Chapitre

tion l'une dans l'autre de deux intégrales elliptiques de première espèce.

Nous donnons cet aperçu, si incomplet qu'il peut paraître inexact, pour montrer seulement comment ces travaux découlent deceux qu'Abel fit dans sa jeunesse, depuis l'époque oti il remettait à rUnivcrsité de Christiana un Mémoire sur l'intégration, jusqu'à celle où il rédigeait le Mémoire de Paris. Dans cette section du Précis, on trouverait facilement une place oti intercaler le Mémoire de Freiberg.

Dans une seconde section, Abel traite alors de la transformation. Là, pour la première fois, il le fait sans uscrde l'inversion; mais la méthode est, malgré cela, identique à celle du Mémoire (( Solution. . . » envoyé à Schumacher, peur la première exécution de Jacobi. Elle se ramène à la recherche des racines en x de la fonction de transformation^ := ?(-^)«

Ces racines se rangent en cycles, et les équations se traitent comme des équations Abéliennes. Ces travaux correspondent à ceux qui furent effectués à Paris, puis à Christiania jusqu'au début de 1828. Remarquons, qu'à propos de ces équations, Abcl parle des équations modulaires, mais n'indique pas encore leurs propriétés fondamentales, ce qu'il fera plus tard. N'y a-t-il pas là une preuve assez étrange de l'ordre quasi historique suivant lequel sont rangées ses recherches?

Avec un chapitre non achevé sur la transformation par rapport au module, se termine la partie rédigée du Précis. Pour connaître la suite qui sera l'étude de la fonction inverse, nous devrons nous en tenir aux indications de {'Introduction.

Malheureusement, ces indications se bornent presque exclusivement à une nomenclature des propriétés de la fonction in-

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1 14 Chapitre III.

/et ^ le moyen employé par Abel pour étendre ses résultats aux quantités imaginaires?

Abel aurait donc démontré ici non seulement la convergence de toutes les séries trouvées dans ses Recherches, mais aussi la qualité d'uniformité de la fonction inverse. Ces études sont-elles, d'ailleurs, absolument nouvelles? Non; elles se rattachent à d'autres fort anciennes, l'étude sur la série du binôme et les nombreux travaux faits, pour la plupart, suivant les méthodes de Cauchy, sur les séries et sur les imaginaires. Souvent dans ses lettres il est question de ces travaux ; mais, comme Abel ne les a pas rédigés, nous n'avons pas eu à nous en occuper. Leur importance était masquée par la part prépondérante qu'a prise, depuis le séjour à Paris, la théorie des équations.

Cette prépondérance était appelée à disparaître; il faut remarquer, en effet, qu'en cette fin d'année 1828 Abel avait résolu presque complètement le problème qu'il s'était posé sur la résolution algébrique des équations. Dans le Mémoire inachevé sur ce sujet, il dit avoir trouvé le critérium permettant de reconnaître si une équation est résoluble algébriquement; l'application serait, il est vrai, fort longue, mais qu'importe pour la théorie? Il a, de plus, trouvé la forme des racines algébriques; enfin, il a prolongé ses travaux sur les équations abéliennes, et, dans une note du 18 octobre 1828, il communique à Crelle cet énoncé :

a Si trois racines d'une équation quelconque irréductible, dont le degré est un nombre premier, sont liées entre elles de sorte que l'une de ces racines peut être exprimée rationnellement par les deux autres, l'équation en question sera toujours résoluble par radicaux. »

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1 1 6 C'iapitre III.

seigne sur les pensées profondes de Tauteur; elle est, chez Abel plus que chez tout autre, l'expression spontanée des préoccupations d'un moment. Peut-être cela est-il moins vrai pour celle-ci que pour toutes celles dont nous avons lu des fragments; Abel en fit, en effet, un brouillon (que Ton peut voir sur un de ses cahiers), mais elle conserve, malgré ce travail préliminaire, un caractère de spontanéité que ne saurait avoir le texte que nous avons étudié.

Cette lettre est une énumération de théorèmes déjà, pour la plupart, énoncés dans le Précis. Certains se trouvent ici plus développés que dans V Introduction ; il faut noter entre autres ceux qui concernent les fonctions /" et 9 dont nous avons parlé. De plus, il n'est pas question ici de la théorie des équations; dans la dernière phrase de sa lettre, Abel rappelle seulement qu'il s'en est occupé.

Enfin, nous trouvons ici des théorèmes qui n'avaient pas été énoncés encore, celui-cf entre autres :

Si l'on peut exprimer une fonction dont la différentielle est algébrique de la manière suivante

ydxz=i fonction algébrique de [jc, logM,, • • -, 4'i(^i)- • -li

Ml, V,, ... étant des fonctions algébriques de x^ on peut toujours écrire

J'dx:=it-h^Aklcgt,.-h^Be^(re],

^ représentant une fonction elliptique,

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A/„ . . . , Bg étant des constantes.

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ii8 Chapitre II l.

se sait compris; il a connu, par Crelle, les opinions élogieuses de Gauss(17); voici qu'il reçoit directement des témoignages d'admiration. Le plus précieux est la réponse du vieux Legendre à la lettre qu'Abel eut Taudace d'écrire en septembre.

« La fin de votre lettre, dit le géomètre, me confond par la

généralité de vos recherches Quelle tête que celle d'un jeune

Norvégien!.... », et il cite cette phrase de Jacobi à propos de l'étude sur la transformation : « Elle est au-dessus de mes éloges comme elle est au-dessus de mes travaux. »

Spectacle touchant que la joie d'Abel recevant les éloges d'un savant qui ne peut pourtant lui être comparé ! Avec quel orgueil enfantin il l'exprime à ses amis. H écrit à M™* Hansteen, qui n'est pas auprès de lui pour partager son bonheur :

tt Je me suis senti récemment fort orgueilleux à

propos de quelques lettres reçues de l'étranger. Je vais vous en citer quelques passages, parce que vous savez bien que ce n^est

pas pour faire le fier Jacobi a dit, dans une lettre à Crelle :

a Je tiens cet Ouvrage de M. Abel comme un des plus beaux » chefs-d'œuvre des Mathématiques » Le célèbre mathématicien Legendre m'a répondu il y a quelques jours par une lettre extrêmement flatteuse. Je vais en citer quelques phrases. »

Abel copie la moitié de la lettre.

« Pour être tout à fait véridique, ajoute-t-il, j'ai cité ce qui précède en partie pour me faire un peu valoir et, en partie, parce que je crois que cela vous fera un peu plaisir, excellente madame Hansteen, de voir quel succès j'obtiens, puisque vous prenez tant de part à tout ce qui m'arrive »

Quelques jours après, Abel écrit à Legendre : c'est la lettre dont nous avons parlé plus haut :

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