MISÈRE AU RETOUR
étrangers ce dont il manquait, et s'il cherchait à donner à sa demande une forme aussi franche que possible, certainement aussi le courage lui a plus d'une fois manqué et il a mieux aimé se priver. Beaucoup de petits traits témoignent à quel point il pouvait se montrer délicat lorsqu'il s'agissait de causer à ses amis les moindres sacrifices ou de recevoir les moindres présents, et qu'il pouvait s’en dispenser d’une manière quelconque.
Découverte de Gauss vers le commencement du siècle. Remarques préliminaires concernant l’idée qu’on s’est faite de la situation réciproque d’Abel et de Jacobi.
Nous interrompons ici pour un instant notre récit des circonstances qui suivirent son retour, pour étudier de plus près un point important : {a découverte des fonctions elliptiques, et particulièrement l'histoire de leur premier développement à l’époque qui va suivre immédiatement, de 1827 à 1899.
Nous ferons donc abstraction des voies cachées, qui, en ce qui touche Abel, peuvent être suivies rétrospectivement depuis les données claires du séjour à Paris en 1826 jusqu’à l'été de 1823, dans lequel, avec l’aide de Degen, il chercha à découvrir une faute qu'il avait commise dans un « petit mémoire qui traitait des fonctions inverses des transcendantes elliptiques (1) ». Telle est l'opinion accréditée, et c’est vers tout ce qui s’y rapporte que nous allons maintenant diriger notre attention.
Nous pourrons volontiers remonter jusqu’à l'époque de mars 1827; car, en conséquence d’une assertion directe de Jacobi, dans une lettre à Legendre du 19 avril 1828, Jacobi fit alors le premier pas décisif dans la carrière d’inventeur, en trouvant son «principe de transformation », découverte qui cependant n’avait encore rien à voir avec la découverte des fonctions elliptiques elles-mêmes (?).
(t) Lettre à Holmboe du 24 juin (ou plutôt du 3 août) 1823.
(?) Ce rôle n'appartient même pas au théorème donné par Jacobi en juin et août. D'ailleurs, c’est plutôt pour Jacobi que pour la science que ce « principe », comme il l'appelle, a été un vrai principe, parce que c’est à l’aide de ce détour qu’il est arrivé au théorème, et le théorème ne suffit pas pour constituer une découverte fondamentale. 11 n’y ax là que l’ancienne méthode mathématique, avec quelques traces d l'esprit d’Abel.
Il résulte aussi d'une autre déclaration du même géomètre que l'on à ici la date la plus ancienne à laquelle on puisse remonter. Il dit en effet lui-même, dans une lettre de date postérieure — du 9 septembre, — en annonçant qu'il a fait commencer l'impression de ses Fundamenta nova funclionum elliphicarum, qu'il «avoue être un peu fatigué de ce sujet, qui l’a occupé pendant dix-huit mois presque jour et nuit». — Si l'on remonte de dix-huit mois en arrière, on arrive précisément au même mois de mars 1827.
L'opinion courante est donc celle-ci : que la découverte des fonctions elliptiques appartient à l'année 1827; qu’elle a été faite aussi bien par Abel que par Jacobi; qu'elle a été faite par eux sémullanément, ou peut-être un peu plus tôt par le premier nommé; et enfin l'établissement des premiers résultats les plus essentiels a été obtenu des deux parts d’une manière entièrement indépendante.
Mais ce jugement exige déjà immédiatement quelques rectifications et quelques objections préliminaires, avant que nous ne procédions à un examen plus minutieux que celui dont on se serait contenté à cette époque.
En premier lieu, on n'avait pu tenir compte d’un fait qui n’a été mis complètement en lumière que dans ces derniers temps, — bien qu'il ne soit pas pour cela plus généralement connu, — savoir que Gauss, depuis longtemps déjà, vers le commencement du siècle, avait fait la découverle dans ses traits essentiels, sans toutefois avoir livré ses résultats à la publicité. Quelle a été l'étendue de cette découverte, c’est ce qui résulte des indications de Gauss, et il faut espérer qu'un Jour à venir ces indications pourront être déchiffrées dans leur enchaînement par des hommes compétents.
Nous renvoyons le lecteur qui s’intéresserait à ce sujet — que nous ne pouvons ici qu’effleurer — à un écrit publié récemment par Kôünigsberger, à Vienne, et dans lequel se trouve le compte
rendu de cette affaire, conforme aux dates qui ont été déterminées par le professeur Schering pour les travaux posthumes de Gauss. Cet écrit, d'une haute valeur et remontant aux sources, ne traite pas cependant cette découverte comme son objet principal; il est intitulé (avec une exactitude plus grande que d'ordinaire quand il s’agit de cet objet) : Zur Geschichte der Theorie der elliplischen Transcendenten in den Jahren 1826-29, et il a été rédigé à l’occasion du cinquantenaire des Fundamenta nova de Jacobi, dont la publication coïncide avec la mort d’Abel. Pour éviter toutefois les malentendus, nous remarquerons que le mot transcendantes elliptiques, dans ce passage, doit être entendu au sens de fonctions elliptiques, qui prit naissance précisément avec ce qu'Abel désignait, en 1823, sous le nom d'inversion des transcendantes elliptiques.
Il serait certainement aussi d’un intérêt exceptionnel, non seulement de déterminer exactement la marche du développement de cette découverte primitive de Gauss, mais en même temps d'examiner, en regard des autres travaux de cet illustre géomètre, les circonstances personnelles de sa vie. La tranquillité avec laquelle il considère les incursions d’Abel et de Jacobi dans ses domaines et renonce à la propriété d'une partie si considérable de ses travaux, et cette habitude de garder longtemps le secret sur d'importantes théories, constituent un phénomène tellement singulier, qu'une étude biographique approfondie pourrait seule en donner l'explication.
Gauss, autant que nous sachions, s'est contenté de démontrer à la postérité qu'il avait été en possession des nouveaux principes, en établissant des résultats qui ont été reconnus plus tard comme supposant la connaissance de ces principes; de plus, en laissant comme témoignages des papiers avec leurs dates, et enfin aussi par les indications contenues dans ses lettres. Gest ainsi qu'il s'exprime dans une lettre à Crelle, à une époque où venaient de paraître les premières notes de Jacobi et la première partie des Recherches d'Abel, mais où aucune autre des publications de celui-ci sur les fonctions elliptiques n'avait encore, vu le jour. Il
s'exprime ainsi — et sans même nommer Jacobi (1) : « D’autres affaires m'empêchent pour le moment de rédiger ces recherches » (les recherches sur les fonctions elliptiques dont Crelle avait demandé à Gauss le manuscrit). « Abel a pris les devants sur moi au moins pour un bon tiers. Il a suivi exactement la même voie dans laquelle j'étais entré en 1798. Aussi n'est-il pas étonnant pour moi qu'il soit parvenu pour la plus grande partie aux mêmes résultats. Comme il a montré d'ailleurs dans ses déductions tant de finesse, de profondeur et d'élégance, je me considère dès lors comme dégagé de l'obligation de rédiger mes propres recherches (?). »
Gauss n'a donc pas publié lui-même ses recherches, et en les renfermant si longtemps, il a beaucoup perdu. Mais son droit de premier inventeur subsiste, encore qu’il soit privé du droit de première publication. Ïl y aurait pourtant un intérêt historique à connaîlre quels pouvaient être les rapports entre ces recherches de Gauss et celles d'Abel, ou à quelles sources communes ils avaient puisé l’un et l’autre. Quoique les études d’Abel aient été dirigées vers les méthodes d’Euler et de Lagrange plutôt que vers celles de Gauss, on sait cependant qu’il a aussi pris connaissance des travaux de ce dernier, et que depuis longlemps certainement, pour les questions qui rentraient dans le cercle de ses recherches, il y avait puisé des idées et des inspirations. Ainsi Abel cite
(1) Ce qu’avait fait Jacobi n'avait pas toute l’importance qu’on s’est accoutumé plus tard à y attribuer, sous l'impression fausse que Jacobi avait aussi découvert les fonctions elliptiques. Gauss a vu justement que, sous ce rapport, le travail de Jacobi avait un mérite secondaire; c’est sans doute le vrai motif pour lequel Gauss n’a pas mentionné Jacobi à cette occasion. Il ne serait pas raisonnable d’accuser le grand géomètre de jalousie ou d’injustice à l’égard d’un tout jeune homme.
(2) Nous croyons que ce passage n’est pas toujours bien interprété. Il faut remarquer qu’à cette époque la première partie des Recherches était scule publiée, et qu’elle s’arrêtait à la division. I] restait donc à traiter la théorie des transformations, celle des fonctions $, etc. Naturellement Gauss rense en ce moment à ce que seraient ses propres recherches s’il les avait publiées avec leurs déveleppements., — Si l’on néglige cette remarque, les assertions de Gauss paraîtront peu correctes. D'ailleurs il reste encore quelque chese qui ne nous semble pas bien clair. Pour le juger, il faut avoir sous les yeux non les Œuvres complètes, mais le Jcu:nal de Crelle, où la première partie des Recherches forme un premier mémoire comprenant la division.
à diverses reprises dans ses écrits la division du cercle de Gauss, et il fait allusion dans sa correspondance aux mystères de cette division (1) qu'il est parvenu à pénétrer. Soutenu par ses études de Lagrange — qui l'avaient occupé à un bien plus haut degré — il avait été conduit par ses recherches à pénétrer dans le domaine de l'Algèbre à une profondeur beaucoup plus grande qu'aucun de ses devanciers. Il était naturel alors qu'ayant de tels moyens à sa disposilion, ou cherchant encore à les développer, il fût amené dans les mêmes directions que Gauss, et qu'il se proposât des problèmes que ce grand géomètre avait déclarés résolubles. Il existe au moins un point (?) pour lequel on peut constater ainsi une dépendance entre les études d’Abel et celles de Gauss, en tant qu’il est question des fonctions elliptiques. Il ne s’agit pas ici certainement d’un point capital que l’on doit chercher dans une marche d'idées d'une toute autre nature, présentant une certaine connexion avec son Mémoire portant le n° VII (?) de ses Œuvres posthumes. Il s'agissait cependant d’un point d’une très grande importance, savoir, du développement de certaines propriétés plus profondément cachées de ces mêmes fonctions.
Il n'en serait que plus désirable de pouvoir suivre les traces des idées et des problèmes mis en œuvre par Abel, puisqu'ils étaient présentés si brusquement par lui à limproviste, comme s'ils n’eussent pas eu de racines dans le passé. Mais quelque grand que soit le génie d'un homme, il a encore des voies à trouver — bien qu'on ne les trouve pas toujours — aboutissant aux anciens ou en communication avec l'époque contemporaine, et une exploration pour découvrir ces voies ne manquerait pas d'importance quand il s'agit des grandes pensées qui germaient dans ce sol fécond — sortant souvent, il est vrai, d’une humble origine.
Pour ce qui concerne Abel, une solution partielle d’un pareil
(1) Ces mystères se rapportaient à la division et aux moyens algébriques pour y arriver.
(2) L'idée de diviser la lemniscate.
(3) T. IT, ancienne édition, et VIT, t. IE, de la nouvelle. Rappelons-nous que ce Mémoire est antérieur à 1825.
problème, malgré cette source abondante d'idées et malgré le puissant développement de tout ce qui rentrait dans son cercle de représentation, n’était pas aussi désespérée qu'elle semblerait l'être au premier abord. Car personne n’expose plus ouvertement ce qu'il possède, pensées et découvertes; personne ne cherche moins que lui à cacher la source où il à puisé. Il ne cache pas non plus avec jalousie, en s’entourant de mystère, le secret de ses méthodes et ses procédés (1); il n'essaie pas de dissimuler le but vers lequel il tend (?). On sait parfaitement aussi quelle a été la marche de son éducation scientifique, quels auteurs il a lus, et ce qu’il a pu recevoir de ces auteurs pour en faire quelque chose de tout autre et de plus grand.
En revenant sur nos pas au sujet que nous avions quitté tout à l'heure, nous allons nous arrêter un instant à ce point d'attache qui relie Abel avec Gauss. Quoique ce point soit isolé, il n’en est pas moins d'une certaine importance.
Gauss remarque en passant, dans ses Disquisitiones arilhmehicæ, qu'une certaine courbe, la lemniscate — dont nous remarquerons, à l'usage des lecteurs étrangers aux mathématiques, que la forme est celle du chiffre 8 — peut se diviser d'après le même principe que le cercle. Cet énoncé, au point de développement où Abel se trouvait à une époque antérieure, avait été une nouvelle énigme; car il supposait non seulement la connaissance, mais une connaissance très approfondie de la nouvelle espèce de fonctions. Et personne avant lui, si ce n'est Gauss, n’en avait eu le moindre soupçon. Quoique de certains passages d’une lettre à Hansteen il résulte qu'Abel ne s'était pas occupé d’une manière régulière et approfondie de la lecture des écrits de Gauss, il a évidemment, une fois ou l’autre, rencontré l'énoncé en question, mais sans y avoir, dans celte phase préparatoire de ses études,
(1) Comme c’était l’habitude si générale des mathématiciens d’autrefois.
(2) Parmi les auteurs qui se proposent un but très élevé, il arrive souvent que quelques-uns en font un secret, soit par crainte de perdre leur découverte, soit par peur du ridicule s’ils échouent. La simplicité d’Abel et les relations franches et naïves qui l’ont entouré ont empèché ces circonstances de se produire. Personne ne fut plus ouvert, plus sincère, plus enfant de la nature qu’Ahel dans ses recherches.
dirigé spécialement son attention. Lorsque, étant à Paris, il s’occupait de sa nouvelle théorie, et qu'il avait aussi trouvé de son côté comment on peut diviser la lemniscate, il en parle dans une lettre à Grelle du 4 décembre 1826, avec cette remarque, qu’il a des raisons de croire que Gauss aussi était arrivé au même résultat. Ge n’est done pas là une citation d’un ouvrage qu'il aurait eu récemment sous les yeux, mais une réminiscence confuse d'une époque déjà lointaine. De plus, quand il fait voir, dans ses Recherches, I (1), comment cette division peut s'effectuer, 1l ne cite pas spécialement l'énoncé de Gauss, mais il indique qu’il se sert de la méthode de ce géomètre, de même qu'auparavant, dans une occasion identique, il renvoie à lui. [1 reste cependant, à notre avis, un cerlain manque de précision sur la question des droits de Gauss, qui à affirmé — à la vérilé, sans démonstration — la possibilité de cette division.
Ce point présente un double intérêt. Il montre à quel degré les recherches de Gauss, celles même dont les résultats n’ont pas élé livrés à la publicité, ont exercé une heureuse influence sur le développement des fonctions elliptiques dû aux travaux plus récents d'Abel (?). Et Abel, à son tour, dans ses lettres et dans les travaux suivants qui ont permis de les contrôler, a clairement montré à la postérité que, dès l’époque de 1826, il possédait déjà dans une vaste étendue la théorie des nouvelles fonctions (?). Comme Dirichlet la relevé, il résulte des indications de Gauss, confirmées par les recherches d’Abel, que le premier a dû disposer depuis un grand nombre d'années de moyens analytiques exigeant des connaissances très complètes sur la théorie des nouvelles fonctions; mais avec la même raison on conclura, des énoncés communiqués par Abel à Holmboe et à Crelle, qu'avant la fin
(1) C’est la partie des Recherches, ete., qui fut publiée dans le Journal de Crelle, t. III, et qui contient surtout la théorie de la transformation.
(2) Par exemple, Gauss indique l’existence de la division de la lemniscate, Abel la fait.
(3) Abel dit à Holmhoe qu’il l’a fait. Plus tard il le fait. Mais cela ne peut avoir lieu sans une connaissance très profonde de la nouvelle théorie, poussée même jusqu’à la théorie de la division et à celle de la double périodicité.
de 1826 il avait bien, lui aussi, approfondi cette branche de l'analyse.
Nous arrivons maintenant à l’autre remarque que nous avons à faire, n'ayant plus à nous arrêter à ce droit de priorilé, qui apparlient ainsi proprement à Gauss. D'après la version ordinaire, Abel et Jacobi — Abel peut-être toutefois quelques mois plus tôt— auraient tous les deux, indépendamment l’un de l’autre, fait, ou plus exactement refait la même découverte des fonctions elliptiques. Quoique l'annonce de telles découvertes simultanées et indépendantes résiste rarement à une rigoureuse analyse des circonstances, la simultanéité et l'indépendance se réduisant à quelqu’autre chose ou n'ayant qu'un semblant d'existence, dû à une connaissance imparfaite des événements, il se rencontre cependant dans le cas actuel beaucoup de raisons servant à confirmer celle croyance. Nous disons croyance; car dès qu'on adopte une opinion à une époque déjà lointaine, aucune recherche complète n’a pu être faite; c’est bien souvent alors une légende qui se développe, et peu à peu elle s’accrédile.
Nous avons là, en premier lieu, un témoignage de l'opinion qu'on s'était formée dès l'origine, témoignage provenant d'hommes dont la sincérité ne fait aucun doute, et dont la rectitude d'esprit ne les aurait pas aisément laissés tomber en erreur — en tout cas, ajouterons-nous, si les évenements et leur enchainement avaient pu se présenter aussi clairement à leurs yeux que la postérité se le figure. Nous avons affaire ici à des contemporains comme Legendre, comme Poisson, comme Dirichlet. Bien plus encore — car en réalité la qualité de contemporains de Poisson et de Dirichlet n'a que bien peu de chose à faire dans la question — nous pouvons citer Crelle, qui était en relations si étroites à Ja fois avec Abel et Jacobi, et dont la sympathie pour le premier était si prononcée. Crelle dit, dans son nécrologe d’Abel, que celui-ci et Jacobi «ont toujours marché également et comme de front dans leurs recherches sur les fonctions elliptiques, sans
cependant se connaître l’un l’autre, non plus que leurs travaux, et sans se rencontrer ni se toucher dans leur route. »
Holmboe lui-même semble avoir entretenu et certainement aussi partagé l'opinion, si généralement acceptée, si peu discutée d’après la marche spéciale des événements et si facilement adoptée, de la simultanéité et de l'indépendance des travaux des deux géomètres. Il écrit lui-même dans sa préface aux Œuvres complètes : «En même temps que notre Abel, et sans connaître les ouvrages de ce dernier, M. Jacobi, de Künigsberg, commença à traiter la théorie des fonctions elliptiques. Ainsi une rivalité s'établit entre ces deux génies supérieurs dans leurs traités sur les dites fonctions. » Il ajoute ensuite : « Abel me dit que, lors de son séjour à Paris en 18926, il avait déjà achevé la partie essentielle des principes qu'il avançait dans la suite sur ces fonctions, et qu'il aurait bien voulu remettre la publication de ses découvertes jusqu’à ce qu’il en eût pu composer une théorie complète, si en attendant M. Jacobi ne s’était mis sur les rangs. »
Avant d'aller plus loin, nous allons pourtant montrer que chez Holmboe une influence étrangère s’est fait sentir un peu plus tard. On retrouve chez lui, d’après la thèse introduite dans le nécrologe de Crelle, l'affirmation de l'indépendance mutuelle des travaux des deux auteurs, dont chacun ignorait ce que faisait l’autre, ce nécrologe ayant été inséré dans cette même préface. Le texte original, écrit en norvégien, contient cependant, au lieu du passage de la préface, ces lignes écrites à une date bien antérieure, savoir, en 1829, dans le Magazin for Naturvidenskaberne, et cela, chose à remarquer, en connexion avec le nécrologe de Crelle. Holmboe s'exprime ainsi : «La théorie de ces fonctions, en outre des recherches d’Abel, a été aussi l’objet de travaux du plus grand mérite de la part du professeur Jacobi, de Künigsberg. Ces deux jeunes géomètres à peu près du même âge, comme ils marchaient côte à côte au point de vue du génie mathématique, rivalisaient entre eux dans leurs mémoires sur ces fonctions. Abel m'a dit que, quand il était à Paris en 1826, il avait déjà
achevé ce qu'il y avait de plus essentiel dans ce qu'il a publié plus tard sur ces fonctions... » On voit ainsi que le passage est le même, et les mots à peu près identiques. Mais l'affirmation intercalée, comme nous l'avons remarqué plus haut, concernant l'indépendance des travaux, etc., ne s’y trouve pas; elle a été accueillie plus tard, évidemment de bonne foi, d’après le passage correspondant du nécrologe de Crelle.
Nous ferons encore ici une autre remarque. Nous avons reproduit une citation, surtout pour constater une identité, et nous l'avons prolongée plus loin qu'il n'était nécessaire. Or il s’est glissé dans la traduction française une modification du sens du texte, laquelle du reste se rencontre également en d’autres endroits, dans la traduction de quelques expressions dans les lettres d'Abel. Naturellement une reproduction exacte de tout point ne peut être obtenue d’un traducteur peu familier avec la substance du texte; mais Ce qui avait pu paraître d’abord insignifiant ou qui n'avait été nullement remarqué pouvait dans un autre cas acquérir de l'importance, de sorte qu’il faut recourir de nouveau aux sources originales. Dans le texte primitif on lit qu’Abel à Paris, en 1826, possédait ce qu’il y avait de plus essentiel dans ce qu’il a publié depuis sur ces fonctions. Dans la traduction française, plus récente de plusieurs années, il est dit qu’il possédait, au lieu de «ce qu’il y avait de plus essentiel» — ce qui sans aucun doute était la leçon la plus correcte — « la partie essentielle des principes. » Évidemment cela ne peut être autre chose qu'une tournure malheureuse introduite par l’inattention du traducteur; car tous les principes étaient alors trouvés.
Pour renforcer encore plus ces assertions de simultanéité et d'indépendance, on peut alléguer que Jacobi, au commencement, ne nomme pas non plus Abel, et que, en général, dans ses premiers écrits, il ne le désigne pas comme source. Et, d'autre part, cette reconnaissance réciproque, sans aucune discussion de priorité! Nous pouvons même ajouter que, à l'exception d’un passage isolé d'une lettre écrite dans des circonstances décourageantes, dans lequel on aperçoit chez Abel une certaine anima-
tion, à l'exception aussi de quelques propos qui font deviner d’autres choses, mais auxquels nous ne pouvons nous arrêter ici, Abel ne fait en général ni remarques ni allusions quelconques. Les rares occasions où it parle de Jacobi dans ses lettres ne portent à croire rien autre chose, si ce n'est que tout est bien.
Tout semble ainsi être dans le meilleur ordre, et la croyance courante paraît bien fondée.
Nous aussi, nous avons accepté cette opinion, et nous pouvons le dire, nous avons aussi partagé la satisfaction générale de voir cette fraternité et celle abnégation des intérêts personnels dans les efforts communs pour parvenir aux sublimes vérités. Mais certaines circonstances frappantes ont depuis quelque temps ébranlé notre foi dans la parfaite correction des manières de voir ordinaires, et ces esquisses biographiques, dont la rédaction a été reprise à des époques diverses, nous ont conduit à des recherches qui donnent aux choses un aspect bien différent. Nous ne nous placerons donc pas, pour tous les faits, au même point de vue que nous avions adopté au commencement de cette exposition.
Par un ensemble de circonstances qui sera discuté plus loin, il s’est introduit des perversions du droit historique, et cela depuis les premiers temps. Et malgré les hommages si largement rendus, malgré les sympathies les plus chaleureuses et les plus unanimes pour notre compatriote, il s'est maintenu une certaine confusion dans l'opinion générale relativement à la question de propriété. Cette manière de voir a particulièrement son expression dans l'admission d’une singulière communauté de propriété — grâce à laquelle, il est vrai, tant de choses se perdent et tant d'équivoques se produisent. Même dans l'honneur que l’on rend si volontiers à notre géomètre, il se mêle un certain vague. L'éloge est exprimé par de grands mots, qui peuvent sonner harmonieusement, mais qui seront oubliés un jour si la réalité qu’ils doivent exprimer, et qui appartient à Abel sans partage, ne peut lui être restituée.
Son contemporain et survivant, si hautement distingué, a eu le bonheur de travailler dans un grand pays, au milieu de relations plus étendues. La nouvelle doctrine et les nouvelles idées y
poussaient des racines et se développaient rapidement, La période de l'indifférence, qui dura autant que la vie d'Abel, était passée . L'intelligence de cette théorie pénétrait dans des cercles de plus en plus vastes, et à la tête d’une nombreuse troupe d'élèves marchait Jacobi, comme le chef du nouveau mouvement. Abel, dans son étroite et lointaine patrie, était abandonné à lui-même et à son petit noyau d'intimes. Il n'avait pas, lui, une foule de disciples autour de lui; ses élèves, nous pouvons le dire, c'était le petit nombre de ses anciens maitres; c'était le grand Gauss; c'était, dans une sphère certainement moins élevée, mais néanmoins très éclatante, Jacobi. Il y avait aussi là le vieux Legendre — bien qu'il lui semblât assez difficile de suivre la bannière révolutionnaire du novateur. — Abel n’était pas non plus un esprit dont les recherches fussent à la portée du plus grand nombre; quelle que fût la clarté de sa pensée et de son style, il y avait cependant dans les problèmes eux-mêmes et dans l'originalité des pensées quelque chose qui devançait de trop loin son époque. Jacobi, au contraire, se rapprochait davantage de son temps, et, quelque hauteur qu'il atteignit, il posait ses problèmes à un niveau moins élevé; c'était un but plus accessible pour le grand nombre que le but proposé par Abel. Trop indépendant dans ses conceptions pour vouloir suivre servilement les traces de son émule, il imprima au développement de la science la marque personnelle de son cachet, et nous pouvons dire, de son individualité. Car l'esprit de Jacobi pénétrait plus aisément, dans ces matières, les investigations générales du monde scientifique que l'esprit de Gauss ou d’Abel, et c’est sur les formes tracées par lui que ces investigations roulaient.
Quoi d'étonnant alors si l'attention générale se portait, avec une si grande préférence vers le survivant hautement honoré et hautement méritant, et qu'Abel, retiré dans son coin paisible, — d’où il disparut juste au moment où Jacobi se présentait avec son ouvrage capital, — qu'Abel tomba devant lui dans l'oubli : il n'avait pour garant que la valeur de ses écrits, Lrop élevés pour la plupart des lecteurs, et l'affection qu’il avait trouvée
chez un vieil ami et compatriote de son émule. Quoi d'étonnant si le son vide de la gloire prit en grande partie la place de la gloire elle-même? Rien de plus naturel aussi que de voir les fausses attributions de propriété, qui depuis longtemps déjà avaient eu lieu, égarer toujours les esprits. Car il y avait tant de choses, faites pour désorienter, qui continuaient à subsister et qui ne pouvaient que porter le trouble dans les esprits. Les idées erronées continuèrent donc à enfoncer plus profondément leurs racines.
Pour ramener les choses à leur véritable situation, il faut donc remonter aux sources, et apporter de nouveaux éclaircissements, qui ne peuvent pas être cherchés exclusivement dans les textes anciens. L'histoire de ce qui s'est passé pendant ces jJours-là doit être reprise en détail et mise en rapport avec les documents qui proviennent d’autres sources, et surtout de notre propre pays.
Si de cette manière quelques illusions anciennes et accréditées sont dérangées, si dans tout ce qu'il y a de grand il doit se trouver des côtés d'ombre; si des erreurs, qu'ailleurs on devrait laisser en paix, sont mises en évidence parce qu’il le faut pour rendre au possesseur légitime son droit de propriété littéraire, il en résultera inévitablement des conséquences pénibles. Mais ce n’est qu'à ce prix qu'on peut satisfaire à la justice historique. De cette recherche sortira pourtant une image plus complète et d’un plus vif coloris ; c’est toujours ce que l’on gagne, en pénétrant à fond dans le vrai.
Le rang comme inventeur, attribué à Jacobi, sera diminué, en même temps que celte communauté entre lui et Abel se dissoudra. L'opinion traditionnelle sur le mérite relatif des deux champions devra aussi être modifiée; plus d'un reflet romanesque en disparaîtra. Mais Jacobi lui-même, le travailleur si hautement doué, si infatigable, qui a si bien mérité de la science, ne peut être jugé d’après quelques-unes de ses années de jeunesse et uniquement par comparaison avec un Abel. Car, malgré des conditions favorables d'une autre nature, il luttait contre son émule à armes inégales, et s'était préparé trop tard pour un tel combat. On ne doit pas non plus oublier que c'est
seulement pour une très courte période que nous avons à nous occuper de Jacobi. Si ce qu'il a fait de grand et de bon appartenant à cette époque couvre quelques fautes, qui ne doivent pas être ici dissimulées, ce n’est toutefois qu'un fragment détaché de l’ensemble, un épisode d'une vie de jeunesse, où s’agitait l'énergie d’une âme ardente.
La découverte par Abel des fonctions elliptiques. — Les théorèmes de transformation de Jacobi, et leurs rapports avec les fonctions elliptiques, ainsi qu'avec la théorie définitive de Legendre.
Dans les tristes circonstances au milieu desquelles se trouvait Abel à son retour dans son pays, ce fut en septembre 1827 que parut dans le Journal de Crelle la première partie de son mémoire cité plus haut et devenu depuis si célèbre, les Recherches. Quoique ce Mémoire, auquel il travaillait pendant son séjour à Paris en 1826, et sur lequel il donnait à cette époque des éclaircissements dans des leltres à Holmboe ainsi qu’à Crelle; quoiqu’ainsi, lorsqu'il fut remis à l'éditeur lors du retour par Berlin, il ne füt pas encore achevé, il était cependant d'une é tendue considérable, et la nouvelle théorie des fonctions elliptiques, par ce travail faisant époque, se trouvait fondée (1).
Dans les mêmes mois parurent, dans les Astronomische Nachrichten de Schumacher, les énoncés connus de Jacobi concernant la théorie des transformations; le premier élait daté du 13 juin, le second du 2 août. L'ensemble n’occupait dans le journal guère plus d’une feuille; mais, malgré l’absence de développements, ce n'en était pas moins une œuvre de grande importance. On y trouvait une généralisation de l’ancienne théorie des transformations, telle qu'elle existait depuis Legendre. Toutefois la première généralisation, qui avait été publiée dans le mémoire du juin, et qui d’une certaine manière constituait le premier pas, avait été faite par Legendre lui-même sans que
(t) Cette première partie du mémoire : Recherches sur les fonctions elliptiques, se trouve n° XII, t. 1, de l’ancienne édition, p. 141 à 221 (n° XVI, 1. L, de la nouvelle édition, p. 263 à 351).
THÉORÈMES DE JACOBI. 125 Jacobi en eût connaissance. Le mémoire d'août, qui du reste contenait comme supplément une communication à Legendre du 5 du même mois, élait au contraire d’une plus haute valeur. Jacobi y avait découvert une vérité relalivement d’une grande profondeur.
Malgré cela, comme nous l'avons dit plus haut, la découverte de Jacobi, telle qu'elle se présenta à cette époque, ne pouvait encore être considérée que comme un complément plus large de l’ancienne théorie, on devait l’envisager comme une extension de la doctrine de Legendre. Car, comme cela ressort d’une lecture attentive des articles de Jacobi et de sa lettre à Legendre, aucune des deux grandes idées capitales, soit l'idée de l’inversion, soit celle de l'existence de la double périodicité, ne semble à cette époque être entrée dans son champ visuel. Naturellement on naperçoit alors nulle part une indication quelconque de la généralisation qui en résulterait pour les fonctions élémentaires simplement périodiques, et leur extension dans certaines fonctions nouvelles, douées d’une espèce plus élevée de périodicité.
Si l'on veut désigner la date de septembre comme l’époque remarquable où du fait de ces deux publications la théorie des fonctions elliptiques aurait été découverte simultanément par Abel et Jacobi, on adopte dans ce cas une tradition inexacte. Pour ce qui regarde Abel, cette découverte existait déjà complète non seulement en principe, mais encore dans ses plus importants développements. Par les idées qu’il y avait déposées, par son plan présenté avec clarté et avec ordre, par les indications qu’il avait données, et même par le choix de ses notations — et, joint à cela, par les pensées et les méthodes qu’il avait fait connaître auparavant dans son mémoire de Freiberg (1), — il dominait, nous pouvons le dire, la nouvelle doctrine sur tous les points fondamentaux et dans
(1) No VI, t. 1, de l’ancienne édition (n° XI, t. I, de la nouvelle). — En donnant à ce mémoire, historiquement si important, le nom sous lequel nous l’avons désigné plus haut, nous ne voulons pas dire qu’il ait été sans le moindre doute composé à Freiberg. D’après Holmboe, les mémoires d’Abel publiés dans le Journal avaient été rédigés en français et dans les premiers temps traduits en allemand par Crelle. Mais Holmboe, en les traduisant de nouveau en francais, n’a pas eu les originaux
toute son étendue. Même la seconde partie des Recherches, promise pour le cahier suivant, après l'établissement des principes et les lumineuses indications sur ce qui devait venir ensuite, n'aurait pas élé nécessaire pour le complet achèvement de la théorie ; car sans doute des mathématiciens de rang bien inférieur auraient pu sur ces fondements continuer l'édifice.
Jacobi avait fait une découverte importante. Ce qu’il y avait de plus caractéristique, c'était le passage par des transformations qui s’y rattachaient, et par la transformation dite complémentaire de la multiplication. Le théorème Il, qui traitait de cette mulliplication, avait été seul communiqué par l'auteur à Legendre.
Cette découverte, peut-être un jour à venir, mais sans qu'on en püt absolument répondre, aurait pu conduire à la nouvelle théorie; mais il n'est pas correct de dire que les bases de cette théorie fussent établies par ces propositions.
Que ces mêmes propositions, cependant si peu comparables qu'elles soient, comme points de départ fondamentaux, avec ce qui a été exposé dans le mémoire étendu intitulé Recherches, que ces propositions constituassent un progrès au-dessus de l’ordinaire, c’est ce qui n’est pas moins sûr. Cela ne ressort pas moins clairement des difficultés que présentaient leurs démonstrations.
Le jeune géomètre, moins âgé de deux ans que le jeune Abel, était en effet parvenu seulement par voie d’induclion à ses résultats, et les avait envoyés — sans faire ce qui est un devoir en pareil cas — sans donner une seule indication sur la manière dont il y était parvenu.
Cependant la démonstration était désirée par Schumacher, qui avait fait paraître le théorème principal, mais qui n'avait aucune envie, ainsi qu'il l'écrit à Gauss le 28 août, « à l'avenir de publier de telles annonces toutes nues, sans démonstrations à l'appui. »
sous les yeux. il paraît aussi avoir commis une erreur, en disant qu’Abel n’avait écrit en allemand qu’une très courte note de trois pages (n° XXII, t. Il, de l’ancienne édition; n° XII, t. II, de la nouvelle). Car il dit, le 16 avril 1826 : « Vers la fin de février, je partis. pour Freiberg, où je restai un mois pour composer un mémoire qui devait être inséré dans le Jourr.c!. Je l'ai écrit moi-même en allemand, et il sera imprimé tel qu’il est écrit. »
Schumacher, qui, visiblement, n'avait pas une grande sympathie pour Jacobi, lui fit savoir en outre qu’«il ne trouvait pas l’insertion de tels énoncés tout à fait convenable. » Ce fut là pour Jacobi une puissante excitation à compléter ce qui manquait.
Cependant Legendre n'avait pas encore reçu la lettre de Jacobi, laquelle, outre ce même théorème, contenait aussi le théorème complémentaire. La lettre avait été confiée à un négociant en voyage, et ne parvint à sa destination que dans les derniers jours de novembre ; mais Legendre avait déjà, par les Astronomische Nachrichlen, eu connaissance de la théorie de Jacobi, dans l’étendue correspondante à celle de cette publication, Comme il résulle des témoignages de Schumacher et de Legendre, ce dernier, dès l’abord, n’avait aucune confiance dans cette généralisation de la théorie de la transformation de Jacobi, et il croyait que l’auteur ne pourrait pas démontrer ses théorèmes. Il avait supposé qu'ils étaient inexacts et que c'était simplement une induction trompeuse. On peut juger de l'importance qu'il y attachait cependant, à son point de vue et en considération de la construction de sa propre théorie, d’après cette circonstance que, le cas échéant, il en devait faire un supplément à sa théorie.
La démonstration devait donc être cherchée à de grandes profondeurs. Il en était de même, à plus forte raison, si on voulait l’étendre au théorème complémentaire, ainsi qu’au passage à la multiplication. Ces résultats, avons-nous dit, avaient aussi été envoyés à Legendre depuis le 5 août, bien que leur remise eût été retardée; et aussi, à cette occasion, Jacobi avait omis de faire savoir que ce n'était qu'un intéressant résultat d’induction. Il est important de bien remarquer cette double omission, pour mieux comprendre les événements qui vont maintenant se développer.
Vraisemblablement dans l'espérance illusoire de vaincre assez vite les difficultés, Jacobi, en continuant à garder le silence, se mettait dans une situation de plus en plus difficile. Jusque là toutefois c'était uniquement d’un seul côté que venait la pression : Schumacher pressait pour obtenir la démonstration absente.
Sans aucun doute, Jacobi a été condamné alors aux études les
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plus laborieuses touchant les propriétés des transcendantes en question. C'était seulement ainsi qu'il pouvait espérer de trouver les moyens de justifier ce qu'il n'avait fait que vérifier sur des exemples, et de se tirer ainsi d'embarras. Ces efforts peuvent bien aussi lui avoir permis d'approcher d'assez près et même — ce qui est possible, quoique nous doutions qu'il lui eût été laissé assez de temps avant qu'il fût prévenu par Abel — d'arriver en contact direct avec la découverte fondamentale, comme nous avons vu que ce dernier l'avait fait.
Abstraction faite de ce faux pas, qui pour le présent allait lui causer des embarras et en amener dans la suite de nouveaux, Jacobi dans l’année 1827, cherchant la démonstralion d'une vérité importante qu'il avait trouvée, mais qu'il n'avait pas entièrement pénétrée, se trouvait ainsi dans une position assez semblable à celle d’Abel quatre ans plus Lôt, lorsque celui-ci, à l'occasion de ses «fonctions inverses », s'était embarrassé dans des contradictions et exprimait sa détresse à Degen.
Mais avec cette avance de plusieurs années, on ne devait pas s'attendre à ce que Jacobi, malgré sa puissance de travail et les dons élevés de son esprit, pül dans un laps de temps si court rattraper son émule. De la part d’Abel, il était donc naturel que le grand but capital fût déjà alleint. Avec une vue parfaitement claire sur son œuvre, il pouvait livrer au publie ses théories fondamentales, et il se mit à les exposer suivant un plan müûrement médité et conforme de tous points à la nature des choses. Pour Jacobi, la position était moins favorable. Le génie d’Abel produisait ce que l’autre aurait peut-être produit aussi, si un plus long délai lui eût été accordé. L'œuvre de Jacobi ne consista donc pas à découvrir lui-même les nouvelles frontières — dont il s’élait seulement approché, mais sans finir par les trouver. Au lieu de cela, il transporta les heureuses trouvailles qui lui appartenaient aux pays fertiles que le génie d’Abel lui avait montrés.
Le 18 novembre, Jacobi signa la démonstration de son théorème primaire de transformalion, énoncé dans le Journal de Schumacher. Toutefois la difficulté de découvrir ces démonstralions, fondées sur des vérités profondes, n'avait pas encore complètement disparu; car le théorème complémentaire, celui qui avait été conjointement avec le premier communiqué à Legendre, demeurait toujours sans vérification.
A cette époque, Legendre reçut la lettre de Jacobi restée en retard. Legendre put alors se convaincre que les résultats de Jacobi devaient s’enchaîner entre eux d'une manière exacte, sans toutefois que lui, Legendre, fût aussi en mesure de pénétrer plus avant dans le sujet. Il communiqua alors ces propositions remarquables à l’Académie, et écrivit aussitôt après à Jacobi une lettre témoignant de sa vive approbation. Dans cette lettre, datée du 30 novembre, ainsi qu'il l'avait fait à la séance de l'Académie, il dit en propres termes qu’il voit maintenant que «ce n’est pas sur l'induction, mais bien sur une analyse profonde et rigoureuse, que Jacobi a établi sa proposition générale. » Il témoigne en même temps le désir que l’auteur lui communique l'analyse qui l’a conduit à ces deux formules. La grande expérience qu’il a du maniement de ces matières lui permettra de se contenter d’une simple indication de la méthode ou de son principe fondamental,
Mais non seulement il restait une lacune à combler, attendu que pour le théorème complémentaire aucune vérification n’était encore trouvée, — sans doute, pour celte raison Jacobi n’avait pas même indiqué l'existence d’une seconde proposition de même nature, omission peu naturelle au sujet de ce mémoire, s’il n’y avait pas été contraint, — mais dans la démonstration du théorème primaire, il y avait encore quelque chose qui annonçait que le sujet dans son ensemble n'était pas parfaitement possédé par l’auteur. C'était en tous cas peu satisfaisant, en ce qu’il manquait un développement déductif, par lequel les nouveaux faits pussent se rattacher naturellement aux faits connus. Malgré l'ingéniosité qui apparaît dans les développements, ce côlé faible avait été remarqué, et Legendre le relève aussi, tout en parlant avec grand
éloge de la démonstration de Jacobi, dans une analyse qu'il en donne dans le même journal de Schumacher.
Entre autres choses, il s'exprime ainsi dans un passage de cet arlicle : «lci on doit regretter que l’auteur remplisse la tâche qu'il s'est imposée par une sorte de divination », et en touchant ensuite un point capital, important aussi, dans cette exposition, pour ce qui doit suivre, « sans nous mettre dans le secret des idées dont la filialion l'a amené progressivement à la forme que doit avoir Η 7 pour satisfaire aux conditions du problème. Au reste», ajoute-t-il ensuite, « cette suppression des idées intermédiaires s'explique assez naturellement par la nécessité de ne pas donner trop d'étendue à une démonstration qui devait être insérée dans un Journal scientifique, et il est à croire que quand l’auteur donnera un libre cours au développement de ses idées, dans un ouvrage composé ad hoc, il rétablira les intermédiaires dont l'absence se fait remarquer. »
Combien était sensible cette absence des éléments déductifs relevée par Legendre, c’est certainement une appréciation qu'ont partagée avec lui un bon nombre de lecteurs.
Dans cette démonstration, ou plus exactement, dans cette preuve par vérification, non seulement le premier théorème se trouve rigoureusement établi, mais, ce qui est encore plus essentiel, on y rencontre, dans l’enchainement des conclusions, ce que l’on appelle l'inversion. Et cette idée n’est pas appliquée seulement ici, mais elle l’est aussi dans tous les mémoires suivants. Le résultat, dont la vérité est démontrée revêt par là d’ailleurs une forme différente de celle sous laquelle il avait été présenté d'abord, et de cette forme il ne revient plus maintenant à la forme ancienne.
L'introduction de l'algorithme de l’inversion dans ce mémoire de Jacobi est maintenant ce qui a donné lieu à l'opinion que Jacobi aussi avait découvert le principe de l'inversion. Nous allons donc considérer la succession des dates et l'entrecroise-
ment des travaux, ainsi que l'attitude générale à cette époque.
Le 20 septembre, c'est-à-dire deux mois avant que Jacobi signät la démonstration de son théorème primaire, fut publié — d’après des renseignements recueillis à Berlin, à l’occasion de la préparation d’une nouvelle édition des Œuvres d’Abel — le deuxième fascicule du tome IT du Journal de Crelle, contenant la première partie des Recherches (*). Cette partie du mémoire d’Abel était elle-même d’une étendue considérable. Elle contenait d’abord les propriétés fondamentales des nouvelles fonctions, propriétés qui, d'une manière parfaitement correcte, et conformément au contenu de son $ 1°, furent définies comme se composant de l'inversion, de l'addition et de la double périodicité. Après ces propriétés fondamentales, qui furent désignées par Abel lui-même comme le fond de ses découvertes, viennent les propriétés dérivées. Il explique la théorie de la multiplication, celle de la division et celle du développement en séries. A partir de ce point, le mémoire devait être « prochainement continué. »
Après une courte remarque historique, ce mémoire débute par les mots suivants, qui précisent immédiatement l'idée capitale. « Je me propose », dit l'auteur, « dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, ce qui veut dire, etc... » Et comme nouveau témoignage de ce qu'Abel s'était convaincu que cette idée élait au plus haut degré un point de départ fondamental — sans rappeler de nouveau le petit mémoire inconnu de 1893, dans lequel l’inversion est indiquée d’une manière si précise par ces mots : « les fonctions inverses des transcendantes elliptiques» — nous citerons encore ses paroles, lorsqu'il se décida à donner, dans un mémoire distinct, une suite à ses Recherches. La seconde partie de ce travail (ce qui est caractéristique de son point de vue et de l'unité complète d'esprit et de plan qui y régnait), il la considérait comme faisant avec la
(1) On voit aussi, d’après une lettre à Legendre, datée du 12 janvier 1828, que Jacobi recevait à ce moment le troisième fascicule du tome II. Mais le fascicule suivant, dans lequel il avait espéré trouver la fin des Recherches, portait la date du 12 décembre 1827.
première un seul mémoire (1). Dans un avant-propos précédant cette suite (2), il dit dans les premières paroles de l'introduction :> « Dans le mémoire sur les fonctions elliptiques, inséré dans le tonnes IT et If de ce Journal, j'ai développé plusieurs propriétés de ces fonctions tirées de la considération des fonctions inverses Je vais continuer ces recherches dans ce second mémoire. »
Le Journal de Berlin en question, dès l'époque dont il s’agit avait l'honneur d’être favorisé d'une {hütiger Beforderung Hoher Kôniglich Preussischer Behôrden, et un nombre considérable de ses exemplaires étaient distribués aux divers établissements d'instruction et aux bibliothèques. Sans aucun doute, dans un laps de deux mois, il avait donc eu tout le temps nécessaire pour parvenir à Künigsberg. Nous ne pourrions pas même concevoir qu'il ne fût pas arrivé largement assez tôt, et certainement un mois avant que Jacobi envoyât son mémoire de vérification.
Or l'envie ne peut avoir manqué à Jacobi de se procurer les cahiers du Journal, qui parvenait alors très rapidement à Künigsberg, et, en parliculier, ce deuxième cahier, où étaient insérées les Recherches. Même en supposant que cet ardent travailleur n’eût aucune connaissance de l’arrivée prochaine d'un mémoire si considérable et si important, traitant des sujets qui l’intéressaient profondément, il y avait au moins pour lui-même quelque chose à attendre. Jacobi, qui était docent dans cette université prussienne, collaborait activement au Journal. Juste dans le même cahier où les Recherches avaient paru, on trouve un mémoire de Jacobi, daté du mois de juin; de même on voit que dans ce même mois, ainsi qu'en mai, il avait envoyé deux mémoires, qui cependant ne furent imprimés que dans le troisième cahier. Avant l’époque dont il s'agit, il avait en outre envoyé un certain nombre d’autres mémoires pour le Journal, qui ne purent êlre imprimés que dans le quatrième cahier. Et, chose assez remarquable, il y avait parmi ces envois un petit travail astronomique,
(?) I l'avait aussi indiqué en annonçant la continuation dans le prochain cahier, (?) Nouvelle édition, t, IT, p. 244.
daté du 20 août, tandis qu'il venait, le 2 août, d'adresser son mémoire purement mathématique sur la transformation aux Astronomische Nachrichten. |
Dans ces circonstances, il est peu croyable que le jeune Jacobi, à ce moment, n'ait pas cherché à prendre connaissance du contenu de ces cahiers, aussitôt qu'ils lui sont parvenus. Au milieu des difficultés qui l'environnaient, et avec le puissant intérêt qu’il devait avoir d'étudier à fond un mémoire tel que celui d’Abel, il n’est certainement pas possible que, avant d'envoyer son propre article, il n'ait pas remarqué l'existence de ce travail si important pour lui, ou du moins qu'il ne se soit pas, à un degré quelconque, rendu compte du contenu et de l’objet de ce travail. Or non seulement c’est ici que pour la première fois apparaît l'idée de l’inversion, mais tous les développements y ont été faits en prenant pour base ce principe et à l’aide des premiers éléments; de telle sorte que les fondements de la nouvelle théorie, pour tout lecteur compétent, se montrent au grand jour, avec clarté et rigueur.
Il résulte déjà de ce que nous venons de dire que c’est uniquement par une erreur historique sur les faits réels, fondée sur une connaissance insuffisante des travaux dont on parle, qu’on a été conduit si généralement à dire et redire — dans les livres et dans les mémoires — que Jacobi a dû fonder en même temps qu’Abel la nouvelle théorie des fonctions elliptiques et qu’il l'a fondée sur la base de linversion. Gette opinion a passé par emprunt d’un auteur à l’autre, souvent même avec des altérations et des méprises, ce qui devait nécessairement arriver dans ces pérégrinations, les sources souvent n'étant pas consultées, ou l'accès n'en étant pas toujours possible.
Il aurait pu se faire que Jacobi lui-même fit valoir ses réclamations. Mais l'introduction de cette idée dans son mémoire de vérification ne s'est pas produite de sa part avec la prétention que ses propres recherches eussent révélé une idée fondamentale; une idée, en d’autres termes, qui au même moment qu’elle était conçue indépendamment d'Abel — qui l'avait déjà exposée
— se serait offerte à ses yeux avec toute sa porlée, et qui se serait trouvée confirmée ensuite par des travaux d'essais. Il n’est pas fait la plus légère mention de ce que, derrière ces documents à l'appui de ses propositions, se cachait un plan détaillé, dressé par lui-même, d’après lequel une branche de la science venait de prendre naissance, une nouvelle méthode, continuant et embrassant les plus élémentaires et les plus importantes de nos fonctions transcendantes. |
Il eût été doublement nécessaire que l’auteur eût déclaré si les choses s'étaient passées ainsi relativement aux Recherches maintenant publiées, si sur ce point il y avait quelque chose à réclamer. Il'aurail dû, alors ou peu de temps après, rédiger une justification de l'indépendance d’une telle idée fondamentale, émise immédiatement après l'apparition de la même idée d'un autre côté, justification où il se serait expliqué au sujet d’une découverte personnelle d'une si haute valeur, mais par laquelle il aurait perdu le droit de première publication. Car dans le cas même où les Recherches, contre toute probabilité, seraient parvenues à une époque postérieure entre les mains de Jacobi, alors Jacobi ne pouvait pas ignorer le droit de priorité d’Abel et les circonstances de la publication de son mémoire. Certainement ce fut dans ce temps là, pour la plupart des lecteurs, une chose dont on ne s'est pas inquiété, et qui par suite est tombée dans l'obscurité. Il est très certain qu’il aurait trouvé une occasion pour proclamer, avec clarté et précision, que l’inversion était aussi une idée qui lui appartenait, — bien qu’Abel eût pris les devants, — en tant que lui, Jacobi, non seulement avait fait indépendamment cette découverte, mais en même temps parce qu’il avait aperçu que par là il avait fait quelque chose de plus élevé que résoudre un grand problème de transformation.
C’est ainsi qu'il parle expressément de son droit de priorité visà-vis d’Abel, concernant la publication de la théorie de la transformation elle-même. De même aussi Abel, de son côté, quand Jacobi a pris les devants sur lui, soutient qu'il a établi indépendamment et depuis longtemps ses propres théorèmes de transfor-
mation. En ce qui concerne l’inversion, le grand point capital, Jacobi ne prétend pas y avoir reconnu avant l'intervention d’Abel un principe fondamental, d’où devait sortir une branche de la science.
On ne voit non plus aucune trace d’une pensée si importante, même dans la dernière lettre à Legendre du 5 août. Dans le cas le plus favorable linversion a donc été pour lui une idée toute nouvelle, et même dans ce cas elle ne s'est pas présentée comme un principe, mais seulement comme un moyen. Chez Abel, au contraire, l'idée avait müri pendant longtemps, et elle avait grandi chez lui depuis l'été de 1823, date la plus récente qu'on puisse admettre pour son origine.
Les choses se sont plutôt passées ainsi : Jacobi n’a pas du tout pensé à donner un précis original et lui appartenant en propre d'une branche de mathématiques, qui dût comprendre les fonctions circulaires; loin de là, en s’'adonnant à ces recherches d'une haute importance certainement et, malgré leur programme limité, exigeant encore des efforts ingénieux, il ne sortit pas de la période des travaux préparatoires. Il en était encore au point, où Abel avait été longtemps auparavant, sur la voie des recherches naissantes, voie souvent obscure et douteuse, et ne connaissait qu’à demi son but. Il n'était pas encore maître de son champ d'opération ; il avait élé et, pour ce qui touche des points nombreux et importants, il était encore dans l'embarras. Pour ce penseur qui s'était aventuré si avant, il y avait encore maint combat à soutenir et maints efforts à faire, avant que les difficultés qui l’entouraient pussent être surmontées.
Il fallut ainsi que la nécessité le conduisit — comme l'avenir l’a bien confirmé — aux études les plus laborieuses et les plus assidues du travail fondamental d’Abel. C’est par là seulement que, avec la moindre perte de temps, il put parvenir à la clarté qu’il cherchait, et se tirer de la gêne où le mettaient autant son génie primesautier que son impatience juvénile.
L'inversion jacobienne se présente, en conformité avec la place qui lui est due, comme une idée entercalée, non comme une idée depuis longtemps dominante et pénélrante. Elle se subordonne au problème spécial, au lieu de le dominer. L'inversion est donc ici quelque chose d’intermédiaire, moyennant quoi les considérations sont facilitées et la forme est changée; c’est une chose utile, dont on aurait pu se passer. Rien, en réalité ne s'opposerait à ce qu'on effectuât la démonstration avec les notations de Legendre, comme cela eut lieu en etfet exclusivement, lorsque les résultats furent publiés pour la première fois. L'exposition tout entière nous apparait pour ainsi dire traversée par un double courant, ce qui s’accorde bien, en effet, avec la position contraire, assignée par Jacobi, vers le milieu du mémoire, à la grande idée nouvelle. Et en considérant les choses au point de vue de la forme, on ressent la même impression que si c'était à l'aide d’une pensée reçue du dehors ou venue en retard que Jacobi eût mené à bonne fin la démonstration, objet de tant d'efforts, ou du moins qu’il eût pu introduire par là dans cette démonstration une modification importante.
Mais, quoi que l’on puisse maintenant plus ou moins légitimement conclure de la place accordée fortuitement à l’inversion, il est toutefois certain que Jacobi, en l’introduisant, ne lui attribue immédiatement aucune autre importance que celle de fournir une notation plus simple. Il annonce en ces mots : Nolatione nova simpliciorique abhinc ular. En admettant que ce ne fül pas un emprunt fait à ces Recherches, dont la publication était alors un fait, cette innovation n’était encore considérée que comme un algorithme abréviatif et commode dans le calcul, et nullement comme un principe important, devant élargir le cercle des fonctions connues. D'autre part, si l'inversion est un emprunt fait à Abel, — ce qui ne peut faire l’objet d’un doute si l’on a égard au temps et aux circonstances, — et si seulement, pour une raison quelconque, la forme a été changée, le dessein de Jacobi, cela va sans dire, n'a pu être de prime-abord que de tirer profit de ce que la science avait fait connaîlre depuis lors, et particulièrement
