PREMIER GROUPE CRISTALLIN

Octaèdre régulier, cube, etc.

g 29. Caractère» phyln***,— Parmi tous les octaèdres que peuvent présenter les corps bruts, il en est un qui possède la propriété d'avoir toujours toutes l'es parties de même nom modifiées à la fois de la même manière^ c'est-à-dire :

1° Que toutes les arêtes de ce solide fig, 124, sont modifiées à la fois par une seule face ou par deux, fig. 125 ou 126;

2° Que tous les angles solides sont remplacés à la fois, tantôt par une facette, fig. 127, tantôt par quatre, tournées vers les faces, fig. 128, ou vers les arêtes, fig. 129, et enfin par huit. #

Le parallélipipède qui se rattache à cette espèce d'octaèdre, fig. 150, présente des propriétés corrélatives : les arêtes se modifient toutes, à la fois, par une seule face ou par deux, fig. 131, 152; tous les angles solides sont aussi modifiés à la fois, par une face, fig. 155, ou par trois, fig. 154, 155, ou enfin par six.

C'est par suite de ces propriétés que se forment tous les solides, dont nous avons montré la production, g§ 14 et 15, fig. 6 à 53, et jamais aucun de ceux qui viennent ensuite:

§ 50. Caractère» *éomé4ri«i«e». — La mesure des angles dièdres fait voir que l'octaèdre a toutes ses faces élément inclinées entre elles, et de 109° 28' 16*. Le parallélipipèdatorrespondant a toutes ses faces inclinées entre elles de 90°.

Dans les diverses modifications, chacune des nouvelles facettes s'incline du même nomhre de degrés sur les faces adjacentes du solide qu'elles modifient.

Ces observations conduisent à d'autres caractères, qui ont sur les premiers l'avantage de la brièveté et de la netteté. On en déduit :

1° Que le tétraèdre qu'on peut rencontrer dans ce groupe est le tétraèdre régulier de la géométrie, formé de quatre faces triangulaires équilatérales inclinées entre elles de 70° 51' 44";

2° Que l'octaèdre est Y octaèdre régulier, à huit faces triangu* laires équilatérales, inclinées de 1 09° 28' 16";

5° Que le parallélipipède qui s'y trouve est le cube, composé de six faces carrées.

g 51. Il n'est pas inutile de donner quelques explications relatives à ces résultats. !• Tétraèdre. — Un angle dièdre se mesure par les perpendiculaires menées dans les deux plans qui le forment, à un même point de l'arête de jonction. Aimi, se, fig. 136, étant perpendiculaire a la base du solide êbc*i cb perpendiculaires à l'arête l'angle acb mesurera l'inclinaison des deux plans. De même* êàe y §fc, seront les angles dièdres des autres plans.

Maintenant l'observation montre que le tétraèdre de ce groupe a toutes ses faces également inclinées entre elles; donc tous les triangles «es, aed % êcf, sont égaux, et par conséquent les lignes es, c4 s ef % de même grandeur ; donc aussi le point c, projection du sommet, se trouve a égale dislance des trois côtés. On conclut de ces données que les traces des faces sur le plan horizontal, qui ne •<ont autre chose que les côtés de la base de la pyramide, font aussi entre elles des angles égaux ; donc cette base est un triangle équilatéral ; donc aussi les projections cg, ci, ck, des arêtes, sont égales, et par suite ces arêtes elles-mêmes.

Les mêmes conséquences ayant lieu, quelle que soit celle des faces du solide qu'on prend pour base, il en résulte qu'elles présentent toutes des triangles équilatéraux et égaux.

2*0ctaèdre. — Toutes les faces de l'une des pyramides étant également inclinées sur celles de l'autre, si l'on suppose un plan par les arêtes bd, de, fig. 124, on détachera une pyramide, Çg. 137, dont les quatre faces sont également inclinées à la base, ce qui place la projection c du sommet à égale distance des quatre côtés.

Cela posé, les faces culminantes étant toutes également inclinées entre elles, leurs traces, qui sont les côtés de la base, font aussi entre efrs des angles égaux et conséquemmeut droits; et, comme ces côtés sont à égaleVstance du point c, la base est un carré. De là il suit que les projections cb, cd, ce y cf y des arêtes culminantes, sont égales, et par conséquent ces arêtes elles-mêmes.

Maintenant, puisque toutes les faces sont également inclinées entre elles, si l'on prend pour sommet de l'octaèdre un angle quelconque, on arrivera au même résultat et l'on conclura que toutes les arêtes sont égales ; donc toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux, ce qui est le caractère de l'octaèdre régulier. 3* P a r a 1 1 è 1 i p i p c d c.— Toutes les faces étant à angle droit, le solide est rectan • gulaire et droit; mais les faees qui le produisent sur l'octaèdre, iig. 138, étant également inclinées sur les faces adjacentes, il en. résulte qu'en se réunissant en a, fig. 139, elles sont toutes également inclinées sur la diagonale ab. Donc, si Ton fait passer un plan par les trois points 6, 4, c, ou détachera une sorte de tétraèdre dont toutes les faces seront également inx c çlinées à la base, où la projection du sommet se trou-

vera au (Aire, où la base sera un triangle équilatéral, où les arêtes culminantes seront égales (voy. ci-dessus !•);• donc ce parallélépipède est un cube.

DEUXIÈME GROUPE CRISTALLIPÎ.

Octaèdres et prismes à bases carrées.

g 32. Caractère* physiques .— Certains octaèdres, fig. 140, au lieu d'être modifiés à la fois sur toutes les arêtes, ne le sont souvent que sur les arêtes latérales, fig. 141, 142, ou sur celles du sommet, fig. 143 ou 144, par une face ou par deux.

Sur les angles il se fait aussi isolément diverses modifications au sommet, fig. 145 à 147, par une face ou par quatre; il s'en fait de même isolément sur les angles latéraux, fig. 148, 449, et, quand alors les facettes sont tournées vers les arêtes, fig. 150, 451, elles ne vont que deux à deux.

Un parai lélipipède de ce groupe, fig. 152, se modifie isolément sur les arêtes latérales, fig. 1 53, ce qui donne lieu au parallélipipède inverse, fig. 154, ou bien sur les arêtes des bases, fig. 155. Sur les angles il se modifie par une face, fig. 156, ou par deux, fig. 157; jamais essentiellement par trois, comme il arrive dans le premier groupe.

Par suite de ces propriétés, il existe dans ce groupe diverses sortes d'octaèdres directs ou inverses, deux parallélipipèdes inverses, des prismes et des pyramides octogones, enfin tous les solides dont nous avons indiqué la production, § 16 à 18.

ÊTtDE DES CRISTAUX.