TRANSCENDANTES

Théorème. — Soit y une fonction de .r qui satisfait à une équation irréductible de la forme

oixpo^ Px^ p^y . . . , pn^i sont des fonctions entières de la variable i:. Soit

une équation semblable, ^0, ?i, ^2> • • -i ^«-i étant également des fonctions entières de x^ et supposons variables les coefficients des diverses puissances de x dans ces fonctions. Nous désignerons ces coefficients par a, a' ^ a", .... En vertu des deux équations (i) et (2), X sera fonction de a, a\ a\ . . ., et Ton en déterminera les valeurs en éliminant la quantité^. Désignons par

le résultat de l'élimination, en sorte que p ne contiendra que les

variables x, a, a', a!\ Soit /x le degré de cette équation par

rapport à jc, et désignons par

ses {JL racines, qui seront autant de fonctions de a, a', a!\ Cela

'^^=jf\''^J']dx,

°^f{^,Jf^) Jésigne une fonction rationnelle <3 udej-, ,e dis que la fonction transcendante <\>x- f< Pneté générale e,cprimée par l'équation su i va o tr-e

(6) 4'-^! -f- ^-^2 -»- - - .-+-<|;Arp,

«, v„ v^, . . . , x/,, ^f«"^ '*"^°"«ions rationnelles cj-

, ^.jm i ^^^ de la pro-

Ar,^ des constantes.

Démons tr^atrzc^rz • l^our prouver ce thé '

primer la differ-enrîeile ciu premier membre d fonction de ^, ^% ^^'', - - - ; car il se réduira pg^ ^^"^ ^-» tielle rationnelle, cromme on le verra. D'abo^d^ ^ " ^:t tions fî) et ( :z ) dortncroi^t ^ en fonction ratio ^^ ^^ < .... De même i'ecjuation f3j p :^o donn'^'^^^^^

^\ .... De même i'ecji

expression de ia fox-me

a' da'

donnera

ex-

^qua-

Une

ù^,a'.a'' . . . sonr des fonctions rationnelles de ^

e là il suit cjLze /^ ci i/Té^en tielle /(..,^j ^^ ^^J-^^^,

"s Jâ forme

ise

- — - c^jxr ci^

'^xX da'

f<y n étions rationnelles de jc ^ ,

^tvYtvtégcatvt,

'V J ^"^xda-hoixda'-

et àelkonùre, etl ^^^arquant que cette équation aura lieu en mettant pour 5C les V- ^'aleurs de cette quantité',

Dans cette équation, les coefficients des différentielles ^a, da', . . . sont des fonctions rationnelles de a, a\ a\ ... et de ati, atj, . . . , jcji: mais d'ailleurs ils sont symétriques par rapport à jci, jCj, . . . , .Tpi; donc, en vertu d'un théorème connu, on pourra exprimer ces fonctions rationnellement par a, a\ a\ ... et par les coefficients de Téquation p = o ; mais ceux-ci «-ont eux-mêmes des fonctions rationnelles des variables a, a\ a\ . . ., donc enfin les coefficients de da^ da\ da\ ... de l'équation (7) le seront également. Donc, en intégrant, on aura une équation de la forme (6). Je me propose de développer dans une autre occasion de nombreuses applications de ce théorème qui jetteront un grand jour sur la nature des fonctions transcendantes dont il s* agit (*).

Christiania, le 6 janvier 1829.

(Œuvres complètes de N.-H, Abel, édition Holmboë, t. I, p. 324-325, Christiania, 1839).

{') Abel avait écrit : qui jetteront du jour ; c'est Crelle qui, à la publication, transforma en : qui jetteront un grand jour. ^

Bjerk.nes si ir^dîcjué dans son Ouvrage piusieii»"^ ^ joignent sl la srstison générale que nous avons don n^^' '^ étant écrit d'urne encre très pâle, les yeux de 80 ans d^^ le déchiffrer ; îl p^araît qvi'il demanda à Abel d*en feLÏT-^^ pas parlé de cette démarche). Bjerknes ajoute, corrLrr^ ^ révolution de iS3o, après laquelle, on lésait, Gaucl:i>^. suivit son. rx^axtre en exil-

^^^^ raisons qm se

2V<I ^nnoire de Paris

' ^^^ ri dre ne purent

'^-, ^ ^opie (Abel n'a

^^^«:-r»ièie cause, la

^^^^«-v^^nt royaliste,

Voici l'extrait di^^Txc^ lettre écrite par Gauss à Shuxx^«4:r2^4S

touchante c,n'exf>x-ime cette lettre prouve combien Abel eue t^^ du géomètre de Gcittix^^ue :

.La mort d'A^^^i, q^o^ /e n ai pas vue publ.ée dans les /

» très grande j^erte f^oor la Science S il existe peut-être, ot,,

1 i^^^e sur- les détails de la vie de cette tête » Quelaue c«c>se »■-** 1^ * i Huci4Lfc w ^,^.,« tombe entre '

quelque chose »"* -— •v.ic es

quable er si -«i« -'''"" tombe entre les ma.ns, je vou r.e co^r«««ic,o«r- ^e voudrais b.en auss. „„.:. .

«^O'r son

KT^ L^a pensée ^ 4dG se défier

^ ^^x^ est une

!>-« irn prime

^r:^t remar-

^^^^rncnt de

-^ Oalois sai- ies fonctions abéliennes so^^ Les travaux de ^,..-i écrivit à Auguste Chevalhv, ^^^^sec

.i<,u.s dans '-^ j-^^r^,^ O-ns ce passade i, ne ci. ..r;;!:- ^^ levait trouver la m«-" "^ ^''s le r:, ^

distinction bien trop nette entre la *^ -

^^ U est vrai qu^elles sont souvenf "' '

-^^on affirmer que la Science d'appi/'

^re une impulsion qui p^^^^^ ^^^^^^

^ple, le théorème d'Abel? On no.,^,

liera ti

On dira qu'il y ^ ^^ la Science d'apf> me de l'autre, m mais donné à ia :eJIe que donna, -^ ^orie des {oncti<>^^

^czi

^"* puisse être ^,et«PÏ«' ^^ *.''^°'\™" ''■Abel? On pou™

--^t in- ^^^ oCa il

^^*-^b)el.

-^ » x-es "^^ ait

~^« la ^«^^ on

i68 Notes.

de la série de Fourier, née elle-même d'une recherche concernant la chaleur. Mais cette descendance est-elle absolument certaine, et, d'ailleurs, la considération des discontinuités ne devait-elle pas naître de l'étude même des fonctions?