GROUPES CRISTALLINS

g 53. Caraetèroi géai éêrigam . — Aucun des octaèdres de ce groupe ne présente entre ses faces l'égalité d'inclinaison qui caractérise l'octaèdre régulier. Autour de deux sommets, a et g, fig. 140, les quatre faces culminantes sont bien également inclinées entre elles, mais d'un sommet sur l'autre les angles sont différents, quoique aussi tous égaux entre eux.

Les modifications sur les parties de même nom ne sont pas non plus toutes également inclinées sur les faces adjacentes. Les facettes a, fig. 141, s'inclinent également sur les faces voisines et sous un certain angle; mais les facettes b, fig. 143, font avec ces mêmes faces un angle différent. Il en est de même des facettes c, fig. 145, comparées aux facettes d, fig. 148.

Dans le parallélipipède, chaque facette latérale f, fig. 1 53, s'ineline également sur les faces voisines, et toutes de la même manière; les facettes i, fig. 155, s'inclinent inégalement sur la base et sur les pans, mais toutes de même. Aux angles solides, chaque facette k f fig. 156, s'incline également sur les deux (aces latérales, mais autrement sur la base.

De là il suit que les octaèdres sont ici à base carrée; les arêtes culminantes sont égales, d'une certaine longueur et celles de la base d'une longueur différente. Les parallélépipèdes ont toutes leurs faces à angle-droit, mais les bases sont des carrés et les pans des rectangles; ce sont des prismes à bases carrées.

g 34. Ces résultats ne sont en quelque sorte que les conséquences des raisonnements précédents, g 31, combinés avec les données particulières que fournissenMes formes du groupe actuel.

Dans l'octaèdre, lig. 140, en prenant ag pour axe, on conclut de l égalité d'inclinaison des faees d'une pyramide sur l'autre, que la projection du sommet est au centre de la base commune (§ 31,2*). De là, et de l'égalité d'inclinaison des faces culminantes entre elles, on conclut que la base est un carré, et que dès lors les arêtes qui concourent aux sommets a et g sont égales.

Les choses ne se passent pas de môme sur un autre sommet b : la pyramide, qu'on peut détachei, fig. 158, a bien ses quatre faces également inclinées à la base, mais non entre elles. 11 y a un certain angle de nbd sur bgd, et un autre sur les faces en retour; par conséquent les angles que forment entre elles les arêtes de la base ne sont pas égaux. L'angle en d, et son opposé en f, sont d'une valeur, et les angles en a et g d'une autre; d'où il suit que la hase est un rhombe, car les arêtes sont égales, d'après la première observation. De là inégalité dans les projections ca, ed des arêtes ab y bd et p. r r conséquent dans ces arêtes mêmes.

O/iant aux prismes, leur nature résulte de leur pro-

duction sur l'octaèdre à basé carrée. L'on deux se forme de la réunion des modifications, fig. 145 et 148, cToù résulte le polyèdre, fig. 159. Or les facettes a sont toutes inclinées également et d'un certain angle sur les faces adjacentes, et la facette b est inclinée sous un autre angle; donc, quand elles se réunissent pour former l'angle solide c du parallélipipède, iig. 160, les faces latérales sont toutes deux inclinées à Taxe ci d'une certaine manière, et la buso est inclinée autrement.

11 résulte de la que, dans le tétraèdre qu'on pourrait détacher en faisant passer un plan par e, £ #, la projection du sommet serait à égale distance des côtés cf, gf, et à une distance différente de eu. La base serait donc un triangle isocèle, et les projections des arêtes cg, ce, seraient égales, tandis que la projection de cf serait différente. Cela montre l'égalité des deux premières arêtes, et la différence de la troisième. La base est donc un carré, cl les faces latérales des rectangles.

On trouverait le même résultat pour le prisme inverse, qui se produit sur l'octaèdre inverse de la même manière que le précédent.