Sur des intégrales de la forme ^^—^r

15. Sur les transcendantes elliptiques de troisième espèce - 151

16. Equations fonctionnelles contenant des fonctions inconnues de deux variables - 155

17. L'équation différentielle dy -\- {p -{- y"^) dx = 0 - 161

Le cahier lui-même ne renferme aucune indication de temps. Holmboe dit,

dans la préface de son second volume, que les deux premiers de ces morceaux ont été écrits aussitôt après qu'AsEL eut lu pour la première fois le Calcul des fondions, de Lagrange, ce qu'il a fait au plus tôt à l'automne de 1822, comme on peut le voir dans le registre des prêts de la bibliothèque de l'université. Mais Abel cite, p. 69, les Exercices de calcul intégral, de Legendre, qu'il commença à étudier à l'automne de 1823. Les numéros 12 et 16 ont pour objet une classe de problèmes qu'AsEL a traités dans le Magasin for Naturvidenshaberne en 1823, et par suite n'ont pu être écrits plus tard. Le cahier date donc probablement des années 1822 et 1823.

III. MS n° 851. A. in-folio., désigné par la lettre A dans les Œuvr. compl., Nouv. éd. C'est un cahier relié qu'ABEL acheta à Paris peu après son arrivée, et qu'il utilisa aussitôt. Il porte encore la marque du papetier collée à l'intéi'ieur de la couverture, et la fausse couverture porte le titre en français: „Mémoires de Mathématiques par N. H. Abel, Paris le 9 août 1826." On trouve en outre la date du 18 août 1826, écrite en marge au haut de la page 31; p. 35 il y a 19 août. La pagination à l'encre rouge que portent aujourd'hui les feuillets du cahier a été ajoutée à l'occasion de la nouvelle édition des Œuvres compl. Un feuillet était arraché, probablement par Abel lui-même au cours du travail, car il ne semble pas qu'il y ait de lacune. Les pages 117 et 118 traitent de l'élimination entre deux équations algébriques tout-à-fait de la même manière que le court mémoire qu'ABEL fît imprimer dans les Annales de Gergonne, et doit par conséquent avoir été écrit auparavant, c'est-à-dire dès 1826 (lettre XXII). Les matières du cahier sont précisément les questions qui faisaient l'objet des travaux d'AsEL pendant le séjour à Paris. Il semble donc avoir été achevé soit à Paris, soit du moins avant son retour en Norvège.

IV. MS n° 696 in-4°, désigné dans les Œuvr. compl., Nouv. éd. par la lettre D. C'est un cahier de 136 pages; une pagination a été ajoutée au crayon à l'occa-

LES ÉTUDES D'ABEL ET SES DÉCOtJVEETES

sion des Œuvr. compL, Nouv. éd. ; quelques feuillets étaient alors arrachés. Sur la couverture sont imprimés le nom et l'adresse du fabricant: „Neuhaldensleben bey A. Eyraud." Abel y a mis un feuillet pour le titre où on lit en français: ^Remarques sur divers points de l'analyse par N. H. Abel, 1er Cahier, le 3 sept. 1827." Si le cahier a été acheté en Allemagne, Abel n'a doncc ependant écrit le titre qu'à Kristiania; mais probablement les papetiers de Kristiania importaient alors d'Allemagne les cahiers, ou peut-être les couvertures à images; ce que suggère d'ailleurs le fait qu'un prix en monnaie norvégienne de l'époque est écrit au crayon à l'intérieur de la couverture. La langue est le français, lorsqu'il y a du texte, mais c'est assez rare ; la plus grande partie du cahier ne contient que formules et calculs, dont il faut deviner la signification; ce sont surtout des séries infinies ou des équations abéliennes. Il y a des parties qui rappellent le cahier III, d'autres le cahier V. V. MS n° 435 in-folio, désigné par la lettre B dans les Œuvres compl., Nouv. éd. C'est un cahier relié. Lorsqu'on a fait la pagination, de même que pour les deux précédents, 5 feuillets avaient été coupés entre les pages 30 et 31, ainsi que le dernier feuillet. Il n'y a aucune indication de temps ni de lieu, mais le papier et certaines particularités ressemblent tellement à des registres de la douane des années 1826 et 1827, que l'on doit considérer comme certain qu'il a été fait et acheté à Kristiania. A cela s'ajoute que le prix en monnaie norvégienne ancienne, ici encore, est écrit au crayon à la fin du volume à l'intérieur de la couverture. Dans la première partie du cahier jusqu'à la page 84, il est écrit en français, ensuite -en allemand; page 85 commence en effet une section qui s'étend jusqu'à la fin du cahier, et qui porte le titre de: „ Versuch einer Théorie der élliptischen Functionen." A partir de la page 116, cependant, il y a très peu de texte. Un point de repère pour la détermination de la date est fourni par les pages 47 — 49, qui ont le même contenu que le mémoire d' Abel dans le Journal de Grelle, t. III, sur une classe de critères de convergence des séries. Gomme Obvier et son mémoire dans le t. II, deuxième fascicule du Journal, y sont mentionnés, ces pages ont été écrites après qu'AsEL eut vu ce fascicule, qui parut le 5 juillet 1827, et sans doute peu après, car Abel était bien au fait de la question. En effet la série 2j n (log w)" ^^ ''^"" contre déjà dans le Gabier III. Le Cahier V a dû être acheté et commencé après le Cahier in-4° IV, mais avant que celui-ci fût terminé; ce dernier con-

8 L. SYLOW

venait moins en effet pour recevoir de grands articles étendus. Il a dû être terminé au plus tard au commencement de 1828, comme on le voit en le rapprochant du suivant.

VI. MS n° 351 C .in-folio, appelé C dans les Œuvr. compl., Nouv. éd. Ici encore la pagination (1^215) a été faite plus tard; entre les pages 49 et 50, 51 et 52, 187 et 188, un feuillet était arraché, ainsi qu'un bon nombre à la fin du cahier. Il porte la marque d'un relieur de Kristiania, mais ne porte aucune autre indication de temps que quelques dates de l'automne 1828 à la fin du volume à l'intérieur de la couverture. Qu'il soit postérieur au Cahier V, cela résulte de son contenu en général; quelques détails, surtout, le montrent d'une manière certaine. Par exemple, on rencontre, p."34 et suivantes, des calculs assez longs sur la division par 7 des périodes d'une fonction elliptique singulière, dont il est question à la page 172 du Cahier V. Page 52, il y a une table du contenu des divers paragraphes du mémoire sur les équations abéliennes; les théorèmes, et même quelques-unes des équations y sont mentionnés avec leurs numéros. La page 52 a donc été écrite après la rédaction du mémoire, mais avant son envoi. Le mémoire est daté du 29 mars 1828; mais il semble que cette date ait été ajoutée par Grelle et doit dans ce cas être la date de la lettre d'envoi. La page 52 a donc dû être écrite ce jour-là ou peu avant. Enfin, la page 210 contient un brouillon de la deuxième lettre d'ABEL à Legendre, datée du 25 novembre 1828. On peut donc admettre que le Cahier VI a été commencé au début de l'année 1828 et terminé vers la fin de l'année. Le Cahier V a donc dû être terminé au plus tard au commencement de 1828.

Ces quatre derniers cahiers diffèrent beaucoup des deux plus anciens. Ils ne contiennent la rédaction définitive d'aucun mémoire, mais seulement des préparations. Il semble qu'ABEL, lorsqu'il croyait avoir dans l'esprit quelquechose d'achevé, ait pris son cahier et commencé à écrire son mémoire in extenso, souvent avec introduction. Au début il arrive que tout est parfaitement élaboré et complètement rédigé; mais plus loin le texte commence à devenir plus rare, et ce qu'il écrit finit par n'être plus qu'une collection de calculs. Sa critique s'est alors exercée sur luimême, soit à l'égard du mode d'exposition, soit en ce qu'il ne trouve pas le travail encore assez mûr; parfois peut-être la cause en est qu'il a poursuivi son sujet plus loin qu'il ne l'avait projeté tout d'abord. Mais il est ainsi parvenu à une rédaction intelligible pour lui-même des résultats acquis à un moment donné. Plus tard il

revient parfois au même sujet, et fait une nouvelle tentative. Le mémoire définitif, lorsqu'il y en a eu un de publié, s'accorde dans ses parties essentielles avec la dernière ébauche faite dans le cahier, mais peut aussi avoir été complété. Tel est le cas, par exemple, pour le mémoire sur les équations abéliennes. Mais il n'est pas sans exemple que certaines choses soient plus nettement accentuées dans le cahier que dans le mémoire. Ainsi, dans le mémoire que je viens de citer, c'est dans une simple note au bas de la page, qu'il dit qu'on suppose un domaine de rationalité quelconque. Au contraire, au premier endroit où apparaît ce thème, (Cahier III, p. 129), on lit:

„Soit f{x,a,h,c, . . .) ^ 0 = 99 (x) une équation en x du degré ^, f {x, a, b, c . . .) étant une fonction rationnelle de a,b,c,d...

Supposons que, x^,, x^, étant deux racines, on ait

«1 = 0 («o) 0{x^) étant une fonction rationnelle de aÎQ,», 6, . . . etc."

Ses cahiers lui servaient encore d'une autre manière; il y faisait des calculs et notait des résultats sur les questions qu'il était en train de traiter. Lorsqu'il s'est occupé assez longtemps d'un môme sujet, on trouve de longues séries de pages qui consistent uniquement en formules et calculs, souvent sans le moindre texte. S'il y fait une faute de calcul, ou s'il a énoncé une proposition incorrectement, il ne se donne souvent plus la peine d'effacer ou de corriger la faute; tout au plus le résultat exact est-il mis en marge. En continuant, on trouve que la faute a disparu. Dans ces passages les désignations employées peuvent varier, et il n'y a souvent aucun Hen visible entre ce qui se trouve sur une page et sur la suivante. Il arrive qu'il se soit servi plus tard de blancs pour y faire de menus calculs qui n'ont aucun rapport avec le sujet primitif. L'insouciance avec laquelle il a traité ces cahiers va si loin que, faute de papier, il s'en est parfois servi lorsqu'il donnait des leçons sur les parties les plus élémentaires des mathématiques.

Outre ces cahiers, il est possible que Holmboe en ait eu d'autres lors de la première édition des Œuvres complètes, mais il a eu certainement une foule de feuilles volantes, qui alors déjà étaient jetées pêle-mêle."' De ces papiers il y en a peu de conservés; on y trouve l'original du mémoire XIV des Œuv. compL, Nouv. éd. II

• Voir doc. XCIV et XCV.

LES ÉTUDES d'aBEL — 2

lo L. SYLOW

(T. II n° XXII de l'éd. ancienne) et les fragments imprimés dans le T. II sur les fonctions elliptiques.

Depuis la publication de la nouvelle édition, l'Université est entrée en possession d'une partie des copies des originaux d'AsEL, sur lesquelles ont été imprimés ses mémoires dans le Journal de Grelle. Elles appartenaient à l'Académie des Sciences de Berlin, et furent obligeamment prêtées aux éditeurs. Plus tard, afin que tout ce qui restait des manuscrits d' Abel pût être conservé au même endroit, l'Académie a fait à notre Université un don très bien-venu en lui cédant ces copies, qui ont donné de précieux renseignements pour établir l'édition.*

J'ai trouvé une source utile de renseignements sur les premières études d'AsEL dans les registres de prêts des bibliothèques de l'école cathédrale (lycée) et de l'Université. Non seulement ils donnent un tableau de ce qui intéressait Abel, mais la certitude qu'ABEL a lu un livre à un moment donné, ou la probabilité qu'il ne l'ait pas connu, a plusieurs fois présenté de l'intérêt. Il n'y avait guère pour Abel d'autre accès à la littératur,e mathématique; on peut donc admettre que ces registres renseignent complètement sur ce qu'il a lu avant son départ pour l'Allemagne, si l'on excepte seulement ce qu'il a pu lire à Copenhague en 1823; mais sur ceci il nous a lui-même renseignés dans sa seconde lettre à Holmboe.

Dans son enfance, Abel était très adonné à la lecture, et profitait assidûment de la bibliothèque du lycée. Le registre de prêts montre que pendant ses trois premières années d'école, il a lu des œuvres littéraires et des descriptions de voyage, mais qu'en 1818 survint un changement soudain; à partir de ce moment, il ne lut, pour ainsi dire, plus que des mathématiques. En cette année, ses dispositions s'étaient révélées à son professeur, Holmboe, et à lui-même. Il parut absurde de lui donner les mêmes devoirs qu'aux autres élèves; il se mit avec une rapidité merveilleuse au courant de ce qu'on enseignait au lycée en fait de mathématiques élémentaires, et il étudia ensuite sans la direction de Holmboe d'abord les éléments du calcul infinitésimal, puis Y „Introductio"' d'Euler, ses „Institutiones calcuU differentialis" et ses „Institutiones calcuU integralis". Ce fut certainement une heureuse inspiration de choisir ces ouvrages comme livres d'étude pour un pareil élève, et son étude d'Euler a été féconde; mais d'autre part il semble qu'il lui en

Voir lettres LUI et LIV.

soit resté certaines idées peu rigoureuses, qui ont été longtemps tenaces, et dont il a eu de la peine à se débarrasser. Dès avant qu'il eût quitté l'école, la bibliothèque de celle-ci lui était déjà devenue insuffisante, et il s'adressa à la bibliothèque de l'Université. Le registre de prêts de celle-ci le montre alors lecteur assidu jusqu'à son voyage en Allemagne en 1825. Ce qu'il demanda fut avant tout les grands mathématiciens antérieurs, comme Newton, Euler, Lagrange, mais aussi quelques contemporains, comme Gauss; dès 1820 il a emprunté les „DisquisiUones arithmeticce", plus tard on voit qu'il a lu une des démonstrations de Gauss pour le théorème fondamental de l'algèbre; en même temps il étudiait tel ou tel traité, comme le „Cours de mathématiques" de Lacroix. En outre, à partir de 1820, il chercha à se renseigner dans les publications des académies, ou dans des revues comme le ^Journal de l'Ecole Polytechnique" et les „Annales de Gergonne". Certes, la mathématique pure était son étude principale, mais il s'est intéressé aussi aux applications. C'est ainsi qu'il a emprunté des ouvrages sur la mécanique d'Euler, de d'Alembert, de Lagrange, de Poisson, la „Mécanique céleste" et Y „Exposition du système des mondes" de Laplace, le „Traité d'optique" de Malus. Beaucoup de tout cela, notamment en ce qui concerne la mécanique, l'astronomie, etc., a dû être une sorte d'exploration du domaine immense de la science, on n'en peut guère douter. Il n'a certainement pas étudié les mathématiques appliquées avec la même ardeur que les mathématiques pures. Son travail de jeunesse mal réussi sur l'influence de l'attraction de la lune sur les corps à la surface de la terre, et un passage d'une lettre à Hansteen (lettre X) en témoignent; il semble en effet que Hansteen ait essayé de l'attirer vers l'application, et qu'ÀBEL cherche alors à s'y soustraire.

Depuis le temps où il était au lycée, il mena de front ces lectures, dont il écrivait des extraits, et la rédaction de petits mémoires, qu'il a sans doute considérés comme des exercices. Neuf de ces travaux du commencement de son temps d'étudiant ont été insérés dans la première édition des Œuvres complètes, et six ont dû être insérés également dans la nouvelle édition, parcequ'ils avaient été cités souvent depuis. Il ne commença qu'en 1823 à publier des petits mémoires dans le „Magasm for Naturvidenskaberne" , qui venait justement d'être fondé. Pendant tout ce temps jusqu'en 1825, Abel en resta, pour ce qui est de la rigueur et de la méthode, au point où en étaient les mathématiciens anciens. Pour en donner des exemples, il considérait l'expression

12 L- SYLOW

comme la définition d'une fonction L{x) pour toute valeur åe x; il employait des séries infinies sans se demander si elles étaient convergentes ou non, et attribuait un sens aux séries divergentes. Dans le cahier II (p. 79), il répète les égalités d'EuIer :

12 22 ^ 32 42 ^ . . . = 0, etc. *

Il lui arriva parfois aussi d'aller plus loin que ses prédécesseurs ne se le seraient permis, par exemple dans le mémoire „Sur les fonctions génératrices et leurs déterminans" , où beaucoup de choses sont un jeu purement formel avec des expressions analytiques.

Mais malgré cela, une bonne partie des découvertes capitales d' Abel remontent à cette époque. La démonstration de l'impossibifité de résoudre l'équation générale du cinquième degré au moyen de radicaux fut trouvée. De même le théorème célèbre qui par excellence porte son nom. La conception des fonctions inverses des intégrales elliptiques et hyperelliptiques surgit, et en même temps l'idée que de telles fonctions devaient admettre plusieurs périodes.

La révolution dans les conceptions d'ABEL se produisit pendant la première partie de son voyage. Cet éveil de sa critique est dû peut-être à plusieurs causes. Le voyage l'obligea à mettre de côté tous les livres, mais il n'arrêta certes pas sa réflexion mathématique. Ainsi fut favorisée l'éclosion d'idées nouvelles, ainsi qu'un regard en arrière sur ses efforts antérieurs, qui pouvait aisément conduire à une comparaison entre la clarté de l'algèbre proprement dite, et l'ancienne théorie vague sur les séries infinies. A Berlin il eut occasion de fréquenter plusieurs mathématiciens; il n'y rencontra, il est vrai, aucune des célébrités de l'époque, mais il rencontra Grelle, Steiner à ses débuts, et d'autres encore, parmi lesquels était au moins un élève de Gauss. Dans les discussions mathématiques qui eurent lieu, et auxquelles il prenait volontiers part, il a été certainement question de beaucoup de

* Ces lignes ont été omises dans la première édition des Œiiv. compl. (T. II. p. 43), et ont par suite été omises aussi dans la seconde (T. II. p. 16), les éditeurs n'ayant pas connu l'original.

choses, et sans doute aussi de l'opinion de Gauss sur les séries divergentes. Gauss, dans ses lettres à Bessel du 18 décembre 1811 et du 5 mai 1812, avait déjà prévenu contre l'usage des séries divergentes; dans la dernière on lit, à propos de la série de Taylor: „sdbald sie aufhôrt convergent su sein, hat ihre Summe, als Summe, heinen Sinn." Alors même qu'AsEL ne fût pas parvenu d'une autre manière à une conception plus rigoureuse, la littérature mathématique récente lui eût donné l'éveil. Il doit avoir lu à Berlin le „Cours d'analyce" de Cauchy, car il le cite avec un vif éloge dans son mémoire sur la formule du binôme, mais il ne l'a pas cité auparavant, et ne l'a pas emprunté à la bibliothèque de l'université de Kristiania. On trouve quelque part dans les manuscrits d'ABEL (cahier III) „Bolsano est un habile homme" * phrase que je ne pouvais comprendre, parceque je ne connaissais Bolzano que comme nom de ville. Il fut d'autant plus intéressant de voir dans l'Encyclopadie der mathematischen Wissenschaften citer un mathématicien Bolzano comme ayant, dès avant Cauchy, donné le critère fondamental de convergence bien connu. Abel a lu sans nul doute aussi, au cours de son voyage, le livre de Bolzano, „Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes", etc.

C'est dans la lettre à Holmboe du 16 janvier 1826 que l'on entend parler pour la première fois de cette phase dans la vie scientifique d'ABEL. Il dit des séries divergentes: „c'est une honte que l'on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut en tirer tout ce qu'on veut quand on les emploie." „Peut-on penser quelque chose de plus affreux que de dire que 0 = 1 — 2" + 3" — 4" -|- etc., où n est un nombre entier positif" etc. C'est à des considérations humiliantes qu'il se hvre ainsi, car il n'a pu éviter de penser à ses propres mémoires du début.

Un jugement tout aussi sévère et d'une portée plus grande est exprimé dans la lettre à Hansteen du 29 mars (lettre X). Il règne dans l'Analyse, dit-il, „une prodigieuse obscurité." „Elle manque à tel point de plan et d'ensemble." „Partout on trouve la malheureuse manière de conclure du particulier en général." Une phrase d'ABEL qu'il faut encore citer à ce propos, se trouve dans la lettre à Holmboe dont il vient d'être question, dans le passage où il parle d'un projet de mémoire sur la théorie des équations: „Au moins c'est quelque chose de général, et il y aura de la méthode, c'est là, je trouve, le plus important." Plus tard Abel s'est exprimé plus complètement sur la nécessité de la méthode et de la généralité,

* En norvégien.

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notamment dans l'introduction de son mémoire inachevé sur les équations algébriques (Œuvr. compl., Ed. nouv., T. II, p. 217 et 218). Il y insiste sur la nécessité d'une position logique du problème; c'est faute de cela que l'ancienne théorie des équations avait été stérile. Sur le calcul intégral, il dit qu'au lieu d'essayer d'intégrer une différentielle par tâtonnements et divination, il faut rechercher s'il est possible de l'intégrer de telle ou telle manière; la complication que semble comporter cette méthode n'est souvent, dit-il, qu'apparente, et s'évanouit dès le premier abord. Rigueur, méthode et généralité furent les exigences qu'ABEL s'imposa dorénavant à lui-même. Le caractère méthodique et systématique des travaux ultérieurs d' Abel fut aussi reconnu par Legendre, quoique celui-ci ne pût pas s'accommoder tout-àfait du nouveau mode de notation d' Abel. Voir la correspondance de Legendre avec Jacobi (Œuvi-es de Jacobi I p. 421, 427, 434).

Ce ne fut qu'après que ses idées eurent subi cette purification, qu'AsEL devint le mathématicien pleinement développé. Je vais tâcher maintenant de suivre sa carrière dans les différents domaines où son génie s'est surtout affirmé.

Abel était avant tout algébriste. Il a dit lui-même que la théorie des équations était son sujet favori, ce qui d'ailleurs apparait clairement dans ses œuvres. Dans ses travaux sur les fonctions elliptiques, le traitement des diverses équations algébriques dont cette théorie abonde est mis fortement en évidence, et dans le premier de ces travaux, la résolution de ces équations est même indiquée comme étant le sujet principal. Qui plus est, la théorie des équations était entre ses mains l'instrument le plus efficace. Ce fut ainsi sans aucun doute la résolution de l'équation de division des fonctions elliptiques qui tout d'abord le conduisit à la théorie de la transformation. Elle joue encore un rôle capital dans sa démonstration du théorème dit Théorème d'Abel, et dans les recherches générales sur les intégrales des différentielles algébriques qui se trouvent dans son dernier mémoire, le „Précis d'une théorie des fonctions elliptiques.'^

Avant même d'avoir quitté le lycée en 1820, il crut avoir trouvé la résolution de l'équation générale du cinquième degré. Qn mémoire sur ce sujet fut adressé par l'intermédiaire du professeur Hansteen au prof. Degen pour être présenté à la Société royale des Sciences à Copenhague. Mais comme Degen (voir lettre XLV) imposa la condition qu'ABEL appliquât d'abord sa méthode à un exemple numérique donné, Abel fut ainsi amené à découvrir sa faute. Le mémoire n'existe plus, ni

LES ÉTUDES d'aBBL ET SES DiÉCOTJVEETES 15

aucune tradition sur sa méthode ou sur la nature de la faute. Abel s'imposa alors pour problème, soit de trouver la résolution au moyen de radicaux, soit d'en démontrer l'impossibilité. D'après cela, il faut croire que la problème avait reçu un traitement analytique, car c'est seulement ainsi que se seront posées comme alternatives nécessaires, soit, d'une part, sa résolution, soit d'autre part, la démonstration de son impossibilité. Le plus probable est peut-être qu'ABEL a simplement pris pour point de départ la possibilité de la résolution. Quoi qu'il en soit, Abel avait ainsi inauguré ses recherches sur la théorie des équations, et il ne les abandonna jamais.

Lagrange avait discuté à priori les méthodes générales alors connues pour résoudre des équations algébriques au moyen de radicaux, et avait reconnu qu'aucune d'entre elles ne donnait aucun espoir de venir à bout des équations générales de degrés supérieurs au quatrième; depuis lors les mathématiciens les plus sagaces eurent des doutes sur la possibilité de cette résolution. Ainsi Gauss a dit et répété, en 1799 et 1801, qu'il n'y avait guère de doute qu'elle fût impossible, et même il a, une des deux fois (Gauss, Werke III p. 17), ajouté qu'il ne serait peut-être pas très difficile d'en démontrer l'impossibilité en ce qui concerne l'équation du cinquième degré, et qu'il exposerait ailleurs ses recherches à se sujet; Gauss n'y était cependant pas revenu. Le mathématicien italien Paolo Ruffini chercha, dans une série de mémoires publiés de 1799 à 1813, à donner cette démonstration. Ses travaux, qui sont souvent embrouillés et difficiles à comprendre, renferment certainement une idée juste, au fond, qui est essentielle pour la démonstration, mais ses conclusions souffi'ent de ce défaut, qu'il admet sans démonstration que tout radical qui se trouve dans l'expression de la racine doit être une fonction rationnelle des racines elles-même. Ses travaux étaient d'autant moins propres à provoquer autre chose que de nouveaux doutes sur la possibilité de la résolution, qu'il pensait pouvoir finalement conclure que l'emploi même de fonctions transcendantes ne permettrait pas de donner une expression des racines de l'équation du cinquième degré, affirmation vraiment absurde.

En 1824, Abel avait atteint son but, et il fit imprimer à ses frais, à Kristiania, un mémoire tiré à peu d'exemplaires, qui se termine par la proposition: „Il est impossible de résoudre par des radicaux l'équation générale du cinquième degré." Sa pauvreté rendit nécessaire d'en réduire l'étendue autant que possible, en sorte que le mémoire ne renferma que les points principaux de la démonstration. Aussi

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ne fut-il pas compris des mathématiciens contemporains, ce qu'AsEL éprouva plus tard de plusieurs manières. Il en envoya pendant l'été de 1824 un exemplaire à Schumacher, afin que celui-ci pût le mettre sous les yeux de Gauss. Schumacher l'envoya à Brème à Olbers, Gauss étant attendu à Brème, où il vint en effet en août 1824. Une tradition, dans notre pays, rapporte que Gauss aurait dit de ce travail: „Es ist ja ein Grauel so vs^as zusammenzuschreiben"; d'après Hansteen, il aurait dit qu'il démontrerait peut-être lui-même plus tard la possibitité de la résolution. On ne peut pas voir par la correspondance entre Gauss, Schumacher et Hansteen, qu'aucune expression comme la première soit venue à la connaissance de Hansteen, mais il est possible qu'ABEL lui-même l'ait tenue de Schumacher. Or il n'est guère croyable que Gauss .eût changé d'opinion depuis 1801; il peut avoir voulu dire que la résolution peut être obtenue par les fonctions elliptiques, et ses paroles auraient été mal comprises par Olbers, Schumacher ou Hansteen; ou bien il peut avoir répété qu'il donnerait lui-même une démonstration plus complète de l'impossibilité. Il faut en outre observer qu'ABEL s'est servi dans le titre même du mémoire de l'expression incorrecte: „rimpossibiUté de la résolution de l'équation générale etc.". L'exclamation de Gauss visait peut-être ce titre. Que Gauss ait exprimé un blâme sur la rédaction du mémoire ou sur sa rigueur, cela est très vraisemblable, puisqu'AsEL, en plusieurs endroits, s'est contenté d'affirmations, là où des démonstrations étaient nécessaires, et sans dire qu'elles avaient été omises faute de place. Il doit y avoir quelquechose de réel à la base de cette tradition. Le mot môme „Grauel" se retrouve dans les lettres d'ABEL (lettre IV). On serait tenté de croire qu'ABEL aurait rapporté l'expression à Grelle, et aurait ainsi provoqué le mot peu réfléchi de ce dernier.

Lorsqu'ABEL fut à Berlin à la fin de 1825, la théorie des équations devint de nouveau l'objet de ses études. Son premier acte fut de donner une rédaction nouvelle et plus ample à son mémoire de 1824. Ce travail fut publié dans le premier fascicule du Journal fur die reine und angewandte Mathematik, qui commença justement alors, et dont l'éditeur était devenu l'ami intime d'ABEL. Il contient une démonstration rigoureuse de la proposition; tout ce qu'on lui a reproché, c'est à un certain endroit une expression inexacte qui n'a d'ailleurs pas d'influence sur le résultat, ainsi que des longueurs inutiles, lorsqu'il s'agit de la forme d'une fonction rationnelle de cinq variables, qui prend exactement cinq valeurs différentes lorsqu'on les échange entre elles.

LES ÉTUDES d' ABEL ET SES DÉCOUVEETES 17

Par la proposition ainsi établie, la théorie des équations était entrée dans une phase nouvelle. Abel se posa alors le problème de trouver toutes les équations qui peuvent être résolues algébriquement; il voulait le résoudre en déterminant la forme qu'il faut donner à une expression formée de radicaux pour qu'elle satisfasse à une équation irréductible d'un degré donné. Il fit aussi des progrès rapides dans cette direction nouvelle. Dès janvier 1826, avant de quitter Berlin, il écrit que la question n'est pas bien difficile, quand le degré est un nombre premier, mais très difficile au contraire, quand c'est un nombre composé, et qu'il a la solution complète en ce qui concerne le cinquième degré. Il communiqua cette solution à Grelle en mars de la même année dans une lettre de Freiberg, on ajoutant qu'il était en possession de propositions analogues pour les degrés 7, 11, 13, etc. (lettre IX). En octobre il informe Holmboe qu'il a l'espoir de résoudre le problème dans toute sa généralité. Le Cahier III renferme d'ailleurs un morceau de 13 pages, qui montre qu'ABEL s'en est occupé à Paris. Ici parait déjà la quantité auxiliaire que l'on appelle la résolvante de Galois. En décembre, il sait que si une équation irréductible dont le degré n'est pas une puissance d'un nombre premier, est résoluble par radicaux, elle doit être nécessairement ce que, depuis Galois, on appelle non-primitive.

En même temps il traita aussi des classes d'équations plus particulières, notamment les équations abéliennes, et celles qui peuvent aisément être ramenées à cette classe. Les fonctions elliptiques, qu'il étudiait en même temps, lui en fournirent une foule d'exemples. Il cite particulièrement dans ses lettres sa proposition bien connue sur la division de la lemniscate en parties égales (Cahier III, p. 133). Elle a dû être trouvée dès l'automne 1826, d'après la place qu'elle occupe dans le Cahier III. Elle est aussi mentionnée dans ses lettres de décembre 1826.

Les annotations faites par Abel après son retour à Kristiania montrent qu'il a pensé de temps à autre à rédiger toutes ces découvertes. On trouve dans ses manuscrits un chapitre sur les équations abéliennes (Cahier V, p. 13 — 38), qui, d'après sa place, a probablement été écrit peu après son retour, c'est à dire dans l'été ou l'automne de 1827. Ce morceau a servi de base à la rédaction définitive de son célèbre mémoire sur ce sujet, car plusieurs parties ont été transcrites littéralement dans le mémoire. Il est revenu deux fois aux recherches générales sur les équations résolubles algébriquement, la première peu de temps avant d'envoyer son mémoire sur les équations abéliennes, c'est à dire dans les premiers mois de 1828, et la seconde, avec plus de développement, dans la seconde moitié de l'année. C'est

LES ÉTtTDES d'abEL — 3

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le morceau qui, dans les deux éditions des Œuvres d' Abel, est reproduit sous ce titre: „Sur la résolution algébrique des équations.^ En octobre 1828, Abel communiqua dans une lettre à Crelle le résultat suivant, le dernier dont il ait parlé: „Si trois racines d'une équation quelconque irréductible d'un degré marqué par un nombre premier, sont liées entre elles de la manière que l'on pourra exprimer l'une de ces racines rationellement en les deux autres, l'équation sera toujours résoluble à l'aide de radicaux." Dans cette lettre Abel s'est toutefois exprimé inexactement ou au moins peu clairement, et a voulu sans doute dire que toutes les racines devaient pouvoir s'exprimer rationnellement en fonction de deux d'entre elles, toujours les mêmes. Prise rigoureusement à la lettre, la proposition est inexacte, car il existe une classe d'équations à laquelle elle ne s'applique pas, tout au moins lorsque le degré est de la forme W — 1.

Abel ajourna la publication de ses théories algébriques jusqu'à son retour en Norvège. Dans la première partie des „Becherches sur les fonctions elliptiques, publiée en septembre 1827, est compris le problème de la division de l'intégrale elliptique en n parties; de même la proposition sur la non-primitivité de l'équation de la division des périodes, car il démontre qu'au moyen d'une équation auxiliaire de degré n-\-l, cette équation peut être décomposée en n-\-l équations du degré n — 1, lesquelles sont résolubles par radicaux. Il dit aussi que l'équation auxiliaire peut bien être résolue par radicaux dans un grand nombre de cas, mais que la résolution parait en général impossible. S'il s'exprime avec celte réserve, c'est qu'il n'a guère possédé de démonstration rigoureuse de cette impossibilité. La proposition particulière sur la division de la lemniscate fut aussi énoncée dans la première partie du mémoire, mais la démonstration ne parut que dans la seconde, en mai 1828.

Le célèbre „ Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement^^ a été le seul travail exclusivement consacré à la théorie des équations qu'ABEL put encore publier. Il traite en général des équations irréductibles ayant cette propriété que l'une des racines peut être exprimée en fonction rationnelle d'une autre racine et des quantités qu'on suppose connues, particulièrement les équations que l'on appelle aujourd'hui abéliennes, sur la proposition de Kronecker et de Jordan. Abel a lui-même caractérisé sa théorie comme une généralisation de la théorie de la division du cercle; il désignait les équations abéliennes comme celles qui peuvent être résolues par la méthode de Gauss. D'après son

plan primitif, le mémoire, outre les cinq paragraphes qui le composent, devait en comprendre au moins deux autres, qui devaient renfermer des applications aux fonctions elliptiques, surtout celles qui permettent une multiplication complexe. Le sixième paragraphe aurait donné la solution de l'équation pour la division des périodes en un nombre impair de parties dans certains cas de multiplication complexe. Le septième aurait renfermé des formules de transformation des fonctions elliptiques; probablement plusieurs autres paragraphes encore ont été projetés, où il aurait fait l'application algébrique de ces formules. Le plus vraisemblable doit être qu'ABEL a eu l'idée de traiter les équations qui déterminent les modules singuliers eux-mêmes, ou tout moins certaines classes d'entre eux. De tout cela il n'est rien resté que quelques formules avec leurs numéros, sorte de table des matières qu'ABEL a faite dans le cahier IV, p. 52, et qui est reproduite dans les Œuvr. compl. Nouv. éd. T. II, p. 310 — 311. Abel a donc changé d'idée, et ajourné la publication de ces choses; soit qu'il ait voulu les insérer dans son dernier mémoire sur les fonctions elliptiques, soit qu'il ait voulu attendre la publication de celui-ci, afin de pouvoir citer la théorie de la transformation qui devait y être contenue. Il est probable que c'est la rivalité entre Abel et Jacobi sur le terrain des fonctions elliptiques qui a causé le retard. Crelle doit avoir attendu longtemps la continuation du mémoire, car celui-ci est daté du 29 mars 1828 (c'est sûrement la date de la lettre d'envoi que Crelle a notée), mais il n'a été publié que le 28 mars 1829, c'est à dire peu avant la mort d' Abel.

Pour la clarté de ce qui va suivre, je vais indiquer le contenu principal du projet dont il a été question plus haut: „Sur la résolution algébrique des équations." Dans une introduction étendue, dont il existe même deux brouillons, et qui contient les déclarations déjà citées sur la méthode mathématique, Abel indique les propositions les plus importantes qu'il va démontrer, savoir*: 1. „Si une équation irréductible d'un degré premier ;t est résoluble algébriquement, les racines auront la forme suivante:

2/ = A + fe + fe + . . . + iË^,, ,

A étant une quantité rationnelle, et B^ B,^ . . . B^__^ les racines d'une équation de degré ix — 1."

* Toutes les citations suivantes sont en français.

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2. „Si une équation irréductible dont le degré est une puissance d'un nombre premier, fi"', est résoluble algébriquement, il doit arriver de deux choses l'une: ou l'équation est décomposable en f.i'^ ~ ^ équations, chacune du degré ^^, et dont les coeîficiens dépendront d'équations du degré fi'^~^; ou bien on pourra exprimer l'une quelconque des racines par la formule:

2/ = A + ÎËj + fe + . . . . + fe,

où A est une quantité rationnelle et B^ B^ . . . B^ des racine^ d'une même équation du degré v, ce dernier nombre étant tout au plus égal à ^w" — 1."

3. „Si une équation irréductible de degré /.i divisible par des nombres premiers différents entre eux, est résoluble algébriquement, on peut toujours décomposer f.i en deux facteurs ;it, et fi^, de sorte que l'équation proposée soit décomposable en |U, équations, chacune du degré in.^, et dont les coefficients dépendent d'équations du degré |^^."

4. „Si une équation du degré /t", où f^i est premier, est résoluble algébriquement, on pourra toujours exprimer une quelconque des racines par la formule:

^=/(fe, fe, . . . fe).

où f désigne une fonction rationnelle et symétrique des radicaux entre les parenthèses, et i^i, -Bg, . . . -B„, des racines d'une même équation dont le degré est tout au plus égal à jM« — 1."

Outre ces propositions, où d'ailleurs manque, comme on voit, dans la dernière, la condition que l'équation doit être primitive, le mémoire devait comprendre une série de propriétés des racines des équations „résolubles" ; en outre, il devait être montré que, pour de telles équations, les méthodes données par Lagrange conduisent à des équations auxiliaires ayant une racine rationnelle, et que notamment cette dernière condition est suffisante, lorsque le degré de l'équation donnée est un nombre premier. Dans le premier paragraphe du mémoire proprement dit sont posées des définitions, et il donne la forme générale sous laquelle peut être mise une expression formée avec des radicaux. Le second paragraphe contient une série de propositions qui ont pour but la détermination plus précise de cette forme, lorsque l'expression doit satisfaire à une équation algébrique d'un degré donné. Contre l'une de ces propositions il y a une objection fondée à faire, mais elle est telle

que les propositions seront à la fois exactes et suffisantes dans le développement qui suit, si l'on fait subir à l'expression donnée une réduction plus complète que celle obtenue dans le premier paragraphe. Dans le troisième paragraphe est traité particulièrement le cas où le degré est un nombre premier; la première partie de ce paragraphe est encore rédigée complètement, mais peu à peu il n'y a plus qu'une suite de formules avec fort peu de texte. En continuant son travail, Abel s'est certainement aperçu du défaut qui vient d'être indiqué, et par suite ne considère plus ce qu'il écrit comme la rédaction définitive du mémoire qu'il voulait publier. C'est là une particularité de sa manière de travailler que l'on peut encore observer ailleurs, et dont j'ai parlé plus haut.

Abel exprime d'abord la racine de l'équation sous forme de fonction symétrique de certains radicaux:

où fi est le degré de l'équation, et s, Sj , s^, . ■ . s^i , les racines d'une équation abélienne, avec un cycle unique de racines et à coefficients connus, et dont le degré v est un diviseur de fi — 1*. Il n'est pas dit dans le texte que l'équation auxiliaire est abélienne, le texte, ici déjà, étant devenu incomplet, mais cela est exprimé par une formule:

Si =(/■«)''. s"'";

Ce qui est encore plus significatif, c'est que les racines de l'équation auxiliaire sont aussi désignées par

s, e(s), e^is), ... 6/ (s),

c'est-à-dire précisément par le même symbole 6 qu'il avait employé dans le mémoire sur les équations abéliennes. Cette forme de la racine est cependant encore trop générale; pour qu'elle satisfasse vraiment à une équation de degré /.i à coefficients connus, il faut que

Sj, «2' • ■ • ^v-l

soient toutes des fonctions rationelles de S'". Aussi l'expression est-elle encore transformée, et il trouve:

* Œuvr. compl. Nouv. éd. II. p. 239.

SYLOW

^V-Doc

sf = A,

Il II

Ici, av = /j, — 1, m est une racine primitive du nombre [.i; a, a^, . . . a^^ sont les racines d'une équation abélienne irréductible, mais d'ailleurs quelconque, du degré r; elles sont, ainsi que les Ai, des fonctions rationnelles de s, de même que, inversement, s est fonction rationnelle de a. Cettre transformation est obtenue par la même analyse qui sert à montrer que l'équation en s est abélienne.

Ainsi le problème de déterminer quelles expressions peuvent être racines d'une équation irréductible de degré ;«, se trouve ramené au problème plus simple de trouver les expressions qui peuvent être racines d'une équation àbélierme irréductible dont le degré est diviseur de /t — 1. Ce problème plus particulier n'a pas été traité dans ces notes. Il n'a été résolu que par Kronecker, à qui il fut ainsi réservé de couronner, pour ainsi dire, cette partie de la construction monumentale commencée par Abel.* Il n'y a cependant aucun doute qu'ABEL a aussi travaillé ce problème. Il en avait dès 1826 communiqué la solution à Crelle pour le cas où (i^h, et oîi les coefficients de l'équation sont des nombres rationnels. Et il faut ajouter que dans le cas où v est un nombre premier, cas auquel les autres peuvent être ramenés, on arrive au but juste par la même analyse que dans le problème général. Dans l'un des cahiers manuscrits d' Abel se trouve également une page qui traite ce point (Cahier IV p. 66).**

De ces formules Abel a probablement conclu directement que chacune des racines peut être exprimée rationnellement par deux quelconques d'entre elles, ce qui l'a ensuite amené à rechercher si cette circonstance était suffisante pour assurer la résolubilité de l'équation par des radicaux; c'est ainsi qu'est apparu le théorème communiqué à Crelle. La nécessité de la condition peut aussi sans peine être tirée des formules. Car si l'on écrit ainsi l'expression de la racine z:

■v\si'\^r=v K«rj>

où 10 = cos 1- V — 1 sin — , et où g? ne contient pas l'indice h, on peut en tirer

(.1 fi

i Si" en fonction rationnelle de s et de «:

* „Monatsberichte der Konigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin", 14 avril 1856. ** Voir fac-similé no. III.

On trouve alors

c'est-à-dire que Sr est fonction rationnelle de s, s^ et des quantités connues. Pour démontrer la suffisance de la condition, il faudrait cependant des recherches d'un autre genre.

Outre le morceau de mémoire projeté, dont il vient d'être question, il se trouve encore quelques pages qui s'y rattachent directement, presque exclusivement composées de formules. Mais l'analogie avec ce qui précède et les quelques mots de texte qui sont ajoutés suffisent pourtant pour que l'on puisse comprendre la signification des lettres, et par suite reconnaître que ces pages contiennent une ébauche de démonstrations complètes des trois dernières propositions annoncées dans l'introduction. Les formules sont également remarquables en ceci, qu'il s'y trouve une quantité qui doit être interprêtée comme une résolvante de Galois pour l'équation auxiliaire déterminant la quantité sous le radical extérieur. La première des quatre propositions étant un cas particulier de la dernière, les formules offrent aussi une méthode un peu différente et meilleure pour traiter le cas où le degré est un nombre premier. Lorsqu'ABEL quitta ce sujet, il fît un tableau des radicaux que l'on peut s'attendre, toutes réductions faites, à rencontrer dans une expression générale formée par des radicaux, comme s'il avait voulu se rappeler comment, en faisant plus tard une rédaction complète de ses recherches, il pourrait réduire l'expression de la manière la plus avantageuse. Dans sa rédaction définitive, son mémoire aurait ainsi revêtu certainement une forme aussi inattaquable que celui sur les équations abéliennes.

Mais Abel mourut sans avoir le temps de revenir à la théorie des équations; son dernier grand travail, le „Précis d'une théorie des fonctions elliptiques" ne lui en laissa pas le temps pendant la demi-année environ qu'il avait encore à vivre, les trois derniers mois dans son lit. Il ne reste donc plus qu'à voir quels rapports avaient ses travaux avec les brillantes découvertes de Galois. Ce fut, d'après le témoignage d'Auguste Chevalier, l'année même de la mort d' Abel que Galois, âgé seulement de 17 ans, commençait à faire de grands progrès dans la théorie des équations, après avoir cru un instant, comme Abel, être en possession de la résolution

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de l'équation du cinquième degré.* Lorsque Galois, en avril et juin 1830, donna ses résultats dans le „Revue encyclopédique", il n'existait d'imprimé parmi les travaux d'ABEL sur la théorie des équations que la démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation du cinquième degré par des radicaux, et le mémoire sur les équations abéliennes. Tout au plus Galois pouvait-il avoir vu déjà la proposition communiquée à Grelle sur la condition pour qu'une équation irréductible dont le degré est un nombre premier soit résoluble par radicaux (lettre XXXIX); mais cette proposition était exprimée incomplètement, en ce qu'il n'était pas question de la nécessité de la condition, et aussi peu clairement, en ce qu'on ne pouvait voir que toutes les racines doivent être des fonctions rationnelles des deux mêmes, parmi elles. Galois a donc découvert indépendamment d'AsEL les deux propositions les plus importantes sur les équations qui peuvent être résolues par radicaux, celle dont il vient d'être parlé et celle sur le non-primitivité des équations, lorsque le degré n'est pas une puissance d'un nombre premier. Abel n'avait exprimé cette dernière, dans ce qui était alors publié, qu'en passant, en ce qui concerne le gme degré**; ses communications à Holmboe sur la proposition ne purent être connues qu'en 1839, par la première édition des œuvres d'ABEL, plusieurs années après la mort de Galois. Mais le mérite de Galois ne consiste pas essentiellement dans ces propositions, mais dans la généralité de la méthode qu'il appliqua. C'est son admirable théorème fondamental qui a donné à la théorie des équations sa forme définitive, et d'où est sortie, en outre, le théorie des groupes généi-alisée, qui est d'une si grande importance, on peut le dire, pour toutes les branches des mathématiques, et qui déjà, entre les mains de Jordan, de Klein, de Lie, de Poincaré et d'autres, a enrichi la science d'une longue suite de découvertes importantes.

Il y a donc un intérêt historique à rechercher dans quelle mesure les travaux d'ABEL ont contribué à rendre possible ce grand progrès. Outre le changement de direction que devait subir la théorie des équations par suite de la reconnaissance du fait que l'extraction des racines n'est pas suffisante pour la résolution de toutes les équations algébriques, il y avait deux choses surtout dans les mémoires d'ABEL, qui devaient influencer une intelligence aussi vive que celle de Galois. L'une était l'application faite par Abel de l'irréductibilité d'une équation. Cette notion, autant

Voyez A. Chevalier, dans la Revue encyclopédique, 1832, ou Dupuy dans les Annales de

l'Ec. norm., 1896, p. 208.

Œuvr. compl. Nouv. éd. T. I, p. 527.

tES ETUDES D'ABEL EÎ SES D]écOUVEEÎES 25

que je sache, n'existe pas avant lui. Gauss dit, il est vrai, des équations auxquelles il ramène la détermination des racines de l'unité:

„omnique rigore demonstrare possumus, has equationes elevatas nuUo modo nec evitari nec ad inferiores reduci posse."

et par là, sans aucun doute, il veut dire qu'elles sont irréductibles au sens moderne du mot, chacune dans son domaine. Mais il ne s'est pas servi de cette irréductibilité comme d'un moyen de raisonnement. Abel, qui ne s'occupait pas ici d'équations particulières, maig exposait une théorie générale, introduisit le concept d'irréductibilité comme principe, et aperçut ainsi à priori des propositions que Gauss, dans son cas particulier, avait reconnues à posteriori. Abel et Galois définissent tous deux cette conception et donnent une démonstration du théorème simple et bien connu sur l'équation irréductible, tout comme s'il eût été inconnu. Abel dit dans son mémoire de 1829:

„Une équation cp {x) = 0, dont les coeîficiens sont des fonctions rationnelles d'un certain nombre de quantités connues a, 6, c . . . , s'appelle irréductible, lorsqu'il est impossible d'exprimer aucune de ses racines par une équation moins élevée, dont les coefficiens soient également des fonctions rationnelles de a, 6, c . . ."

Par cette définition, il donne à ses recherches, comme plus tard Galois, le plus haut degré de généralité, puisqu'il suppose ce que l'on appelle aujourd'hui un domaine de rationalité quelconque.

La seconde chose est la possibilité d'exprimer toutes les racines d'une équation ou d'un système d'équations au moyen d'une quantité unique, celle que l'on a plus tard appelée la résolvante de Galois. Abel l'applique dans son dernier mémoire sur les fonctions elliptiques, et môme il suppose l'équation à laquelle satisfait la résolvante réduite par l'adjonction de certaines quantités irrationnelles.* Galois a cité ce passage d' Abel tant dans le mémoire „Sur la théorie des nombres" que dans le „Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux," publié après sa mort. C'est précisément par l'application simultanée de ces principes, et par un raisonnement analogue à celui d'ABEL dans le mémoire sur les équations abéliennes, que Galois démontre son célèbz'e théorème fondamental. Abel a bien donné une fois la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction rationnelle des racines d'une équation particulière puisse être exprimée

* Œiivr. compl. Nouv. éd. T. 1 p. 547.

LES ÉTUDES d'aBEL — 4

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rationnellement par les coefficients et une racine carrée adjointe, et cela d'une manière qui rappelle fortement la proposition fondamentale de Galois; c'est dans son mémoire „Théorèmes sur les fonctions elliptiques". Mais il n'y a, ni dans ses mémoires, ni dans les papiers qu'il a laissés, rien de général à ce sujet.

Abel a donc certainement préparé d'une manière très effective les découvertes de Galois, mais il n'y a rien dans ses mémoires ni dans ses papiers qui donne aucune indication certaine qu'il ait vu la théorie des équations d'un point de vue aussi général que Galois.

Cette théorie eut vraiment de 1824 à 1832 une période merveilleusement fertile; mais elle fut interrompue brusquement par la mort précoce des deux grands savants. Si tous deux eussent vécu, les contemporains auraient vu une seconde rivalité qui aurait amené de nouveau le développement rapide d'une théorie importante. Ce ne fut que vers le milieu du siècle dernier que l'on commença peu à peu à voir clair dans les nouvelles découvertes, et ce ne fut même à vrai dire qu'en 1870, par le Traité de Jordan, que la théorie des équations de Galois devint la pleine propriété du monde scientifique, et fit ses premiers et admirables progrès.

Après la théorie des équations, la partie des mathématiques sur laquelle se fixa d'abord l'attention d' Abel fut le calcul intégral. A partir de 1823 au moins, il s'en est constamment occupé, mais beaucoup de ce qu'il a trouvé ne se rencontre qu'occasionnellement dans les mémoires qu'il a publiés lui-même. La théorie des fonctions elliptiques n'était tout d'abord qu'un chapitre du calcul intégral, et si cette dépendance n'est pas d'une grande importance dans le premier mémoire d'AsEL sur ce sujet, elle se manifeste d'autant plus fortement dans le dernier. Mais par suite de la grande étendue occupée par les fonctions elliptiques dans ses publications, et de la grande part qu'elles ont eue dans sa célébrité, je parlerai de ses découvertes sur ce terrain dans un chapitre à part, au risque de tracer une ligne de démarcation quelque peu arbitraire.

En mars 1823, Abel avait écrit un mémoire étendu sur le calcul intégral, qu'il présenta au conseil académique par l'intermédiaire de Hansteen, avec prière au conseil de lui attribuer une subvention pour le faire imprimer. Un rapport fut demandé à Rasmusen et à Hansteen, lequel ne fut déposé que le 19 décembre; ils déclarèrent que le mémoire méritait d'être répandu, mais ne voulurent pas conseiller de le publier à part, parcequ'on ne pourrait s'attendre à ce que la vente couvrît

LES ÉTUDES d'ABEL ET SES DÉCOUVERTES 27

les frais. Ils conseillèrent de donner à Abel une subvention pour un voyage d'étude à l'étranger, et suggérèrent qu'il pourrait présenter le mémoire à l'Académie des Sciences de Paris. Ils ont donc hautement apprécié le mémoire.* Malgré des recherches répétées, on ne l'a pas retrouvé; on sait qu'il a été écrit en français, mais on n'en connaît même pas le titre de façon certaine. Sur le contenu on a ce que dit le rapport: „il expose pour toutes les formes principales de formules différentielles la manière dont leur intégration peut être effectuée" et „cette exposition est différente de celle que l'on trouve dans les ouvrages de nous connus". Mais dans un rapport ultérieur,** Hansteen emploie une autre expression; il l'appelle: „un travail relatif à un perfectionnement de méthode dans le calcul intégral". Si l'on rapproche de cela ce qu'AsEL a dit plus tard de la vraie méthode du calcul intégral, on est conduit à voir dans ce mémoire perdu le premier germe des recherches qu'ABEL a insérées au second chapitre de son dernier travail sur les fonctions elliptiques, et dont il a en outre parlé dans sa lettre à Legendre (lettre XLII). Dans cette lettre il est précisément question d'„une méthode particulière". C'est peut-être par allusion à ce mémoire qu'on lit dans le Cahier II p. 60:

„J'ai démontré ailleurs que / ne peut être intégrée d'

aucune mani-

ère par les fonctions admises jusqu'à présent, et que c'est par suite une classe particulière de fonctions transcendantes."***

Ce passage remonte selon toute probabilité à l'année 1823. A la même année appartiennent également les morceaux 13, 14, 15 du même cahier. Dans le premier, l'intégrale hyperelliptique générale ^ clxf{x , yV) , où v désigne un polynôme du

degré n, est réduite à des intégrales des formes ^x'"'^l)dx et -^— dx , ou =, et cela de manière que m n'a que les valeurs 0, 1, 2, . . n—2.

Çx"" dx r

(x -f- a) yn

Le second est un commencement de généralisation de la proposition de Legendre sur la permutation du paramètre et de l'argument, de façon à comprendre aussi les intégrales hyperelliptiques. Dans le troisième morceau, il donne des exemples d'intégrales elliptiques de troisième espèce qui peuvent être réduites à des intégrales de

•^ Voir doc. IV et VI.

** Voir doc. XVUI.

** En norvégien.

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première espèce et à des logarithmes, et d'intégrales de troisième espèce qui peuvent être réduites les unes aux autres. Tout cela est manifestement occasionné par l'étude que fait Abel des Exercices de Legendre. Mais bientôt après il en sortit de véritables découvertes. Il avait remarqué que la démonstration par Legendre de sa proposition repose sur ce que la racine carrée placée sous le signe d'intégration satisfait à une équation différentielle linéaire et homogène du premier ordre, et il développa en conséquence une proposition plus générale, mais tout-à-fait analogue, où cette racine carrée est remplacée par une solution quelconque d'une équation différentielle de ce genre. Il écrivit à ce sujet un petit mémoire (Nouv. éd. II, n° VIII). Ce fut certainement peu après que, dans le mémoire qui a pour titre „ Extension de la théorie précédente" (Nouv. éd. II, n° XIX), il généralisa considérablement son résultat, en partant d'une équation différentielle linéaire homogène d'un ordre quelconque, dont les coefficients sont rationnels par rapport à la variable indépendante. Il vaut la peine de remarquer que l'attention d' Abel, au moins en septembre 1827, fut fixée sur ce fait que toute fonction algébrique satisfait à une équation algébrique de ce genre, dont l'ordre est inférieur au degré de l'équation par laquelle la fonction est définie. Une observation à ce sujet se trouve en effet aux premières pages du Cahier IV. Ces deux mémoires, dont les originaux sont perdus, ont été écrits avant le mois de septembre 1825, et ils montrent quel haut degré de généralité Abel, déjà avant cette époque, savait donner à ses recherches. Ils ont également attiré l'attention de Jacobi, qui reprit cette étude dans le tome 32 du Journal de Grelle; plus tard M. Fuchs et M. Frobenius sont revenus sur le sujet, et ont précisé davantage le résultat. Abel semble avoir lui-même attaché de l'importance à cette découverte ; il a continué à développer le sujet du mémoire n° VIII (Nouv. éd. II) dans un travail qui fut remis à la Société roy. des Sciences de Throndhjem en mars 1826. Ce travail contient d'ailleurs une faute de calcul, ce qui fait que toute une série de formules sont inexactes ; il a probablement été rédigé hâtivement, soit au moment où Abel, en 1825, paiiit pour l'Allemagne, soit même pendant la première partie du voyage. Il est possible que ce soit précisément le mémoire dont il est question dans la lettre du 13 sept. 1825 (lettre III). Il fut envoyé à la Société par l'intermédiaire de Hansteen, mais indirectement. L'envoi fut retardé, et de plus, par suite d'un incendie à Trondhjem, il ne fut imprimé qu'en 1827.

Abel avait ainsi beaucoup dépassé ce qu'il avait appris dans l'ouvrage de Legendre. Mais il fit à la même époque une découverte incomparablement plus

LES ÉTUDES d'ABEL ET SES DÉCOUVERTES

importante dans le théorème portant son nom par excellence. Car le mémoire „Sur le comparaison des transcendantes" (Nouv. éd. II, n° X) a été, au témoignage de Holmboe, également écrit en 1825 avant son départ. Le célèbre théorème est exposé dans toute sa généralité, et est démontré à peu près de la même manière que dans les mémoires ultérieurs; il y est observé expressément que le nombre des intégrales indépendantes peut être aussi grand que l'on veut, le nombre des intégrales dépendantes restant fixe. En quelques endroits, il est question de formules „qui sont d'une grande utilité dans ces recherches", et par là il est fait allusion à la détermination de la partie algébrique et logarithmique de l'équation; mais cette détermination n'est pas faite. Il semble donc que le mémoire soit en réalité ou un travail incomplet ou un fragment. Là-dessus on ne peut plus rien savoir; l'original est perdu, et Holmboe n'a donné aucun renseignement à son sujet. A la fin de 1825, Abel était en possession de beaucoup de choses nouvelles relatives au calcul intégral. Il songeait alors à publier un livre là-dessus, et, comme il le raconte dans une lettre à Hansteen (lettre X), il avait l'espoir de trouver un éditeur à Berlin, avec l'aide de Grelle. J'ai cité plus haut deux sujets qui pouvaient fournir la matière de chapitres étendus dans un pareil ouvrage; mais je crois que quelquechose au moins de ce qu'il a plus tard inséré dans son dernier mémoire sur les fonctions elliptiques était déjà trouvé. Il semble en effet que c'est à cet ouvrage qu'ABEL fait allusion dans une note de son dernier mémoire (Nouv. éd. I, p. 550), où il parle d'une nouvelle théorie pour l'intégration des différentielles algébriques, dont le but était de réaliser toutes les réductions qui sont possibles à l'aide de fonctions algébriques et logarithmiques. L'ouvrage aurait sans doute compris tout ce qu'il avait fait dans le calcul intégral. Lorsque, vers la même époque, à la fin de 1825 ou au commencement de 1826, il écrivit son mémoire sur les intégrales de forme hyperelliptique qui peuvent être exprimées par des logarithmes, il a voulu peut-être montrer qu'il était en mesure de faire quelque chose d'important dans le calcul intégral, et ménager au livre projeté un bon accueil auprès du monde mathématique.

Lorsqu' Abel, dans l'été de 1826, fut arrivé à Paris, il résolut de prendre la

plus importante de ses découvertes, le théorème d'AsEL, pour sujet d'un mémoire

qu'il présenterait à l'Académie des Sciences, et qu'il espérait voir imprimer dans les

mémoires des Savants étrangers. Il réalisait ainsi un vœu formulé par l'Université. *

• Voir doc. VI.

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Ses travaux préparatoires immédiats pour ce mémoire sont conservés, et permettent de suivre le progrès du travail. Il était arrivé à Paris le 10 juillet et a dû prendre quelque temps pour s'orienter dans la grande ville et s'organiser de manière à commencer son travail. Il se procura le 9 août un cahier relié, et se mit à y écrire son mémoire; dès le 12 août il écrivit à Hansteen qu'il avait très bien réussi ce mémoire, mais cette expression n'a dû viser qu'un examen préalable de la matière. Il commence par une courte introduction, et démontre le théorème principal dans les 22 premières pages, et il détermine l'expression algébrico-logarithmique de la somme des intégrales; il trouve aussi dans quel cas la partie purement algébrique de cette expression disparait, et combien il y a d'intégrales différentes pour lesquelles l'expression toute entière est égale à zéro. Mais dans cette recherche, il a supposé que la courbe variable — j'emploie ici l'image géométrique connue — n'a pas de points d'intersection fixes avec la courbe principale. Il remarque ensuite que l'expression trouvée pour la somme des intégrales n'est valable que sous cette limitation, et en conséquence il reprend plusieurs fois son développement dans les pages suivantes, tantôt avec des notations variées pour les quantités auxiliaires qui interviennent, tantôt même dans différentes hypothèses. Il semble qu'il ait fini par faire ses calculs sur des feuilles volantes pour ne pas trop remplir le cahier de formules dont l'ensemble était difficile à saisir et qu'il ne devait d'ailleurs pas conserver. Il a dû prendre un court moment de repos; car à la page 30, il ne se trouve que 5 lignes de formules elliptiques. Mais à la page 31; qui porte en tête la date du 18 août 1826, se trouve un résultat définitif, qui, à la notation près, est la formule 37 du mémoire. Il passe ensuite à un nouveau chapitre, la détermination du nombre minimum des intégrales dépendantes; page 35 se trouve la date du 19 août, à un endroit où il est au milieu des développements qui sont compris dans le septième paragraphe du mémoire définitif. Abel pouvait donc bien se dire qu'il avait rempli la promesse faite à Hansteen dans la lettre X de rattrapper le temps qu'il pouvait avoir perdu par sa tournée en Italie et en Suisse. La rapidité avec laquelle le travail sur cette matière ardue avait avancé du 9 au 19 août montre que ce n'était pas la première fois qu'ABEL approfondissait cette théorie. Le développement continue dans le cahier, et page 39 se trouve la formule qui dans le mémoire porte le numéro 88, et qui contient le premier essai de détermination du nombre que Riemann a désigné par jo. Bientôt après Abel passe à l'exemple traité

dans le mémoire, où la fonction algébrique dont dépendent les intégrales est la racine d'un polynôme quelconque. Après avoir terminé cet exemple, je crois qu'ABEL s'est mis à rédiger le mémoire, composé de 10 paragraphes. De cette division en paragraphes il n'y a dans le cahier que des traces; il y a bien § 1 immédiatement après l'introduction, mais ensuite on ne rencontre aucune indication de paragraphes avant la page 53, où l'on trouve l'en-tête suivant.

Sur l'intégrale e •' J'''^)- '*'= 2/,"

suivi de deux pages de formules concernant la généralisation de la proposition smie paramètre et l'argument. Mais Abel a bientôt renoncé à comprendre ces choses dans son mémoire. Car aux pages 55 — 56 on trouve notées presque toutes les formules principales du mémoire, cette fois avec la notation même du mémoire, comme s'il n'en avait pas pris copie, mais avait voulu ainsi se rappeler les résultats essentiels, ou garder les formules toutes prêtes pour la correction des épreuves.

Le mémoire fut présenté à l'Académie le 30 octobre, mais resta longtemps chez Cauchy, qui l'oublia, et il ne fut imprimé qu'en 1841. Ce ne fut donc que douze ans après la mort d'AsEL qu'il put être de quelque utilité pour le développement ultérieur de la science, tandis que le mémoire plus particulier écrit plus tard par Abel sur le même sujet joua bien plus vite un rôle important. Le mémoire contient l'idée de genre qui domine toute la théorie des fonctions abéliennes, sous la forme du nombre minimum auquel on peut réduire un nombre quelconque d'intégrales. Il est vrai que ce nombre n'est pas ainsi complètement déterminé, mais un pas important est fait vers sa détermination définitive ; en outre il résulte de l'analyse que ce nombre ne dépend que de l'ordre de la courbe représentant géométriquement la fonction algébrique, et des singularités de cette courbe. Il n'est pas précisément démontré que ce nombre est égal au nombre d'intégrales de première espèce, mais on voit que les deux nombres sont égaux dans les cas qui, du point de vue d' Abel, sont les cas ordinaires. Quant au nombre des périodes, il n'en dit rien.

Plus de dix ans avant l'époque d'ABEL, la question de l'introduction des imaginaires dans les intégrales était soulevée parmi les plus grands mathématiciens. Poisson, en 1811, avait fait passer la variable par des valeurs imaginaires pour éviter la valeur qui rend infinie la fonction sous le signe d'intégration. La même année Gauss

avait aussi fait à Bessel une communication à ce sujet, et avait dit que la valeur

de l'intégrale, sous certaines conditions, ne dépend que de ses limites. Abel ne

pouvait connaître cette lettre de Gauss et le calcul de Poisson lui a peut-être

échappé. Mais en 1825, Cauchy avait publié un mémoire sur des intégrales prises

entre des limites imaginaires, et l'on sait par la lettre d' Abel à Holmboe du 24

oct. 1826 (lettre XVIII), qu'AsEL étudiait avec ardeur les travaux de Cauchy;

comme en outre il dit qu'il s'occupe des imaginaires „pour lesquelles il y a beaucoup

à faire", et d'intégrales, il y a donc lieu de croire qu'il a lu le mémoire de Cauchy,

et qu'il a fait de l'introduction des imaginaires dans le calcul intégral l'objet d'une

étude plus serrée. On en trouve d'ailleurs des marques évidentes dans le cahier III.

Comme je l'ai déjà dit, il y a repris la généralisation de la proposition sur le

paramètre et l'argument ; pour cela, il supposait ces quantités variables toutes deux

imaginaires, et comme Cauchy, il fait varier la partie réelle et la partie purement

imaginaire de chaque variable en fonction d'une seule et même variable réelle, en

sorte que les intégrales sont prises le long de courbes déterminées par ces fonctions.

Il remarque également, comme en passant, qu'il faut éviter les valeurs pour

lesquelles la différentielle devient infinie. De même, il introduit plus loin les imagi-

C duc C dûG naires dans des intégi'ales simples, comme I — ^ 1 . . ^ , et il semble qu'il se

rende compte de la manière dont se produisent les périodes, en choisissant convenablement les fonctions arbitraires. La représentation géométrique des imaginaires n'apparait pas. Il y a aussi un passage où l'intégrale est traitée d'après les règles du calcul des variations. Je mentionne ces passages du cahier d'ABEL, non seulement parcequ'il est intéressant d'être pour ainsi dire témoin de l'étude qu'un grand mathématicien fait des travaux d'un autre, — ils ne l'ont pas toujours fait autant qu'il l'aurait fallu, — mais surtout parcequ'il est bon de se les rappeler en parlant des travaux d'ABEL sur les fonctions elliptiques.

Dans le Cahier V, donc certainement à la fin de 1827, Abel est revenu à la théorie sur les intégrales de différentielles algébriques, ayant dans un morceau étendu sur les fonctions elliptiques développé une grande partie des propositions générales qui se trouvent dans son ^Précis d'une théorie etc.", chap. II. Il y est également énoncé, mais sans démonstration, que toutes les relations algébriques entre intégrales elliptiques et fonctions algébrico-logarithmiques peuvent être tirées de relations linéaires à coefficients constants entre les intégrales, une fonction

arique, et des logarithmes de fonctions algébriques. Le reste répond à peu près au théorème IV du „Précis^. Le mode de démonstration est un peu différent, en ce qu'il n'applique pas de résolvante de Galois, mais considère les diverses irrationnelles qui interviennent comme définies par des équations irréductibles successives, en adjoignant à chacune de celles-ci non seulement les irrationnelles antérieures, mais aussi les racines carrées qui se présentent dans les intégrales elliptiques correspondantes.

Un peu plus tard, vraisemblablement au printemps de 1828, Abel écrivit un morceau dans le Cahier VI sur les intégrales de fonctions algébriques, qu'il a certainement considérées comme la base de son traitement ultérieur du calcul intégral. La partie qui se laisse lire, moyennant quelque réflexion, a été insérée dans la nouvelle édition sous le numéro XVII dans le tome II, mais n'est pas dans l'ancienne. H y a démontré la proposition générale mentionnée plus haut, que si une équation algébrique irréductible a lieu entre plusieurs intégrales telles que

IViOc, ly^dx, . . . ^y^dx,

et la variable indépendante, cette équation peut être déduite d'autres de la forme

Cl J î/i «?a; + C2 J2/2 & + . . . + c^, iyf,dx = P,

où Pi, y 2, . ■ . y^t sont des fonctions algébriques quelconques de x, tandis que c^fC^, . . . c^ sont des constantes, et P une fonction rationnelle de x,y^,y^, . . . y Supposant ensuite que certaines des intégrales sont des logarithmes, il démontre que les arguments de ces logarithmes peuvent aussi être supposés rationnels par rapport à a; et aux irrationnelles comprises sous les signes d'intégration. Il ne poursiiivit pas plus loin la question dans sa généralité, mais traita particulièrement le cas où les irrationnelles en question se réduisent à un seul radical, d'une manière analogue à ce qu'il avait déjà fait dans son travail présenté à l'Académie des Sciences. La relation qu'il obtient ainsi répond à la formule connue par laquelle une somme d'intégrales elliptiques de troisième espèce et de même module, mais de paramètres différents, s'exprime par des logarithmes et des intégrales de première espèce. Il détermina aussi le nombre des intégrales dont les paramètres dépendent de ceux des autres intégrales et trouva le même nombre que dans le passage correspondant du mémoire de Paris (le p de Riemann). Comme exemple, il voulait encore traiter le problème

LES ÉTUDES d'aBEL — 5

34 L. SYLOW

beaucoup plus simple de trouver tous les cas où l'intégrale x" {i — x)^ dx peut

être exprimée par des fonctions algébriques et des logarithmes, mais ne l'acheva pas. On voit qu'il avait pensé faire de son théorème principal comme la base de tout un chapitre du calcul intégral.

Cependant Abel ne se sentait pas sûr de l'impression de son grand travail sur les intégrales dans les Mémoires des Savants Etrangers. Il s'y prit d'une autre façon, qui se montra plus pratique. Il écrivit un mémoire qui ne traitait que du cas le plus simple, le cas hyperelliptique ; il l'intitula: „Bemargue sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes" , et indiqua dans une note qu'il avait présenté à l'Académie des sciences un mémoire beaucoup plus général. Il ne fut imprimé que le 3 déc. 1828, dans le Journal de Grelle, T. III. Il écrivit aussi à Legendre sur ses recherches à se sujet une lettre, qui malheureusement parait être perdue. Une fois imprimée dans son application à un cas relativement simple, sa découverte produisit grand effet, dégagée qu'elle était ainsi des recherches difficiles sur les notions nouvelles que comportait la théorie générale, recherches qui n'ont pu être achevées que plus tard. Dès le 9 février, Legendre attira l'attention de Jacobi sur cette découverte, et Jacobi répondit par des paroles d'admiration, mais demanda comment il se faisait que le premier mémoire d' Abel n'eût pas été remarqué par l'Académie des Sciences, et il fut ainsi probablement le premier qui contribua à le mettre en évidence et à le faire publier. Bessel écrit à Gauss le 2 janvier, qu'il croyait que la proposition d'ABEL, qui découvre les propriétés des intégrales avant que l'intégration soit effectuée, avait montré un aspect tout nouveau du calcul intégral; il désirait vivement savoir si, à l'avis de Gauss, il s'exagérait peut-être l'importance de la nouvelle découverte. Mais Gauss, qui était alors occupé de sa Théorie des phénomènes de capillarité, et qui en outre approfondissait à nouveau les fondements de la géométrie, n'a donné aucune réponse à Bessel sur ce point.

Dans son dernier mémoire sur les fonctions elliptiques ^Précis d'une théorie etc." Abel est encore revenu au calcul intégral. Dans le premier chapitre il avait primitivement inséré la démonstration du théorème d'AsEL dans toute sa généralité; mais il se ravisa, supprima cette partie, et en fit presque sans y changer un mot un petit mémoire distinct, qu'il réussit ainsi à faire imprimer avant sa mort. Il est daté du 6 janvier 1829, et c'est réellement le dernier travail qu'ABEL a rédigé. Dans

LES ÉTUDES d' ABEL ET SES DÉCOUVERTES 35

le „Précis^ Abel a enfin publié quelquechose de ses recherches générales sur le calcul intégral dont j'ai parlé plusieurs fois, en se posant le problème général de trouver tous les cas où une somme d'intégrales elliptiques peut être exprimée par des fonctions algébriques et logarithmiques. Dans le premier paragraphe du second chapitre, il supposa qu'une somme d'intégrales de fonctions algébriques peut être exprimée par une somme de fonctions algébriques, de logarithmes et d'intégrales elliptiques, et il démontra que même s'il y a plusieurs variables indépendantes, toutes les quantités algébriques qui interviennent dans l'équation peuvent, sans nuire à la générahté, être supposées des fonctions rationnelles des variables indépendantes et des irrationnelles dont dépendent les intégrales données.

Cette proposition, d'une portée jusqu'alors sans exemple, était le fruit de sa pénétration approfondie dans la théorie des équations; le moyen qu'il employa pour vaincre les difficultés fut l'introduction de la quantité auxiliaire que l'on appelle aujourd'hui la résolvante de Galois. Il a ajouté dans une note qu'il a fondé sur cette proposition une théorie nouvelle pour l'intégration des différentielles algébriques, dépassant de beaucoup les résultats connus, mais que les circonstances ne lui ont pas permis de publier. Il est aussi question de ceci dans sa dernière lettre à Legendre, et il y mentionne particulièrement le problème de décider quand une différentielle algébrique peut être intégrée au moyen de fonctions algébriques, de logarithmes et d'intégrales elliptiques, mais il dit qu'il n'a pas encore pu le résoudre, et qu'il croit que cela dépassera ses forces. Weierstrass a repris ce problème, comme on peut le voir par son intéressante lettre à Lie, insérée plus haut (lettre LIV).

Au total, le calcul intégral a tenu dans la pensée d' Abel une très grande place, beaucoup plus grande que l'on ne pourrait croire d'après la place qu'il occupe dans ces mémoires. Gomme on l'a vu plus haut, il a trouvé que le calcul intégral avait été auparavant traité et exposé d'une manière dépourvue de méthode scientifique. Il semble qu'il n'ait pas renoncé à son ancien projet de consacrer au calcul intégral un ouvrage spécial, mais il est possible qu'il l'ait modifié de sorte qu'il se serait borné aux différentielles algébriques.

Il n'existe aucun renseignement certain sur l'époque où Abel commença l'étude des transcendantes elliptiques, mais il est tout au moins vraisemblable que son attention a été attirée dans cette direction dès 1821 par la lettre mentionnée plus

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haut du professeur Degen, de Copenhague, à Hansteen (lettre XLV). Il n'est guère probable que la prétendue découverte de Degen ait fait illusion à Hansteen, qui était d'un naturel assez sceptique; mais il y a lieu de croire qu'il a transmis à Abel l'invitation d'étudier les transcendantes elliptiques et supérieures.

Au plus tard dès la première moitié de 1823, Abel a considéré la limite d'une intégrale elliptique comme fonction de la valeur de l'intégrale; car en juin de celte année il emportait à Copenhague un petit mémoire qu'il avait écrit sur „les f onctions inverses des transcendantes elliptiques", où il était parvenu à un résultat qu'il trouvait impossible. Il demanda mais en vain, des éclaircissements à Degen. (lettre II). On n'en sait pas plus sur ce mémoire, et il n'y a rien dans les papiers laissés par Abel qui corresponde bien à ce récit. Sur la difficulté à laquelle Abel s'était heurté, on peut tout au moins faire une conjecture. L'équation qui donne la division de l'intégrale en n parties égales, l'équation de division des fonctions elliptiques, est du degré n^ et elle est facilement accessible, au moins pour de petites valeurs de n. Pour celui qui ne connait que la période réelle, les n racines réelles sont certes compréhensibles, mais non les n^ — n racines imaginaires. Dirichlet, dans son Eloge de Jacobi, a attiré l'attention sur ce point, sans connaître cet ancien mémoire d' Abel, et il ajoute qu'en mathématiques comme ailleurs le fait de s'étonner d'un phénomène est souvent déjà une demi-découverte.

M. C. A. Bjerknes a proposé l'hypothèse que le mémoire en question serait celui qui montre que les intégrales hyperelliptiques ont en général plusieurs périodes (Nouv. éd. II, p. 7). Il semble sans doute invraisemblable qu'ABEL ait employé le terme „ transcendante elliptique" dans ce sens élargi; mais en tous cas ce mémoire montre encore qu'ABEL a considéré la Hmite de l'intégrale comme fonction de sa valeur, et qu'il doit s'être représenté cette fonction comme doublement périodique, lorsqu'il s'agissait d'une intégrale elliptique. On sait pai* le témoignage de Holmboe qu'il a été écrit avant septembre 1825.

Il est vraisemblable que Degen a indiqué à Abel les ^Exercices de calcul intégral'' de Legendre, car aussitôt après son retour à Kristiania en septembre 1823, il emprunta ce livre à la bibliothèque de l'Université. Il a ensuite réuni les idées suggérées par cette lecture dans le travail „Théorie des transcendantes elliptiques", qui a été imprimé pour la première fois dans l'édition des Œuvres complètes par Holmboe en 1839, Il n'est pas ici question d'inversion; il ne s'agit que de la réduction d'intégrales elb'ptiques par des fonctions algébriques et logarith-

miques et de la relation entre des intégrales elliptiques dépendant d'un même radical. Une partie de cela a servi de base au mémoire sur l'intégration par logarithmes, publié dans le Journal de Grelle, T. I, en 1826 ; d'ailleurs cela n'a sans doute servi à Abel que comme orientation préalable. Avant son départ de Kristiania en septembre 1825, il a pourtant connu à coup sûr tout au moins les propriétés élémentaires des fonctions que l'on appelle aujourd'hui elliptiques; je donnerai plus loin les raisons de mon affirmation.

Les lettres d'ABEL pendant son voyage fournissent relativement peu de renseignements sur les progrès de son travail sur les fonctions elliptiques. Le 16 avril 1826 il écrivit à Holmboe (lettre XI) qu'il voulait, après son arrivée à Paris, rédiger ses questions d'intégrales et sa „Théorie des fonctions elliptiques", ayant l'espoir de faire imprimer cela à Berlin. Les notes d'ABEL à Paris montrent également qu'il s'est beaucoup occupé de fonctions elliptiques. Le premier point de la théorie qu'il touche est, chose significative, la transformation (Cahier IIL p. 119). Le passage est reproduit dans Œuvr. compl. Nouv. éd. T. Il, p. 285. S'il avait alors traité le problème pour la première fois, il aurait probablement développé complètement les formules de transformation des intégrales de première espèce. Mais son objet est précisément les transformations irrationnelles analogues à celle de Landen; il prend note, en ce qui concerne ces transformations, du résultat que Jacobi (Fund. nova, p. 6) appelle „principmm in Theoria Transformationum Functionum Ellipticarum fundcmientaM^ . Il n'y consacre qu'une demi-page, et passe au traitement des intégrales de seconde espèce, mais n'achève pas davantage. Il a seulement voulu se convaincre que cette sorte de transformations, pour tout ce qui est essentiel, est analogue aux transformations rationnelles, qu'il a dû connaitre antérieurement. C'est du moins la manière la plus simple d'expliquer le passage. Dans le même cahier viennent ensuite, après quelques pages avec des considérations sur la convergence des séries, ses premières notes sur les équations abéliennes, puis on trouve ses résultats sur la division de la lemniscate (Cahier III, p. 135), dans les termes suivants:

^Résolution des équations dont dépend la division de la circonférence de la lemniscate".

Par la belle théorie de la division du cercle donnée par M. Gauss on peut, comme on sait, toujours résoudre algébriquement les équations dont dépend cette

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division. Je ferai voir que la même chose aura lieu par rapport à la lemniscate. Les principaux résultats auxquels je suis parvenu sont les suivans:

1. Lorsque n est un nombre premier de la forme 4:m-\-i on peut effectuer la division de la lemniscate au moyen de a équations des degré a etc., si on suppose n — l = a"'b^c>' entièrement comme dans le cas d'un cercle.

2. Lorsque n est un nombre premier de la forme 4m'+3, on peut effectuer la division au moyen de a équations des degrés a etc. si on suppose:

(4rø + 2) (im + 4:} ==n^ — 1 = a"b^ c>'..."

II n'ajoute pas expressément que les équations sont résolubles par radicaux, mais d'après le titre on ne peut douter que cela ait été son idée.

Abel informa ses amis Grelle et Holmboe de la découverte de la division de la lemniscate en décembre 1826 (lettres XXI, XXII); à ce dernier il raconte en outre qu'il enverra un grand mémoire sur les fonctions elliptiques aux annales de Gergonne. Il est possible que les lignes précédentes aient été écrites comme introduction à ce mémoire. Il n'a d'ailleurs pas été envoyé, et probablement pas davantage écrit. A quelques pages près, le reste du cahier II est rempli de calculs et de formules relatifs aux fonctions elliptiques, sans le moindre texte. Il s'agit de leur double périodicité, des valeurs qu'elles prennent lorsque l'argument est fait égal à une demi-période, ou quand on l'augmente d'une demi-période, du théorème d'addition, et d'une manière générale des formules elliptiques élémentaires qui ont été plus tard exposées dans les „RecJierches sur les fonctions elliptiques". La fonction de la lemniscate revient souvent, surtout le problème de la division de la période. La division en 3 et en 5 parties est menée à bout; mais cela existait déjà de la main de Legendre. On y trouve aussi des calculs concernant la division en 7 et en 13. Abel fut amené par la division de la lemniscate à étudier l'arithmétique des nombres complexes, tout au moins jusqu'aux restes de puissances. Il trouve par exemple dans ces pages que 2 + V — i est racine primitive du nombre premier 7. Mais comme Abel a énoncé sa proposition en toute généralité, il est clair qu'il savait que pour tout nombre premier appartenant au domaine des nombres entiers complexes il y a des racines primitives. Abel n'a jamais vu Gauss; ce que Gauss avait alors publié se réduit à une phrase dans son premier mémoire sur les restes biquadratiques en avril 1825: „mox vero comperimus, principia ArithmeticcB hadenus usitata ad theoriam generalem stabiliendam neutiguam

LES ÉTUDES d'ABEL ËT SES DECOUVERTES 39

sufficere, quin potius hanc necessario postulare, ut campus Arithmeticœ Sublimioris infinities quasi promoveatur, quod quomodo intélligendum sit, in continuatione harum disquisitionum clarissime elucébit." L'explication de ces paroles mystérieuses ne vint que dans la „Gommentatio secunda", après la mort d'AsEL. Ce ne fut cependant pas Abel qui publia le premier cette nouveauté arithmétique. Car la division de la lemniscate ne parut qu'en 1828, dans la seconde partie des „Recherches sur les fonctions elliptiques". Mais dès le 5 juillet 1827, Jacobi avait publié un mémoire sur les restes cubiques, où il est question des nombres de la forme a -)- 6 V 3 et en outre de l'existence de racines primitives.

Dans le même cahier, il parle encore d'autres fonctions elliptiques singulières, par exemple de celle qui dépend de l'intégrale '" , et celle dont le module est

|l + iy 7 \ ]y[a^ig comme il a aussi noté l'égalité

o' :=niw -^-nia .

dont le sens est bien évident, il a déjà observé à Paris que la multiplication complexe a lieu pour une infinité de modules particuliers.

Mais ce qui constitue la matière principale de la première partie des „Recherches sur les] fonctions elliptiqes", insérée dans le Journal de Crelle, T. II, 2me fascicule, c'est-à-dire les formules de multiplication, les problèmes sur la division de l'argument, sur la division des périodes pour des modules quelconques, sur les développements en séries et en produits infinis, est ici complètement absent. La notation employée n'est pas celle dont il s'est servi dans les Recherches L'intégrale est mise le plus souvent sous la forme

f dx

et il y considère trois fonctions elliptiques; mais le choix de celles-ci n'est pas toujours le même, non plus que leur symbole. On ne peut voir par le contenu du Cahier III oîi Abel en était de la théorie, lorsqu'il l'acheva, ni comment progressèrent ses connaissances sur cette théorie pendant qu'il écrivait ce cahier. Qu'il en sût déjà beaucoup, cela résulte des deux morceaux sur la transformation et sur la lemniscate, et de ce fait qu'il s'occupe de questions aussi particulières et aussi difficiles que celle des modules singuliers.

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Dans ses lettres à Hansteen et à Holmboe, il n'a rien dit de la découverte même des fonctions elliptiques; qu'il ne soit pas entré dans le détail de théorèmes particuliers, cela se comprend, car cela aurait vite dépassé les limites d'une lettre. Mais qu'il n'ait pas même dit qu'il possédait, dans la fonction inverse de l'intégrale elliptique, une classe étendue de transcendantes, comprenant les fonctions trigonométriques comme cas limite, et présentant avec elles une analogie complète alors qu'en même temps il raconte avec une joie évidente ses découvertes dans la théorie des équations, j'en conclus que dès avant son départ de Kristiania, il doit avoir informé ses amis qu'il travaillait à une théorie toute nouvelle des fonctions elliptiques. Car sans cela il lui aurait été agréable, et en même temps utile de leur montrer aussi, par cette découverte, qu'il avait bien employé son temps, bien qu'il n'eût pas suivi rigoureusement le plan arrêté pour son voyage.

Quoi qu'il en soit, Abel, pendant son séjour à Paris, a achevé de découvrir les principes sur lesquels reposent ses travaux ultérieurs sur les fonctions elliptiques; il l'a déclaré lui même à Holmboe.* Le projet d'adresser un mémoire aux Annales de Gergonne fut abandonné. Revenu à Berlin au commencement de 1827, il a probablement décidé de rédiger à la place un grand travail pour le Journal de Crelle. On en a peut-être la trace dans l'une des dernières pages du Cahier III, intitulée: „Sur les fondions elliptiques inverses de la i^" espèce". Il est possible qu'AsEL ait commencé dès les premiers mois de l'année, à Berlin, la rédaction de ses „Recherches" , mais je doute qu'il ait achevé à Berlin même la première partie du travail. Car alors il y en aurait eu tout au moins quelquechose dans le premier cahier du tome II du Journal; en outre Abel se plaint dans ses lettres de ne pouvoir parvenir à rien „metti-e en ordre et rédiger" tant qu'il est à l'étranger. Ce qui me parait probable est qu'il s'est entendu avec Crelle pour être prêt pour le second fascicule; la première et la plus grande partie des „Becherches" y fut insérée, et parut donc le 20 septembre 1827; la seconde, où sont traitées la division de la lemniscate et la transformation, ne parut que dans le Tome III, 2™® fascicule, le 26 mai 1828.

Les notes d'AsEL à Paris et ses lettres de l'étranger ne donnent donc pas de renseignements bien précis sur l'évolution de ses idées relativement aux fonctions elliptiques. Il n'y a donc rien de mieux à faire qu'à se reporter précisément à son

* Voyez la première édition des Œuvr. compl. p. VII.

LES ÉTUDES d'ABEL ET SES DECOUVERTES 41

premier mémoire. Par contre, le tableau que donne celui-ci est si clair qu'il y a grande probabilité pour qu'il soit exact dans ses grandes lignes. Il a de bonne heure considéré la limite de l'intégrale comme fonction de sa valeur, et reconnu que cette fonction était doublement périodique. Le théorème d'addition était en réalité connu par les travaux d'Euler et de Legendre; le théorème de multiplication en est une conséquence presque immédiate. Dans ces propositions et dans celle sur la périodicité se manifeste un haut degré d'analogie avec les fonctions trigonométriques ; l'idée que les fonctions nouvelles devaient être traitées d'après cette analogie s'imposait nécessairement à lui. Il lui était facile de trouver les racines de l'équation de multiplication, c'est-à-dire leurs expressions transcendantes, et de donner ainsi une expression complète pour (p{n a) an moyen de q>{a), analogue à l'expression de sin(^«) an moyen de sinof. Il se servit de ce résultat de deux manières. Sa préférence pour la théorie des équations l'a probablement conduit à traiter d'abord le problème de division. Il trouva la solution de l'équation algébrique qui exprime q>(a) en fonction de q>{na). Cette solution contient encore des constantes inconnues, les racines de l'équation de division des périodes. Il trouva que celle-ci était nonprimitive, mais il ne put pas résoudre l'équation par laquelle s'effectue la décomposition de la première. L'équation générale de division le conduisit ensuite à la théorie de la transformation. La nouvelle fonction elhptique est en effet, à une constante près, la même que la quantité auxiliaire qu'il employait pour décomposer la première équation, dont le degré est n^, en n équations de degi'é n. D'après la forme de cette quantité auxiliaire, sa double périodicité est évidente: elle a une période commune avec la première fonction, la seconde est -^ de la seconde période de celle-ci. Elle est d'ailleurs désignée d'une manière qui indique que c'est une fonction elliptique, elle est appelée en effet cp^ia), tandis que la première fonction elliptique est appelée ^^(of). Dans la deuxième partie du mémoire, cette quantité auxiliaire est reprise avec la même notation (px{a), à cela près que la période divisée peut être quelconque, et il est démontré qu'elle est une fonction elliptique avec un autre module. Cela n'a pas échappé à Jacobi, mais il n'avait certainement pas raison lorsque, un instant du moins, il crut qu'ABEL n'avait pas alors remarqué que la multiplication peut être composée de deux transformations.* Il est même vraisemblable que c'est précisément cette liaison entre le problème de la

* Lettre de Jacobi à Legendre du 18 janvier 1829,

IE3 ÉTUDES d'aBEL — 6

4â L. SYLOW

division et la transformation qui a fait préférer à Abel la résolution de l'équation de division exposée dans le Recherches, à l'autre que Jacobi publia d'abord,* et qui est plus simple dans un certain sens.

La seconde application de la formule de multiplication, c'est-à-dire le passage au développement des nouvelles fonctions en séries et produits infinis, dut aussi nécessairement s'imposer à lui à cause de l'analogie avec les fonctions trigonometriques; il est vrai que cela était beaucoup plus difficile à réaliser avec rigueur; on ne peut pas dire que le raisonnement d' Abel soit au-dessus de toute objection, bien qu'il se soit efforcé d'être rigoureux, et bien que les résultats se soient montrés exacts. Sur un autre point encore du mémoire, il peut y avoir quelque chose à critiquer; on ne peut pas dire qu'AsEL ait démontré que sa fonction qj{a) est uniforme. Sur ces deux' points les mêmes i-eproches peuvent être faits au raisonnement de Jacobi dans les Fundamenta nova.

Il est facile de comprendre comment Abel a été conduit à traiter la division de la lemniscate. L'indication donnée par Gauss dans les Disquis. Arithm., si connue par la mention qu'en a fait Dirichlet dans son magnifique Eloge de Jacobi, n'en a peut-être pas été la cause véritable, bien qu'il l'ait connue, mais plutôt le fait signalé par Legendre que l'arc de lemniscate s'exprime par une intégrale elliptique et son étude de la division en trois et en cinq parties. Abel doit avoir remarqué tout de suite que dans le cas de la lemniscate, toutes les racines de l'équation de division particulière peuvent s'exprimer rationnellement en l'une d'elles et que les symboles des fonctions peuvent être échangés. Dans le Cahier III, d'ailleurs, la lemniscate se rencontre pour la première fois immédiatement après un chapitre sur les équations abéliennes; il y a dessiné une lemniscate, et écrit à côté:

[<p{fx) = f{g>{x)}]

Cependant Abel n'avait pas abandonné son projet de publier un ouvrage systématique sur les fonctions elliptiques. Pendant le temps qui s'écoula~ entre l'envoi des deux parties des Recherches, il écrivit dans le Cahier V une ébauche qui est évidemment une préparation à un pareil ouvrage. Contre l'habitude d' Abel, cette ébauche est en allemand: il espérait sans doute encore trouver un éditeur à Berlin. Il est vrai qu'ABEL emploie quelque part le mot Ahhandlung en parlant

* Journal de Grelle T. UI p. 85, ou Jacobi, Werke T. I. p.

de ce travail, mais l'existence d'un chapitre comme le chap. V montre qu'il a pensé à une exposition complète de la théorie. En voici la première page*: „ Versuch einer Théorie der eïïiptischen FuncUonen. Del. EUiptische Fonction heisst jede Fonction von der Form:

(1) '^t-'-Jit

wo M eine rationale Function von x ist. Die Grosse x heisst die Variable, die Grôssen «, /î, y, ô, e heissen Modulen, und die in M enthaltenen Grôssen heissen Parameter.

Zweck dieser Abhandlung. Wenn

Vu y 2, Vi,--- y„,

mehrere algebraische Functionen von einer gewissen Anzahl unabhângiger Variablen sind, so sucht man die allgemeinste Relation von der Form

(2) O = f(x„x^,...x^,\ogv^,\o%v^,... logw^,i7i(î/i), n^{y^), ...HjyJ)

f bezeichnet eine algebraische Function der in den Klammern sich befindenden Grôssen.