MÉMOIRE DE PARIS

de cette notice, sur son théorème d'addition, encore inédit, et qui remontait à l'époque qui a précédé son départ. Cest cette proposition fondamentale, dont Jacobi a dit ailleurs, — avant même qu'elle fût connue dans toute son étendue, — que c'était la plus grande découverte de notre siècle dans le champ du calcul intégral. Pour Legendre — qui, malgré les affirmations contraires, n’a pu Jamais faire entrer en détail dans sa mémoire les résultats d'Abel —, il nomma plus tard cette proposition un monumentum ære perennius, et les recherches de l'époque, comme celles de l'avenir, sur les fonctions qui portent le nom d’Abel, continueront à s'appuyer en réalité sur cette base.

Néanmoins la destinée de ce mémoire devait rester en suspens pendant un temps indéfini. Le mémoire demeurait dans les papiers de Cauchy.

Le bruit courut, d'après le dire de Legendre, — lorsque quelques années plus tard Jacobi, surexcité par cette négligence de l’Académie, lui eut, dans des termes énergiques, demandé une enquête sur cet objet, — que le manuscrit élait écrit d’une manière illisible, que l'on aurait voulu en avoir une meilleure copie. et que l’auteur avait quitté Paris sans s'être inquiété du sort de son mémoire. C’est ce que répète aussi plus tard Arago dans une autre circonstance, en justifiant l'Académie des accusations de négligence portées contre elle. Abel lui-même ne dit rien cependant sur cette affaire. Il se borne seulement à faire allusion, dans un de ses derniers travaux, à lexistence d'un mémoire envoyé à l’Académie. Et c’est par cette circonstance que Jacobi a connu pour la première fois cet écrit (1). Il n’était pas cependant dans les habitudes réservées d’Abel de solliciter ou de chercher à faire aboutir des enquêtes par l’humiliation et la flatterie; il supportait en silence les dénis de justice et les préjudices dont il souffrait, et se plaignit seulement, dans une seule circonstance, de « La len- Leur de ces hommes. »

(1) Mémoire XV, t. 1, de l’ancienne édition (XX£, t. 1, de la nouvelle). Remarques sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions transcendantes.

Depuis lors il n’entendit plus parler en quoi que ce soit de cette affaire; pas une seule fois, dans les deux lettres qu'il reçut vers la fin de sa vie du même Legendre, qui l'avait si vite oublié, mais qui bientôt après avait accueilli son œuvre avec une admiralion croissant d'abord lentement, mais ensuite de plus en plus enthousiaste.

Ce n’est pas ici le lieu de raconter ce qui se passa plus tard à cetle occasion; nous ajouterons seulement que Legendre, après que son attention eut été appelée sur cette regrettable négligence, fit tous ses efforts pour qu'on songeât à ce manque de soin, et que l’Académie des sciences, après la mort de l’auteur, cherchât à réparer honorablement la faute commise. Mais, malgré tout, la publication du mémoire ne se fit qu'après un retard de quinze années. Elle eut lieu dans l’année 18/1, sous la direction du mathématicien Libri, qui avait été chargé d’en surveiller l'impression.

Mais une série d'accidents se produisit jusqu’au terme de ce travail. Par un bien singulier hasard, pendant le cours même de l'impression, le manuscrit disparut, et la correction des épreuves dut se faire sans collation avec l'original. j

Après avoir terminé ce travail capital, Abel en commença un nouveau : le remaniement de ses Recherches sur les fonctions elliptiques (1).

Il y avait là aussi des idées qui étaient müres depuis longtemps et qu'il se mit à élaborer. Et — nous l’avons fait remarquer avec insistance — il les présenta avec la simplicité et la clarté de conception, avec l'ordre naturel d’arrangement, avec la touche magistrale de la déduction, que seule la complète domination du sujet, unie à la méditation continue et profondément pénétrante, peut réaliser,

Par son idée de l'inversion, souvent mentionnée par lui, et par

la découverte de la double périodicité qui s’y rattache, — idée qui

(1) Mémoire XII, {re édition; XVI de la nouvelle.

remonte au temps de son premier voyage, — il opéra, comme nous l'avons dit, dans cette branche élevée de la science, toute une révolution de l’ancien corps de doctrines. En d’autres termes, il fit apercevoir que toutes ces recherches sur les intégrales nous introduisaient dans un vaste domaine de fonclions qui se rattachaient, suivant un ordre naturel, aux fonctions transcendantes les plus simples des mathématiques. Les nouvelles fonctions elliptiques formaient non seulement la continuation la plus immédiate des fonctions trigonométriques et exponentielles, mais elles comprenaient encore ces dernières comme cas particuliers.

Le calcul intégral se présentait ainsi comme une source abondante, d'où l'on pouvait, à côté des formes connues, en tirer encore une multitude d’autres nouvelles. C'est aussi, mais avec une extension immensément plus vaste, que les intégrales abéliennes, dont il avait découvert les propriétés fondamentales dans son mémoire envoyé à l’Académie de Paris, purent, d'une manière plus ou moins analogue, se prêter pareillement à une inversion. Dans ces conditions pouvait se réaliser la périodicité plus que double, la périodicité multiple, dont nous savons qu'Abel s'était occupé dans un travail de sa jeunesse, non destiné à la publication, mais présentant des incorrections (1).

Le travail de remaniement de sa théorie des fonctions elliptiques qu'il s'était proposé était trop étendu pour qu'il fût possible de l’achever pendant le bref séjour qui lui restait à faire à Paris. Outre cela, il se trouva qu'il n’avait pas mieux pour cela la libre disposition de son temps. Il avait eu le dessein de l'envoyer à Gergonne, de Montpellier, pour que celui-ci l'insérât dans les Annales. Comme introduction, il rédigea aussi pour le même recueil quelques notes de moindre étendue, et dont probablement une seule fut envoyée. C'était, dit-il, pour voir «s'il voulait imprimer. »

Vers la fin de décembre, toute prolongation de son séjour à Paris était devenue impossible. Les embarras d'argent étaient

(1) Le mémoire VIT, t. IE, de la 1re édition (VH, t. Il, de la nouvelle).

désormais trop grands après tous ces voyages; d'autant plus grands qu'avec des ressources restreintes il avait été forcé de faire des avances à Keïlhau, qui était arrivé à Paris après lui, — la colonie étant d’ailleurs dissoute, — pour lui permettre de rentrer dans son pays. Holmboe était alors l'aide dans le besoin, celui à qui Abel devait toujours et toujours recourir, et, ponctuel et infatigable, il s'empressait, dans ces circonstances comme partout, de rendre service à son élève. Mais ces demandes considérables ne pouvaient naturellement qu'être gênantes de part et d'autre.

Aux environs de Noël, Abel quitta Paris en toute hâte pour regagner son pays, en passant par Berlin : il était absolument au bout de ses moyens de subsistance. De nouveau il pouvait se retrouver alors au milieu de ses connaissances, au lieu de vivre solitaire dans la grande ville cosmopolite, sans ressources et sans voir personne à qui il pût avoir recours dans sa position critique. En janvier, avec quatorze thalers dans sa poche, il rentra à Berlin, où il se hâta d'aller trouver Crelle. Il rencontra aussi par bonheur quelques compatriotes près desquels il put trouver un appui. Le secours pécuniaire désiré finit par arriver, et Abel fut tiré d'affaire. Cependant les dettes allaient croissant tous les jours, sans qu'il pût espérer de pouvoir jamais s’en débarrasser.

À Berlin, il continua du reste ses travaux, qui ne comprenaient pas exclusivement la suite de ses Recherches. Il semble que déjà —— ou dans tous.les cas très peu de temps après — cette œuvre acqut une étendue plus considérable; car, dans les cahiers de notes qu’il a laissés, on voit que les études préparatoires de son dernier travail sur cet objet, le Précis, etc., étaient commencés.

Toujours il s’occupait, dès qu’il avait un moment de liberté, de ses études algébriques, qu'il appelait son objet de prédilection. Or on pourrait dire que ses autres études reposaient sur celles-là. Certainement c'était bien aussi son désir de rassembler les résultats de ses recherches sur les fonctions elliptiques dans un grand ouvrage, au lieu de les publier par parties et à des époques irrégulières; mais ce projet n'était pas facile à réaliser. La con-