TROISIÈME GROUPE CRISTALLIN

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Octaèdres et prismes droits, rectangulaires ou rhomboïdaux.

§ 35. Caractère» phyciqaeo. — Il y a des octaèdres, fig. 161, qui ne se modifient pas même essentiellement sur toutes les arêtes latérales à la fois. Il n'y en a souvent que deux de modifiées, tantôt par une face, fig. 162 ou 163, tantôt par deux.

Souvent aussi il n'y a que deux facettes au sommet, fig. 164 ou 165, au lieu de quatre, comme précédemment, fig. 146, g 32.

Les octaèdres inverses, fig. 166, se conduisent autrement : les quatre arêtes latérales se modifient toujours ensemble, fig. 167; mais il n'y a souvent que la moitié des arêtes culminantes de modifiées, par exemple fig. 168, et il en est de même des angles latéraux, par exemple fig. 169.

Les parallélipipèdes ont aussi des caractères particuliers l'un, direct, fig. 170, peut être modifié à la fois sur toutes les arêtes latérales, fig. 171; l'autre, inverse du premier, fig. 172, ne se modifie souvent que sur la moitié de ces arêtes, fig. 173, d'où résulte un prisme hexagone.

Le parallélipipède direct ne se modifie souvent que sur la moitié des arêtes des bases, fig. 174 ou 175, en donnant des parallélipipèdes renversés. L'autre se modifie sur toutes les arêtes, fig. 176; mais en revanche il n'a souvent que la moitié des angles solides modifiés, fig. 177 ou 178, tandis que dans le premier tous les angles se modifient à la fois.

C'est de ces propriétés que résultent les octaèdres particuliers»

ÊTtJDE DES CRISTAUX. — GROUPES CRISTALLINS.

les prismes et les pyramides hexagones, etc., que nous avons vus §§ 19 à 21, ce qui n'empêche pas beaucoup de formes plus ou moins analogues en apparence à celles du groupe précédent.

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g36.c«raetères céraéiriqpiea— - Certains octaèdres de ce groupe sont tellement constitués, que les faces m et n, fig. 161, s'inclinent entre elles sous un certain angle, et les faces o et p sous un autre; mais vers un même sommet les quatre faces font toutes entre elles le même angle. Les facettes modifiantes a et b, fig. 162 et 163, s'inclinent chacune également sur les deux faces adjacentes; mais Tune soos un certain angle, l'autre sous un angle différent.

L'un des parallélipipèdes, fig. 170, est rectangulaire; mais l'autre, fig. 172, présente deux sortes d'angles entre ses pans. Dans le premier, une facette placée sur une arête latérale et inégalement inclinée sur les faces adjacentes; dans l'autre, ces inclinaisons sont égales, mais d'un certain angle pour deux facettes opposées, et d'un angle différent pour les deux autres, etc. * Dans les octaèdres inverses, fig. 166, les faces d'un sommet sont également inclinées sur celles du second; mais vers un même sommet les faces présentent deux sortes d'inclinaisons mutuelles : lune de m sur o, l'autre de m ou de o sur la face de retour.

D suit de ces données que les octaèdres directs sont à base rectangle, les octaèdres inverses à base rhombe, et que des deux prismes, l'un est à base rectangulaire, l'autre à base rhombe. Les deux parallélipipèdes â axe renversé sont aussi à base rhombe.

g 37. 11 nous suffira de quelques observations pour démontrer ces résultats. 1' Dans l'octaèdre rectangulaire, fig. 161, il résulte des deux sortes d'inclinaisons des faces culminantes sur la base commune que la projection du sommet est à égale distance de deux des arêtes de cette base, età une distance différente des deux autres ; donc la base a les côtés inégaux (voy. § 51, %*).

D'un autre côté, les faces culminantes étant également inclinées entre elles, les quatre angles de la base sont égaux, et par conséquent droits; donc la base est un rectangle : mais alors les demi-diagonales sont égales, donc les arêtes culminantes dont elles sont les projections le sont aussi.

2* Les caractères de l'octaèdre, fig. 166, sont précisément ceux de la pyramide que nous avons considérée g 34, et c'est en raisonnant de même qu'on voit ici que la base est un rbombe et qu'il y a deux sortes d'arêtes à chaque sommet, arêtes qui ne sont pas les mêmes que celles de la base commune. 3* Le premier de nos parallélipipèdes résulte de la modification du sommet réunie à celle des angles latéraux dans l'octaèdre à base rhombe, comme fig. 179. Or chacune des faces a, b, c, s'incline d'une manière différente sur la face adjacente de l'octaèdre; donc, en se réunissant pour former l'angle solide d, fig. 180, elles se trouvent inégalement inclinées sur Taxe *lf. 11 en résulte que dans le tétraèdre qu'on pourrait détacher en faisant passer un plan par e, g, A, la projection du sommet serait a des distances inégales des trois côtés de la base; les projections des arêtes culminantes seraient toutes trois inégales, et, par conséquent, ces arêtes ellesmêmes; donc le solide rectangulaire a ses trois dimensions inégales. 4* L'autre parallélipipède provient de la modification de l'octaèdre rectangulaire sur ses six angles solides, fig. 181. Or les faces b font toutes deux le même angle avec c % et la face a fait un angle différent : donc, en se réunissant pour former l'angle i du parallélipipède, fig. 182, les faces ' latérales font des angles égaux avec la diagonale ik y et la base fait un angle différent. On conclut de là, comme g 34, que les deux arêtes des bases sont égales, et l'arête latérale différente. Mais, comme ici les faces latérales ne sont pas à angle droit l'une sur l'autre, là base est un rhombe au lieu d'un carré.