XLII. ABEL A LEGENDRE
Christiania le 25 novembre 1828.
Monsieur, la lettre que vous avez bien voulu m'addresser en date du 25 Octobre m'a causé la plus vive joie. Je compte parmi les moments les plus heureux de ma vie celui où j'ai vu mes essais mériter l'attention de l'un des plus grands géomètres de nôtre siècle. Cela a porté au plus haut degré mon zèle pour mes études. Je les continuerai avec ardeur, mais si je serai assez heureux pour faire quelques découvertes, je les attribuerai à Vous plutôt qu'à moi, car certainement je n'aurai rien fait sans avoir été guidé par vos lumières. —
J'accepte avec reconnaissance l'exemplaire de vôtre traité des fonctions elliptiques que vous voulez bien m'offrir. Je vous prie de me le faire passer sous l'addresse suivante:
M. M. les libraires Messel, Keyser & Co. à Christiania.
L'exemplaire doit être remis à M. M. Schubart et Heideloff, Quai
malaquai No. 1 à Paris.
Je m'empresserai de vous donner les éclaircissements que vous m'avez [fait]
l'honneur de me demander. Lorsque je dis que le nombre de transformations
différentes correspondantes à un nombre premier n e[s]t 6 {n + 1) j'entends par cela
Cette lettre est en français.
COREESPONDANCE d'ABEL 83
qu'on peut trouver 6(n-\-i) valeurs différentes pour le module c' en supposant l'équation différentielle . . .
dy dx
ilT^^y^) (1 — C'y^ "~ ^ • V (1 — ^2) (1 — c2"^
en mettant pour y une fonction rationnelle de la forme
Bq-\-B^x-\-B^x'^-\-. . .-\-B„x"
C'est cela qui a en effet lieu, mais parmi les valeurs de c' il y en aura un nombre de n-\-l qui réponde à la forme suivante de y :
, A^x -\- A^x^ -\- A^x^ -{- . . .-\-AnX"
^ "" l-\-B^x^-\-B^x^-{-. . .B„-ix„^i
Ce sont ces n-\-i modules dont parle M. Jacobi. Ils sont en effet racines d'une même équation du degré n-\-i. Ces n-\-l valeurs étant supposées connues il est facil[e] d'avoir les 5(n-(-l) autres. En effet en effet (sic) en désignant par c' un quelconque des modules on aura encore ceux-ci:
1 > A-v^V A+v^V A-v^iyV (i±£
^1 + ic j \\ — ic'j \^i + y c'y
auquelles (sic) repondent les valeurs suivantes de y:
^. J + vg \ ±y' jd . l — jd \±y' je' . 1 — V — c' 1 ±y'i —c' ^' ' i — ic'' 1 + y'ic'' \-\-id' l + y'ic'' 1 + V— c' ' \ + y' V— c'
ce qui est facil[e] de vérifier en faisant la substitution dans l'équation différentielle. — Toutes les 6(n + 1) valeurs du module c' sont différentes entre elles excepté pour quelques valeurs particulières de c. — Dans ce qui précède n est supposé impair et plus grand que l'unité. Si n est égal à deux c' aura encore 6(n -f- 1) = 18 valeurs différentes. De ces 18 valeurs il y aura six qui repondent à une valeur de
y de la forme
a-\-bx^ '^~a'-\-b'x^
84 COEEESPONDANCE D'ABEL
ce sont:
1 + c ' 1 :p yi — c2 ' c q: Vc^ — 1
Il y en aura quatre qui repondent à une valeur de y de la forme y ^^ . , ^
savoir
,,2V±^ J^4 ^ = (1 + ,)^.^, etc. 1 ± c 2 V ± c ' i±cx^
Enfin pour les huit autres modules y aura la forme
A-]-Bx + Cx^ "'- A — Bx-\- Cx^ '
Ces huit modules sont
J'ai donné des develloppemens plus étendus sur cet objet dans un mémoire imprimé dans le cahier 4« Tom II du journal de M. Grelle. Peut-être vous en avez deja connaissance.
Les fonctions elliptiques jouissent d'une certaine propriété bien remarquable et que je crois nouvelle, savoir si l'on fait pour abréger
Jx = ±i{i — x^) (1 — c^x^) ;
ClOC *• / \ CfjtX/ -* / \
'x^dx Jx
on aura toujours:
à) («i) + t5(a"2) + . . . + W {Xfi) = c iOo(Xi) 4- Wo(«2) + . . . + WoM= C + p, où 2> est algébrique
n(x,) + n{x,) + . . . . + 77(^,)= f7 - 2^ . log (^;j:^;5f)
COKKESPONDANCE D'ABEL 85
si l'on suppose les variables x^, x^ . . . Xf liées entre elles de la manière à satisfaire à une équation de la forme:
{fxY — (g,x)^ . (1 — x^) (1 — c^x^) = J. . (a;2 — a;^) {x^ — x^) . . . (a;| — x^);
fx et fx étant deux fonctions entières quelconques de l'indéterminé x, mais dont l'une est paire et l'autre impaire. Cette propriété me parait d'autant plus remarquable qu'elle appartiendra à toute fonction trancendante (sic)
, , c dx
en supposant [JxY une fonction entière quelconque de x^. J'en ai donné la démonstration dans un petit mémoire inséré dans le cahier 4^ du Tom: III du journal de M. Grelle. — Vous verrez que rien n'est plus simple que d'établir cette propriété générale. Elle m'a été fort utile dans mes recherches sur les fonctions elliptiques. En effet j'ai fondé sur elle toute la théorie de ces fonctions. — Les circonstances ne me permettent point de publier un ouvrage de quelque étendue que j'ai composé depuis peu, car ici je ne trouverai personne qui fera l'imprimer à ses frais. C'est pourquoi j'en ai fait un extrait qui doit paraître dans le journal de M. Crelle. La première partie, dans la quelle j'ai considéré les fonctions elliptiques en général doit paraître dans le cahier prochain. Il me serait infiniment interessant de savoir votre jugement sur ma méthode. Je me suis surtout attaché à donner de la généralité à mes recherches. Je ne sais si j'ai pu y réussir. — La seconde partie qui succédera incessament la première traitera principalement les fonctions avec des modules reels et moindres que l'unité. C'est sm-tout la fonction inverse de la première espèce qui est l'objet de mes recherches dans cette seconde partie. Cette fonction, dont j'ai démontré quelques'unes des propriétés les plus simples dans „mes recherches sur les fonctions elliptiques" est d'un usage infini dans la théorie des fonctions elliptiques en général. Elle facilite à un degré inespéré la théorie de la transformation. Un premier essai sur cet objet est contenu dans le mémoire inséré dans le No. 138 du journal de M. Schumacher, mais je puis maintenant rendre cette théorie beaucoup plus simple. —
La théorie des fonctions elliptiques m'a conduit à considérer deux nouvelles fonctions qui j[o]uissent de plusieurs propriétés remarquables. Si l'on fait
86 COERESPONDANCE D'ABEL
dy
l{x) sera la fonction inverse de la 1ère espèce. J'ai trouvé qu'on peut peut (sic) développer cette fonction de la manière suivante:
où le numérateur et le dénominateur sont des series toujours convergentes quellesque soient les valeurs de la variable x et du module c, réelles ou imaginaires. Les coefficiens A^, A^, . . . B2, B^ . . . sont des fonctions entières de c^. Si l'on fait
fx = X -{- AjX^ -\- A^x^ + . . . ;
<px et fx sont les deux fonctions en question. Elle[s] auront la propriété exprimée par les deux équations
(p{x-\-tj).g){x — y) = (fX. fijY — {cpy . fxY ■
fi^ + y)-f{^ — y) = {f^- fyY — c' (95a; . (pyY
où a; et 2/ sont des quantités quelconques. On pourra representer ces fonctions de beaucoup de manières, par exemple on a:
90 f a; ^ j == A . c«^' . sin a; . (1— 2 cos 2a; . 32 -(- g4) (1 2 cos 2a; . g^ + 98) (1 2 cos 2a; . 36 -j- gi2j
9!)(a;^J=j'.ea'x=.(e»e-») (l — j)2 ^ ^ix) (x jj2g-2x) (i —pi^-ix) (^ pie-'^x)
fU ^J =^.e'»'(l — 2 cos 2a; . g + 2^) (1 — 2 cos to .(f -\- g^) ■ ■ ■ fU'^^B' . e"'»'' (1 —pe-'^^) (1 — pe2a.) (j ^3e-2«) (j ^;3e2a.) ....
OÙ A, A', B, B', a, a' sont des quantités indépendantes dea;;g' = e°' ,j; = e " g- et -s- enfin sont les fonctions complettes correspondantes aux modules
i = frzir^ et c. —
COERESPONDANCE D'ABEL 87
Il y a outre les fonctions elliptiques deux autres branches de l'analyse dont je me suis beaucoup occupé, savoir la théorie de l'intégration des formules différentielles algébriques et la théorie des équations. A l'aide d'une méthode particulière je suis parvenu à beaucoup de resultats nouveaux, qui sont surtout très généraux. Je suis parti du problème suivant dans la théorie de l'intégration:
„Etant proposé un nombre quelconque d'intégrales . . . jydx, jy^dx, ^y^dx etc. on y, y^, y^, • • . sont des fonctions algébriques quelconques de x, trouver entre elles toutes les relations possibles, qui pourront s'exprimer par des fonctions algébriques et logarithmiques."
J'ai trouvé d'abord qu'une relation quelconque doit avoir la forme suivante:
Alydx-\-A^lyidx-\-A2ly^dx-^... = u-\-B^ logWj -{-B^lo^v^ -\-
où A, A^, A^, . . . ; i?j etc. sont des constantes et m, v^, v^, ... des fonctions algébriques de x. Ce théorème facilite extrêmement la solution du problème, mais le plus important est le suivant:
„Si une intégrale \ydx où y est lié à x par une équation algébrique quelconque pourra s'exprimer d'une manière quelconque explicitement ou implicitement à l'aide [de] fonctions algébriques et logarithmiques on pourra toujours supposer :
J2/ Æa; = M + Al log Wj + ^2 log *^2 + • • • + ^m log v„,
où A^, A^, . . . sont des constantes et ii, v^, v,^, . . . v„, des fonctions rationelles de x et y". —
Par ex : si y = -= où r et H sont des fonctions rationelles on doit avoir dans tous les cas où ^=^ est intégrable :
où p, Pi, P2, . . . Qi, Qi, . . . sont des fonctions rationelles de x. —
J'ai réduit de cette manière au plus petit nombre possible les fonctions transcendantes contenues dans l'expression. . . .
ç rdx I "
y» CORRESPONDANCE D ABEL
OÙ R est une fonction entière et r une fonction rationelle. J'ai découvert de même des propriétés générales de ces fonctions. Savoir:
Soit P(^, p^, p^, . . . Pm-i des fonctions entières quelconques d'une quantité indéterminée x, et regardons les coeîfîciens des puissances de x dans ces fonctions comme des variables. Soit de même a", a^, a^, . . . «™-i les racines de l'équation «™ = 1, m étant premier ou non, et faisons
Jl Ë m— 1
Sk=^p^ + a^Pi R'" + a^'iJg Æ™ + . . . + «('"-!« i2 "' Cela posé en formant le produit:
V sera comme vous voyez une fonction entière de x. Maintenant si l'on designe par x^, x^, . . . X/( les racines de l'équation V ^ 0, la fonction transcendante
ç dx xp{x)= -H
J (x — cijR"'
où ^ < 1 et a une quantité quelconque aura la propriété suivante:
= ^ + — ^ (log (''o) + cc^' log (s\) + a^" log {s',) + . . . + «"»-»"■ log (s'„,)) OÙ C est une constante et
les valeurs qu'obtiendront respectivement les fonctions
R, Sq, Sj, . . . s,„i
en écrivant simplement a au lieu de x.
Rien n'est plus facil[e] que la démonstration de ce théorème. Je la donnerai
dans un de mes mémoires prochains dans le journal de M. Grelle. Un corroUaire
bien remarquable du théorème précédent est:
rrdx Si l'on fait w (ce) = I ^ où r est une fonction quelconque entière de x dont
J R^ le degré est moindre que — v — 1 où r est le degré de R, la fonction û [x] est telle que
w(xj) -f- w («a) + • • • + cô(Xf,) = à une constante.
Si par ex: m = 2, n ^ l, »> = 4 on aura r = 1, donc
C'est le cas des fonctions elliptiques de la 1ère espèce.
Les belles applications que vous avez donné des fonctions elliptiques à l'intégration des formules différentielles m'ont engagé à considérer un problème tres général à cet égard savoir
Trouver s'il est possible d'exprimer une intégrale de la forme ^ ydx où y est une fonction algébrique quelconque par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques de la manière suivante:
J ydx = fonction algébrique {x, logv^, log v^, log v^, . . . U^ {z^), n^{z^, TZg [z^), . . .)
î^i> ^2i î's. • • • ■^1. ■5'2> ■^3. • ■ • étant des fonctions algébriques de x les plus générales possibles, et 11^, U^, etc. désignant des fonctions elliptiques quelconques en nombre fini. J'ai fait le premier pas vers la solution de ce problème en démontrant le théorème suivant:
„S'il est possible d'exprimer \ydx comme on vient de dire on pourra toujours „donner à son expression la forme suivante:
J 2/ (Zæ = < + ^1 log <i -f ^2 log ^2 + • • • + -Bi i7i (î/i)+ ^2 772 (2/2) + -B3 773 (2/3) + . . . .
„où t, ij, ^2' • • • 2/i> 2/2» 2/3- •• • sont toutes des fonctions rationnelles de x et y, mais en conservant à la fonction y toute sa généralité j'ai été arrêté là par des difficultés qui surpassent mes forces et que je ne vaincra[i] jamais. Je me suis donc contenter (sic) quelques cas particuliers, surtout de celui oîi y est de la forme
TF= où r et -5 sont deux fonctions rationnelles quelconques de x. C'est deja tres général. J ai reconnu qu on pourra mettre l'mtegrale \7rW ^^us cette forme:
\-^=P^E + A' log (l^j + A" log (|,^j + . . .
... + B,n, O/i) + B, 772 (2/2) + ^3 ^3 (2/3) + • • • oii toutes les quantités y^, y^, y^, . . . p, p', p", . . . sont des fonctions rationelles de la variable x. —
J'ai démontré ce théorème dans le mémoire sur les fonctions elliptiques qui va être imprimé dans le journal de M. Crelle. Il m'a été extr[êm]ement utile pour
CORRESPONDANCE d'aBEL — 1:2
90 COEBESPONDANCE D'ABEL
donner la généralité la plus grande possible à la théorie de la transformation. Savoir j'ai non seulement comparer (sic) entre elles deux fonctions mais un nombre quelconque de fonctions. Je suis conduit à ce resultat remarquable:
Si l'on a entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques des trois espèces avec les modules c, c', c", c'", . . . une relation quelconque de la forme
An{x)-\- A' n, [x,) + A" n, {x,) + A'" n, (a^j) + . . . + ^C«) 77» [x„) = v,
oh x^, Xç^, x^, . . . Xn sont des variables, liées entre elles par un nombre quelconque d'équation[s] algébriques, et v une expression algébrique et logarithmique, alors les modules c', c", c'", . . . doivent être tels qu'on puisse satisfaire aux équations:
dx , åx' ..„ dod' ,
V (1 — a;2) (1 c2a;2) i/(l — a;'») (1 — c'^aj'^) V(l — a;"^) (1 — c"^»;"^)
en mettant pour x', x", x'" . . . des fonctions rationnelles de x; a', a", . . . étant des constantes. Ce théorème ramène la théorie générale des fonctions elliptiques à celle de la transformation d'une fonction en une autre. —
Ne serez pas fâché Monsieur ! parceque j'ai osé vous communiquer encore une fois quelques'unes de mes découvertes. Si vous me permetterez de vous écrire je désirerais bien de vous communiquer un bon nombre d'autres tant sur les fonctions elliptiques et des fonctions plus générales que sur la théorie des équations algébriques. J'ai été assez heureux pour trouver une règle sure à l'aide delaquelle on pourra reconnaître si une équation quelconque proposée est résoluble å l'aide de radicaux ou non. Un corroUaire de ma théorie est qu'il est impossible de résoudre les équations générales supérieures au quatrième degré. —
Agréez Monsie[u]r l'expression de mon plus profond respect
Votre serviteur
N. H. Abel.
Il me tarde beaucoup de connaître l'ouvrage de M. J a c o b i. Il doit s'y trouver des choses merveilleuses. Certainement M. Jacobi va perfectionner à un degré inespéré non seulement la théorie des fonctions elliptiques mais encore les mathemathiques en général. Je l'estime on ne peut plus. —
COEEESPONDANCE D'ABEL 91
