VOYAGE À COPENHAGUE

On voit par là que, dès avant son départ pour Copenhague, il avait rédigé un petit mémoire, auquel il avait donné en parlie un titre français, et dans lequel l’idée de l'inversion des intégrales elliptiques s'était fait jour. Cette idée fondamentale, qui devait se montrer si fructueuse, existait donc déjà dans son premier germe, bien que sous une forme, à ce qu'il semble, défectueuse. C’est grâce à cette idée que, peu de temps après, les découvertes capitales faites par Legendre quarante ans auparavant et peu appréciées de ses compatriotes, trouvèrent enfin leur voie féconde.

Parmi les mémoires qu’Abel n’a jamais publiés lui-même, sans doute à cause des fautes qu’il y avait reconnues, et que Holmboe a désignés, d’après ce que nous avons dit plus haut, comme au moins rédigés avant qu'il entreprit son grand voyage, celui dont nous parlons est précisément le huitième du tome second (1). Ge mémoire est aussi très court, écrit en français, et inséré comme le premier de la série de ses mémoires composés dans cette langue, C’est là que l’idée de l’inversion a été formulée; mais elle y est appliquée à des fonctions d’un degré trop haut de généralité, plus haut que celui des transcendantes elliptiques, ce qui rend le résultat de l'inversion illégitime et inexact en dehors du cas restreint de ces transcendantes. Il est vraisemblable, malgré l'emploi d'une dénomination particulière ne concordant pas avec le titre « Propriétés remarquables, etc. », que c’est bien ce mémoire qui est en cause. Dans le cas contraire, il faudrait que le travail désigné comme mémoire n'eût pas été plus tard admis par Holmboe dans les Œuvres complètes, bien que le mémoire cité avec son résultat défectueux, traitant essentiellement du même objet, y ait été inséré. Il est bien naturel aussi d'admettre que, dans une lettre à un ami un peu au courant de ces choses, l’auteur se serve d’une dénomination abrégée et contenant l'essentiel, {ranscendantes ellipliques, au lieu d'employer une expression complètement exacte, mais très longue et très incommode. Il lui aurait fallu, en effet, pour cela se servir des formules mêmes,

(1) I a conservé ce numéro dans la nouvelie édition.

et encore ajouler les conditions limitatives. Il ne possédait pas le mot commode de transcendantes abéliennes. Donc la nonconcordance des titres n'entraîne pas ici la non-identité des ouvrages. Cette désignation abrégée a sans doute été pour Holmboe suffisamment intelligible, la partie essentielle de cette communication ne pouvant être que ce qui concernait les transcendantes elliptiques de Legendre.

Si maintenant les choses se sont passées ainsi, il faut non seulement qu'Abel à cette époque soit parvenu, ou du moins ait été très près de parvenir à l’inversion des transcendantes ellipliques, — qui lui ouvrait une vue sur un vaste domaine de fonctions, non encore exploré, et comprenant les fonctions connues, trigonométriques ct exponentielles, comme de simples cas particuliers, — mais il doit aussi avoir découvert la belle propriété de ces fonctions, la double périodicité, bien que dans l'ensemble il lui restât encore quelque chose d’inexpliqué. En tout cas, cette découverte d'Abel et cette heureuse idée sous sa forme encore imparfaite appartiennent à une époque antérieure à son départ pour son grand voyage; l’idée était déjà à sa première période de formation avant l'été de 1893.

Il est extrêmement probable qu'en poursuivant maintenant son résultat, il n’a fait que s’agiter autour de cette obscure énigme qui, plus tard, plusieurs années même après sa mort, arrêta tout progrès sur ce point, et présenta quelque temps encore un obstacle insurmontable à la découverte ultérieure des fonctions abéliennes, — même longtemps après la découverte de son grand théorème. La lutte pour l’inversion des intégrales abéliennes pouvait avoir déjà commencé dans le silence, bien que les moyens de triompher sûrement ne fussent pas encore prêts.

Le fait de la périodicité, qu’il avait constaté dans ce mémoire, devait en réalité amener promptement un génie aussi pénétrant à se heurter contre les difficultés les plus insolubles : limpossibilité d'une périodicité plus élevée que la périodicité double, et, d'autre part, l’existence vraisemblable de cette périodicité, déduite d'un raisonnement exact en apparence. Il est difficile d'admettre

VOYAGE A COPENHAGUE. 15 qu'Abel ne se soit pas arrêlé à ces difficultés, bien que ses mémoires postérieurs ne contiennent là-dessus aucune indication ; on a seulement connaissance par la lettre précédente de son embarras d’avoir, dans son petit mémoire sur l’inversion, démontré une chose impossible. D'ailleurs, le résultat obtenu était d’un intérêt trop grand et trop évident, il était trop beau et en apparence trop simple et trop fécond, pour que l'on puisse admettre qu’Abel ait abandonné ses méditations sur ce point.

L’inexactitude du raisonnement, qui avec une grande probabilité doit être celui du petit mémoire, et qui avait bien pu le mettre dans l'embarras, en lui arrachant son exclamation désolée, « Dieu sait comment je m'en tirerai! » dépendait, comme nous croyons et comme nous l'avons aussi indiqué plus haut, de l'imperfection et d’une certaine incorrection des mathématiques de celte époque, et de la manière dont les géomètres concevaient certaines notions, manière qui, dans la direction que l'on avait suivie jusque-là, n'avait pas encore fait sentir assez clairement et assez généralement son insuffisance.

Abel avait eu l'avantage de s'être livré de bonne heure à l'étude approfondie des ouvrages classiques. Euler, Lagrange et Legendre avaient été les premiers maîtres de sa jeunesse, et avaient développé devant lui leurs riches et lumineuses pensées. De nouvelles voies semblaient s'ouvrir vers des régions inconnues, et cependant les barrières étaient encore pour lui infranchissables. — Il fallait revenir en arrière pour jeter dans les profondeurs de la science un coup d'œil réformateur. Il fallait les éclairer d’une plus vive lumière, et cela exigeait un génie puissant, pénétrant et exempt de préjugés, qui ne se laissât pas ébranler par ce qui était affirmé, enseigné et admis depuis les anciens temps. Abel était un génie de cette trempe.

A l'époque dont nous parlons, il ne s'était pas encore élevé à ces hauteurs. [l reculait souvent en face d'insurmontables difficultés. Comment arriva-t-il dans la suite, en se limitant plus sagement et en tournant les obstacles jusqu’à ce qu'il eût trouvé un passage pour les franchir, c’est ce que nous exposerons plus

tard en mentionnant aussi la part prise par Jacobi dans ce travail de découverte.

Après un court séjour à Copenhague, dont il estima avoir tiré bon profit, Abel se remit à travailler sans relâche dans sa science d'adoption. C'étaient les grands travaux qui maintenant se préparaient en silence, tandis que sur d’autres points il luttait encore contre les difficultés.

Amené malgré lui sur un terrain qui lui était étranger, nous le verrons éprouver un nouveau et sensible désagrément — qui ne fut peut-être pas sans compensation pour le jeune géomètre. Cette déception, comme celles qu’il avait déjà subies auparavant, l'obligea à l'avenir d'observer, dans ses raisonnements comme aussi dans la publication de ses travaux, la prudente réserve qui est la marque du véritable savant, et qui est doublement nécessaire chez celui que ses larges vues et ses idées hardies portent à soulever des problèmes qui ouvrent une ère nouvelle.

L’attention des savants de Christiania fut en particulier attirée sur un mémoire écrit en français, «sur l'intégration des formules différentielles ». Ce mémoire, dont l'existence, d’ailleurs, à élé jusqu'à présent complètement ignorée du monde mathématique, et qui lui servit de recommandation pour le secours qu'on lui accorda, et de preuve à l'appui de la noble démarche faite auprès de l'Université, ce mémoire fut jugé très favorablement par Rasmussen et Hansteen. A cette occasion, les deux professeurs, « dans la conviction que c’est un devoir pour les directeurs de l’Université, lorsqu'ils rencontrent de rares dispositions naturelles pour telle ou telle science, de contribuer de toutes leurs forces à en favoriser le complet développement », intervinrent en sa faveur, pour lui obtenir de l'État un secours que l'Université se trouvait hors d'état de lui fournir de ses propres ressources.

Le mémoire d’Abel obtint le rare honneur que le Sénat de l'Université «l’envoya au gouvernement » , en appelant son attention sur l'utilité pour le jeune géomètre d'un séjour à l'étranger afin

d'y compléter ses études (1). IT proposa en conséquence, dans sa lettre au Ministère des cultes et de l'instruction publique, en date du 14 janvier 1824, qu'il fût accordé à Abel une indemnité de voyage de 90 speciedaler argent (?) par mois pour dix-huit mois; qu'à partir du 1% janvier 1824, et «jusqu'au moment où il pourrait partir pour son voyage, on voulüt bien lui allouer un un secours mensuel de 20 spd. (?) », et enfin qu'on y ajoutât une somme de 150 spd. (*) pour son équipement ». Le Sénat terminait en exprimant sa conviction que « par ce moyen on gagnerait un homme remarquable pour la science, une gloire pour sa patrie, et un citoyen qui, par son talent hors ligne dans sa profession, paierait avec usure l’aide qu'on lui accorderait aujourd'hui. »

Le Ministère des cultes, auquel le mémoire d’Abel avait été soumis avec la lettre dont nous venons de parler, demanda, le 19 février suivant, au Sénat son avis, pour savoir Jusqu'à quel point il ne serait pas bon que, avant d'obtenir l'indemnité de voyage, Abel commençât « par demeurer encore une couple d'années à l'Université, avec un secours suffisant, fourni par l'État, afin de se perfectionner davantage dans les langues et dans d’autres connaissances accessoires, dans lesquelles, vu son jeune âge, on aurait lieu de penser qu’il n’a pas encore fait des progrès suffisants. »

Le Sénat répondit, le 23 du même mois, que, bien qu Abel eût acquis dans les humanités un bon fonds de connaissances, il ne lui serait cependant pas inutile de passer encore une année à l'Université, pour étendre son développement scientifique, et « peut-être pour se perfectionner dans les langues savantes. »

Après ces concessions de l’Université, le ministère céda de son côté, sans toutefois s'avancer aussi loin que les membres du Sénat. Le 29 mars 1824, une décision royale accorde à Abel une

(t) On ignore ce qu’est devenu depuis lors ce mémoire. [1 aura sans doute été retiré, car les recherches faites plus tard au Ministère des cultes ont été sans résultat.

(?) Environ 264 francs.

(3) 106 francs.

(#) 792 francs.

pension annuelle de 200 spd. (1) pendant la durée de deux années, pour continuer ses éludes à l’Université de Norvège et pour se perfectionner dans les langues savantes et les autres sciences uliles à ses études spéciales, les Mathématiques.

Vers l’époque où ces questions concernant la pension de secours étaient en discussion entre le Sénat et le Ministère des cultes, Abel entreprit, sur le conseil du professeur Hansteen, des recherches au sujet de l'influence de la Lune sur le pendule, principalement pour déterminer la variation d'intensité de la pesanteur et l'inégalité qui en résulterait dans la marche du pendule. « Les intéressantes recherches d’Abel, » dit Hansteen, «ont démontré que cette inégalité est si petite, que le plus souvent on n'a pas à en tenir compte; mais, au contraire, la variation de Ja direction est tellement sensible que, dans l'état actuel de perfection des instruments astronomiques, on ne pourra plus la négliger. »

Abel cependant, par ce mémoire, imprimé dans le Magazin for Naturvidenskaberne (1824, 1% semestre, fascicule 2), se préparait, comme nous l'avons annoncé plus haut, un sérieux échec, qui, à cause de la célébrité acquise plus tard par l’auteur, a eu un certain retentissement.

Hansteen envoya le mémoire d’Abel à Schumacher, à Altona, pour qu'il fût inséré dans les Asfronomische Nachrichten. Le 2 août 1824, Schumacher répondait à Hansteen : « Je n'imprimerai pas le mémoire d’Abel. Il a oublié que la Lune attire aussi le centre de la Terre, et qu’ainsi on n’a pas à considérer l'attraction absolue de la Lune sur le pendule, mais seulement la différence des attractions exercées sur celui-ci et sur le centre de la Terre. Par là les actions qu'il a calculées deviennent soixante fois moindres, c’est-à-dire tout à fait insensibles. D’après ses formules, le Soleil devrait dévier le fil à plomb de plusieurs minutes. Ainsi, pour son honneur, n'en parlons plus. »

(1) 1060 francs.

Abel reconnut, cela va sans dire, son erreur, et envoya au Magazin, une rectification, qui fut insérée aussitôt dans le numéro suivant (2° semestre, N° 1). Il reconnaît dans cet article que, « par inadvertance, il n’a pas tenu compte d’une circonstance essentielle qui rend le résultat inexact. Le raisonnement développé dans le mémoire, n’est valable que dans le cas où la Terre serait supposée immobile, Si, au contraire, la Terre est mobile, comme elle l’est en effet, la Lune n'attire pas seulement le pendule, mais aussi la Terre tout entière, cette dernière attraction pouvant être considérée comme agissant uniquement sur le centre terrestre, où l’on supposerait la masse entière de la Terre réunie... De là résulte aussi que l'influence de la Lune sur l'intensité et la direction de la pesanteur est tout à fait insensible. »

Quelques années plus tard, un an après la mort d’Abel, alors qu’il n’était plus pour Schumacher un étudiant inconnu, mais un géomètre de premier ordre, l’astronome d’Altona revint de nouveau sur le même incident. Un Anglais, nommé Hardy, semble avoir suivi la même route que celle où Abel avait été entraîné par son inexpérience en traitant cette question. En date du 7 mai 14830, Schumacher écrit à Gauss, à ce propos (1): «Hardy paraît avoir commis la même faute qu'avait commise Abel, dont j'ai mis au rebut un mémoire destiné aux Astronomische Nachrichten (je crois vous en avoir parlé dans le temps), et où il oublie, comme Hardy, que c’est seulement la différence des attractions qu'indiquent les instruments. Il trouve pour la Lune une action très sensible, mais pour le Soleil une action très faible. Dans ce dernier cas, vérification faite, il avait oublié de multiplier par 206265. Celui qui aurait alors jugé les talents d’Abel d’après ce mémoire, s’en serait fait une opinion bien fausse! »

On a remarqué d’ailleurs, à propos de ce malencontreux travail, une particularité assez curieuse. Si Hansteen, à l'occasion des résultats d'Abel, avait entrepris des expériences avec un pendule suffisamment long, il aurait très bien pu faire la belle

(1) Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, Bd. If. S. 249.

découverte de la variation du plan d’oscillation, et devancer ainsi Foucault dans la démonstration expérimentale de la rotation de la Terre autour de son axe.

Maintenant Abel avait à partager son temps entre les mathématiques et les langues savantes, le latin et le grec, et aussi avec d’autres objets qui, à côté de ces deux langues, avaient été jugés importants pour ses études mathématiques. Parmi ces connaissances accessoires, il en est une qui lui a été de la plus grande utilité, l'étude de la langue française, qui cependant depuis longtemps déjà lui était familière; nous avons vu même qu’avant:cette époque il s’était servi de cet idiome pour rédiger ses nouveaux travaux. Naturellement c'était, comme par le passé, sa science préférée qui absorbait toutes ses pensées et tout son intérêt, et la rareté relative de ses productions, qui se manifeste maintenant, n’est qu’un symptôme certain, annonçant les grandes choses qui se préparent.

Déjà, comme on peut s'en souvenir, Abel, encore élève de l'École cathédrale, s'était cru en possession de la résolution de l'équation générale du cinquième degré. La réponse de Degen lui fit voir, s’il ne l'avait pas déjà vu par lui-même, qu'il s'était fourvoyé, et que son imposant édifice s'était écroulé. Au lieu de faire comme Jacobi et d'abandonner le dangereux problème, sur la résolution duquel tant d'hommes distingués avaient usé leurs forces, il continua avec acharnement la lutte, sans se laisser effrayer par les conclusions du géomètre danois, touchant la stérilité de ce sujet difficile.

Après un labeur, ou pour mieux dire, un combat de plusieurs années, il parvint enfin à trouver l'explication de l'impénétrable mystère, et en l'année 1824, dans un travail intitulé : « Mémoire sur les équations algébriques, où l’on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré », il établit, par une déduction très ingénieuse et témoignant de la grande difficulté du sujet, bien qu'elle n’eût pas atteint une parfaite

rigueur, que la résolution de l’équation générale du cinquième degré à l’aide des radicaux était impossible. Abel admet, en réalité, dans le cours de son raisonnement, une proposition qui n'est pas évidente par elle-même, et dont il ne donne pas la démonstration, mais qui heureusement est tout à fait exacte. S'élevant, en effet, à un point de vue plus général, il s'est assuré plus tard que cette proposition est vraie pour tous les nombres, et par suite pour le nombre 5; mais elle présente une exception quand on considère le nombre 6.

Ce résultat, obtenu enfin après tant d'efforts, surtout lorsqu’Abel, complétant sa démonstration, l’eut établie avec la plus parfaite évidence, ce résultat, malgré sa forme négative, peut en réalité être regardé comme faisant époque. L'honneur de cette découverte est partagé entre un jeune Norvégien, de 22 ans, encore inconnu, et l'italien Ruffini. Pour mieux faire comprendre la portée de ces faits, je vais résumer en quelques mots l’historique de la question.

Le point de savoir si les équations générales de degré quelconque peuvent toujours admettre une solution n'était nullement d’une clarté aussi immédiate qu’on pouvait alors se le figurer. La question fit donc un pas considérable en avant, lorsque Gauss, dans la dernière année du siècle passé, démontra pour la première fois en toute rigueur qu'une telle solution était toujours possible, absolument parlant, c'est-à-dire, dans le même sens qu’on le dit de l'équation générale du second degré, ou suivant le langage adopté aujourd’hui, à l’aide des imaginaires. Plus tard, dans son beau travail sur la division du cercle, il alla plus loin, en établissant qu'il existe des classes entières d'équations de degré supérieur, pour lesquelles cette résolution pouvait aussi s’effectuer en réalité, et cela avec le seul secours des radicaux. Mais la généralité des équations considérées était supposée restreinte par certaines conditions. On était, au contraire, dans l'incertitude en ce qui concernait les équations générales, et c’est là que gisait la difficulté capitale. Dans ses Disquisitiones, l'illustre géomètre de Gôütlingue avait cependant, chose remarquable, exprimé déjà ses

LS

doutes sur la possibilité de la résolution par cette voie, lorsque les restrictions apportées au cas général n'existent plus.

Tandis que sur ce point, des difficultés et des complications extraordinaires semblaient devoir arrêter tout progrès en avant — ce que confirmaient encore les tentatives faites par Lagrange, — c'est sur ce même point que Ruflini et surtout Abel apportèrent la clarté, ce dernier, comme nous l'avons dit, ayant démontré l'impossibilité relative, c'est-à-dire l'impossibilité avec les moyéns restreints que nous avons indiqués, d'effectuer la résolution de l'équation tout à fait générale d’un degré supérieur au quatrième.

Mais de là résulte avec une clarté réelle, ce que la suite a fait voir dé plus en plus dislinctement, l'existence jusque là ignorée d'une construction harmonieuse de formes grandioses dans les hautes régions de la théorie des équations. On peut alors plonger

tout d’un coup ses regards bien au-delà des limites qui jusque là - bornaient l'horizon mathématique.

À la découverte de cette loi cachée ont contribué depuis lors ‘les beaux travaux d’Abel lui-même, et en outre ceux de nouveaux chercheurs, tels que Galois, Betti, Kronecker, Hermite et Jordan, qui ont fait dans ce champ d'importantes trouvailles. A l’aide des fonctions ellipliques, une nouvelle création du génie d’Abel et de Jacobi, dont le premier germe, comme on l'a vu, s'était déjà montré dans les travaux préparatoires d'Abel, deux géomètres contemporains, Hermite et Kronecker, sont parvenus cinquante ans plus tard à résoudre dans toute sa généralité le problème que s'était posé à dix-neuf ans le disciple de l'École cathédrale de Christiania : la résolution de l'équation générale du cinquième degré. On peut maintenant s'attendre à ce que l'étude des fonctions abéliennes, transportée sur ce terrain, conduise plus tard les géomètres à des résultats encore plus élevés.

Le mémoire d’Abel, de mince volume, mais important par ses conséquences, parut sous une forme matérielle plus que modeste, dans l’année 1824, c’est-à-dire il y a plus de cinquante ans, sortant des presses de l'imprimerie Gründahl. Il peut être regardé

PREMIÈRES ANNÉES D'ÉTUDIANT. 21 comme le premier de ses travaux publiés. par, lui-même dans lequel apparaisse le grand inventeur. Pour épargner les. frais d'impression, le mémoire entier, d'après les renseignements fournis par Hansteen dans l'Ilustreret Nyhedsblad, 1862, fut réduit à une demi-feuille, et il s’ensuivit que certaines propositions intermédiaires restèrent inédites, et que l’ensemble du travail en devint assez diflicile à comprendre. Il n’est pas impossible qu'il se trouvât encore dans la démonstration une lacune grave, celle-là même dont il a été parlé, plus haut, lacune qui a peut-être échappé à l'attention d’Abel, et qui a rendu impossible au monde scientifique, autant qu'il pouvait en juger par cette publication, de considérer lantique et ardu problème comme résolu.

Après tant d'essais avortés des plus éminents géomètres de l'époque et des temps passés, on n'avait guère de raison de croire que la solution füt enfin donnée par un jeune éludiant norvégien. D'autre part on n’a pas le droit de s'étonner si de sérieux adeptes de la science, dont le coup d'œil clair et droit leur révèle les difficultés d’un sujet, ne se hâtent pas aussitôt de quitter leurs importants travaux, et d'accorder toute leur attention aux idées, trop ambitieuses en apparence, émises par le premier auteur venu, et qui, sauf des cas heureux, mais bien rares, ne méritent pas qu'on s'y arrête.

D'une lettre de Schumacher à Gauss du 23 juillet 1824, il résulte que Schumacher a reçu le mémoire d’Abel.. L’astronome d’Altona le fit parvenir, par l'entremise d’Olbers, à Gauss, dans la bibliothèque duquel on l’a retrouvé plus tard. Depuis cet envoi, on ne retrouve dans la Correspondance rien qui indique que le grand maître, le Princeps malhemalicorum, ait constaté la justesse ou la fausseté de la démonstration d’Abel. Ce silence absolu semble signifier que la démonstration a été accueillie avec défiance.

D'après une communication du professeur Hansteen, dans le Nyhedsblad du 2 mars 1862, Gauss serait allé jusqu’à dire que lui-même avait voulu démontrer la possibilité de la résolution, mais que depuis il avait dû reconnaître qu'Abel avait raison.

Comme il ne se trouve aucune mention de ce propos dans la correspondance de Hansteen soit avec Schumacher, soit avec Gauss, et que d'autre part il concorde mal avec les autres déclarations de ce dernier, ce récit pourrait bien s'appuyer sur une communication verbale, directe ou non, et dans ces conditions, rien n’est plus facile que de commettre un malentendu, le véritable sens de l'idée n'étant pas toujours saisissable sous une expression trop concise, comme on en emploie tous les jours. On sait que Gauss ne sexprimait jamais qu'avec une extrême circonspection, et vraisemblablement la seule opinion qu'il ait pu manifester, c'est que le raisonnement d’Abel, sous sa forme actuelle, n’était pas complètement satisfaisant, tandis que celui qui a paru à une époque plus récente est irréprochable.

Peut-être aussi prévit-il que, à l’aide des moyens qui étaient à sa disposition, la résolution complète des équations en question pourrait être réalisée par l'emploi de fonctions d'ordre plus élevé que les radicaux. La nouvelle voie dans laquelle Abel s'était déjà engagé et qui devait conduire à la découverte de puissants procédés d'investigation, l’illustre géomètre de Gôttingue y était entré lui-même longtemps auparavant, sans toutefois avoir rien publié des résultats obtenus depuis un grand nombre d'années. «Abel, » écrivait-il plus tard, « m’a devancé, et dès lors je me trouve dispensé de rédiger mes propres recherches. »

En désignant ici Abel comme celui qui, dans l'analyse algébrique, a résolu une question d'une importante capitale pour la science, bien que cette solution renferme encore une lacune, trop considérable peut-être pour qu’on puisse immédiatement la combler, et qu'ainsi elle ne se présente pas jusqu'alors sous une forme assez parfaite pour être admise en toute sécurité, nous ne pouvons nous dispenser de rappeler que, longtemps auparavant, le géomètre italien Ruffini, déjà cité plus haut, avait exprimé la même idée et cherché à démontrer le même théorème fondamental. Il est certain que ces travaux étaient restés inconnus d’Abel, non seulement à lépoque qui nous occupe, mais encore quelque

temps après, lorsqu'il travailla pour la première fois à perfectionner sa démonstration.

Beaucoup plus tard même, lorsqu'il reprend pour la troisième fois la même question, mais comme faisant partie d’un problème beaucoup plus étendu, il s'exprime ainsi : « Le premier, et, si je ne me trompe, le seul qui avant moi ait cherché à démontrer l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales est le géomètre Ruffini; mais son Mémoire est tellement compliqué qu'il est très difficile de juger de la justesse de son raisonnement. Il me paraît que ce raisonnement n’est pas toujours satisfaisant, Je crois que la démonstration que j'ai donnée du théorème ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur; mais elle n’a pas encore toute la simplicité dont elle est susceptible. Je suis parvenu à une autre démonstration, fondée sur les mêmes principes, mais plus simple, en cherchant à résoudre un problème plus général. »

Bien que la démonstration de Ruffini puisse être entachée de défauts plus ou moins graves, et même que l’on soit en droit d'admettre qu'elle ait voulu trop prouver, il est toutefois absolument juste, à propos de cette question, de la citer en première ligne, d’abord parce qu’elle est la première en date, ensuite parce que dans tous les cas, elle est exacte dans sa marche générale, bien qu'une lacune, d’une autre nature que celle de la première démonstration d’Abel, rende la conclusion incertaine. En un seul point la démonstration de Ruffini a même la supériorité sur celle d’Abel, c’est par sa plus grande simplicité. On n’a pas de motif, selon moi, d'enlever au géomètre italien l'honneur d’avoir fait le premier pas important dans cette voie, à moins qu'on ne veuille avec le même droit refuser à beaucoup d’autres chercheurs leurs titres à la célébrité, toutes les fois que la postérité, plus clairvoyante, a pu signaler dans leurs découvertes quelques imperfections.

Le mérite d’Abel a été d’avoir, indépendamment de Ruffini et par une autre voie, bien qu’à une date postérieure, résolu dans ses grands traits généraux la même question difficile, et cela par une nouvelle démonstration plus complète, et d’une manière qui

écarte en dernier lieu et définitivement toute espèce de doute sur la légitimité du raisonnement.

La difficulté du sujet et peut-être ce que le résultat offrait d'inattendu pour beaucoup de personnes empêchèrent pendant longtemps les travaux de Ruffini, ainsi que ceux d’Abel, d’être appréciés comme ils l'ont été plus tard.

Outre cet important Mémoire, non inséré dans le recueil de ses Œuvres, il existe encore d’autres essais d’Abel appartenant à cette période et particulièrementremarquables. Comme, à une seule exception près, ils n’ont pas été publiés par lui-même, mais qu'ils ont vu le jour pour la première fois par les soins de Holmboe, après la mort de l’auteur devenu depuis si illustre, il faut par conséquent, en les appréciant, tenir compte de ces circonstances. Parmi ces écrits, on doit surtout remarquer ceux qui portent les numéros IX et X du tome IT (1), et qui ont pour titres : « Sur une propriété remarquable d'une classe très étendue de transcendantes » et « Extension de la théorie précédente »; puis les Mémoires XI et VIII du même tome (2) : « Sur la comparaison des fonctions transcendantes », et celui dont il a été déjà question, « Propriétés, etc: ». Tous ces Mémoires, d’après ce que nous apprend l'éditeur dans la préface du tome Il, ont été rédigés avant le départ d’Abel pour son voyage à l'étranger, Il faut cependant remarquer, à l'égard des numéros IX et X, que ces écrits ne représentent guère autre chose que le contenu d’une rédaction plus abrégée du même sujet, adressée à la Société des Sciences de Trondhjem, et envoyée peut-être de Christiania, où Abel, pendant son absence, avait laissé plusieurs de ses manuscrits. Ce travail fut imprimé en 1827; les Mémoires développés appartiennent à une époque postérieure.

Il résulte de là avec certitude un fait, en contradiction, il est vrai, avec les idées qu’on se fait ordinairement, en n’accordant pas assez d'attention aux modestes essais, précurseurs des travaux

(2) Nos VIT et IX du tome II de la nouvelle édition. (2) Nos X et VII du même tome de la nouvelle édition.

plus parfaits, où les mêmes idées se sont plus tard reproduites. Ce fait est qu'Abel, avant son voyage d'Allemagne, en 1825, avait déjà fait ou du moins était sur le point de faire plusieurs de ses plus éclatantes découvertes.

Ici, parmi ces essais des quatre premières années: d’études d'Abel, on rencontre par exemple une généralisation très étendue du beau théorème de l'échange du paramètre et de l'argument dans les transcendantes elliptiques de troisième espèce (IX et X). Ici se présente, bien qu'énoncé sous une forme incomplète et renfermé dans un résultat d'une trop grande généralité, le théorème connu sous le nom d'inversion des inlégrales elliptiques, ainsi que la remarquable propriété de la double périodicilé qui en résulte pour les nouvelles fonctions, découverte qui, ainsi qu'il a été prouvé plus haut, existait déjà dans son premier germe dès l'été de 1893 (VIT). Ici enfin le théorème d’Abel, le célèbre théorème d’addition, le monumentum œre perennius, comme l’appelait le vieux maître, l’octogénaire Legendre, avec son admiration et son enthousiasme juvéniles, ici ce théorème était déjà trouvé, bien que le temps ne fût pas encore venu d’en apprécier l’immense portée et de savoir en tirer un parti utile.

Ainsi, à une époque plus ancienne qu'on ne serait disposé à le croire — bien que le développement de la pensée doive être calme et lent, lorsqu'il s’agit de créations grandes et durables — et dans un pays écarté comme Christiania, la capitale naissante d'un petit état, encore mal pourvue de toutes les ressources, ont été posés pour la première fois les fondements, alors peu encouragés et peu appréciés, de.travaux d’une importance considérable et de branches tout entières de la science mathématique. Aucune réaction d'influence mutuelle de la part du public scientifique ne s'était encore fait sentir, et aucun autre contact extérieur n'avait eu lieu, si ce n’est par l'étude des traités classiques d'Euler et de Lagrange. La direction d'un maitre doué d'un talent ordinaire, mais consciencieux, et étudiant lui-même avec son élève, avait heureusement et en temps voulu conduit celui-ci dans cette voie féconde. Les -encouragements efficaces de Hansteen et de Ras-

mussen, le succès et de petits échecs, l'idée lancée par Degen comme une prophétie, et aussi l'étude de Legendre et toujours celle de Lagrange : tels sont les aiguillons qui, avec l’ardeur des recherches, inséparable du génie, ont poussé Abel en avant, — vers un but lointain et élevé, mais aussi vers un avenir plein de SOUCIS.

C'est ainsi que, dans ces conditions et au milieu de ces circonstances, peu remarquables en apparence, mais, en réalité, exceptionnellement favorables, il conçut dans leur premier jet les idées fondamentales qui, plus tard, ont définitivement renouvelé l'aspect des sciences mathématiques sur une si vaste étendue.

Mais plusieurs causes, à cette époque, rendaient impossible l'introduction de ces idées dans la science. Aussi furent-elles en partie reléguées à l'arrière-plan, pour être améliorées ou remaniées. Bien plus, comme nous l’avons déjà dit, Abel lui-même tout en annonçant, un peu plus tard, la publication de travaux incomparablement plus importants que ses Mémoires imprimés jusqu'alors, ne se rendait pas clairement compte de l'immensité du pays où il venait d'aborder.

Enfin arriva pour Abel, — et cela au moment même le plus propice — l'heure de la délivrance. Dès lors on n'eut plus à craindre que son génie extraordinaire, encore à l'état de croissance et de développement, restât étouffé dans l’étroit horizon de son pays natal et prit une fausse voie. Un autre sujet de sérieuse appréhension était l'incertitude où l’on pouvait être à l'égard des résultats si importants, obtenus déjà en tout ou en partie, et qui risquaient plus ou moins d'être perdus pour la science. Dans le monde mathématique, qu’il ne connaissait encore que de loin, un souffle réformateur commençait à s'élever; Abel devait trouver à l'étranger des esprits capables de le comprendre, de nouveaux amis, et un champ d'activité plus vaste et plus favorable pour son génie créateur.

Peu de temps avant l'expiration de la pension qu’on lui avait

accordée, il adressa au Roi une demande afin d'obtenir une allocation pour les frais d'un voyage et d’un séjour de deux ans à l'étranger. Cette demande, dont on possède encore une copie, ainsi que celle d'une recommandation du professeur Hansteen, est un témoignage, entre beaucoup d’autres, de cette simplicité sans prétention qui lui était propre, et dont même ses grandioses travaux scientifiques montrent partout l'empreinte.

« Dès mes premières années d'école », dit-il, «j'ai commencé à cultiver avec grand plaisir les Mathématiques, et j'ai continué à m'en occuper durant les deux premières années de mes études académiques. Mes progrès assez satisfaisants ont engagé le Sénat de l'Université à me recommander pour une subvention, que Votre Majesté a bien voulu m'accorder, pour me permettre de continuer pendant deux autres années mes études auprès de l'Université de Norvège, et aussi pour me perfectionner dans les langues savantes. Pendant ce temps, dans la mesure de mes forces, j'ai Joint à l'étude des mathématiques celle des langues anciennes et modernes, et parmi ces dernières celle du français principalement. Après avoir dans ma patrie fait mes efforts, en profitant des secours que j'y ai rencontrés, pour me rapprocher du but que je désire atteindre, il me serait très avantageux, par un séjour à l'étranger auprès des différentes Universités, et particulièrement à Paris, où se trouvent en ce moment tant d’éminents mathématiciens, de prendre connaissance des récents progrès de la science, et de profiter de la direction des hommes qui à notre époque ont porté les connaissances mathématiques à une si grande hauteur. En m'appuyant sur les raisons que je viens d'exposer et sur les altestations ci-jointes de mes supérieurs, j'ose supplier humblement Votre Majesté qu’elle daigne m'accorder une indemnité de voyage de 600 süluspecies (1) par an, pour continuer encore pendant deux années à Paris et à Güttingue, l'étude des sciences mathématiques. »

Dans la recommandation mise en tête de cette supplique par

(1) 3168 francs.

le professeur Hansteen, se trouve un court paragraphe qui mérite particulièrement l'attention. «A l’époque où il était soutenu ainsi » (c'est-à-dire par une cotisation de plusieurs professeurs de l’Université), «et-surtout par les secours que Votre Majesté daignait lui accorder, Abel, dans plusieurs Mémoires, publiés ici dans le Magazin for Naturvidenskaberne, et surtout dans un travail plus étendu, encore inédit « Sur une méthode perfectionnée. de » calcul intégral », a donné des preuves d’une activité et d’une persévérance rares, ainsi que d’aptitudes extraordinaires. Il ne mérite pas moins d’éloges par son caractère et ses qualités morales, comme j'ai pu m'en convaincre en vivant constamment avec lui. Les simples indications données par des hommes illustres dans la science étant souvent plus profitables que de longues heures employées à la lecture des livres, je crois qu’un séjour de deux années auprès des géomèêtres les plus éminents de notre époque serait extrêmement fructueux pour M. le candidat Abel, et que notre patrie, dans ces circonstances, a les meilleures raisons d'espérer qu'elle trouvera en lui un homme de science qui lui apportera honneur et profit. » |

Par ordonnance du 27 août 1825, Abel, en considération de sa pétition chaudement appuyée par le Sénat, obtint, l'indemnité demandée de 600 spd. par an, pour deux années, complées à partir du jour où cessait la pension dont il avait joui jusque là.

Abel part, et maintenant s’ouvre une nouvelle période de sa carrière si digne d'intérêt.

Je vais essayer ici, malgré les graves difficultés que ce sujet présente, de tracer le portrait du candidatus philosophiæ qui s'embarque en ce moment, et qui bientôt — mais toutefois après la fin prématurée de sa courte vie — devait acquérir une si glorieuse renommée; c'est une simple et légère esquisse de sa personne, de ce qu’il était, et des circonstances extérieures au milieu desquelles il a vécu.

Abel avait des traits réguliers, on peut même dire vraiment agréables; son regard et ses yeux étaient d'une beauté peu com-