MOTIONS PRELIMINAIRES

14 . 13edx voies se présentent pour découTrir les théorèmes relatifs aux racines : la i.'* consiste à considérer une équation comme un polynôme résultant du produit de plusieurs facteurs , et à raisonner d'une manière purement analitique , sur 1rs combinaisons de ces ' facteurs. Dans l'autre , on considère le premier membre d’une équation comme l’ordonnée d’une courbe du genre parabolique : cette courbe retrace A l’œil , d’une manière nette et facile , toutes les propriétés des équations.

Je ne décide point laquelle de ces deux méthodes est préférable : chacune d’elles a , sans doute , des avaniages particuliers ; mais la 3.™* m’a fait trouver des théorèmes qu'il eût été difHcile de lire dans des formules analitiques. L’art de découvrir des vérités mathématiques n’est y le plus souvent , comme en physique , que celui de bien observer. Quand une vérité est une fols reconnue par l'observation , il devient bien plus aisé de la démontrer par le calcul. Pour que Ifewton trouvât les lois du mouvement des planètes , il a fallu que Képler les eût observées.

i5. Soit X=o une équation déterminée dont l’Inconnue esta:; si l’on construit la courbe , appelée parabolique , dont l'équation est X=y , elle fournit les remarques suhanlcs :

I.* La courbe est composée , en général , d'ondulations dont les branches serpentent au-dessus et au-dessous de l’axe O des x , comme on le voit dans les figures a , 3 , 4 < ^ relatives aux équations des degrés a , 3 , 4 > ^ i

It* Si X est de degrd pair , la ctourbc ( Sg. a et 4 ) se termine par deux branches infinies qui se prolongent toutes deux au>dessus do l’axe des s. Si X est de degrë impair ( fig. 3 et 5 ) , l’une des branches se prolonge indéfiniment au-dessus de l’axe , et l’autre en dessous ;

3.” La courbe présente trois espèces de points remarquables ,

les points II, , R, , R, où la courbe rencontre l’axe

et qui détermine les racines de la proposée : en ces points on a y=o et jr=üR ; a.® les sommets S, , S, , S, où l’or-

donnée y devient un maximum ou un minimum ; les abscisses de CCS points sont , comme on sait , les racines de la première dérivée

de X=o ; 3.® les points I, , I, , I, où la courbure change

de signe; les abscisses de ces points d’inflexions sont les racines de la seconde dérivée de X=o.

4-® Si Taxe rencontre toutes les branches de la courbe , la proposée Xso a toutes ses racines réelles.

5. * Si t'axe ne rencontre aucune branche , ce qui ne peut arriver que quand X est de degré pair , la proposée n’a que des racines imaginaires ; d’où il suit que toute équation de degré impair a , an moins, une racine réelle de signe contraire à celui du terme connu.

6 . ° Il y a autant do couples d'imaginaires , qu'il y a de sommets pour lesquels l’ordonnée est un minimum ; c’est-à-dire qui tournent leur convexité vers l'axe. Celle remarque est de la plus grande importance pour la détermination des racines imaginaires.

7 . * Si l'axe touche la courbe dans un sommet , il y a deux racines égales dans la proposée.