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il a voulu introduire dans le maniement du problème qu'il traitait une amélioration consistant en une notation plus commode et un mode de considération simplifié. Mais il ne pouvait plus alors parler de l'importance capitale de l’inversion — à moins de citer le nom d’Abel; car l’idée, prise dans le sens élevé, comme un grand principe, appartenait à un autre.

Mais cette manière dont Jacobi désigne les choses ne montre pas seulement quelle était la vraie situation. Si l'on compare ce qui est énoncé dans les Fundamenta nova avec ce que l’on trouve dans son mémoire de vérification, on arrive au même résultat; on est conduit à la même conclusion, que, dans la rédaction du dernier, il a mis à profit les Recherches d'Abel. Dans le mémoire cité, contenant sa démonstration, Jacobi applique en réalité l'addition aux fonctions elliptiques, c'est-à-dire l’addition sous la forme qu’elle revêt au moyen de l'inversion. Il ne vise ici immédiatement aucun but indépendant, et il ne s’arrête pas à cet objet. Il est plutôt aisé de voir que toutes ces considérations ont pris une place secondaire, et qu'elles ne servent que de point de passage dans sa démonstration. Dans les Fundamenta nova, Jacobi attribue l'addition et la multiplication à Abel, sans revendiquer cette addition, malgré son importance essentielle, comme une chose à laquelle il serait parvenu indépendamment. Mais lorsque ainsi, même par cette voie, il ne fait aucune réclamation au sujet de l’inversion, cette idée fondamentale n’a pas été certainement dans sa propre pensée. L’addition abélienne ne signifie rien, en effet, sans l’inversion; car c’est jusqu'à Euler que remonte le théorème d’addition pour les {ranscendantes elliptiques. Il n’est donc pas douteux que Jacobi a eu les Recherches entre les mains, qu'il les a étudiées et qu’il a profité de leurs ressources.

On ne pourra pas dire non plus que cette façon d’agir était une renonciation par laquelle il abandonnait tout le mérite à Abel comme au premier inventeur. Ce serait une abnégation peu naturelle, et aussi Jacobi, dans son ouvrage fondamental publié quelques années plus tard, revendique trop énergiquement ses droits, en omettant même souvent le nom d’Abel, pour que la supposition d’une telle intention soit admissible.

Certainement Jacobi n’a donc eu aucune part dans l'inversion. Mais quand même, dans ses travaux préliminaires, il aurait employé une notation simplificative, coïncidant fortuitement avec celle de l’inversion, il avait encore un long chemin à parcourir avant d'arriver à y voir un vrai principe, même un principe d’une importance exceptionnelle. Après de longues études méthodiques et des essais attentifs, il dut être convaincu, avec une entière évidence, que c'était là le vrai chemin à suivre. Sans la vue des grands pays à conquérir, on n’a pas encore la découverte, mais tout au plus sa possibilité lointaine.

Mais on rencontre encore d’autres lacunes essentielles dans le mémoire de vérification de Jacobi, lacunes importantes, si l'on voulait conclure de ce mémoire qu’à ce moment, sinon plus tôt, il venait de fonder la théorie des fonctions elliptiques. Il y manque ainsi cette utilisation du principe des imaginaires, reliée avec l'idée de linversion de manière que la double périodicité puisse en découler. En réalité, on n'obtient ici que la périodicité simple, et il n'y a plus ainsi rien de nouveau, mais le résultat est semblable à celui de la trigonométrie dans la forme de l'expression, qui était calquée sur le modèle des notations de Legendre. Sous cette forme trigonométrique on ne trouvait pas encore la généralisation des fonctions circulaires, et moins encore celle des fonctions exponentielles.

On ne pouvait pas non plus dire que des résultats comme les précédents lui appartinssent; car tout ici est attribué par luimême à Abel d’une manière précise. Cela résulte, et bien d’autres choses aussi, de la lettre de Jacobi à Legendre du 12 janvier 1828.

Cette lettre est d’une grande importance, et cela sous plusieurs rapports en dehors de celui qui nous occupe. Jacobi, comme nous allons voir, exprime sa reconnaissance des éloges que Legendre lui a donnés; mais il n’ajoute sous une forme précise aucune restriction aux paroles partant du cœur qui ont élé prononcées à sa louange en pleine Académie, bien que ces paroles continssent une erreur, dans laquelle Jacobi, par son silence sur la vraie

position de la question avait fait tomber le vieux géomètre. « Heureusement », avait dit celui-ci dans 5a communication élogieuse, « l'envoi de cette lettre » (que Legendre avait eu l'intention, quelque temps auparavant, d'envoyer à Jacobi) «a été assez retardé pour que j'aie pu reconnaître que c'était moi qui me trompais, et que M. Jacobi, sur ce point comme sur les autres, avait complètement raison; et je l'ai reconnu avec d’autant plus de plaisir que c’est un sujet dont je m'occupe depuis plus de quarante ans, qne j'ai ainsi été surpassé par M. Jacobi, mon émule. Ce n’est pas par induction », ajoule-t-il encore, « que M. Jacobi est parvenu aux résultats qu'il a publiés; c’est par une théorie profonde et infaillible, et à l’aide de deux théorèmes entièrement nouveaux, qu'il a fait cette découverte, qui agrandit considérablement la théorie des fonctions elliptiques » (suivant le langage adopté aujourd’hui, il s’agit des transcendantes elliptiques, la nomenclature ayant subi un changement depuis le temps de Legendre), «et en fait une branche parfaite dans son genre, et qui ne peut être comparée à aucune autre.

«Une principale conséquence entre une infinité d’autres qui résultent de cette savante analyse », poursuit-il encore, «c’est que la trisection de la fonction F, qui dépend en général d’une équation algébrique du neuvième degré, se réduit à deux équations du troisième; que la quintisection, qui est du vingt-cinquième degré, se réduit à deux équations du cinquième; de sorte que la considération des propriétés de notre transcendante sert à résoudre des problèmes d'analyse algébrique d’une grande difficulté et en nombre infini. »

Jacobi exprime sa gratitude en ces termes : «Je chercherais en vain à vous décrire quels furent mes sentiments en recevant votre lettre du 30 novembre, et en même temps le numéro du Globe qui contient la communication que vous avez bien voulu faire à l’Académie des Sciences de mes essais. Je me sentis confus» accablé de cet excès de bontés que vous m'avez eues, et du sentiment que jamais de ma vie Je n’en saurai mériter de pareilles. Comment vous rendre grâce? Quelle satisfaction pour moi que

l’homme que j'admirais, tout en dévorant ses écrits, a bien voulu accueillir mes travaux avec une bonté si rare et si précieuse! Tout en manquant de paroles qui soient de dignes interprètes de mes sentiments, je n’y saurai répondre qu'en redoublant mes efforts à pousser plus loin les belles théories dont vous êtes le créateur. »

On ne peut le nier, la position de Jacobi était difficile. Son premier silence avait amené une conséquence inattendue et fatale; en même temps il y avait pour lui beaucoup d'honneur mérité. En présence de cela, et avec l'espoir de vaincre promptement les difficultés, il lui devait sembler bien dur de repousser résolument ces fausses apparences, qui enveloppaient de toutes parts ses mérites réels. Et il succomba sous l’empire d’une forte tentation.

Il y a ici une étrangeté, qui se présente presque comme étant plus qu’un pur hasard : — c’est maintenant Abel que Jacobi nomme pour la première fois, et qu'il introduit auprès de Legendre. En faisant usage de la notation dont il s'était servi depuis qu’il avait écrit son mémoire de vérification, il explique à Legendre des parties essentielles du contenu des Recherches I. Et en suivant attentivement la marche de ses idées, on voit que les passages de ce mémoire qu'il expose de préférence sont précisément ceux qui pourraient avoir un intérêt pour ouvrir l'intelligence du passage du théorème primaire au théorème secondaire, dont il cherchait la démonstration, — mais une démonstration aussi indépendante que possible de toute connexion avec les découvertes d’Abel. Il cite entre autres un théorème fondamental d’Abel, comme il l'appelle, et c'était justement très utile en ce sens pour Jacobi. Ce théorème est donc ici attribué par lui à Abel. Mais plus tard, dans une lettre à Legendre, datée du 49 avril, Jacobi explique qu’il avait trouvé lui-même ce théorème; et que par là il avait été conduit à deviner son théorème complémentaire. Ce dernier, très simple et si fondamental pour les recherches de Jacobi, coïncide ainsi avec celui qu’il avait précédemment attribué à Abel, — mais à la condition qu’il fût dépouillé de son costume d’inversion. Jacobi passe ensuite à la double

THÉORÈMES DE JACOBI. 141 périodicité, qu'il ne revendique pas pour lui-même, et il expose la division d’Abel, si importante pour la théorie de la transformation ; après quoi il passe à la division de la lemniscate. Enfin il fait remarquer chez Abel le passage au développement des fonctions elliptiques en séries infinies, avec cette observation, qu'ici il n'existe plus aucune difficulté.

Il ajoute ensuite : « Vous m'avez permis, Monsieur, de vous communiquer l’analyse dont je me sers. Une démonstration rigoureuse du théorème général concernant les transformations s’'imprime à présent dans le journal de M. Schumacher; elle vous sera envoyée aussitôt qu’elle sera imprimée. Mes recherches ultérieures sont encore loin d'êtres finies, etc. »

Avec ces paroles, qui éveillent chez Legendre lidée que Jacobi traiterait dans le journal de Schumacher et son premier et son second théorème de transformation, Jacobi se tire maintenant d'embarras à l'égard de son théorème complémentaire, qu’il était pour Legendre aussi important d'approfondir que le théorème primaire. À la place d’une courte explication des idées conductrices de ces deux démonstrations — c'était là ce que demandait Legendre — il lui arriva ainsi une longue exposition des théorèmes d’Abel, et ensuite il lui fut promis une analyse, qui était en partie faite, mais que l’on devait croire destinée à être prochainement complétée dans le Journal. Finalement Jacobi profite de l'occasion pour exposer ses recherches concernant les équations modulaires, etc., après quoi il termine en renouvelant l'expression de sa reconnaissance : «Adieu, Monsieur, daignez recevoir les respects les plus profonds que m'inspirent la supériorité de vos lumières et la générosité de vos sentiments. Jamais de ma vie je n'oublierai cette bonté de père avec laquelle vous avez voulu m'encourager dans la carrière des sciences. Votre dévoué serviteur, C. G. J. Jacobi.» Immédiatement après on lit en postscriplum : «Le troisième cahier du Journal de Crelle, que je viens de recevoir, ne contient pas encore la suite du Mémoire de M. Abel (1). »

(!) I s’agit de la suite des Recherches. La première partie avait été publiée dans le 2° cahier du tome II du Journal, et il fut ajouté à la fin du mémoire que l’article serait continué dans le prochain cahier, par suite le 8°.

Mais quand maintenant linversion n'est pas revendiquée comme un principe appartenant aussi à Jacobi;, quand tout indique que c’est un emprunt, qui ne joue d'autre rôle que celui de simplifier la notation; quand la nouvelle addition, issue de l'idée de l’inversion, est dans un autre endroit attribuée à Abel, également sans aucune réclamation de la part de Jacobi; quand la double périodicité n'apparaît même pas; quand il en est de même aussi pour la multiplication — qui est liée à la double périodicité aussi bien qu'à l'addition d’Abel, — la multiplication que Jacobi à plusieurs reprises reconnaît comme appartenant à Abel; — quand, à plus forte raison, la division est absente aussi; quand on ne rencontre pas davantage les développements en séries des nouvelles espèces de fonctions — toutes choses en réalité comprenant ce qu'il y a de plus fondamental, et qui, dans la partie des Recherches publiée en septembre, se trouvent exposées au grand complet; — quand les choses se sont passées ainsi, — alors le mémoire de Jacobi relatif à la découverte des fonclions ellipliques n'a pas été un fondement, mais seulement un beau et important surhaussement de l'édifice.

Bien plus, malgré tout ce qu'il y a de fondamental introduit dans ce mémoire et dans les notes et additions qui l'ont suivi, jusqu’à l'apparition des Fundamenta nova; malgré tous ces éléments empruntés aux Recherches, parce que Jacobi, tout en traitant son problème de transformation, s’efforçait aussi de donner des développements et des amplifications à des thèmes, qui, quant à leurs bases, se trouvaient déjà exposés dans ce mémoire d'Abel; malgré l’emploi fréquent qu'il était ainsi à même de faire des ressources de son devancier, et malgré l’enchaînement de plus en plus étroit qui s'opérait entre les idées et les sujets à traiter des deux côtés, voici quelle était encore la position réelle : de ces travaux de Jacobi, dans lesquels si naturellement l’ordre méthodique, à partir des principes mêmes, manque et devait manquer — la nouvelle doctrine ne pouvait même se dégager avec clarté.

On a de cela, en effet, un témoignage, l'attitude de Legendre en face des découvertes dont il s’agit. Le vieux maître, pendant

une longue suile d'années, s'était occupé de la théorie des transcendantes elliptiques. Son intérêt s'était fortement concentré sur les recherches de Jacobi, plus rapprochées des siennes propres que celles d’Abel. Aussi était-ce Jacobi qu'il étudiait de préférence, tandis qu'il ne faisait que peu d'efforts pour pénétrer ce qui chez Abel était une exposition de principes. Mais Legendre voyait seulement ce qui était chez Jacobi, dans ces courtes notes peu développées, c'est-à-dire tout ce qui existait, tant que l'on ne confrontait pas avec les sources, et avant que les Fundamenta nova n'eussent encore paru. Il y voyait traitée une suite de problèmes élevés et ingénieux sur les parties transcendantes de l'analyse mathématique, et cela par des procédés qui se rapprochaient intimement de son propre cercle de connaissances. Il ne s'apercevait pas, et il fut longtemps à s’apercevoir, qu'un nouveau domaine de fonctions s'était isolé de l'ensemble.

Mais ce défaut de clairvoyance était certainement bien moins la faute de l'éminent penseur que l'on se plait à le croire : cela tenait plutôt à ce que tout se développait de telle manière qu'il ne lui était pas possible de se faire un aperçu clair de ce que la nouvelle investigation portait dans son sein, au moyen de ces travaux sous forme de notes. Il n'avait pas non plus été possible à Jacobi dans ses lettres de s'étendre avec assez de détails sur cette question : de quelle manière, de la théorie des transcendantes, s’était-il détaché une théorie des fonctions elliptiques, analogue avec celle des fonctions trigonométriques? Le nom d’Abel aurait été le seul à invoquer dans ce cas; car c'était une œuvre d'Abel. Ou, en d'autres termes, l'introduction des fonctions inverses était l'ère nouvelle, et — avec toute la certitude à laquelle on puisse atteindre par la voie des conclusions — à l'apparition de cette ère, Jacobi n’a pris aucune part.

Ce qu'il faisait, c'était de bâtir sur les anciennes fondalions un grand problème, et ensuite, avec l’aide des nouvelles idées créatrices d’Abel, de transporter ses recherches dans le domaine, maintenant créé, des fonclions elliptiques. En particulier, de son mémoire de vérification, il n'en a fait rien de plus, et n’en pouvait rien faire.

Le mérite de Jacobi a donc consisté — non pas à poser les fondements — mais à exhausser l'édifice. En se rapprochant, par un vaste effort de pensée, des découvertes abéliennes, il pénétra dans un nouveau cercle d'idées, puis il les remania dans le sens de ses propres découvertes, et, à la fin, il les domina de plus en plus, et leur ouvrit une entrée, quoique certainement sous une forme plus étroite, qui pouvait offrir une plus grande facilité à la majorité des lecteurs.

Nous ferons une dernière remarque.

Dans son mémoire du 18 novembre, où il introduit sa notation de l'inversion, Jacobi ne cite nulle part, avons-nous dit, le nom d'Abel. Cette abstention de citer les origines lorsqu'il s'agissait d'un objet d'une si haute importance, ou, en prenant Îles choses au mieux, si l'idée pouvait lui avoir appartenu en même temps, ce procédé de ne pas s'expliquer d'une manière précise sur l'indépendance de sa découverte et sur son droit de copropriété, — tout cela constitue une manière d'agir que nous ne pouvons considérer que comme une faute du jeune mathématicien.

C'était une faute semblable à celle qu'il commit lorsque, dans les mémoires et les notes, peu considérables d’ailleurs en étendue et en nombre, qu'Abel à pu voir de lui avant sa mort, les découvertes de celui-ci de quelque importance ne sont citées jamais comme la source où Jacobi avait puisé. A plus forte raison le géomètre de Künigsberg n'a pas désigné ces mêmes découvertes de son devancier comme la vraie base sur laquelle ses recherches, à leur début, étaient fondées pour une si large part.

Et cela bien qu'en même temps et à plusieurs reprises, il le reconnaisse pour Legendre, comme il l'explique plus tard, quoiqu’assez incomplètement, dans ses Fundumenta nova.

Cette omission de citer le nom d’Abel a été une faute, comparable aussi à celle qu'il avait commise en n’indiquant pas à Schumacher et à Legendre que ses théorèmes n'étaient qu'un résultat de l'induction, et même qu'un peu plus tard, en face de l'éloge flatteur que lui décernait Legendre en pleine Académie, il

laissait le vénérable savant dans la croyance que les théorèmes élaient le résultat d’une analyse rigoureuse.

Mais on peut dire pour la défense de Jacobi, très jeune alors, que, dans celte occasion, il n'avait pu songer aux malentendus qui pouvaient se produire par la suite. D'autre part, il n'aura pas tout d'abord jugé nécessaire de faire remarquer que sa nolalion de l’inversion dépendait de cette idée de l'inversion, qui était déjà, lorsqu'il envoya à Schumacher sa démonstration, sous les yeux de tous les lecteurs mathématiciens dans les Recherches, publiées depuis deux mois.

Et, ensuite, le temps s’écoula, sans que le malentendu fût redressé. Toute l'affaire fut oubliée.