XXXIX. ABEL A CRELLE* 26.) [Christiania le 18 octobre

Je prépare dans ce moment un théorème sur les fonctions elliptiques, où j'ai considéré la théorie de ces fonctions sous un point de vue très général. Ce mémoire sera divisé en deux parties. La première contiendra la solution de ce problème général :

„Trouver toutes les relations possibles entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques qui pourront s'exprimer par une équation de la forme:

1. A^n^ (Xi)-f-A2^2 (æ2)+...+J^77„(a;„) = r + £i logWj + B^ ïogv^ -{-... -\-BJogv„;

x^, x^, . ■ . x„, r,Vi, v^, . . . Vm sont supposés d'être des fonctions algébriques

* Cette lettre est écrite partie en français, partie en allemand.

72 COREESPONDANCE D'ABEL

quelconques d'un certain nombre de variables indépendantes. IT^, II2, . ■ ■ Un désignent des fonctions elliptiques quelconques, c'est à dire des intégrales de la forme:

où P^ est une fonction quelconque rationnelle de y. Je parviens d'abord à ce théorème général:

Théorème I. Si une équation telle que (1) a lieu, il pourra amver l'un de deux, ou une quelconque des fonctions i7i(-3^i), Il^ioc^) . . . IIn(x„) p. ex. i7„ {x„) sera exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques, ou on doit nécessairement avoir:

oîi a est une constante, v différent de n, et y une fonction rationnelle de a:."

Une relation quelconque entre plusieurs fonctions elliptiques entraine ainsi nécessairement une relation entre deux fonctions de la première espèce. En vertu de ce théorème la solution du problème général pourra être principalement réduite à celui de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation (2.). Je suis parvenu à la solution complète de ce problème. J'ai trouvé ce résultat qu'on pourra satisfaire à (1) d'une infinité de manières, a sera une fonction des coeffîciens a , /î ... a^, ;?,,.. . et entre ceux-ci il doit se trouver une seule relation, mais qui pourra être variée d'une infinité de manières.

Voici quelques-uns des résultats les plus remarquables.

2, Soit pour abréger:

a + /îa; -f ya;2 -f- &3 + «x* = iï , «' + /5'y + /2/2 + à'y^l-^ e'y^ = R', cela posé si l'équation

n ( dy Ç dx

COREESPONDANCE D'ABEL 73

a lieu, où y est lié à x par une équation algébrique f [x, y) = 0, on aura toujours 4. j {A,' + A,'y + . . . ^^2/^) ^ = j (4o + ^1^ + ■ • • + V'') ^+ ^>

où ^0' -^1' ■ ■ • -^ft sont des constantes quelconques et r une expression algébrique et logarithmique.

3, L'équation (3.) ayant lieu on aura toujours

^ Ç dy 1 , A Ç dx , -r, Ç dx 1

où l'un des paramètres e' et e est arbitraire, mais l'autre déterminé par l'équation f{^e'^ é) ^0, ensorte que ces quantités sont liées entre elles par la même équation que y et x. r est une expression connue.

4. Si une des équations (4.) et (5.) a lieu, l'équation (3.) est de même satisfaite en déterminant convenablement le coefficient a.

6. Il est impossible de réduire des fonctions de la forme J(^ -|- Sx -\- Cx'^)-7=. aux fonctions de la première espèce excepté pour quelques valeurs particulières des coefficiens dans la fonction H.

6. Il est impossible de réduire une fonction de la forme J -pr aux fonc-

tions de la première et de la seconde espèce, excepté pour des valeurs particulières du paxamètre e. Ces valeurs de e sont déterminées par l'équation p"^ — g^. B={x — e)*", où m est entier.

7. Si -j—j- = -T^ est satisfaite par l'équation algébrique f {y, x) = 0, cette équation sera dans tous les cas résoluble algébriquement, en sorte qu'on en pourra tirer la valeur de l'une des quantités x et y en l'autre à l'aide de radicaux. En supposant x fonction rationnelle de y, en sorte que (p {y) = x, on aura, si cette équation est d'un degré impair:

(Wl W2 Wm \

x,f{p, + q,VE),i(p,-{-q^iB)... f(ï)„ + q„, iR)j,

où Pi, q^, P2, q-i, ■ ■ • Pm, qm sont des fonctions entières de x, telles que

p\—q\B = {x — aJ'^, pl—qlR={x — aJ^'i, . . . pi — ql.R = (x — a,nf^,

CORRESPONBANCE d'aBEL — 10

fl-i, a^, . . . a„, étant des constantes. Le produit des exposans n^, n^, . . . n^ est égal au degré de l'équation

g}(lj) = X.

Dans la seconde partie il sera question des fonctions elliptiques de la forme où l'on suppose c réelle et moindre que l'unité. Tous les

J y](l-a;2)(l — c^sc^'))

résultats aux quels je parviens dans cette seconde partie, et qui ne sont contenus dans ceux de la première partie, sont déduits de la considération de la fonction inverse de la première espèce. Je désigne cette fonction par Ix en sorte que

, dix

dx ■■

V((l — r:c)(l-c2Pa;))

Cette fonction l simplifie beaucoup la théorie des fonctions elliptiques en général. Elle aura des propriétés très remarquables, et qui ont une parfaite analogie avec celles des fonctions circulaires, mais elles sont encore plus variées. Les suivantes sont quelques-unes des plus remarquables. Nous ferons pour abréger

dx

oùZ) = V(l — c2).

1. La fonction "kx est une fonction périodique de x. Cette propriété est la même que celle de sin x, mais non seulement Ir, encore la fonction ^ (æ V — 1) est une fonction périodique de x.

2. L'équation Aa; = 0 a une infinité de racines réelles et imaginaires, savoir x = m(a-\-nC}i — 1, m et n étant des nombres entiers quelconques. Les racines de l'équation plus générale kx = la sont x ^ {— l)'"a + ww -\- nw i — l.

3. La fonction hc pourra être décomposé en une infinité de facteurs, et en une infinité de fractions partielles, p. ex.

— co — oo

^-^■SS- . 't!'- ^

COEEESPONDANCE D'ABEL 75

4. Les propriétés de la fonction hc sont intimement liées à l'équation ^2 — g2 (1 — 2/^) (1 — c^i/2) ^ 0 , où i? et g sont des fonctions entières de y. En effet si l'on désigne par ÏB^, 16^. . .16^ les racines de cette équation, on aura, en supposant quelques-unes de ces racines variables:

Const. = A(±0i ±^2 ±63 ± . , . ±e^

en déterminant convenablement les signes des quantités 6^, O^, 6^ . . . 0^,.

5. On pourra exprimer l{9^ + Ø2 + ••• ^^) en fonction rationnelle de 19 1, ko 2, ... 19^, J (c,X6^), ... z/(c, X9fi) quelles que soient les quantités O-^, 9^, .. . 0^

6. Pour que deux fonctions J -j- — — • • • | j/^ \ , où c et c' sont moindres que l'unité de même que x et y, puissent être réduites indéfiniment l'une à l'autre, il faut qu'on ait entre les fonctions complètes cette relation:

( dx r'

dx r dx

où m et n sont des nombres entiers quelconques, et b' = V(l — c' 2). Si cette équation est satisfaite, on pourra toujours déterminer y algébriquement et même rationnellement en x de la sorte que J ^, — r ^ « J .,J , où a est une constante dont la valeur dépend de celle du module c.

7. Si l'on suppose réductibles l'une à l'autre deux fonctions de la première espèce

dx C dy

où c est moindre que l'unité et c' réelle ou imaginaire, toutes les valeurs de c', propres à satisfaire à cette condition, seront données par les deux formules:

ou d = TE ( uy 1 — V .—) ,

fi et V étant des nombres rationnels quelconques.

76 COREESPONDANCE D'ABEL

Il est à remarquer que si l'on fait /w ^ 0, v = 1, on aura : *,- i-ô l—ô^

Ces formules donneront donc le module c et son complément h en fonctions de å = — 7t.

Je passe sous silence un grand nombre d'autres propriétés tant des fonctions de la première espèce que de celles de la seconde et de la troisième espèce.

Ich werde ein Theorem iiber die Gleichungen hersetzen, das Sie fiir das Journal benutzen kônnen wenn Sie wollen.

Théorème sur les équations.

Soient x^, x^, ... x„ un nombre quelconque de quantités inconnues, et f{Xi, x^, . . . Xn) une fonction entière de ces quantités du degré m, m étant un nombre premier quelconque. Si l'on pose entre x^, x,^, . . . x les w équations suivantes:

cp («1, «2, «3 . . . a;„) = 0, cp («2, ajg, x^ . . . x„, Xj) = 0;

(p {X^, «4, . . . X„, X^, X^) =^0, . . . (p {Xn, «1, X^, . . . Xn--i) = 0

on en pourra en général éliminer les m — 1 quantités et l'une quelconque d'entre elles X sera ainsi déterminée å l'aide d'une équation du degré m". Il est clair que le premier membre de cette équation sera divisible par la fonction du degré m: ç) (x, X, X . . . x). On aura donc une équation en x du degré m" — m. — Cela

posé je dis que cette équation sera decomposable en équations, chaqu'ne

du degré m, et dont les coefficiens seront déterminés à l'aide d'une équation du degré — — — . En supposant connues les racines de cette équation chaqu'une des équations du degré m sera résoluble algébriquement. —

Ainsi par ex. si l'on suppose n = % m = 3 on aura en x une équation du degré 3^ — 3 = 6. Cette équation du sixième degré sera par conséquent résoluble

COEEESPONDANCE D'ABEL 77

algébriquement car en vertu du théorème, on pourra la décomposer en trois équations du second degré. Pareillement si l'on cherche les valeurs inégales de x^,x^,x^ propres à satisfaire aux équations

ffl -|- toi 4- cx\ ffl 4- ^^2 + c^2 ^ aArlx^Ar <^^\

on aura pour determiner x^,x^,x^ une équation du sixième degré mais qui sera decomposable en deux équations du troisième degré, les coeîficiens de ces équations étant déterminés par une équation du second degré. —

Dièses Theorem ist vielleicht nicht ohne Interesse, aber das folgende ist besser:

Si trois racines d'une équation quelconque irréductible d'un degré marqué par un nombre premier sont liées entre elles de la manière que l'on pourra exprimer l'une de ces racines rationellement en les deux autres, l'équation en question sera toujours résoluble à l'aide de radicaux, und noch dièses als specieller Fall:

Si deux racines d'une équation irréductible dont le degré est un nombre premier ont entre elles un tel rapport qu'on pourra exprimer l'une rationellement en l'autre, cette équation sera toujours résoluble à l'aide de radicaux.

Dièse Théorème geiten nicht wenn der Grad der Gleichung nicht durch eine Primzahl ausgedrûckt ist. WoUen Sie nicht aile drei Théorème aufnehmen so empîehle ich die beiden letzen (sic).

Kônnen Sie so bitte ich Sie nochmals sehr die in meinem letzen (sic) Briefe sich befindenden Abhandlungen ins vierte Heft beide drucken zu lassen. Es ist mir sehr darum zu thun. —

Ich bin stets der Ihrige

Abel.