C Si UlTL
o si tiens sont
•emier \x est suivante :
3Ci A est une quantité rationnelle, et R,, R^ :r -acines d'une équation du degré (x — i. »
2. ce Si une équation irréductible, dont le do^^v^ ^ îanced'Lin uomI:>i-e pre m ier ij.«, est résoluble a Jg-e^fc^X" ioit arriver- l'un cle deux : ou l'équation est <:#< mix«-P équati<3ns, chiacune du degré (xP, et dont Jes lépendront aes équations du degré ^-P^ ou Bien exprimer une queJcronque des racines par la formula
• - -» I^{j.-i les
ïst «jrjepuis-
i^^ «jement, il
^<=^<^-rxi posa ble
^^cx^âicients
pourra
A -^ \>'R7-Ht;^-f-...-^^5/^
quantité rationnelle, R„ R^^
ti A est une q ■-* , j '*' '^v
au deg-re v, ce dernier nornb
u plus é^al à f-«-
unemême équ^"^'^
«-;^f-i irréductible d'un deer,s . nombres P^^'^^^^^t „„ dé.o^po., , „' ^ ° "^'^ -
uations, chac^ti"^ ^ ^^ =»ae
équations du ^e^x^^ t^^'^^a^ictible du degré H.^ où j. est o 4. Siuneéquarioo ^^^^^^ ^^ P^""^ toujours expri ;^'" résoluble alg^^^^^
^^ «r tout
J>ar
'^Tït
' 58 j^'otes.
quelco i^ ,ci ue des racines par 1^ fox-mule
oùjr çl^si^ne une fonction rationnelle et symétrique des radicaux e«:^tre les parenthèses, et R, , «*, ..., R. des racines d'une même ^<:j uation dont le degré esr tout au plus égal à |x«- i. »
Ces -t 1:-» éorèmes sont les plus remarci uables auxquels je suis parvenu , sr^TKais outre cela on trouvera dans le cours du Mémoire une fi::>mjle d'autres propriétés générales des racines, propriétés qu'il ^«^ «-ait trop long de rapporter îd. Je dirai seulement un mot sur IsÊ. :mr-m. £i.t:»are des radicaux qui pourront se trouver dans l'expression *zi ^^^ racines. D'abord le troisième trl^éorème fait voir que, si le degr& ^^J.^«J. ne équation irréductible est représenté par
., ^^-^^ ^^^^^ dans l'expression des ra.czin.es se trouver d autres
^i ne :tr^^^^'^ 1
^^^ 4q[ue ceux qui pourront se tr-ouver dans l'expression des
j^-^ ^^quationsde degrés [jl^i . fjif . . ^^3 fjL^c.
^ ^ des théorèmes généraux aucj i ieJs on est ainsi parvenu, ^^ résulte déduit une règle généjrale j^our reconnaître si ^^ 'tric>n proposée est résoluble, ou non. En effet, on est ^:r^ résultat remarquable que, si une équation irréduc- ^^^::>i"We algébriquement, on pourra dans tous les cas - x--^^^"^^ ^ ^'^'^^^ ^^ ^a méthode de Lagrange proposée ^^->^«Jtion des équations; savoir, ^n suivant la marche ^^^ c^n ^^^^P^^v^^i^à ^^s équations <qui aient au moins ^^ ï^i Jouisse s'exprimer rationnellement en les coeffi- ^ ^1^^^ Lagrange a fait voir qu'on peut ramener la
équations
résolution d'uàx^e équation du degré à cell^ ^t^^X^^ ^^^^^'^^^^ ^^ respectîvemerit: des degrés àPaî*^^ ^ ^^^^ri^^*^ ^^^ ^^^^
degré ( * ) . r^Tous démontrerons que c'est un^ ^ ^^i. fc^l ^ rationnel-
nécessaire m or:ir sAAToir au moins une racine e^^p^-*^^ ^-:>S^^ soit réso-
lement en. ses croeffîcients pour que Téquation py^^^ ^'^
lubie al^eb>riciuennent.
T^ - j- • , ^^^-=s^ ïjne preuve
Donc, SI cetrre condition n'est pas remplie, cr^^-^ *- . .
incontesta t>le que l'équation n'est pas résolu fc>J^ ^ xxiais il est
à remarquer qu^elle peut être remplie sans que l'^<:3l ïj.^ t-»on soit en effet résolu t> le a Is^ét>riquenient. Pour le reconnaîtra:-^ ^ J^-' -f^utencore soumettre Igs équarions auxiliairesau même examt^jr:» • ^^«J^endant, ians le cas o€z le de^ré de ia proposée est un nom t>jt-e ^p>x-exnier, la première condlrion suffira toujours comme nous 1g jnnt oj^trerons Decequipr-eoède, il ^ été facile ensuite de tirer- <rc..rM.t:«e corol ' aire qu'il est îmii^ossi We de résoudre les équations s^„^^
(Œuvrer ^orrzj^l^t^^ ^^ N.-H. Abel édition Ho/^x^ ^^ ). 185-192, Gl^risriani^, iS3g).
lies.
\ t. IL
-..ni3^ i-c trouvent dans le texte m o OLcsqualx-c. ^^-^/^%^ ^^^a fait Holmboê dans T'"''^""^'^ ^ eut rétablir son texte, <ce q ans u^e ly^^^
^ CJtSG la résolution de Lagrange a ciemontr ^ oeut être rédu
^fe cf.
f^^- On ^<=iitjon
toute
equatic
^-gtaiigc « « t7r-em'«''' peur eirc rcauite à la
w est un nomtffG F^ ^ cJegré m — i et i.
uations respective m e'^^^^^^^^g^ égal à np, «
Lagrange a dérrxor'^'-^ ^ ^,^^ déduite à i!^ "°" '^^
m est un nonabre ^'•^'"!^ dlgré m-, et ,.. ,/"*°'"«o
uations respectiver^e ^^^^^sé égal à np, n étant pre^/e; .'
ïTe, mestun norryc^ ^^ ^^ peufêtre ramenée à Ja T'
n de J'équat/on ^^ ^, «ne équation du degré « , ''^soii^
"quatmns du de^r^ ^^ ^^ degré -^-^Li:!,^^
nts dépendent a'«-- ^^"""° - .^^^^^^=^^7:^:37^.
dont
-sd^endent a'«-- ;;\;;,,...o. ^-^^---«L'Ale;;^i';, ^
Notes.
Nous donnons ici cette démonstration, remarquable par son extrême simplicité.
La théorie de la transformation devient très facile à Taide des propriétés les plus simples de la fonction X6. Pour en donner un exemple, soit proposé le problème : satisfaire de la manière la plus générale à l'équation
dy dx
en supposant ç et c' moindres que l'unité et^ fonction rationnelle, réelle ou imaginaire de x.
Soit jc = X6, ^ = X'6\ en désignant par X' la fonction qui répond au module c'. L'équation différentielle se changera dans ce cas en d^'.= e^6, d'où
a étant une constante. Cela posé, soit on aura
En mettant 6 + 2T3, 6 H-nrf (*) au lieu de 6, Xô ne change pas
(*) A bel pose
cj r^ dx w r^ dx
où
l\ écrit X6 pour X(6).
Notes, i6i
de valeur et par conséquent on doit avoir .
V(ee -4- enrz -h a) = X'(e6 H- a),
Donc, si Ton désigne par w' et w' les valeurs de w et to qui répondent au module c', on aura [en vertu de (2)]:
2ew=z 2mT3' -f- «m'z, ce qui donne
zmi= 2 m' m' -h n'iii'i,
donc
ou bien
T3 n (o' . , ta' , ht' .
ta 2 m (o (o
m' ,0)' n to' , w'
wi — =: ;r — ; > = — 2m'—,
Maintenant, si cest indéterminé, cette équation ne pourra subsister à moins qu'on n'ait ou « = o, m'=: o, ou n' = o, yn = o. Dans le premier cas s est réel et
et dans le second cas e est imaginaire et
— iz=z — 2m' — t.
Supposons e réel. Alors on aura ce théorème :
ce Si deux fonctions réelles peuvent être transformées l'une en
iC)2 Notes.
l'autre il faut qu'on ait entre les fonctions complètes w, w, m', w'
cette relation
m' «' TîT
(1)' ni tu
OÙ n' et m sont des nombres entiers. »
On pourra démontrer que, si cette condition est remplie, on pourra effectivement satisfaire à Téquation
r djr w^ r dx
dx
Rien n'est plus simple que de trouver l'expression dej'. Il sufBt pour cela de chercher les racines des deux équations cpjc = o, fx — o.
Désignons par Xo et \o' une racine quelconque de ces deux équations, on aura, pour déterminer 8 et S', ces deux équations :
X'(£8-f-a)=3 0. X'(£a'-Ha) = -, ce qui donne*
k , k' , . ^, ^ f fit I \w' .
c'est-à-dire
k et k' étant des nombres entiers. Pour trouver a, il suftit Je remarquer que X6 ne change pas de valeur en mettant nr — ô au lieu de 6. On aura donc
V (ecj — £0 + a) =: V (ee 4- a),
qui dLorxrÈ.^
JT)
éZ, = - ((211.-1- I — Wî)T3'+ f^'
ins le cas oxjl -m est impair, on pourra toujoU^ - ^^ i a. te ment les
Connaîssanr les valeurs de a et S', on aura irrt '^'^^^^^^ suite Pex- :ines des cieux équations cp^= o, /x= o, eC >^ formules les ession aes fonctions <p^ et /c en factorielles. I^^ ^telles sont
.ssimples r-epc>r.^^"tauxcasdem==rou«^= '- ^ l'eauatinn I seules aor^r il s^^^^^^ comme il est aisé de voix- J^^^ ^équation
^^. Or:» pourra aussi se servir des exprès si <i>x:»-^ ^J^G ia fonc-
mXOen proauits infîms rapportes plus haut. J^^ji £^^1^ voir cela nsles IS/fémoi^^^
, ia lettre de CrelJe (18 mai) ; /oici le passai^e ^^ ^^ 3^ Int-Pe tersbourg,
M. FUSS m*eC*Jt^ ^,,/» l'ai/aÏQ n
- ^"'"s lui ont que j'avais prié aussi de m'
'^-t-orT
[ M. Fuss "^'^*^'7'^'^3.^> trinque, que j'avais prié aussi d isir. M. Gauss, «^e ^j/iptiques dont il s'est occupé,
5se sur les /oncrtio^ ^ lignes suivantes ;
[S de 3o ans, ^^'^^V^^s. m'empêchent pour Je moment D'autres occ^f>^^*^ rn'^ ciGVAr\cé, au moins pour Je n ^ echerches. M- At^^^ ^ae s'engager dans ia voie où i'aîlT^ aux. Il vient ^«^^'^^^^^xaer <3"^^ P^"^ '^ '"«^«^re partie, f, î n'ai donc pu rri ""^^ ^^mme. ^'«"^«"^ P^^^ «on exposin'i
echerches. M- ^«^•^' ot^ie s'engager dans la voie où j'ai ab ^
aux. Il vient i^^^^'^^ ^^xcr q"^' P^"'' '^ '"«ieure par^j^ ?^^*
î n'ai donc pu ^' '^^^!^ ^ox«me, d'autre part, son exposition °
Jx mêmes résui ta rs- -^^ a'e'l^^a"^^' je me vois par Jà même
îtantde pénetrarior» ^3tî<=>^»- " ' * ^ ^
exposer les «nefn^- Si^^^ ^'"^ ^^'' ^''^"'^ ''^'''''''" ' Ce jugement de -M-
-tviOTE 18.
«■rand '^icjue ^^i>uis
" ces
IsTOTE 18.
ici Je
texte de c& '^^
164 Notes.
