PB — PA = BD — AD

Construisons un triangle rectangle dont un des côtés soit a, et décrivons autour de J et B comme centres des cercles dont les rayons soient respectiven-»nt égaux à l'hypothénuse et à l'autre côté de ce triangle, la ligne cherchée passera par les points d'intersection de ces deux cercles. Ici on a supposé P plus éloigné de B que de A.

Coroll. î. Le Heu géométrique de tous les points d'où l'on peut mener des tangentes égales à deux cercles (ou qui ont même puissance par rapport aux deux cercles) est une droite perpendiculaire à la ligne des centres (axe radical, axe d'égale puissance des cercles); on voit aisément en effet que les distances des points aux centres des cercles doivent être telles que la différence de leurs carrés soit égale à la différence des carrés des rayons. Quand les cercles 6e coupent, l'axe radical passe par leurs points d'intersection. Les trois lignes d'égale puissance (axes radicaux) de trois cercles passent par te même point, le point d'égale puissance (centre radical). On détermine aisément par là un point de la ligne d'égale

lO LIErX GEOMETRIQUES IIE POINTS.

puissance de deux cercles qui ne se coupent pas ; il suffit de décrire un cercle quelconque qui coupe les deux premiers.

Coroll. 2. Le lieu géométrique des centres des cercles qui coupent deux cercles donnés, chacun suivant un diamètre est une droite perpendiculaire à la ligne des centres et -à la même distance de l'un d'eux que l'axe radical est de l'autre. Coroll. j. Le lieu géométrique des centres de tous les cercles qui coupent orthogonale ment deux cercles donnés (c. a. d. tels que les deux tangentes menées aux cercles en leur point d'intersection soient rectangulaires) est la ligne d'égale puissance des cercles.

i. Le lieu géométrique de tous les points don les carrés des distances à deux points donnés on une somme constante n^, est un cercle qui a son cen tre au milieu de la ligne qui joint les deux points.

Soient A et B les points donnés, P un des points c"herchés.

nons !a médiane PC, nous avoiis, —^ comine on le sait,

~ÂP+ BF^ VpC-1 \AB

ou '~PC= >^a^ —iab\

Les points cherchés sont donc

- j)^ à distance constante de 0. Pour

déterminer sur AB les points par

lesquels passe le cercle , faisons

en A, /L BÂD =- 45°. De B, avec un rayon a, décrivons un

arc de cercle qui coupe AD aux points D et J),. De D et i*,

abaissons sur AB des perpendiculaires; leurs pieds E et E,

sont les points cherchés; car

«2 = De\'ËB et a' = ~D,E, +E^B mais DE=AE et D,E, = AE,.

k. Le lieu géométrique de tous les points dont les distances à deux droites données ont une somme ou une différence donnée, est un système de quatre droites.

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Soient AB et AC les droites données, F un des points cherchés, par suite PC + PE ==^ a. Faisons FB = PE; le lieu géométrique de D se composera de deux droites, paral- !à!es à AC et à la distance a de celle-ci. Soient BD et J>,B, ces droites. Les points cherchés doivent maintenant être à égale distance de AE et d'une de ces droites; ils seront donc sur une des quatre droites qui bîssectenc les angles aux points d'intersection B et B^. Le problème est aussi résolu par là même, quand la différence des distances doit être a. Car un examen attentif de la ligure montre aisément que les quatre segments limités BF, FB,,B, F^ et FyB correspondent au cas oij la somme des distances est a, tandisque les portions illimitées restantes se rapportent à la différence.

Re'ifiarque. Si l'on convient de regarder CF comme positif ou négatif, i d'un côté ou de l'autre de la droite donnée AF\ et de même, de compter EP positivement ou négativement, suivant que P sera d'un côté ou de l'autre de AB ^ on aura pour lieu géométrique une droite illimitée; car on a respectivement pour les quatre s lignes.

CP+ EF -= a; CF - FF --= a;

~ CP+EP ^ a; — CF—EF=- a.

/lli

; F sera

l'aide de ces lieux géométriques , on peut résoudre les problèmes qui suivent; on considère individuellement chacune des deux conditions imposées au point cherché; on obtient ainsi deux lieux géométriques pour le point.

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Exemples.

1. Déterminer un point qui soit à égale distance de trois points données (c).

2. Déterminer un point à égale dislance de trois droites données -(d).

3. Construire un triangle, connaissant ses trois côtés (a). Construire un cercle de rayon donné,