II
1») tg a = Ig p.
g 18. Supposons maintenant, dans l'équation générale (6), G = 0, c'est-à-dire cos Y (tga + tgp) = 0, et d'abord nous admettrons que
tga
tg|3 = tg(7i — p), a = 71 — .3.
Il est facile de voir {fig. 18) que, dans de pareilles conditions, l'arête de zone est contenue dans un plan perpendiculaire au plan des axes optiques et passant par la bissectrice de l'angle obtus de ces axes ou normale optique, d'une part, par l'axe d'élasticité moyenne, de l'autre. L'équation (6) se réduit à :
Fig. 18.
(A + 2B)tg2a;+ (A + B) = 0.
Les racines sont évidemment imaginaires, car
A = 1 — sin^ytg^a, B = tg^a, A + B = l +tg2a(l — sin^Y), A + 2B = 1 + tg2a(2 — sin^Y).
Il n'y a donc ni maximum, ni minimum, du fait du polynôme (6); mais, pour
oj = ±^ [§ 3, équation (5)], on sait que — prend une vraie valeur égale à ± —, valeur
qui devient nulle avec G = 0; il y a donc là un point où la courbe en xy a sa tangente horizontale; cherchons en ce point le signe de la dérivée seconde pour déterminer si c'est un maximum ou un minimum.
— - de même signe que — —dx^ " ^ dx'^
A + B cos^a;
lisina?
rfR __ BDcos^a; — (2BD + AD) cosa; dx ~ D^sin^ic
-— - = - — ^-;— D2siii*a:[(2BD + AD)sina;— SBDcos'iTsina;]
— 2D«sma;cosa;[BDcos3a;— (2BD + AD)cosa;] .
Pour ^=ô' cosa7=0, sina; = l,
— -— est donc de même signe que — D (2B + A).
Or 2B + A = 1 + tg'a (1 + cos^y) > 0.
Il reste à chercher le signe de — D = — 2sinY tga.
Si donc on suppose a < (3, comme a + p = tc, a sera plus petit que ^ et tg a sera positive; — D sera donc négatif et nous aurons affaire à un maximum.
§ 19. Trad de la courbe en xy. — Pour G = 0, on a dans le cas le plus général :
valeur qui devient infinie pour a; = 0 et correspond par conséquent ky = 0.
Nous avons vu (§ 18) que la courbe croit ensuite jusqu'à a? = - qui correspond à un
maximum, dont la valeur est la suivante :
\ sin*Yt*'''ûc
(21) cotg 2yr.= ' ^ , d'où tgy. = sin y tga,
2 zsmytga 2
valeur qu'on aurait pu d'ailleurs calculer directement.
En changeant a; en 7t — a;, dans l'équation (20), on voit que cotg 2y ne change pas de valeur; les droites
servent donc d'axes de symétrie à la courbe; en changeant a; en — x,y change simplement de signe; les points y = 0, x = 2n- servent donc de centres à la courbe.
S 20. Il se présente pour tga = — tgp, un cas limite analogue à celui qui a été traité dans le § 8.
Lorsque a = - = p, c'est-à-dire lorsque Varête de zone se confond avec Vaxe d'élasticité
moyenne, on a :
— + tga(cos«a;— sin*V)
cotg 2y = — —-. :
^ ^ 2sina?sinV
car alors y = V; et comme tga = oo , cotg2y est également infinie pour toutes les valeurs
de x; y est égal à 0" ou à -, excepté pour a? = - :+: V, auquel cas il y ^ indétermination.
Les différentes déductions des §§ 8, 9 et 10 s'appliquent pour ainsi dire textuellement au cas présent : dans la recherche de la courbe enveloppe des courbes en xy, nous choisirons pour inconnue auxiliaire
jS = tgî/« — sinytga,
/r>«> cosV (22 COSy = -: .
' sina
On peut retrouver et vérifier ces deux équations {^g. 18) par la considération du triangle complémentaire au triangle Z&A, dans lequel
6Z==^, AZ==a, 6A = V, angle&ZA = y.
On en déduit les valeurs suivantes de tga et de siny en fonction de -^ et de V:
z^' + cos^V
tff^œ =:
sin^Y =
sin^V
^^sin^V
i?2 + cos2V
En substituant ces valeurs à a et y dans l'équation générale ^ ^ 1 + tg^aTcos^a; — sin^y)
COtg 2 y 3» -- — ~-r^ —. i^,
2sina;tgasiny nous obtiendrons :
. - cos^a; — sin^V 1 1 — sin^a^cos^V „ N"
COtg 2y = z —— : — -\ : ; = Mz-\
"" -^ 2sma;sin2V z 2sina;sin2V z
Appelons Y les ordonnées de la courbe-enveloppe cherchée et éliminons z entre la précédente équation et la dérivée, par rapport à z, de son second membre» égalée à 0 ; nous aurons :
cotg2Y = 2V'MN, d'où enfin :
, COtg 2 Y = ■ ,,, . — v/cos^a; — sin^ V V^l — sin^a; cos^ V. Sin^Vsino? *
Cette équation montre que, pour les valeurs de tgyit positives, et de x comprises
entre 0 et^^ cotg 2 Y ne prend pas de valeurs négatives; de plus, on voit Y devenir imaginaire pour des valeurs de x supérieures à - — V, et pour a; = - — V, on a Y = -•
Cherchons la tangente en ce point; représentons par P^, Q» les deux radicaux, et remarquons que, pour ce point spécial, P = 0 et P' ^0.
d(cotg2Y)
dx 2sin2Vsina7
.Ql=oo.
Comme cotg 2 Y est nulle, -r-doit être également infini et la tangente à la courbe
ax
en Y est verticale en ce point.
Pour a; = 0, cotg 2Y =» , Y = 0.
Cherchons également la tangente à la courbe en ce point :
tg 2 Y = sin a; sin* V P"^ Q"î-
dY lrf(tg2Y)
On sait que
Pour a; = 0 V-\ Q-\ = d'où l'on conclut que
cosV'
,i + tg2 2Y;'
P'=0, Q=0, tg2Y = 0 et
d(tg2Y) sin*V
dx
cosV
dY
dx
Isin'V 1, ,, . ,, - — - =-tgVsinV.
2 cosV 2 **
§ 21. Les données qui précèdent permettent de construire les courbes en xy dans le cas où l'arête de zone est dans le plan contenant l'axe d'élasticité moyenne et la normale optique; notons qu'ici l'angle x représente l'angle fait par le plan de la section avec un plan
originaire contenant l'arête de zone et la bissectrice; pour ^ = x,
la section coïncide avec le plan principal qui contient l'axe d'élasticité moyenne et la normale optique; il est préférable de prendre ce plan comme origine et, par conséquent, de
ce
Fig. 19.
changer a; en a; + -dans ce qui précède {fig. 19).
§ 22. Supposons toujours C = 0 ou cos y (tg a + tgp) = 0. Mais admettons maintenant 2» Cos y = 0. que cos Y est nul, ou que y est égal à-, c'est-à-dire 2y à x.
L'arête de zone est alors contenue dans le plan des axes optiques, comme § 12, mais elle est comprise dans le plus petit angle fait par les axes optiques entre eux. Comme précédemment, l'équation (6) se réduit à
(A+2B)tg2a; + (A+B) = 0.
Ici A = l+tgatgp, A + B=l,
B = — tgatgp, A + 2B = 1 — tgatgp.
A + B est donc toujours positif, et il est facile de voir que A + 2B est dans le même cas :
l-tgatgp>0, tga<tg^^-p).
Or cette inégalité est toujours vraie dans l'espèce, car visiblement
II n'y a donc ni maximum, ni minimum pour y du fait de l'équation (6); mais la
vraie valeur de ° pour x = '^, qui est — [§ 3, équation (5)], s'annulera avec C;
la courbe en y aura donc en ce point sa tangente horizontale; d'ailleurs la valeur de y^ sera donnée par l'équation
. « A 1 + tgatgS ^, , a — S
d^u Le signe de —~ sera pour ce point le même que celui de — D(A + 2B), conformé-
ment au § 18; nous venons de voir que A + 2B est toujours positif; reste à considérer le signe de — D = tg(3 — tga; si donc on aa>!3, y est maximum. Pour a<p, ^ serait minimum. Dans le premier cas, y^ est positif, et dans le second yr. est négatif.
§ 23. Construisons maintenant la courbe en xy, en supposant p> a.
Pour X = 0, y = Q; le plan de section coïncide avec un plan passant par l'arête de zone et l'axe d'élasticité moyenne; quand a? croit, y devient négatif et passe par un minimum pour a? = -; à ce moment y est égal à
puis conformément aux conclusions du § 19, qui sont également applicables ici, la courbe
se reproduit symétriquemenfpar rapport à la droite i» = ô- ^^^ droites a; = (2n + 1) -sont
en eflFet des axes de symétrie, et les points y = 0, x = 2n-, des centres.
Pour rendre aux x une origine commune avec celle que nous leur avons assignée § 12, lorsque, sin y étant nul, l'arête de zone est située dans le plan des axes optiques; mais, en dehors de leur plus petit angle, il nous faut faire partir le plan, qui décrit la zone, du plan des axes optiques, c'est-à-dire reculer ou avancer l'origine des abscisses
d'une valeur égale à |; si l'on se reporte à la fig. 16, on verra que, pour cette nou-
velle origine, y doit être positif; il convient donc de reculer ici l'origine des abscisses; l'ordonnée correspondant à cette nouvelle origine correspondra à un maximum et oscillera entre 0° et V ; car sa valeur est Y — a, et comme a + p = 2V, pour satisfaire à l'inégalité ^ > a, il convient de faire varier a entre V et 0° [fig. 20).
TV
gi
Éf=
Fig. 20.
Les calculs qui précèdent permettent d'aborder le problème de l'extinction d'une série de sections, lorsque ces sections appartiennent à une zone dont l'arête est située dans un des plans principaux d'élasticité de la substance considérée. Nous avons rapproché {fig. 8) l'une de l'autre les fig. 15, 16, 17, 19 et 20; et il résulte des différentes données, résumées dans ce croquis, que les diverses extinctions, présentées par des sections appartenant à une même zone, peuvent varier dans des limites extrêmement étendues, suivant la position de l'arête de zone et celle des axes optiques du minéral considéré; il ne suffit donc pas de connaître les extinctions de deux faces principales de la zone pour en induire celle d'une section intermédiaire ; car, d'une part, il y a de nombreux cas où la valeur de l'angle d'extinction passe par un maximum, et d'autre part, souvent le point de départ (plan principal d'élasticité) est séparé du point d'arrivée (plan contenant l'arête de zone et le troisième axe d'élasticité) par des extinctions distantes de plus de /i5°, lorsqu'on les rapporte à la direction constante de l'arête de zone.
§ 1h. Extinctions rapportées aux traces des plans de clivage facile. — Jusqu'à présent on a calculé l'angle d'extinction pour une zone donnée, à partir de l'arête de zone; il est souvent plus pratique de chercher à le rapporter à la trace d'un plan de clivage facile sur les diverses sections considérées, ce qui revient : 1°) à chercher la courbe des angles y formés par la trace du pian de clivage fixe sur le plan mobile de la zone, avec l'arête de zone ; 2°) à ajouter cette nouvelle courbe en xy sur les diagrammes précédents, en l'orien-
tant convenablement; 3° à ne plus considérer que la somme ou la différence des ordonnées.
Supposons, comme plus haut, que l'arête de zone soit verticale et se projette en Z; soient ZP {fig. 21) l'origine des angles a;; MRSN un plan quelconque, déterminé par l'angle que fait S avec lui par l'arête de zone, et par l'angle e du plan perpendiculaire au plan donné et passant par l'arête de zone, avec l'origine des x. ■=■ ■ Considérons un plan quelconque x de la zone; appelons 0 le centre
de la sphère; il s'agit de calculer l'angle de la droite OS avec OZ, soit dans le triangle
sphérique rectangle SRZ le côté SZ, étant connus le côté 8 de l'angle droit et l'angle
adjacent à l'hypoténuse R Z S = e — a;.
(26) tgy =
^r. .,dy , . sin(e — a;)
On en déduit -^ t= — tgrV
cos(e — x)'
dx ° tg2^ + cos2(£— a;)
On voit qu'il y a maximum ou minimum de y pour a; = e ; —r— est visiblement de
dx^
même signe que tg^; on en déduit que x = t correspond à un maximum de y, si ^< -,
et à un minimum, si 5> -; d'ailleurs une des valeurs de ce maximum ou de ce minimum
est y = ^\ on peut remarquer d'une façon générale que si y^ est une des ordonnées de la courbe, y^ùini^ sera la valeur générale, pour une même abscisse; tandis que la valeur
générale, pour les courbes d'extinction précédemment étudiées, serait y^±.n-. Cette
observation aura son application lorsqu'il s'agira de combiner les courbes en xy entre elles.
Construisons maintenant la courbe en question : pour ce = 0, tgij = -5- ; puis la
courbe croit ou décroît suivant que l est plus ou moins grand que|; nous avons vu que
a; = e correspondait à ce maximum ou ce minimum pour lequel y est précisément égal à ^.
Pour a.= -, tgyp^-^^.
Pour a; = - + s, 1/ = -; et en ce point la tangente à la courbe est donnée par la valeur
dy d
On peut remarquer que, en changeant x en -k + x, on trouve pour y des valeurs égales à tt diminué des ordonnées correspondant à a?; la seconde portion de la courbe, à partir de x —-n, est donc superposable à la première, par une simple rotation de 180°
autour de la droite y = -. De plus, en transportant l'origine des abscisses en a; = s, y = 0, on voit que la courbe est symétrique par rapport au nouvel axe des y et à tous ceux qui se succèdent à des distances de tî {fig. 22).
---iC- +
Fig. 22.
DB
