VI. Comparation dieser Functionen

Il y a encore quelques en-tête:

„Sur les fonctions elliptiques de la i*"" espèce", „Sur la fonction elliptique inverse de la P^" espèce", „Mehrere Eigenschaften der Functionen A l, X' " ; mais ces morceaux ne sont pas numérotés, le texte devient plus rare et finit par manquer tout-à-fait. Dans le dernier morceau, l, X, X' sont les 8 fonctions elliptiques et ce morceau traite principalement de la théorie de la transformation, même d'une manière assez développée; il y comprend, par exemple, des tranformations de degré pair; on y rencontre aussi de temps en temps des résultats plus généraux et plus particuliers relatifs à la multiplication complexe. En réalité cette partie du Cahier V est devenue un travail préparatoire au „Précis d'une théorie etc." ; on y trouve des formules qui ont été plus tard mises en marge avec la même notation que dans le „Précis".

Cependant Abel avait aussi pensé continuer ses mémoires sur les fonctions elliptiques sans attendre le moment où il pourrait publier une théorie complète. Il

y a en effet parmi les papiers laissés par Abel des fragments d'un ou plusieurs travaux sur ce sujet, qui ont dû être écrits après les „Becherches" mais avant son mémoire „Solution d'un problème général concernant la transformation des fonctions elliptiques". Le contenu en témoigne, ainsi que le mode de notation, qui est celui employé dans les ^Recherches", tandis que dans le mémoire „ Solution etc.'^ il s'est servi d'une notation qui se rapprochait davantage de celle de Legendre. L'un de ces fragments forme le début d'un mémoire dont le titre est

„Becherches sur les fonctions elliptiques. Second mémoire".

Ce morceau traite de la résolution algébrique de l'équation de transformation. D'autres morceaux renferment les relations entre les racines de l'équation de division et les racines de l'unité, qui peuvent être déduites de cette résolution. Ce sont les fragments qui sont imprimés dans l'Edition nouvelle des Œuvres d'AsEL sous ce titre: ^Fragmens sur les fonctions elliptiques." Un autre contient encore la démonstration du Théorème d'ABEL pour le cas des fonctions elliptiques, démonstration qui est insérée dans le tome II de chacune des deux éditions sous le titre de: „Démonstration de quelques formules elliptiques." On trouve enfin des morceaux relatifs à la théorie de transformation, qui traitent des transformations où les deux périodes sont divisées par des nombres différents, en sorte que la formule de multiplication apparaîtrait comme une transformation particulière. Tous ces morceaux sont écrits avec soin sur papier à lettres et absolument prêts pour l'impression. Il est probable qu'ils ont tous fait partie d'un mémoire qui était destiné au Journal de Grelle, mais qui n'a pas été envoyé.

L'époque comprise entre le retour d'ABEL (mai 1827) et le mois d'avril 1828 fut une époque de travail assidu. Il a, dans cet espace de temps, rédigé les ^Recherches" , tout au moins en partie; ébauché le „Versuch einer Théorie der elliptischen Functionen" ; probablement aussi rédigé les ^Recherches, etc. Second mémoire" qui sont perdues; le lecteur se rappellera qu'il avait en outre rédigé et envoyé son célèbre mémoire sur les équations abéliennes, enfin il s'est occupé pendant un certain temps de la théorie des séries infinies et écrit sur ce sujet un article bien connu. Lorsque l'on se rappelle combien sa vie a été courte et malheureuse, on voit avec une véritable satisfaction que ses mérites commençaient enfin à être appréciés par les mathématiciens les plus compétents. Le 18 mai 1828, Grelle lui

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rapporte ce que lui a dit Gauss, * lorsqu'il le pressait de publier ses travaux sur les fonctions elliptiques:

„D'autres occupations m'empêchent pour le moment de rédiger ces recherches. M. Abel m'a devancé, au moins pour le tiers de ces travaux. Il vient justement de s'engager dans la voie où j'ai abouti en 1798. Je n'ai donc pu m'étonner que, pour la majeure partie, il soit arrivé aux mêmes résultats. Et comme d'autre part son exposition témoigne de tant de pénétration et d'élégance, je me vois par ça même dispensé d'exposer les mêmes questions."

Des expressions analogues se rencontrent aussi dans des lettres de Gauss à Bessel et à Schumacher; la première surtout fait fortement ressortir l'égalité entre les travaux des deux mathématiciens.** La date de ces lettres montre que Gauss vise la première partie des „ Recherches".

Cependant Abel avait reçu un peu auparavant une nouvelle qui eut une grande influence sur le plan de ses futurs travaux; Hansteen lui avait en effet montré le n° 127 des „Astronomische Nachrichten" de Schumacher, où Jacobi démontre les formules constituant ce qu'il a plus tard appelé la première transformation réelle. Que Jacobi, dès le mois de septembre, eût sans démonstration publié dans les „Astronomische Nachrichten^^ l'existence des deux transformations réelles, et même la formule de la première, cela amena simplement Abel à donner aux ^Recherches" un post-scriptum où il montre que la formule de Jacobi était un cas particulier de la sienne. Mais lorsque Jacobi eut alors aussi donné sa démonstration, cela fit une impression plus forte. Abel ne pouvait savoir combien de choses Jacobi pouvait avoir déjà terminées, car la poste à cette époque allait très lentement et les envois de livres à Kristiania n'arrivaient qu'à longs intervalles. Il devait en outre se dire que son propre mémoire faciliterait dans une grande mesure le travail de Jacobi pour pénétrer à fond la théorie de la transformation. On voit d'ailleurs aussi par la lettre de Jacobi à Legendre*** qu'il lui semblait naturel de se tenir au mémoire d' Abel, si bien qu'il dut même dans une lettre postérieure**** expliquer a Legendre comment il avait en réalité démontré la transformation dite supplémentaire, sans se servir du théorème de multiplication d' Abel.

* Voir lettre XXXI.

** Lettre à Bessel du 30 mars, et lettre à Schumacher du 30 mai de la même année. *** C. G. J. Jacobi: „GesammeUe Werke", T. I. p. 409. **** 1. c. p. 422.

les' ÉTUDES D'ABEL ET SES DÉCOUVERTES 47

Abel résolut alors de garder les „Recherches etc., Second mémoire'^ et d'envoyer à la place aux „Astronomische Nachrichten" une théorie complète des transformations rationnelles. Il s'adressait ainsi au même public que Jacobi, et parvint en même temps à une publication beaucoup plus rapide que par le Journal de Grelle. Le mémoire ^Solution d'un problème général etc.^^ fut daté du 27 mai, et inséré dans le n° 138 du journal de Schumacher, qui parut en juin 1828. Il contient la solution complète du problème consistant à trouver toutes les transformations rationnelles, quoique la recherche, en ce qui concerne les degrés pairs, ne soit pas poursuivie dans tout son détail. Par contre, quelques propositions générales de la théorie de la transformation, entre autres sur la multiplication complexe, sont ajoutées sans démonstration ; Abel énonce ici pour la première fois que tous les modules singuliers peuvent être exprimés par des radicaux. La manière dont il attaque le problème caractérise bien la sagacité pénétrante d'ABEL. Il suppose que la variable y de l'intégrale nouvelle est une fonction rationnelle de la variable x de l'intégrale primitive ; il existe alors une équation algébrique entre les deux variables. Il trouve par une déduction étonnamment simple la relation entre deux racines quelconques de cette équation; si une racine, x, est égale à A {6), où X désigne la fonction elliptique primitive, toute autre racine est donnée par l [6 -}-const.); il se sert ensuite de la périodicité comme moyen de déterminer la constante. Il trouve ainsi la fonction rationnelle y, à quatre constantes près, et tout revient ensuite simplement à montrer qu'elles peuvent être choisies de manière à réaliser la transformation. C'était la première fois que la double périodicité apparaissait comme le moyen de recherche fondamental, ainsi qu'on l'a plus tard appliquée.

On peut voir par les lettres d'ABEL qu'il était satisfait de son travail, qui d'ailleurs a provoqué une exclamation d'admiration sincère de la part de Jacobi.* Bessel aussi, dans une lettre à Gauss,** appelle ce mémoire un chef-d'œuvre. Mais dès le 24 septembre il adressa aux Nachrichten de Schumacher un nouveau mémoire sur le même sujet, qui fut inséré au n° 147 en novembre 1828. Dans celui-ci le problème est généralisé de manière à comprendre toutes les transformations algébriques, le module étant toujours supposé réel. La double périodicité est appliquée ici pour établir les conditions nécessaires relatives aux rapports des

* C. G. J. Jacobi: „GesammeUe Werfce", T. I. p. 422, 423. ** Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel, p. 4:81,

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périodes, après quoi il est démontré par le développement en produits infinis que ces conditions sont suffisantes. En même temps Abel affirmait que les résultats du premier mémoire sont encore valables lorsque le module est imaginaire. Par ces deux mémoires, la théorie de la transformation de l'intégi-ale de 1*"^^ espèce atteignit un si haut degré de perfection qu'on n'y a guère ajouté depuis, en dehors des recherches plus particulières sur la multiplication complexe. Sur le même sujet parut encore une courte note dans le Journal de Grelle, où Abel déclare que la transformation des intégrales de deuxième et de troisième espèce est une conséquence de la transformation des intégrales correspondantes de première espèce ; ceci fut pubhé le 3 décembre.

Dans la seconde moitié de 1828, le travail d'AsEL sur les fonctions elliptiques a principalement été consacré à son dernier mémoire sur ce sujet: „Précis d'une théorie des fonctions elliptiques''. Il écrivit cependant encore quelques courts articles dans le Journal de Grelle. L'un de ceux-ci avait été provoqué par une question de Legendre, qui demandait pourquoi Abel indiquait un nombre de modules transformés six fois plus grand que Jacobi. Dans un autre il donna des formules par lesquelles on peut passer des trois fonctions g), f, F, qu'il avait traitées dans les ^Recherches" , aux ti'ois fonctions qui se rattachent à la forme de Legendre pour l'intégrale elliptique, les sin am, cos am, A am de Jacobi, qu'AsEL désigne ici par X, X, X' .

Un troisième mémoire, „ Théorèmes sur les fonctions elliptiques", fut occasionné par la solution de l'équation générale de la division, exposée entre temps par Jacobi ; il fut écrit entre les deux mémoires insérés dans les Astr. Nachr., car il est daté du 28 août. Abel y donne le groupe de monodromie de l'équation de division, ce qui répond exactement au commencement des „Becherches etc. Second mémoire'', maintenant perdu. Il est daté du 27 août 1828, mais ne parut que le 28 mars 1829. Sur ce mémoire on a eu récemment ce renseignement inattendu qu'il n'est qu'une partie d'un travail primitif plus étendu. Gelui-ci a été retrouvé par M. Mittag- Leffler, qui le fait imprimer dans les volumes des Acta mathematica publiés à l'occasion du centenaire d' Abel, et qui a eu l'obligeance de nous l'envoyer en épreuves. Ge travail est intitulé Recherches sur les fonctions elliptiques. Second mémoire, Abel ayant renoncé à publier le mémoire primitif portant ce titre. H porte précisément la même date, 27 août 1828, que les Théorèmes sur les fonctions elliptiques, mémoire qui est identique avec le premier paragraphes de l'autre. Je présume que la raison pour laquelle il n'a pas été inséré en entier dans le Journal

LES ÉTUDES d' ABEL ET SES DÉCOTIVEETES

de Grelle a été simplement qu'AsEL lui-même, avant l'impression, a changé d'idée, pour ne pas empiéter par une publication partielle de ses résultats sur son'grand mémoire, le Précis, auquel il travaillait alors.

Ce ne fut qu'après la mort d'ABEL, en juin et juillet 1829, que parut le Précis d^une théorie des fonctions elliptiques, ou plus exactement la partie de ce précis qu'AsEL avait eu le temps de rédiger. D'après l'introduction, le mémoire devait être un résumé de l'ouvrage qu'il se proposait d'écrire pour montrer la méthode qu'il comptait appliquer. Il devait se composer de deux parties: dans la première, les fonctions elliptiques seraient considérées comme intégrales indéfinies sans aucune hypothèse sur la réalité des quantités. Avec les quelques pages qui ont été retrouvées en 1874 et qui ont été reproduites dans la nouvelle édition des Œuvres d'ABEL, on a certainement presque toute la première partie. Je décrirai en peu de mots la suite des idées dans cet ouvrage célèbre. Le problème principal qu'il fallait résoudre était de trouver tous les cas où une somme d'intégrales elliptiques peut être exprimée par des fonctions algébriques et logarithmiques, lorsqu'il n'existe que des relations algébriques entre les variables des intégrales et les arguments des fonctions.

Le premier pas est l'exposé de ce qu'on appelle par excellence le théorème d'ABEL: il l'avait récemment présenté d'une manière plus générale, mais il reprend la démonstration en ce qui concerne les intégrales elliptiques, supposées mises sous la forme normale de Legendre; puis il applique son théorème à l'établissement des formules d'addition et de multiplication. Ensuite vient l'exposition des propositions générales sur les intégrales, dont j'ai parlé plus haut. Il réduit par là le problème primitif' à d'autres beaucoup plus simples, savoir, la transformation d'une seule intégrale elliptique de première espèce, et la relation la plus générale entre des intégrales de même variable et de même module. Ces deux problèmes sont résolus complètement, ce qui l'amène à répéter en partie des choses qui avaient déjà été exposées auparavant par lui-même et par Jacobi. C'était la première fois qu'un problème d'une généralité aussi énorme était complètement résolu. Mais ce qui est le plus caractéristique, c'est encore la manière dont Abel pose le problème, en ce qu'il s'attache à obtenir toutes les relations possibles de la forme donnée, exactement comme en algèbre on s'attache à obtenir toutes les racines d'une équation donnée.

Dans la seconde section du „Précis'' le module devait être supposé réel, et le sujet traité devait être la fonction inverse de l'intégrale de première espèce et son

LES ÉTUDES d'aBEL — 7

50 L- SYLOW

application. Rien n'en a été retrouvé; il est vraisenblable que cette rédaction n'a pas été commencée. Il n'y a rien non plus dans le dernier des cahiers d' Abel qui puisse y être rattaché de façon certaine. Sur son contenu on ne peut que s'en rapporter à l'introduction. On y voit qu'il devait renfermer tout ce qui, avec d'autres notations, avait été exposé dans les „Becherches^ . On y aurait donc trouvé, sans nul doute, l'établissement absolument rigoureux des points sur lesquels son premier travail laisse à désirer: la démonstration de l'uniformité de la fonction elliptique et le passage de la formule de multiplication aux divers développements en séries et produits infinis. En fait de résultats nouveaux, il devait s'y trouver des propositions sur la multiplication complexe et sur les fonctions que Weierstrass a depuis appelées fonctions a, et qu'AsEL désigne ici par les lettres q> et /. Ce qu'il y a de plus remarquable est qu'à la fin il est dit expressément des résultats trouvés, qu'avec quelques restrictions ils sont encore valables lorsque le module est imaginaire. On ne sait absolument pas comment Abel comptait introduire les imaginaires dans ces recherches. Comme il a connu le mémoire de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, et qu'il a vu, comme je l'ai signalé plus haut, la façon dont s'introduisent alors les périodes des intégrales, il est possible qu'il ait pensé procéder comme on le fait aujourd'hui, en partant de l'intégrale. Mais il est possible aussi qu'il ait voulu, comme Jacobi le fit plus tard dans ses leçons, appliquer les développements en séries, et surtout ses fonctions (p et f.

Lorsqu'ABEL mourut, Jacobi avait déjà publié ses ^Fundamenta" ; le travail de Jacobi sur les fonctions elliptiques ne fut plus dès lors aussi intense qu'auparavant, et il se consacra en partie à leur application. Il semble qu'un instant Galois ait été sur le point de continuer le travail d'AsEL ; il avait du moins certainement la démonstration du fait que les équations modulaires ne sont pas résolubles par radicaux, et que celles des degrés 6, 8, 12 peuvent être réduites aux degrés 5, 7, 11. Si l'on excepte l'étude directe par Jacobi des fonctions 6, la théorie des fonctions elliptiques ne fit de longtemps aucun progrès considérable avant que ne fût fondée la nouvelle théorie des fonctions, où Hermite et Kronecker traitèrent de la multiplication complexe, et où Weierstrass introduisit ses notations perfectionnées.

Il n'existe absolument rien qui puisse nous éclairer sur la manière dont Abel aurait traité les transcendantes supérieures qui portent aujourd'hui son nom. Il savait dès 1824 qu'elles devaient avoir plusieurs périodes. Sur ce point encore,

Galois était prêt à continuer l'oeuvre d' Abel; son testament scientifique contient des preuves étonnantes de la manière dont il traitait déjà les intégrales abéliennes en toute généralité. L'année même où mourut Galois, en 1832, la découverte fondamentale de Jacobi mit cette nouvelle théorie dans le bon chemin; mais il fallut longtemps pour que des résultats généraux fussent acquis.

La première fois qu'AsEL exprima sa critique de l'ancienne doctrine des séries infinies se trouve, le lecteur s'en souviendra, dans une lettre à Holmboe datée de Berlin, le 16 janvier 1826 (lettre VI). Il y raconte qu'il a étudié les séries

cos mx -\- m cos (m — 2) as + . . .

sin mx -\-m sin (m* — 2) a; + . . .

qui avaient été traitées auparavant par de nombreux mathématiciens. Un seul d'entre eux, Poinsot, en avait trouvé la somme exacte ; mais ses déductions^^n'étaient pas tenables. Abel donne la somme dans le cas où m est réel et plus grand que — 1, mais ajoute que si m est inférieur à — 1, les séries sont divergentes, et par suite n'ont aucune somme." Abel, qui jusqu'alors avait manié les séries de la manière la plus naïve et la plus intrépide, sans se soucier de leur convergence, et avait poursuivi ses formules jusqu'à leurs dernières conséquences, qui par exemple, avait voulu développer le j^i^™» dérivée d'une fonction quelconque suivant les puissances de n, ce même Abel se montre maintenant le critique le plus sévère: „0n en peut tirer tout ce qu'on veut quand on les emploie" [savoir les séries divergentes]. Mes yeux se sont singulièrement ouverts; car si l'on excepte les cas de la plus extrême simplicité, par exemple: les séries géométriques, il n'y a presque pas, dans toutes les mathématiques, une seule série infinie dont la somme est déterminée d'une manière rigoureuse: en d'autres termes, ce qu'il y a de plus important dans les mathématiques est sans fondement." Il est sûrement conscient que rien peut-être n'est plus rudement atteint par ce jugement que plusieurs de ses propres travaux anciens, ou plutôt de ses exercices antérieurs, que Holmboe a malheureusement insérés plus tard dans son édition des Œuvr. compl. I, II. Abel ne se contente pas de critiquer; il lance la question: Lorsqu'on raisonne si mal, comment se fait-il que la plupart des résultats soient exacts? Il veut en trouver la raison, „Problème excessivement intéressant". En même temps on apprend qu il a traité la série du binôme, et déterminé tous les cas où elle est convergente, qu'il a remarqué qu'une série convergente dont les termes sont des fonctions continues d'une

variable n'est pas nécessairement continue elle-même. Il se propose d'étudier les diverses opérations de calcul avec des séries convergentes pour décider dans quelle mesure il est permis de les traiter comme des sommes ordinaires. „Cela va très bien et m'intéresse extrêmement."

On a ensuite un supplément du plus haut intérêt à cette information dans la lettre à Hansteen du 29 mars 1826 (lettre X). La critique est ici plus générale et dirigée contre „la malheureuse manière de conclure du particulier au général", c'està-dire, contre l'idée des anciens mathématiciens sur la généralité des résultats de l'analyse. La conclusion de sa recherche de la raison pour laquelle on n'est pas arrivé à un plus grand nombre de paradoxes est exprimée dans la phrase suivante : „A mon avis cela provient de ce que les fonctions dont l'analyse s'est occupée jusqu'ici peuvent, la plupart, être exprimées au moyen de puissances. Aussitôt que d'autres interviennent, ce qui, il est vrai, n'arrive pas souvent, alors ça ne va plus . . . ." Que faut-il entendre par fonctions qui peuvent être exprimées par des puissances? Il ne peut s'agir uniquement de fonctions rationnelles, ni de fonctions algébriques. Il n'y a pas, je pense, d'autre explication raisonnable de sa phrase, sinon qu'il veut parler des fonctions définies par des séries de puissances. Ceci est d'ailleurs confirmé dans une certaine mesure par ce qui nous reste des études d'ÂBEL sur les séries, puisque, en dehors de la question même de la convergence, il s'est principalement occupé de séries de puissances. C'est donc de ce qu'on appelle aujourdhui fondions analytiques qu'ÂBEL a voulu parler. Pour elles, en effet, certaines conclusions du particulier au général sont en réalité permises. Mais cette indication d'ABEL a été perdue pour la science; car la lettre a été publiée pour la première fois dans la nouvelle édition des Œuvres complètes, en 1881, alors que Weierstrass enseignait depuis longtemps sa théorie à l'université de Berlin.

Abel avait l'intention de faire imprimer de petits mémoires critiques dans le Journal de Crelle. Il n'en a rien fait, je ne sais pourquoi, mais il écrivit un grand mémoire sur la série du binôme. Il doit avoir été rédigé pendant le séjour d'ABEL à Berlin, dans l'hiver de 1825 — 1826, ou au plus tard au cours de ses voyages, car il est resté quelque temps dans certaines villes, un mois à Freiberg, par exemple. Mais il ne parut qu'en février ou mars 1827. Le but du mémoire était de trouver la somme de la série pour toutes les valeurs, réelles ou imaginaires, des deux variables pour lesquelles elle est convergente. Dans un premier paragraphe il expri-

mait, mais en termes plus modérés, les mêmes idées que dans la lettre à Holmboe. Dans le second, qui est le plus intéressant au point de vue historique, il expose les propositions préalables dont il se servira dans les parties suivantes, et il commence par ces mots: „L' excellent ouvrage de M. Cauchy, „Cours d'cmalyse de l'école polytechnique^, qui doit être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches mathématiques, nous servira de guide." Mais en réalité sa critique va plus loin que celle de Cauchy, surtout dans la question de la continuité. Le paragraphe contient six théorèmes; les deux premiers sont les critères fondamentaux de convergence, le troisième est l'utile transformation bien connue d'un nombre fini de produits. Le quati'ième théorème est en réalité une démonstration rigoureuse du fait qu'une série de puissances est une fonction continue de la variable suivant laquelle elle est développée, pour toutes les valeurs de la variable comprises dans le domaine de convergence, ainsi que sur la limite même, si la série y est convergente; la variable et les coefficients sont supposés réels. Mais malheureusement, Abel a conservé le mode d'expression de Cauchy, en parlant de quantités infiniment petites, et il les désigne même toutes par la même lettre; il en résulte que la notation elle même n'indique pas de quelles autres quantités dépendent ces infiniment petits. La démonstration a par suite été critiquée, et Dirichlet, sur l'invitation de Liouville, en a fourni une plus développée. Le cinquième théorème énonce que si les coefficients de la série de puissances sont des fonctions continues d'une variable, la somme de la série est aussi continue. Mais ici la démonstration n'est pas à l'abri de toute objection. Si en effet la série ■^0 + ^1 « + ^'2 «^ + • • • ' est supposée convergente pour a<Cd (il aurait fallu dire a^d),VQ, Wj , f 2 ...étant des fonctions continues de x, il y est question de la plus grande des quantités v„, ô"' , w», d'" + v^+i d"'+i , . . . ; il est donc sous-entendu que ces dernières quantités ont, pour toutes les valeurs de x dont il s'agit, une limite supérieure commune, et que celle-ci converge vers 0 en même temps que — . Pour l'usage qu'AsEL avait à faire de cette proposition, cela était suffisant; mais il y a quelque raison de croire que plus tard il n'en a pas été complètement satisfait. Le sixième théorème consiste en ce que la règle de Cauchy pour la multiplication des séries convergentes est applicable dans tous les cas où la nouvelle série est ellemême convergente.

Dans le troisième paragraphe, il détermine d'abord le cercle de convergence: cependant, pas plus ici qu'ailleurs, il n'emploie cette image géométrique. On a parfois

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attiibué à Abel l'honneur d'avoir provoqué l'introduction de l'idée du cercle de convergence; cet honneur revient plutôt à Cauchy. Abel détermine ensuite la somme de la série. Le résultat était nouveau, car il supposait l'exposant même imaginaire, mais la méthode était analogue à celle employée avant lui. Le quatrième paragraphe caractérise bien Abel; il y détermine avec soin pour quelles valeurs sur la circonférence même du cercle de convergence la série est convergente. Enfin dans le derniei' paragraphe il déduit de son résultat la somme des séries dont il avait parlé dans sa lettre à Holmboe. Par cet important mémoire, Abel s'était posé à côté de Cauchy en réformateur de la doctrine des séries infinies, et il a fortement contribué à préparer la théorie moderne des fonctions.

Plus tard Abel n'a publié qu'une courte note sur les séries, mais il ne cessa pas de s'intéresser au sujet. Dans ses lettres de Paris, il cite encore la doctrine des séries infinies comme une des questions dont il était occupé. Dans le Cahier III, dont il se servait à Paris, on lit aussi sur ce sujet quelques pages où il dit entre

autres choses, que la série ^ — j — est convergente lorsque a est plus grand que

1, et sinon, divergente. Dans la lettre de décembre 1826 (lettre XII), il raconte qu'il voulait envoyer aux Annales de Gergonne un mémoire sur les séries de Fourier; il n'était pas satisfait de l'ancienne manière de démontrer la formule connue. C'est probablement le même mémoire dont il a parlé de Berlin ; mais on n'en voit aucune trace. Il est possible qu'il ne l'ait pas rédigé, et qu'il en ait seulement conçu le plan. Le sujet est en relation de deux manières avec les autres travaux d'AsEL, tant par la propriété particulière à ces séries, de pouvoir exprimer des fonctions discontiimes, que parcequ'elles se rencontrent dans la théorie des fonctions elliptiques.

Dans cette dernière théorie, Abel se heurta à de grandes difficultés pour le passage des propositions sur la multiplication aux divers développements en séries et en produits. La manière dont il a réalisé ce passage dans les ^Recherches" ne peut pas, comme démonstration, supporter l'examen de la critique moderne. On peut seulement dire qu'il s'est avancé avec une telle prudence, qu'il a évité les résultats erronés, de même qu'Euler avant lui en traitant des fonctions exponentielles. Lorsqu'il en vint aux séries doubles, il déclara expressément que l'ordre des termes était indifférent, lorsqu'il en était vraiment ainsi; il ne l'a pas fait, il est vrai, dans le texte, mais seulement dans les formules.

Les Cahiers IV et V renferment plusieurs morceaux sur les séries, qui appartien-

LES ÉTUDES d'ABEL ET SES DÉCOUVERTES

nent donc à l'époque allant de septembre 1827 au printemps de 1828. Ainsi dans le Cahier IV, dans un morceau intitulé:

„Sur les séries de la forme:

Ç9 (iC) := «0 -|- «j iC 4- «4 a;2 + «3 ^^ + • • • + ^m- l*™ ~ * + <*m ^"^ + • • ■"

est signalé un point essentiel de la théorie de ces séries: „0n peut toujours faire en sorte que

Le résultat est donné par ces mots:

„Donc («()) X»! a; + ^2 ^^ + • • •)> quand

(ao)« «

On voit que les parenthèses indiquent qu'il faut prendre la valeur absolue ; a est évidemment une valeur positive de x pour laquelle la série est convergente, (a„) a" est le terme le plus grand de la série pour x = a.

Dans le Cahier V, pages 3 — 11, se trouve le commencement d'un mémoire pareil à celui dont Abel a parlé dans sa lettre plusieurs fois citée, adressée de Berlin à Holmboe (lettre VI). En voici le début :

„L'objet de ce mémoire est de trouver la somme des séries connues:

1 /• a\ , mlm, — 1) / J!\ I

cos mx -f- m cos (m — ") a; -| —^ cos (m — ijX-\- . . .

sin mx -\- m sin {m — 2) a; + '^^ "1~ sin (m — 4) a; + . . .

sans aucune considération des quantités imaginaires, m et x sont supposés d'être des quantités réelles.

Comme une série n'a pas de somme que quand elle est convergente, nous allons d'abord déterminer les valeurs de m et a; pour lesquelles cela aura lieu."

Probablement Abel a commencé à Berlin un mémoire sur ce sujet, et il a commencé à le transcrire dans son cahier à Kristiania; il a sans doute pensé aussi un moment à le faire imprimer, mais y a finalement renoncé. Le mémoire en effet n'est pas terminé. Comme d'ailleurs la méthode est la même que celle

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appliquée dans le mémoire sur la série du binôme, le morceau n'a été inséré dans aucune des éditions des Œuvres complètes.

A la page 47 du même cahier commence un morceau qui avec une courte interruption, va jusqu'à la page 81. Il a été motivé par le fait qu'un certain mathématicien Olivier ayant, dans le Journal de Grelle, T. IL, fascicule 1, prétendu qu'une série infinie à termes positifs S a„ était convergente ou divergente selon que lim («a„) est nulle ou non. L'inexactitude de cette proposition devait sauter de suite aux yeux d' Abel, car il avait trouvé et noté à Paris que la série \J --j est divergente. L'élégante petite note qu'AsEL fit imprimer dans le Journal, T. III., fascicule 1, peut être considérée comme représentant la matière des trois premières pages. Abel y démontrait qu'il ne peut pas y avoir de fonction cp [n] telle que 2 a„ soit convergente ou divergente, suivant que lim {<p (n) . a") est ou non égale à zéro. Le reste est, dans ses parties essentielles, reproduit dans la nouvelle édition des Œuvres compl., où toutes les parties qui renferment les résultats définitifs sont insérées, et tout le surplus omis. Abel fait d'abord une observation supplémentaire à son mémoire, et démontre ensuite les critères de convergence logarithmiques connus, qui ont été publiés pour la première fois par Bertrand dans le Journal de Liouville T. VII (année 1839). Le reste de ces notes traite des séries de puissances. La proposition qu'une telle série est une fonction continue de la variable suivant laquelle elle est développée ne s'y trouve pas; Abel a considéré comme définitive la démonstration qu'il avait déjà donnée. Au contraire la proposition que la série est aussi une fonction continue d'une variable qui se trouve dans les coefficients, lorsque ceux-ci sont eux-mêmes continus, se trouve traitée à plusieurs reprises; mais la démonstration n'est pas devenue essentiellement différente de l'ancienne. Je crois devoir en conclure qu'ABEL n'a pas été satisfait de son ancienne démonstration, et n'est pas parvenu non plus à un résultat définitif sur la question; à moins que l'on ne veuille voir dans les mots : la plus grande des quantités v^ ô"', v,„ ô"" -j- Vm+ià"'+^, . . . , la supposition d'une limite supérieure des valeurs de ces quantités, c'est-à-dire que la convergence est ce qu'on appelle maintenant uniforme. Mais c'est peut-être mettre trop de choses dans le dire d' Abel.

Abel ajoute aussi des exemples dans lesquels la continuité n'a pas lieu à la limite du cercle de convergence. Pour montrer qu'une série 2 æ" q>„ {y) peut être convergente pour æ <;«,«/< /5, tandis que la série des valeurs limites Sx"\imq)(y)

LES ÉTUDES D'aBEL ET SES DÉCOUVERTES 57

ne l'est pas, il mentionne la série y] ^'° ^°'" ^' • x", qui est divergente pour y = 0, lorsque aæ^l. Abel a donc remarqué que la série connue de Weierstrass, /] sin (a" y) . x" ne peut pas toujours être différentiée terme à terme pour la valeur y = 0; il n'y a pas loin de là à dire qu'on ne peut pas toujours le faire non plus pour d'autres valeurs. On n'y trouve cependant rien sur l'existence d'une dérivée, mais il est bon de remarquer que cette série n'a pas échappé à son attention.

Toutefois la remarque la plus intéressante est celle-ci, qu'une série de puissances peut, pour toute valeur à l'intérieur du cercle de convergence, être développée selon le théorème de Taylor; la démonstration en est esquissée d'une manière parfaitement claire.

L'intérêt qu'AsEL a montré pour les séries de puissances est très-certainement en rapport avec l'opinion qu'il exprimait dans sa lettre à Hansteen en 1826. Il a vu dans les fonctions „qui peuvent être exprimées par des puissances" une classe particulièrement facile à traiter, et qui comprend en outre la plupart des fonctions étudiées jusqu'alors. Ce qu'il disait naguère à Hansteen des petits mémoires qu'il voulait écrire sur la théorie des séries, ainsi que la fréquence de titres comme: „Sur les séries", „Sur les séries de la forme a^ -{- a^ x -\- . . .", qui reviennent souvent dans ses cahiers, laisse supposer qu'il comptait bien y revenir.

Dans le Cahier VI, dont se servit Abel dans la dernière année de sa vie, il n'y a rien de suivi sur les séries infinies. Il ne les a pourtant pas tout-à-fait perdues de vue; car à quelques endroits se trouvent des calculs prouvant que telle ou telle question de ce genre l'a occupé. Mais il est clair qu'il ne s'y est intéressé que par moments; il était à cette époque trop absorbé par d'autres questions.

Il y a, comme on a vu, plusieurs points de la vie scientifique d'AsEL qui ne sont pas aussi bien connus qu'on pourrait le désirer; en somme pourtant, on peut voir dans ce qui précède le progrès de son développement comme grand mathématicien. Les traits principaux de ce développement ont dû être d'ailleurs les mêmes dans la plupart des cas pour les grands génies mathématiques. Enfant, il a montré une étonnante réceptivité et un goût passionné pour ces études spéciales, d'où sont résultés des progrès merveilleusement rapides. En même temps il a montré une vive disposition et une aptitude puissante à résoudre des problèmes et généralement

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à travailler par lui-même. Jeune homme, il s'occupa de giandes questions non résolues par la science; c'étaient les futures découvertes qui commençaient à germer. L'esprit critique n'arriva qu'un peu plus tard, mais avec d'autant plus de vigueur et d'autorité. Sa grande époque comme mathématicien était des lors inaugurée.

Le second de ces trois stades de son développement est extrêmement intéressant, mais ici les renseignements sont maigres, et font défaut justement sur les points les plus importants. Il serait très précieux pour comprendre sa personnalité de mathématicien débutant de connaître la résolution erronée de l'équation du cinquième degré et son lien avec les découvertes ultérieures. De même on doit regretter vivement de n'avoir pas de renseignements plus précis sur son premier mémoire sur le calcul intégral; il eût été déjà d'un grand intérêt de connaître sa démonstration de

l'impossibilité d'exprimer l'intégrale L'^i^j^ — - par les fonctions élémentaires, qu'il

a mentionnée en 1823, et de voir le rapport entre cette démonstration et ses recherches ultérieures de même nature. On ne sait pas davantage l'époque exacte de la découverte du Théorème d' Abel, ni quand il commença à voir clair dans la Théorie des fonctions elliptiques; on sait seulement que les deux découvertes ont dû avoir lieu avant son départ pour l'Allemagne et la France.

A son époque de véritable production — trois ans seulement environ — il traita à fond tous ses sujets à la fois. Il les relia entre eux et s'occupa pendant de courtes périodes tantôt de l'un, tantôt de l'autre; il semble que c'est la Théorie si riche des fonctions elliptiques qui lui a demandé le plus de temps. Sa faculté de travail était extraordinaire; outre qu'en ces trois ans il a publié toutes ses grandes découvertes, il a aussi préparé des travaux qu'il n'a pas eu le temps d'achever, et il n'est nullement certain que nous connaissions tous ses projets d'avenir. La rédaction définitive de ses travaux n'est souvent venue que des années après la découverte des résultats nouveaux qu'ils renfermaient, et le mémoire une fois terminé a dû souvent attendre assez longtemps son tour d'impression.

Ce qui surtout est la marque d'ABEL, outre sa richesse d'idées, c'est son effort vers la rigueur absolue, la grande généralité avec laquelle il pose les problèmes, et sa manière de les épuiser. Une autre particularité encore, c'est qu'il ne se sert dans son exposition que de moyens si simples; il semble que tout sorte aisément du bon choix de la position du problème. Les deux mémoires sur la transformation et celui sur les équations abéliennes me paraissent typiques à cet égard. Il n'a

pourtant pas obtenu ses résultats nouveaux sans se servir de nouveaux instruments, comme, par exemple, l'irréductibilité des équations algébriques et la résolvante de Galois. Mais il n'y consacre que peu de mots et n'insiste pas sur leur grande valeur pour l'analyse en général. Il en est de même dans ses lettres; lorsqu'il entretenait Grelle et Holmboe de la division de la lemniscate, il leur dit bien que c'étaient la théorie des équations et la théorie des nombres qui l'avaient conduit à ce résultat, mais il ne semble pas même remarquer que la théorie des nombres a du même coup reçu une extension. Il montre en tout cela la même simplicité et la même modestie que dans toute sa vie; et pourtant il était et devait être conscient de sa propre valeur.

Dans sa dernière année, il lui fut donné de savoir son nom célèbre. Les paroles de Gauss et de Jacobi, que Crelle lui a communiquées, les lettres de Legendre, et le fait même qu'il était question de l'appeler à Berlin, tout cela était plus que suffisant pour l'en convaincre. Malheureusement, sa patrie comprit alors trop peu sa grandeur. Après sa mort, l'éclat de son nom n'a fait que s'accroître. Chacune des théories dont il s'est occupé dans ses dernières années porte en effet la marque durable de sa main. Son nom est devenu populaire parmi les mathématiciens; il n'y a aucun nom dont on se soit servi si volontiers que celui d'ABEL, toutes les fois qu'il s'est agi de désigner des théories ou des idées nouvelles. Cela est caractéristique; car l'adjectif abélien n'a été employé que pour des idées et des théories, créées pas Abel lui-même, ou basées sur ses découvertes. Il a ouvert à la postérité des champs de recherche si vastes, que ce fut longtemps encore pour les plus grands géomètres une tâche principale d'achever ce qu'ABEL avait si brillamment commencé.