XLIII. LE GENDRE A ABEL

Paris le 16 janvier 1829.

Monsieur, j'ai remis à la maison Schubart, que vous m'avez indiquée, un exemplaire de mon traité qu'elle s'est chargée de vous transmettre avec le premier supplément qui commence le tome III; il est en route maintenant, et ne tardera pas à vous parvenir. Je vous l'offre comme un hommage bien dû à vos travaux; ils ajoutent beaucoup de prix aux miens, surtout lorsque j'aurai pu en faire entrer une partie dans les autres supplémens que je me propose de publier successivement, si le ciel m'accorde encore quelques années d'existence. J'ai trouvé dans votre lettre du 25 novembre beaucoup de choses qui m'intéressent au plus haut degré, et dont une partie se trouve déjà insérée dans le journal de Mr. Grelle. Vous y développez d'une manière très satisfaisante et très générale la question du nombre des modules dans lesquels peut être transformé un module, sur laquelle je vous avais demandé des éclaircissemens. Mais le mémoire imprimé sous le n° 30 ayant pour titre Remarques sur quelques propriétés générales etc. me paraît surpasser tout ce que vous avez publié jusqu'à présent par la profondeur de l'analyse qui y règne, ainsi que par la beauté et la généralité des résultats. Ce mémoire occupe peu de place, mais il contient un grand nombre de choses; il est rédigé en général avec beaucoup d'élégance et de concision; s'il eût pu être plus développé, j'aurais préféré que vous eussiez suivi un ordre inverse en finissant par les cas les plus généraux. Quoi qu'il en soit je ne puis que vous féliciter d'avoir entrepris de vaincre de pareilles difficultés et surtout d'y avoir si bien réussi; car quoique je n'aie pas pu me livrer au travail nécessaire pour vérifier tous vos résultats, d'autant qu'un pareil travail surpasse les forces d'un vieillard presqu'octogénaire, cependant je les ai assez examinés pour être persuadé qu'ils sont parfaitement exacts.

L'article de votre lettre où vous me communiquez quelques résultats de vos recherches sur le développement de la fonction inverse Xoc en série, à l'aide des deux fonctions f x et foo dont vous faites connaître plusieurs belles propriétés; cet article dis-je, a beaucoup de rapport avec ce que M. Jacobi a publié sur les fonctions qu'il appelle 0{q, x), H (q, x) (voy. le n° 27 du journal de M. Schumacher an 1828), et qui lui ont servi à sommer d'une manière fort élégante, un grand nombre de séries. Au moyen de la fonction 6 {q, x), M. Jacobi est parvenu à exprimer par une formule très simple la fonction de troisième espèce J m ^ • 2^ • 2 i^ ^ont

le parametre — k^.sin^ a se rapporte à la forme que j'ai appelée logarithmique, en opposition à l'autre forme cot^ a ou — 1 + ^'^ sin^ « que j'ai nommée circulaire. Ainsi les fonctions de la troisième espèce à parametre logarithmique, sont susceptibles d'être réduites en tables, comme les fonctions de la P^ et de la S'^" espèce, puisqu'elles ne dépendent que de la fonction 0 (q, x) a deux quantités seulement. Ce résultat de M. Jacobi, me paraît une découverte majeure dans la théorie des fonctions elliptiques de la troisième espèce surtout si on pouvait en trouver un semblable pour les autres fonctions de cette espèce à parametre circulaire. M. Jacobi a avancé que la chose était possible, mais quand j'ai voulu faire le calcul, c'est-à-dire supposer a ou x imaginaire dans la quantité ^ . log ^^ ~^, , j'ai vu que j'étais conduit inévitablement à une fonction de trois quantités. En effet c'est une règle générale dans l'analyse que si dans une fonction de plusieurs quantités réelles vous mettez l'imaginaire r (cos 0 -\- i — 1 sin 0), à la place d'une des variables ou cont stantes de la fonction, votre fonction contiendra un élément de plus. Le calcul donje viens de parler, n'a donc pas rempli mon but, ni celui que M. Jacobi annonçait; j'en ai pu seulement tirer avec assez de facilité les théorèmes de transformation, et les expressions de la fonction complète que j'avais précédemment données dans le chap. XXIII de mon traité Tom. I.

Mais de là naît une difficulté sur la division générale des fonctions elliptiques. Admettrons-nous cette différence énorme entre les fonctions de 3°"^ espèce à parametre logarithmique et les fonctions à parametre circulaire, savoir que les premières peuvent s'exprimer par une fonction de deux variables, facilement réductible en table, et que les autres ne le peuvent pas? Il y aurait donc par le fait quatre espèces de fonctions elliptiques au lieu de trois, et la quatrième serait bien plus composée que la troisième. C'est un point qui mérite d'être examiné et mis au clair. Je le recommande à votre investigation et à celle de M. Jacobi.

Vous m'annoncez. Monsieur, un très beau travail sur les équations algébriques, qui a pour objet de donner la résolution de toute équation numéi'ique proposée, lorsqu'elle peut être développée en radicaux, et de déclarer insoluble sous ce rapport, toute équation qui ne satisferait pas aux conditions exigées; d'où résulte comme conséquence nécessaire que la résolution générale des équations au delà du quatrième degré, est impossible. Je vous invite à publier le plutôt que vouz pourrez, cette nouvelle théorie; elle vous fera beaucoup d'honneur, et sera généralement regardée comme la plus grande découverte qui restait à faire dans l'analyse.

Adieu, Monsieur, vous êtes heureux par vos succès, dans les objets de vos travaux, je désire que vous le soyez encore par une position sociale, qui vous permette de vous livrer tout entier aux inspirations de votre génie.

Votre dévoué serviteur Le Gendre.

P. S. J'ai reçu il y a quelque temps une lettre de M. Humboldt dans laquelle il me marque que le ministre de l'institution (!) publique à Berlin a reçu du roi l'autorisation de former un séminaire pour l'étude des hautes mathématiques et de la physique, dans lequel vous serez appelé comme professeur avec M. Jacobi.