XXII. ABEL A HOLMBOE

[Paris décembre 1826].

Cher ami! Mille remerciments pour tes deux lettres, les bien venues, et aussi parceque tu as été si exact. Si j'avais su que tu avais écrit, je n'aurais pas osé demander un si grand sacrifice. — Ne te fâche pas de ma demande d'argent. J'ai deux véritables amis, et je suis bien obligé de les importuner malgré moi. — Peutêtre je pourrai t'épargner, mais il est probable que je ferai appel à ta bonté. Pas

tout de suite, mais quand j'arriverai à Berlin. Je vais en effet d'ici peu quitter Paris où je n'ai plus rien à pêcher, et j'irai tout d'abord à Gottingen pour faire le blocus de Gauss s'il n'est pas trop fortifié d'orgueil. Et je préfère être maintenant en Allemagne pour y apprendre un peu plus d'allemand, ce qui sera pour moi de la plus grande importance plus tard. — Je me tire d'affaire avec le français autant qu'il faut pour écrire un Mémoire et je voudrais bien pouvoir en faire autant en allemand. — Tu écris que tu as lu les deux premiers fascicules du Journal de Crelle. Les mémoires que j'y ai publiés, „excepté"* celui sur les équations, n'ont pas grande importance, mais tu verras, cela viendra. J'espère que tu seras content d'un mémoire sur une intégrale, qui se trouve dans le troisième fascicule, un long mémoire; mais surtout je suis content d'un qui s'imprime en ce moment pour le 4,me fascicule, sur la simple série 1 + mx -f- 51& — ' x^ -{-... . J'ose dire que c'est la première démonstration parfaitement rigoureuse de la formule du binôme dans tous les cas possibles, en même temps que d'une quantité d'autres formules en partie connues, mais insuffisamment établies. Dans le prochain numéro (janvier) des Annales de Gergonne paraîtra un petit mémoire de moi sur l'élimination. C'était un essai pour voir s'il voudrait imprimer. J'en enverrai ces jours-ci un meilleur sur le développement de fonctions («continues ou discontinues) selon des cos. ou sin. d'arcs multiples."* J'y démontre une formule connue que l'on a jusqu'ici démontrée d'une , manière inexacte. Item j'envoie à Gergonne un grand mémoire sur „les fonctions elliptiques"* où sont exposées beaucoup de choses curieuses qui, je m'en flatte, vont piquer la curiosité de plus d'un. Entre autres la division de la lemniscate. Tu verras comme c'est beau. — J'ai trouvé que l'on peut partager la lemniscate avec la règle et le compas en 2"+ 1 parties lorsque ce nombre est premier. La division dépend d'une équation dont le degré est (2»+l)2— 1. Mais j'en ai trouvé la solution complète par des radicaux carrés. J'ai découvert du même coup le mystère qui enveloppait la théorie de Gauss sur la division du cercle. Je vois clair comme le jour comment il y est parvenu. — Ce que je dis là de la lemniscate est un des résultats que j'ai tirés de mes études sur la théorie des équations. Tu ne peux pas t'imaginer combien de jolies propositions j'y ai trouvées, par ex.: Si une équation P = 0, dont le degré est i^v où ;« et r sont des nombres premiers entre eux, est résoluble d'une manière quelconque par des radicaux, P est ou bien

* En français dans le texte.

COEEESPONDANCE D'ABEL 55

„décomposable en (^ facteurs du degré v^'* dont les coefficients dépendent d'une équation du ^™^ degré, ou en „v facteurs du degré /x"* dont les coefficients dépendent d'une équation du degré v.