I. ABEL A HOLMBOE

Copenhague, le 15 juin 1823.

Je t'écris tout de suite, comme je te l'ai promis. — Il s'agit d'abord de mon voyage. Le premier jour nous n'avons pu avancer que de trois milles.* Le lendemain nous arrivions à Drôbak où nous sommes restés deux jours, et où j'ai été reçu chez Zwingelmayer^, qui a trois filles assez jolies. — Le jour d'après nous avons eu bon vent, et nous sommes sortis du fjord de Kristiania, et les deux jours suivants on a marché vite. Je suis arrivé à Copenhague vendredi, et je me suis aussitôt précipité chez la sœur de Madame Hansteen, Madame Fredriksen, où j'ai été tout à fait bien reçu. C'est une femme extrêmement agréable, elle est fort belle, et son mari a quatre enfants, mais elle n'en a aucun à elle; son mari est parti depuis peu pour les Indes occidentales. — Dans huit jours envii-on elle s'en ira chez sa mère à Sorô, et elle m'a invité à y venir; je crois que j'accepterai l'invitation. J'ai été chez le professeur Thune ^. C'est un homme très aimable et bon enfant, mais à mon avis un peu pédant. Il m'a reçu avec une parfaite courtoisie. — Aujourdhui j'ai été chez le professeur Degen, l'homme le plus drôle que tu puisses t'imaginer; il m'a fait toutes sortes de compliments, entre autres qu'il aura beaucoup à apprendre de moi; ce qui m'a rendu tout confus, comme tu peux croire. — Il a une jolie bibliothèque mathématique. — Kreidal^ est professeur à

* Environ 30 kilomètres.

l'école d'Odense, et travaille les mathématiques de toutes ses forces; ce qui t'intéressera certainement autant que moi. Von Schmidten^ est en ce moment à Berlin, et on l'attend ici au premier jour. — Je n'ai pas encore parlé à Ursin s. Il parait qu'il n'est pas plus fort que ça. Il vient de se marier. Je n'ai pas encore été dans les bibliothèques de cette ville, mais d'après ce que j'ai entendu dire, elles ne sont guère bien pourvues de livres mathématiques, ce qui est fâcheux. — Je me trouve extrêmement bien ici; car je suis logé chez mon oncle le capitaine Tuxen^; il m'a offert le gîte ici, tant que durera mon séjour. Sa famille est très nombreuse et intéressante; j'espère que ce sera fort agréable. — Il a huit enfants. — Les dames, dans cette ville, sont horriblement laides, mais gentilles tout de même. — Le professeur Kejser' est parti d'ici le jour de mon arrivée, et sera sûrement à Kristiania quand tu recevras cette lettre. Il a été un garçon pas commode. Degen est marié, je croyais que non. II a une jolie femme, mais pas d'enfants. — Thune n'est pas marié. — J'ai parlé à Chr. Nielsen^. Il part pour Christiania jeudi prochain en compagnie de Meinerts^, et traversera la Suède.

Il y dans cette ville beaucoup de fumistes. —

Tout y est plus mesquin qu'à Christiania. —

Henrik ^° doit être arrivé maintenant; je te prie de le saluer de ma part, ainsi que tes autres frères. —

Le roi n'est pas en ville en ce moment, mais en Holstein, avec sa famille. Les savants croient ici que la Norvège est un vrai pays barbare, et je fais tout mon possible pour les convaincre du contraire. — J'ai une invitation cet aprèsmidi, en sorte que je n'ai pas le temps de t'en écrire davantage aujourdhui. Je t'en dirai plus long bientôt.

Compliments à tous les bons amis.

Ton ami N. Abel.

IL ABEL A HOLMBOE

Copenhague [4 août 1823 1]

Cher ami ! Année ^ëmMÏMâ \ ^/^itlmlî

Tu dois avoir reçu la lettre que je t'ai écrite aussitôt arrivé. — Je vais te faire part maintenant des observations que j'ai faites. Les mathématiques, ici, ne sont

pas précisément florissantes. J'ai eu beau demander, je n'ai pas encore pu découvrir un seul étudiant qui soit un peu solide, et encore bien moins quelqu'un qui cultive les math, ex professe. — Le seul qui sache des math, ici est Degen, mais aussi c'est un diable d'homme. Il m'a montré plusieurs de ses petits mémoires, et ils témoignent d'une grande finesse. Je lui ai aussi montré quelques uns des miens, il les a trouvés bons, il a surtout été tout à fait saisi devant une formule qui indique combien un nombre a de facteurs impairs, et il ne pouvait comprendre comment je l'avais trouvée. Ce petit travail traitait, tu te le rappelles, des fonctions inverses des Transcendantes elliptiques,* et j'y avais démontré une chose impossible; je l'ai prié de le lire d'un bout à l'autre; mais il ne put découvrir aucune fausse conclusion, ni comprendre où était la faute; Dieu sait comment je m'en tirerai.

J'ai étudié depuis que je suis ici deux ouvrages importants. Application de l'analyse à la géométrie par Monge, et Essai sur la théorie des nombres par Legendre. Ce dernier est extrêmement intéressant, et c'est grand dommage qu'il ne se trouve pas à Christiania. — Je ne peux m'empêcher de transcrire le théorème suivant qui s'y trouve, et qui est certes le plus merveilleux de toutes les mathématiques :

Théorème: Si y désigne le nombre des nombres premiers compris entre

1 et æ, on a:

^ ~ log a; — 1,08366

Naturellement le logarithme est népérien. —

La formule, comme on peut bien le comprendre, n'est qu'approximative, mais elle se rapproche beaucoup de la vérité, ce que tu pourras voir d'après le tableau suivant :

Tu peux t'exciter sur la démonstration jusqu'à mon retour, alors je te communiquerai la démonstration qu'on trouve dans Legendre.

d'après la ^ la vraie

formule:

valeur:

* En français dans le texte.

COERESPONDANCE D'ABEL

Un autre beau théorème est que «^ + « + 41 est un nombre premier, si a est un des nombres 0, 1, 2, 3, 4 ... . jusqu'à 39. —, et bien d'autres. — Les bibliothèques ne sont pas bien pourvues de livres mathématiques; mais elles possèdent bon nombre de revues de sociétés savantes. Entre autes les PMlosopMcal transactions, où se trouvent beaucoup de très bonnes choses; en sorte que les anglais ne sont pas aussi mauvais mathématiciens que je l'avais cru. Herschel et Young sont très habiles. Ivory^ est parmi les meilleurs mathématiciens vivants (s'il n'est pas mort). J'ai lu trois mémoires de v. Schmidten, ils ne sont pas aussi bons que j'aurais cru; il reste quand même un math, très habile, il faut dire que c'étaient ses premiers travaux. —

J'ai lu une masse de Gruson^ (verjagen*); c'est un affreux rodomont; pourtant il a démontré que e est irrationnel. — Croirais tu qu'il a eu l'impudence de voler un mémoire de ParsevaH et de le présenter à la Société des Sciences de Berlin. Il est traduit mot pour mot. —

En même temps que je lis, je travaille aussi moi-même. Ainsi j'ai cherché à démontrer l'impossibilité de résoudre l'équation a" = &« -|- c" en nombres entiers lorsque n est plus grand que 2; mais je suis resté en route. Je n'ai pu aller au delà des théorèmes ci-joints, qui sont pourtant assez curieux. — J'ai résolu l'équation suivante:

xp{a) = I q)(ax) .f(x) dx (x ^k, x = k')

où xp et f sont deux fonctions données, et où l'on cherche (p. — En outre j'ai intégré l'expression

æ™ dx l/(a — (rø-f 2) £^"+1 -f (m + 1) a;'» + 2^ ^1 -|- 2cc -f Sx^ + . . . -f m x*"-^ + (m -f ï)xA

où a est une constante quelconque, ce qu'il faut bien remarquer. Peux tu intégrer cette expression? — Ce n'est pas difficile. —

Le l®"" juillet, on a fêté solennellement le jubilé du Regentsen. ** J'y ai été. On a bu ferme 800 bouteilles de vin. On a eu deux fois la Comédie. J'y ai été les deux fois. La dernière fois une pièce a été sifflée. —

* En allemand dans le texte.

** Ancien internat d'étudiants à Copenhague.

COERESPONDANCE D'ABEL

Je rentrerai à la fin d'août, et je te montrerai ma moisson, qui est très bonne. —

Si tu veux m'honorer de quelques mots, mon adresse est: Christianshavn, Store Strandgade, 30.

Tous mes compliments à tes frères. —

Ton N. Abel.

Théorème I.

L'équation

a» = 6» -}- c" où n est un nombre premier, est impossible lorsqu'une ou plusieurs des quantités

a, h, c, a -\-b , a -\- c , b — c, ^a, ib , ic sont des nombres premiers.

Théorème II.

Si l'on a:

on doit toujours pouvoir décomposer a, b, c, en deux facteurs premiers entre eux, tels qu'en posant a = a . a', b = ^ .b' , c = y .c , on ait:

soit 1)

a'« ( l'm. | c'»^ ^ ^ a'" + &'« — C'« ffi'H -|- c'« — l'n

ou 2)

^n-1 a'" -L J'« -I- c'« , OT«-i a'" + &'« — c'" n«-i a'« + c'" — &'"

COERESPONDANCE D'ABEL