Chapitre III

traite des fonctions elliptiques en tant qu*intégrales indéfinies (c'est-à-dire des fonctions de Legendre); la deuxième traite de la fonction inverse, et Tétude est limitée au cas des modules réels et moindres que i.

La question résolue dans la première Partie est celle-ci :

A quelles conditions une relation linéaire à coefficients constants entre des intégrales elliptiques peut-elle être exprimable par une fonction algébrique et logarithmique?

Suivant une méthode qui lui est habituelle, Abel se pose d'abord un problème plus général :

Quelle forme a l'intégrale d' une fonction algébrique, quand on la suppose exprimable en fonctions algébriques, logarith^ miques et elliptiques de fonctions algébriques des variables ?

On reconnaît là l'extension d'une question qu'Abel a traitée autrefois; nous avons vu que, en ne considérant pas encore les fonctions elliptiques, le résultat était exprimé par l'égalité suivante

(ri d^X +^2 dx^-^,,,]=zU-\-I.hk logVAr,

u et P/e étant des fonctions rationnelles de .Vi, x^^ ... et de y^yti . . . ; A^. étant constant.

La démonstration extrêmement simple repose sur la considération d'une quantité accessoire (quantité appelée plus tard Résolvante de Galois, on sait qu'Abel Ta déjà employée).

Pour étendre le résultat au cas des fonctions elliptiques, il suffit d'ajouter au second membre un terme

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