurs correspondants coïncident également en ^1 .

Si A est au centre d'inversion, le théorème n'a plus lieu parcequ'en général à ce point ne correspond plus un point, mais îa droite de l'inllni.

b) Si deux courbes se coupent en A sous un certain angle (l'angle de leurs tangentes), les courbes inverses se couperont en A^ sous le même angle (mais pris avec un signe contraire, si l'on mesure l'angle depuis l'une des courbes jusqu'à l'autre).

On voit aisément (fig, pg. 35 et 36) que le théorème a lieu, quand l'une des courbes est un cercle et l'autre une droite passant par le centre d'inversion. Il subsiste encore pour deux cercles quelconques; car une droite menée de A au centre d'inversion passe par A^. A l'aide de cela, on peut alors démontrer facilement que le théorème a îieu pour deux courbes

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quelconques; car elles forment encre elles en A le même angle que deux cercles quelconques, tangents chacun à l'une des courbes en A.

Applications.

197. Construire un cercle passant par un point donné P et tangent à deux cercles donnés.

En faisant l'inversion avec P comme centre d'inversion, !e problème se ramène à mener la tangente commune à deux cercles. On peut choisir la puissance d'inversion de manière que l'un des cercles ne change pas.

198. Démontrer qu'un cercle quelconque, passant par les intersections de deux cercles, coupe sous le même angle un système de cercles tangents aux deux cercles donnés (et par suite aussi une tangente commune).

Par inversion, ce théorème se ramène au suivant: Une droite quelconque, qui passe par le centre de similitude d'un système de cercles semblablement placés, coupe tous les cercles sous des angles égaux.

199. Construire un cercle tangent â trois cercles qui passent tous par le même point.

200. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère dont les côtés passent chacun par un point donné.

Soient a, b, G et d les points par lesquels passent respectivement AB, BC, CD et VA. On se sert de ces points comme centres d'inversion en prenant comme puissance d'inversion pour chacun d'eux sa puissance par rapport au cercle. Après quatre inversions successives autour de a, b, e et d, A viendra retomber en A. Soit P le point qui, après trois inversions autour de a, à et c vient tomber en d; on trouve ce point en faisant successivement l'inversion de d autour de c, b et a. Tout cercle ou toute droite passant par P se transforme, après inversion autour de a, 6 et c, en un cercle passant par d et en conséquence, par inversion autour de i^, devient une droite. La droite PA, après quatre inversions, se

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transforme donc en une droite Pi A, P^ étant le point que Ton obtient quand on fait successivement l'inversion de a autour de b, c et d. Mais comme l'angle que FA fait avec le cercle n'a changé ni en grandeur ni en signe après les quatre inversions, et que le cercle reste le même, PA et /*, A doivent former une seule et même droite.

La solution est donc la suivante: On détermine/', par l'inversion de a autour de b, c et rf; puis P par l'inversion de d autour de c, b et a. La ligne PP^ coupe le cercle en A.

La solution peut s'étendre facilement à une figure quelconque d'un nombre pair de côtés.

201. Dans un cercle inscrire un triangle ABC de manière que chaque côté passe par un point donné (o, h et c).

On procède comme dans le problème précédent, en ne faisant que trois inversions au lieu de quatre. La conséquence en est que PA et P, A ne forment plus une même droite, parceque les angles qu'elles font avec le cercle sont de signe contraire. On fait l'inversion, autour de (I, 6 et c, d'un des points où Pa coupe le cercle; soit Q le point ainsi trouvé. Après l'inversion, les lignes aP et PA se sont donc transformées en QP^ et i^, A qui font entre elles le même angle que les deux premières lignes. Ces angles ont le même signe (on en voit facilement la raison, en suivant l'inversion; les lignes se correspondent deux à deux, maïs leurs points d'intersection ne se correspondent pas) et les quatre lignes forment un quadrilatère composé de cordes, tel que A se trouvera déterminé par un cercle passant par P, P, et le point d'intersection de aP et P^ Q.

Cette solution peut facilement s'étendre à un polygone quelconque d'un nombre impair de côtés.

Lieux géométriques en général.

En outre des lieux géométriques que nous avons indiqués dans ce qui précède, il en existe beaucoup d'autres, qui sont

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