ARCS DE CERCLES
elle restera tangente au coté adjacent jusqu'à ce qu'elle ait atteint le sommet suivant; elle tournera alors autour de ce dernier jusqu'à ce qu'elle devienne tangente au côté suivant et le mouvement se continuera ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle soit revenue dans sa position primitive. Elle aura donc décrit successivement des angles égaux, les uns aux côtés du polygone, les autres aux suppléments des angles de cette figure; et comme elle aura justement fait un tour complet, la somme de ces angles est égale à quatre angles droits.
Pour plus de simplicité, on a supposé que la ligne, après un tour complet, revient à sa position primitive; pour les polygones non convexes, elle pourra cependant faire plusieurs tours complets {ou pas du tout), en sorte que la somme des angles cherchée pourra être un multiple quelconque de quatre angles droits.
Pour que le théorème ait lieu d'une manière générale, il faut prendre les angles et les arcs avec des signes qui correspondent aux sens de rotation suivant lesquels ils sont décrics.
2. Dans un triangle, !a somme des anglesdiminuée de la somme des côtés est égale à deux angles droits. Si les côtés passent par un même point (qui n'est pas un des sommets du triangle) la somme des angles est égale à deux angles droits et la somme des côtés est nulle.
Le dernier théorème se démontre aisément quand, au lieu des angles du triangle, on considère les angles égaux à ceux du triangle et formés au point commun d'intersection des côtés.
3. Dans un biangle*) (figure formée de deux arcs de cercle) les deux angles sont égaux entre eux et à la demi-somme des côtés.
4. Un angle inscrit est égal à la demi -somme de ses côtés et de l'arc qui ie sous-tend.
■| En l'absence de lout mot français pouvant correspondre s Tokant, nous avons employé ici l'expression non usitée de se comprend facilement et rend d'une manière concise l'idf
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Prolongeons les côtés jusqu'à ce qu'ils forment un biangle; l'angle aura pour mesure la demi-somme des côtés de ce biangle. Mais la somme des deux prolongements est égale à l'arc qui sous-tend l'angle inscrit (2). Cet arc doit être pris avec des signes contraires, suivant qu'on le considère comme appartenant à l'un ou à l'autre des deux triangles suivant lesquels le biangle est divisé.
5. Etant donné deux couples de cercles, si les points d'intersection d'un des couples sont respectivement c,hacun sur un des cercles de l'autre couple et réciproquement, les deuxcercles de chaque couple se coupent sous le même angle (2).
6. Dans un quadrilatère inscrit, la somme de deux angles opposés est égale à la somme des deux autres. Si les quatre côtés passent par le même point, les sommes de deux angles sont chacunes égales à deux droits et la somme des côtés est nulle (4).
7. Si dans un quadrilatère la somme de deux angles opposés est égale à la somme des deux autres angles, le quadrilatère est înscriptible.
De (i) il résulte en effet que la somme de deux angles opposés diminuée de la demi-somme des côtés est égale à deux droits. Mais cette somme est justement celle des angles opposés du quadrilatère rectiligne dont les sommets coïncident avec ceux du quadrilatère donné.
8. Si deux cercles sont tangents à deux autres cercles et de la même manière, les quatre points de contact sont sur une circonférence de cercle (7).
9. Tout cercle passant par les points d'intersection de deux cercles fixes coupe un système de cercles tangents'aux deux cercles fixes (et de la même manière) sous des angles égaux.
Ce théorème a déjà été démontré plus haut (198) au moyen de l'inversion. Nous en donnerons ici une démonstration directe qui subsiste encore quand les deux cercles fixes ne se coupent pas. Par cercle passant par les points
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