L. SYLOW

pages 164 et 165 manquent, mais cela tient simplement à une faute de pagination. Le feuillet 179 — 180, au contraire, est arraché. La cahier porte en titre : „Exercices mathématiques par Niels Henrik AbeV\ * d'une écriture presque enfantine. Sur la couverture se trouve un titre semblable, écrit d'une main plus exercée. Il n'y a aucune indication de temps; la langue est le norvégien. On peut conclure l'époque de ce cahier de ce qui suit: Pages 139 — 141 se trouve un morceau intitulé „Résolution des équations du troisième degré (par Cardan)"* et pages 142 — 144 un autre intitulé ^Résolution des équations du quatrième degré (par Bomielli)".*

Comme on sait qu'ABEL s'est occupé dès le commencement de l'année 1821 de la résolution des équations du cinquième degré, et même a cru un moment l'avoir trouvée, ces pages, tout au moins, et probablement le cahier tout entier ont dû être écrits au plus tard en 1820, par conséquent lorsqu'il était encore au lycée. Le reste du contenu s'accorde bien avec cela. Le premier morceau: „Dévéloppement de quelques fonctions au moyen du calcul différentiel"* forme environ la moitié du cahier. La méthode consiste en général à poser la fonction égale à une série de puissances; par différentiation des deux membres, on obtient des formules de récurrence pour déterminer les coefficients. D'une façon générale, c'est surtout de développements en série qu'il est question. Mais il s'y trouve aussi d'autres choses, par exemple le théorème de Taylor obtenu par intégration par parties^ des propositions de géométrie élémentaire, la rectification de la parabole, l'application du calcul différentiel et intégral à la géométrie analytique, la courbe tautochrone. A un endroit, il se sert des indices de différentiation négatifs. Tout cela n'est évidemment que des extraits qu'il a faits, et des problèmes qu'il a résolus en étudiant les traités et les auteurs anciens.

IL MS n° 749 in-4°, ne fut retrouvé qu'en décembre 1883 parmi les livres de Holmboe, et par suite n'est pas mentionné dans les Œuvr. compl. C'est un cahier rehé de 170 pages, paginé par Abel lui-même, mais les pages 17 — 22 sont coupées; deux feuillets sont enlevés entre les pages 130 et 131, certainement donc par Abel lui-même. Le cahier est écrit avec beaucoup de soin, et porte en titre: „Mémoires mathématiques";* la langue est partout le

* En norvégien.

norvégien. Comme c'est la source de toute une série de mémoires insérés par Holmboe dans le second volume de son édition des Œuvres complètes, je vais donner ici la table des matières dont il est pourvu, avec l'indication du volume et de la page dans l'édition de Holmboe, et renvois entre parenthèses à la nouvelle édition, pour les mémoires qui y sont également insérés.

1. Sur les maxima et minima d'intégrales aux différences finies . .

Œuvr. compl. II, p. 1.

2. Conditions pour qu'une fonction de plusieurs variables et de leurs différences soit une différence complète - 10

Œuvr. compl. II, p. 9.

3. Détermination des limites que ne peuvent dépasser les quantités variables pour que l'intégrale J Udx, prise entre des limites données,

ait une valeur déterminée - 17