LIEUX GÉOMÉTKIQCES DE POINTS
souvent appliqués, mais dont l'étude individuelle prendrait trop de temps. Il faudra donc, dans chaque problème où les lieux mentionnés plus haut ne pourraient pas trouver leur emploi, rechercher ou tâcher de trouver les droites ou les cercles qui sont les lieux géométriques des points de la figure. Dans ce cas, un dessin fait avec soin pourra être un auxiliaire, peu scientifique il est vrai, mais très-pratique.
Il arrive souvent que, si Ton a une figure qui doit être tracée dans une position déterminée, on pourra, en laissant de côté une des conditions qui lui sont imposées, la dessiner dans une situation en partie arbitraire, puis la ramener dans la position requise par une translation parallèle ou une rotation autour d'un certain point. Les lieux géométriques des points de la figure sont respectivement alors des droites parallèles ou des cercles concentriques.
Exemples.
202. Tracer un cercle de rayon donné, dont le centre soit sur une droite donnée et dans lequel une autre droite donnée détermine une corde de longueur donnée.
On trace le cercle de manière que, dans une position arbitraire, il intercepte la corde donnée sur la droite donnée; on peut ensuite l'amener dans la position requise en faisant décrire à son centre une droite parallèle à la droite donnée.
203. Décrire un cercle de rayon donné, dont le centre soit sur une circonférence donnée et qui coupe un autre cercle suivant une corde de longueur donnée.
204. Décrire un cercle de rayon donné, qui passe par un point donné et coupe une droite donnée suivant une corde de longueur donnée,
205. Construire un triangle congruent à un triangle donné, qui ait un côté sur une droite donnée et le sommet opposé sur une autre droite donnée.
206. Dans un segment de cercle donné, inscrire un triangle congruent à un triangle donné.
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LIEUX gkomktriqi;es nr, points. 41
307. Décrire un cercle de rayon donné, qui coupe deux droites ou deux cercles donnés suivant des cordes données.
308. Mener à un cercle une tangente sur laquelle deux droites parallèles données, on deux cercles concentriques donnés, interceptent un segment de longueur donnée,
209. Par un point donné mener une droite telle que le segment de cette droite, compris entre deux cercles concentriques donnés, soit vu de leur centre sous un angle donné.
210. On donne deux cercles; déterminer un point tel que les tangentes menées aux deux cercles comprennent un angle donné et que l'une d'elles ait une longueur donnée.
On mène la tangente dont la longueur est donnée, de manière qu'elle soit tangente à l'un des cercles en un point quelconque et, à son extrémité, on construit l'angle donné; on fait alors tourner l'autre cercle autour du centre du premier jusqu'à ce qu'il soit tangent à la seconde ligne; puis on ramène le tout dans la première position.
211. Tracer un cercle, qui soit tangent à deux parallèles données et passe par un point donné.
212. Par un point donné, mener une ligne sur laquelle deux couples de parallèles détermiment des segments égaux.
La ligne doit être parallèle à la diagonale du parallélogramme formé par les deux couples de parallèles. 313. Tracer deux cercles de rayons donnés de telle sorte que l'un d'eux détermine sur une droite une corde de longueur donnée et que l'autre intercepte sur une seconde droite une autre corde donnée; de plus les cercles doivent être tangents et leur tangente commune doit avoir une direction déterminée.
214. Dans un cercle donné, inscrire un triangle dont un côté est donné et dont la médiane relative à ce côté passe par un point donné et ait une direction donnée.
215. Inscrire dans un cercle un triangle, dont on donne un côté et la médiane relative à un des autres côtes et qui
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soit tel que le point d'intersection des médianes soit sur un diamètre donné.
216. Dans un cercle donné mener une corde de longueur donnée de telle manière qu'elle soit coupée par un diamètre donné, suivant un rapport donné.
217. Dans un quadrilatère donné, inscrire un parallélogramme dont les côtés aient des directions données.
On fait abstraction d'un des côtés du quadrilatère; alors le sommet libre du parallélogramme décrit une
218. Par un point donné, mener une droite qui coupe trois droites données de telle manière que les points d'intersection et le point donné soient harmoniques.
On laisse une des droites de côté; alors le point libre décrit une droite qui passe par le point d'intersection des deux autres droites données.
219. Construire un triangle connaissant w^. D et la distance de C à w„.
On trace !ii„ et on élève une perpendiculaire à tCa en J. Le problème est maintenant ramené au précédent, avec cette différence qu'à la place d'une des droites données, on a l'arc qui est capable de z. B.
B. Lieux géométriques de lignes,
La ligne droite, de même que le point, est déterminée quand elle doit satisfaire à deux conditions. Comme celui-ci aussi, elle sera partiellement déterminée par une seule condition, parcequ'il existe toujours une courbe à laquelle doivent être tangentes toutes les lignes qui remplissent cette condition. Par analogie, ou peut donc donner à cette courbe le nom de lieu géométrique des lignes. Dans des cas particuliers, cette courbe peut être un point, en sorte que toutes les lignes, qui ont la propriété requise, passent par ce point. A l'exception de ce cas, nous n'aurons à considérer ici que ceux où la courbe est un cercle.
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Si donc on peut déterminer deux lieux géométriques pour une ligne, le problème se ramène à l'un des suivants: I^ Mener une droite par deux points donnés.
2^ Par un point donné, mener une tangente à un cercle (i6). 3^ Mener la tangente commune à deux cercles (137).
Dans ce qui suit, nous indiquons les lieux géométriques de lignes les plus importants.
1. Le lieu géométrique de toutes les cordes égales d'un même cercle est un cercle concentrique au cercle donné.
On trace dans le cercle la corde de longueur donnée et l'on mène le cercle concentrique qui lui est tangent.
m. Le lieu géométrique des lignes, dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport donné, est le point qui divise, suivant le rapport donné, la ligne qui joint les points donnés. 11 faut prendre les distances chacune avec un signe.
n. Le lieu géométrique des lignes, dont les distances àdeux points donnés ontune somme donnée, est un cercle dont le centre est au milieu de la ligne qui joint les points.
Si la différence des distances doit être égale à une ligne donnée, le lieu géométrique se compose de deux points infiniment éloignés et les lignes forment alors deux systèmes de parallèles. Leur direction est déterminée par les tangentes qu'on mène d'un des points au cercle décrit autour de l'autre comme centre, avec la ligne donnée poui
Les distances doivent être prises i signe.
O. Dans un cercle, on trace des angles inscrits dans le même arc et on les divise suivant les deux mêmes angles; le lieu géométrique des lignes de division est le point de l'arc que l'on obtient en divisant de la manière donnée un quelcontjue des angles inscrits.
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un cercle ■
: la H,
qui jo
les points don
Soient A et B les points
donnés, et supposons un cercle
quelconque, mené par ces points,
qui coupe le cercle donné en C
et D. I.a ligne CD rencontrera
alors ABe.n 0, Heu géométrique
cherché; car si un autre cercle
quelconque, passant par A et B,
coupe le cercle fixe aux points
E et F, les lignes P'E, DC et AB sont les lignes d'égale
puissance des trois cercles; et comme elles se coupent en un
même point, EF doit passer par 0.
Exemples.
Par un point donné, mener une droite qui soit coupée par une cercle donné suivant une corde de longueur donnée.
A l'aide de 1, le problème se ramène à i6.
Mener une droite qui détermine dans deux cercles donnés des cordes de longueurs données.
Mener une droite qui coupe une droite donnée en X et un cercle donné en Y et Z^ de manière que KY et YZ aient des longueurs données.
A l'aidé de 1, le problème se ramène à ii.
Inscrire dans un cercle donné un triangle semblable à un triangle donné et dont un côté passe par un point donné. Tracer dans un cercle donné une corde de longueur et de direction données.
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225. Inscrire dans un cercle donné un triangle dont un côté soit égal et parallèle à une ligne donne et dont la bissectrice de l'angle opposé passe par un point donné.
On a immédiatement un côté (1) ; on connaît alors deux points de la bissectrice de l'angle opposé.
226. Dans un cercle donné, inscrire un triangle, connaissant la direction d'un coté, la bissectrice de l'angle opposé et un point de cette dernière.
La direction donnée d'un côté détermine le milieu de l'arc correspondant et par suite la bissectrice de l'angle opposé.
227. Par un point donné mener une droite dont !a distance à un point donné soit égale à la somme de ses distances à deux autres points donnés.
33S. On donne les points A et S sur une circonférence de cercle donnée. Par un point donné /', mener une droite qui coupe le cercle aux deux points X et F, de telle manière que AJi et BY forment entre elles un angle donné (220).
229. Diviser un arc de cercle en deux parties telles que leurs cordes soient dans un rapport donné.
L'angle que font entre elles les cordes cherchées sera bissecté par la ligne qui divise la corde de l'arc donné suivant le rapport donné et qui passe par le milieu de l'arc qui, avec l'arc donné, complète la circonférence entière.
230. Par un point donné, mener une droite pui passe par le point d'intersection de deux droites données, sans que celles-si soient prolongées de manière à se couper.
On mène entre les lignes données deux parallèles, dont l'une passe par le point donné; la ligne cherchée coupe les deux parallèles dans le même rapport. 331. Construire un triangle, connaissant les portions suivant lesquelles ^ A et a sont partagées par une ligne AD.
On trace le cercle circonscrit dans lequel a est une corde; on connait alors deux points de Af> (o).
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Construire un triangle, connaissant h,,, Wg et Wia.
Les triangles rectangles, qui sont déterminés par les trois lignes données peuvent se construire immédiatement. On connaît alors le point A et la ligne sur laquelle se trouve a; il s'agît maintenant de déterminer JS et C. On les obtient en construisant le cercle circonscrit au triangle. A cet effet, prolongeons Wa et élevons une perpendiculaire sur le milieu de a; ces deux lignes doivent se couper au milieu de l'arc que sous-tend a. Ce point trouvé, le cercle se construit facilement. Mener à un cercle une tangente dont les distances à deux points donnés aient une somme donnée.
Etant donné un quadrilatère ABCD, mener une droite qui soit à égale distance de A et C, et de B et D. (Distances égales prises avec des signes contraires.) Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère ABCD., connaissant la diagonale AC, l'angle que font les diagonales et sachant en outre que le quadrilatère cherché doit être circonscriptible à un cercle.
On trace la diagonale AC comn\& corde dans le cercle; on connait la direction de Si>, par suite aussi les milieux des arcs que sous-tend BD. On peut alors mener les lignes qui bissectent les angles ^ et C et celles-ci doivent se couper au centre du cercle inscrit. Les lignes, qui bissectent les angles B et D, doivent passer par ce centre et par les milieux des arcs que sous-tend AC\ on peut donc les tracer et par suite B et D sont déterminés.
Construire un carré dont les côtés doivent respectivement passer par un des points A, B, C et D.
Sut AB et CD, comme diamètres, on décrit des cercles qui sont les lieux géométriques de deux des sommets du carré; comme la diagonale d'un carré en bissecte les angles, elle doit passer par les milieux des deux demi circonférences; on peut donc la tracer immédiatement. Elle détermine ainsi deux sommets du carré et par suite les deux autres.
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237. Construire un quadrilatère semblable à un quadrilatère donné et dont les côtés passent respectivement par quatre points donnés.
Ce problème est une généralisation facile du précédent et se résout d'une manière analogue, puisque les diagonales divisent les angles d'une manière connue.
238. Par deux pointa donnés mener un cercle tangent â un cercle donné.
Par les deux points donnés, Â et B, on mène un cercle quelconque coupant le cercle donné. La corde commune rencontre AB en un point qui doit aussi se trouver sur la tangente commune au cercle donné et à celui qu'on cherche. Si donc on mène cette tangente, on obtient le point de contact des deux cercles et par suite le centre du cercle demandé.
Ce problème peut aussi s'énoncer de la manière suivante: On donne un cercle et deux points^ et S; trouver sur la circonférence du cercle un point X tel (jue les lignes XA et XB le coupent en deux autres points dont la ligne de jonction soit parallèle à AB.
239. Par deux points donnés, mener un cercle qui coupe un cercle donné suivant une corde donnée.
240. Construire un quadrilatère inscriptible, connaissant CA, BD, Z ^ et Z ACB.
On trace BD et on détermine le point A au moyen de e et de o,
241. Par deux points donnés, mener un cercle qui coupe un cercle donné de manière que la-corde commune soit tangente à un autre cercle donné.
242. Par deux points donnés, tracer un cercle qui coupe un cercle donné de manière que les distances de la corde commune à deux points donnés soient entre elles dans un rapport donné.
343. Construire un triangle congruent à un triangle donné, de manière que deux de ses côtés passent par des point donnés et que la bissectrice de leur angle soit tangente à un cercle donné.
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