CHAPITRE PREMIER

NOTICE HISTORIQUE DES TRAVAUX FAITS POU» DECOUVRIR 1.ES RACINES DES ÉQUATIONS.

I. L’art de découvrir les racines des équations ntN^énquc^tst un des problèmes les plus importons , puisque, en dernière analise, toutes les questions aboutissent A cclle-Ui. Tous les calculs qu’on a faits, dit ViWasiTc Lagrange , sont en pure perte, si l’on n’a pas les moyens de résoudre ces équations. Dès le 3.“* degré, l'expression algébrique des racines est insuffisante pour faire connaiire , dans tous les cas, leur valeur numérique, et , i plus forte raison, il en serait de mémo pour les degrés supérieurs , si on parvenait enfin à découvrir l’expression générale des racines ; il faudrait toujours recourir ^ d’autres moyens , pour trouver les valeurs numériques des racines d’une équation proposée ( Séances des écoles normales ,' tom. 3 , pag. 463 , 47^ }•

s. L'importance du problème des racines a dtè sentie par les plus graods gdomèlros, et il n’en est presque aucun qui n’ait cherché une méthode simple , directe et sûre pour les découvrir. Il tula paru nécessaire de rapporter une esquisse des travaux entrepris sur cette matière; tant pour mieux faire sentir les points de la difRculté, que pour signaler les écueils des routes qui ont été suivies : ce précis sera extrait, en partie, des ouvrages de Lagrange.

3. Viitc , qui le premier s’occupa du sujet dont il s’agit, employa" une méthode analogue è celle de l’extraction des racines des nombres ; Harriot , Ougtrcd , etc., cherchèrent è la simplifier; • mais la

• multitude des opérations qu’elle demande , et l'incertitude du succès » dans un grand nombre de cas , l'ont fait abandonner entièrement » avant la fin du 17 .™' siècle ». ( De la réiolutwn des é(}uations numériques , par M. Lagrange, pag. i.)

4* La méthode de Viite a fait place è celle de Newton , qui n'est , au fond , qu’un procédé d'approximation , puisqu'il faut déjà connaître une valeur de la racine , à moins de près. » Elle ne' » sert , comme oh voit , que pour les équations numériques qui sont

* déjà à peu près résolues ; de plus , elle n’est pas toujours sûre ; »> elle a encore l'Inconvén'fcnt^ de ne donner que des valeurs appro- » chées des racines mêmes qui peuvent être exprimées exactement » en nombres , et de laisser en doute si elles sont commcnsurablcs >1 ou non ». ( De la résolution des équations numériques , pag. 3. )

Ce dernier reproche né me parait pas fondé ; car , quand une équation est proposée, on est censé l'avoir débarrassée , préalable* ment , des diviseurs commcnsuéables , ce que l'on sait faire.

5. La méthode de Daniel Bernouilli , développée par Euler dans son Introduction à t analise infinitésimale , n’est aussi qu’un moyeu d’approximation. '« Cette méthode et celle de Newton , quoique '» fondées ^ur dos principes dilïércns , reviennent à peu prés au » même, dans le fond , et donnent dos résultats semblables ». ( De la résolution, etc., pag. i5a. )

6 . Hude trouva qu'en multipliant chtique terme d'une équation

par l’exposant de l’inconnue , et diminuant cet exposant d’une uniid, on avait une nouvelle équation qui renfermait les conditions de l'éjjalitë des racines ; Rolle découvrit ensuite que les racines de la seconde sont les limites de celles de la première. Ce principe fut la base de sa Méthode des cascades. « La longueur des calculs que » cette méthode demande et l’incertitude qui naît des racines ima- » ginaires l’ont fait abandonner depuis long-temps». De la résolution , etc . , pag. i66. )

7. Stirling donna ensuite , pour trouver le nombre et les limites des racines des 3 .“* et 4 -”* degrés , une méthode t^’Euler a généralisée dans son Calcul différentiel, « Elle revient dans le » fond à celle de Rolle ». {De la résolution , etc . , pag. s66. )

8 . Le célèbre Fontaine donna , sens démonstration , en 174? > une nouvelle méthode : je la donne , disait-il , pour l'analise en entier , que l’on cherche si inutilement depuis l’origine de l’algèbre.

Cette méthode suppose que l’on peut toujours par la substitution des nombres 1 , 3 , 3 , etc. , au lieu de l’inconnue , dans les équations

'qu.’clle emploie , trouver deux nombres qui donnent deux résultats /

de signes diiTérens. » Ce qui n’a lieu , dit M. Lagrange ^ qu’aulant » que ces équations ont des racines positives , dont la moindre ■ différence est plus grande que l’onité ( ou , pour parler plus » exactement , qu’autant qu’il y a de ces racines qui ne sont pas » comprises en nombre pair entre deux nombres entiers consécutifs ).

» D’après cette .considération , il est facile de trouver des exemples » où la méthoée-de Fomaint est en défaut ». {Delà résolution , etc. ,

pag- 'Ga. ) ' '' , -

'' 9. On voit , par ce qui précède , qu’on ne connaissait encore aucune méthode directe et sûre , dans- tous les cas ,■ lorsque l’illustre Lagrange publia’, dans les Mémoires de Berlin, pour 1767, sa fameuse Équation eu quarré des différences des racines ; il fit vo’r 'qu’en mettant dans la proposée , b la place de -s ÿ les termes de la progression o , D , 2D , 3 D....';.., dans laquelle D marque un nonibre' moindre que la plus petite différence des' racines, o»

dtait assuré de rencontrer toulei les racines réelles, sans être exposé k passer par-dessus quelqu'une d’entre elles. La grande diflicuUë était de trouver ce nombre D : l'auteur indiqua trois moyens d'y parvenir.

Le premier consiste k former l’équation au quarré des différences des racines ; « mais, dit l’auteur, pour peu que le degré de l'équation pro- » posée soit élevé , celui de l'équation des différences monte si haut, B qu'on est effrayé de la longueur du calcul nécessaire pour trouver la » valeur de tous les termes de celle équation ; puisque le degré

» de la proposée étant m , on a — - coefHciens k calculer. (Par

m exemple , pour une équation du dixième degré , la transformée

• serait du 4 ^.°“ ). Comme cet inconvénient pouvait rendre U B méthode générale presque impraticable , dans les degrés un peu B élevés , je me suis long-temps occupé des moyens de l'affranchir i> de la recherche de l’équation des différences ; et j’ai reconnu en B effet que , sans calculer entièrement cette équation , on pouvait > néanmoins trouver une limite moindre que la plus petite de ses B racines ; ce qui est le but principal du calcul de celle meme B équation ». (De la résolution , -etc., pag. 124. )

Le second moyen de trouver D , fut publié dans les Leçons que l'auteur donna , en 1795 , à l'école normale : il exige le calcul d'une équation du degré m , ayant pour ses racines les différentes valeurs dont est susceptible le coefficient Y de l’avant-dernier terme d’une équation en (x—a) ; a étant une racine réelle quelconque de la proposée dont X est l’inconnue ; < mais celte équation en Y , dit M. Lagrange,

• peut encore être fort longue à calculer , soit qu’on la déduise de B l'élimination , soit qu’on veuille la chercher directement par la B nature même de scs racines •.(De la résolution , etc . , pag. 127.)

Le troisième moyen fut publié en 1 798 : il est une modification ou simplification du second , et , quoique moins rebutant que les deux premiers , il peut encore entraîner dans des calculs très-longs » suivant l'aveu de l’auteur. ( De la résolution , etc . , pag. 2a3. )

• Le nombre D , trouvé d'une de ces trois manières , pourra

» <tre souvent plus petit qu'il ne serait nécessaire pour faire découvrir » toutes les racines ; mais , dit M. Lagrange , il n'y a à cela d'autre D inconvénient que d’augmenter le nombre des substitutions successives M à faire pour x dans la proposée si. ( Séances des écoles normales, tom. 3 , pag. ) Cet inconvénient parait encore assez grave dans la pratique ; car il peut , en certain cas , donner lieu à des milliers et même à un nombre indéfiniment plus grand d’operations supcrfiucs ; du reste , l’auteur l’a considérablement diminue , en donnant le moyen d’opérer , par de simples additions et soustractions, les substitutions des nombres entiers qui suivent celles des m premiers nombres i ,3,3, etc. , dans une équation du degré m.

La méthode de Lagrange atteint-elle le but de son auteur 7 « Celui de déterminer les premières valeurs è substituer pour x , J» de sorte que d’un cdté on ne fasse pas trop de tàtonnemens inutiles, » et que de l’autre on soit assuré de découvrir , par ce moyen , » toutes les racines réelles de l’équation », ( Séances des écoles normales, tom. 3 , pag. 477* ) t.' ,

Après avoir . rapporté le jugement de ce géomètre illustre, sur les travaux de ses devanciers , tout en rendant hommage à son génie immortel , il faut oser le juger lui-même. On est forcé de convenir que , si la théorie des racines lui doit beaucoup , l'art de les trouver dans la pratique ne loi a pas les mêmes obligations , et que sa méthodq , la seule directe et rigoureuse jusqu’i lui , est néanmoins impraticable dans les degrés un peu élevés : il n'a pas rempli son objet , celai do trouver une méthode usuelle et assez facile pour pouvoir être enseignée dans les livres d^entbipétique, sauf à renvoyer les démonstrations è l’algèbre.

10. £n 1807 I M. Budan a publié une méthode nouvelle qu’il s cru propre è remplir le bot de Lagrange ; mais l’Institut n’a approuvé que U première partie de ton travail , qui est relative aux racines commensurables. Le grand écueil dans cette matière tient du mélange des racines imaginaires avec les. réelles, et la méibode*^ l’auteur devient embarrassée dans cette recherche : elle

cesse alors d'étre simple , directe et rigoureuse ; en un mot , la route qu’a suivi l’auteur dans son travail, d’ailleurs recommandable , ne parait pas encore être celle qui doit conduire au but désiré.

11. Cagnioli , dans sa Trigonométrie , Kramp ( Arithmitiijue unii>erseUe,etc.) , et Legendre ( Supplément à la théorie des nombres ) , ont aussi donné des méthodes ; mais elles ne para'issent pas non plus exemptes des défauts de celles qui ont précédé.

12. Après avoir long-temps travaillé sur cette matière , j’ai cm apercevoir des routes qui n’avaient pas encore été suivies ; je m’y suis engagé , encouragé par cette rellexion , que les découvertes utiles n'ont pas toujours été faites par les plus habiles , mais quelquefois par les plus heureux. J'ai , en effet , trouvé des méthodes qui m’ont paru assez importantes pour mériter d'être publiées. Je vais donner une analisc succincte du résultat de mes recherches , et du plan que j’ai suivi dans cet ouvrage.

1 3 . Dans le chapitre II, je fais voir comment la courbe appelée parabolique , retrace à l’œil toutes les propriétés d’une équation déterminée , les théorèmes sur les racines , et les changemens qui surviennent dans les signes de la proposée, quand on déplace l’origine des abscisses. Ce dernier point de vue qui pourra paraître nouveau , jette le plus grand jour sur la matière , et a été pour mol la source de plusieurs découvertes.

Je rapporte ensuite plusieurs règles pour trouver des limites des racines, pour déterminer les racines commcnsurablcs , ainsi que celles qui sont égales.

Après ces notions préliminaires , j’expoae , dans le chapitre III , une méthode nouvelle pour découvrir les racines incommensurables : elle est fondée d'une part sur les changemens qui surviennent , dans les var'iatlons des signes de la proposée , quand on déplace l’origine des abscisses : de l’autre , sur la conuaissancc préalable des limites des racines. Cette méthode peut être appelée Méthode des limites successives , ou encore , Méthode des changemens d'abscisses ; c’est en la comparant »uz autres procédés connus , que les géomètres

pourront l’appr^icr. Elle me parait être , L la fois , directe , rigoureuse , ourc , expéditive et facile.

Dans le chapitre IV, je donne des méthodes analitiqucs particulières aux 3.™* , 4*'"' et S.™* degrés; ainsi que des méthodes graphiques qui m’appartiennent, pour trouver les racines des S.™*, 4-'"* > 5."'' degrc's , par l'intersection d’une parabole invariable servant pour toutes les équations du même degré , avec un cercle ou une parabole variables , suivant les cocHiciens numériques de la proposée.

Dans le V.“* chapitre , je rappelle la balance algobiique que j'ai déjà publiée , au moyen de laquelle on trouve promptement et presque sans calculs les racines réelles des équations d’un degré quelconque ; mais j'ajoute des dct.-iils sur la manière d’exécuter cet instrument, ainsi qu’un procédé nouveau.

Le chapitre VI est consacré à déterminer les racines imaginaires des équations tant lillcrales que numériques. Ce problème a été traité par MM. de Gua , Lagrange cl Gauchi % xnixi , leurs solutions qui dépendent d’équations auxiliaires nombreuses et d'un degré cieré, sont si compliquées qu’elles deviennent impraticables. J’ai trouvé sur Celte matière un théorème simple et fécond qui , je crois , ne laisse plus rien à désirer sur cette matière ; puisque ce problème, si difficile , se trouve réduit à la dilhculté de celui qui est relatif à la détermination des racines égales. ,Te ne crains pas d'avancer que ce théorème est un pas important fait dans l’algèbre.

Enfin, dans le chapitre VII, je résous un autre problème qui fait suite au procèdent : celui de distinguer, dans une équation proposée , les nombres respectifs des racines réelles soit positives, soit négatives, sans en cennaitre les grandeurs. Ma solution , qui se tire du mémo principe que la précédente , a aussi la même simplicité , et complète ce sujet.

En finissant celle esquisse, qii’i) me soit permis de rendre hommage au génie de l’immortel Deseartes •. sa règle des signes joue le plus grand réle dans cet ouvrage. C’est un principe fécond qui , associe à quelques autres, donne la clef des questions les plus épineuses d'algèbr*.