XL. LEGENDRE A ABEL

Paris le 25 octobre 1828.

Monsieur, j'ai reçu et lu avec beaucoup de plaisir la lettre fort interessante

que vous m'avez adressée en date du 3 de ce mois. Je vous félicite bien cordiale-

ment des grands succès que vous avez obtenus dans vos travaux sur la théorie des fonctions elliptiques. J'avais déjà connaissance des beaux mémoires que vous avez publiés dans les journaux de M. M. Crélle et Schumacher; les nouveaux détails que vous voulez bien me donner sur la suite de vos recherches, augmentent encore, s'il est possible, les titres que vous avez acquis à l'estime des savans et surtout à la mienne. En rendant justice, comme je le dois, au mérite de vos découvertes, je ne puis me défendre du sentiment d'orgueil qui m'associe en quelque sorte à vos triomphes et à ceux de votre digne émule, M. Jacobi, puisque c'est en grande partie par l'étude de mes ouvrages que vous avez eu occasion l'un et l'autre de développer les grands talens que la nature vous a départis. Dans une de ses dernières lettres, M. Jacobi s'exprime en ces termes sur votre mémoire imprimé dans le n° 138 du journal de M. Schumacher-.

"Ce n° contient une déduction rigoureuse des théorèmes de transformation dont le défaut s'était fait sentir dans mes annonces sur le même objet. Elle est au-dessus de mes éloges, comme elle est au-dessus de mes travaux."

Un pareil aveu, exprimé avec tant de candeur, est aussi honorable pour M. Jacobi que pour vous. Vous serez sans doute dignes l'un de l'autre par la noblesse de vos sentimens et par la justice que vous vous rendrez réciproquement.

Je voudrais bien Monsieur, pouvoir vous offrir un exemplaire de mon traité des fonctions elHptiques en deux volumes in 4° qui a paru en janvier 1827 et qui contient un bon nombre de choses qui ne sont pas dans les Exerc. d. Gale. int. Mais la difficulté est de vous faire passer cet exemplaire avec sûreté. Je ne vous apprendrai rien dans cet ouvrage; c'est au contraire sur vous deux, Messieurs, que je compte pour l'enrichir de beaucoup de découvertes précieuses auxquelles je ne serais jamais parvenu par mes propres travaux ; car j'ai atteint un âge où le travail devient bien difficile ou même impossible.

La fin de votre lettre me confond par la généralité que vous avez su donner à vos recherches sur les fonctions elliptiques, et même sur des fonctions plus compliquées. Il me tarde beaucoup de voir les méthodes qui vous ont conduit à de si beaux résultats; je ne sais si je pourrais les comprendre, mais ce qu'il y a de sûr, c'est que je n'ai aucune idée des moyens que vous avez pu employer pour vaincre de pareilles difficultés. Quelle tête que celle d'un jeune Norvégien!

Une partie de ce que vous dites sur les transformations m'est déjà connue, et se trouve développée dans mon premier supplément; mais dans le reste la sphère

COEEESPONDANCE D'ABEL 79

de vos connaissances est beaucoup plus étendue que la mienne, et il me resterait surtout à éclaircir ce qui concerne les transformations imaginaires, sur quoi j'attends un ouvrage de 200 pag. in 4° que doit publier M. Jacobi et dont l'impression est déjà commencée. Peut-être n'êtes vous pas à portée maintenant de publier un semblable ouvrage qui contienne l'ensemble de vos découvertes; il nous intéresserait beaucoup. Monsieur. J'espère que vous nous en dédomagerez par de nouvelles publications dans les journaux de Mrs. Crelle et Schumacher, en donnant la démonstration de vos théorèmes.

Il y a un point intéressant à mes yeux où vous ne semblez pas vous accorder entièrement avec M. Jacobi. Dans le cas oîi n est un nombre premier, M. Jacobi dit que l'équation modulaire entre ce que vous appelez Cj et c est du degré n -\- 1, et il donne pag. 193 du 3 Vol. de M. Crelle, l'expression en série des w -f- 1 racines dont deux sont réelles et les w — 1 autres imaginaires. Cela semble s'accorder avec les résultats connus pour les cas de n = S et n = 5, où l'équation dont il s'agit est du 4°'^ et du 6™^ degré. Vous, Monsieur, Vous annoncez que le nombre des modules est six fois plus grand. Il y aurait donc 36 modules Cj dans le cas de n^b, et cependant l'équation modulaire n'est que du 6°^® degré. C'est une difficulté que je vous soumets et sur laquelle je vous demandrais deux mots d'éclaircissemens, quand vous aurez occasion de m'écrire, ou que vous pourriez insérer dans le prochain mémoire que vous destinez au journal de M. Crelle.

Agréez, Monsieur, l'expression de mes sentimens les plus distingués.

Le Gendre.