ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. EMPLOI DES ÉCHELLES BINAIRES
plèthes (y) et (o) de l'échelle E2. D'après la définition même des échelles E, et E2, on a pour ce point
par suite
= T(«,P)+(Tf,8)-
Si donc on a tracé sur l'abaque des parallèles aux axes Ox et Oy et des radiantes allant de O au bord extérieur de l'échelle E2, on n'aura qu'à suivre la parallèle à Ox menée par le point de rencontre de la parallèle (a, (3) à Oy et de la radiante (y, S) pour
avoir sur Oy la valeur de cp(a, (3) ^(v, o).
Faisant alors coïncider avec cet axe Oy l'axe Ox' d'un second abaque muni d'une échelle binaire à radiantes E3 donnant les valeurs de y (s, 7}), on aura, de même, sur l'axe Oy', les valeurs de cp(a, (3) 6(y, S) y(s, 7]), et ainsi de suite.
On peut donc toujours disposer autour d'un certain axe A un abaque donnant sur cet axe les valeurs d'un produit d'éléments binaires en nombre quelconque.
Un second produit analogue pourra être donné par une échelle B, un troisième par une échelle C, etc.
cédés de représentation pour certaines classes d'équations à plus de trois variables. C'est ce que nous allons faire à présent (').
Principe des points doublement isoplèthes.
45. Reprenons la forme générale (EI!I) (n° 4) des équations à triple réglure en introduisant une quatrième variable o dans une des lignes du déterminant
(fi)
<W(ï) +»(T) Wï)
Cette équation exprime, si l'on représente par u et v des coordonnées parallèles de droites (n° 28), que les points dont les équations sont
(fi) k/i(«, o)+c/2(a, 3) + /3(a, 8)=o,
(13) m^i(t) -i-^^Cï) H-4»s(T) =0
sont alignés sur une même droite.
Lorsque, dans les équations (I2) et (I3), on fait varier les paramètres p et y, on obtient deux séries de points isoplèthes ((3) et (y) distribuées chacune sur une certaine courbe.
Considérons maintenant l'équation (Ij). Pour chaque valeur de a, on obtient, par variation de 0, une certaine courbe qui est une isoplèthe (a). De même, pour chaque valeur de 0, on obtient, par variation de oc, une isoplèthe (0). Pour des valeurs particulières de a et de 0, le point (I,) correspondant est à la rencontre des isoplèthes (a) et (S) répondant à ces cotes particulières. C'est pourquoi nous l'appellerons point doublement isoplèthe.
En résumé, l'équation (E) est représentée par un abaque (fîg. 33) composé des deux séries de points isoplèthes ((3) et (y) et des deux cours d'isoplèthes (a) et (0), et les valeurs correspondantes des quatre variables sont telles que la droite joi-
(') Voir aussi la fin du n° 10.
MÉTHODE DES POINTS DOUBLEMENT 1SOPLÈTHES. 8l
gnant le point ([3) au point (y) passe par le point de croisement des isoplèthes (a) et (S) (*).
Fïsr. 33.
Par exemple, sur l'abaque de X^fig. 33, pour a — 5, (3 = 3, y = i3, on a, comme le montre la droite en pointillé,
On a ainsi le cas d'extension à quatre variables du principe fondamental, auquel nous avons fait allusion au n° 37.
Abaque de l'équation complète du troisième degré.
46. Appliquons tout de suite cette méthode à l'équation complète du troisième degré
*»•+ nz*-\-pz -h q = o.
Il suffit, comme au n° 30, de prendre
il = />, ç — q.
(') Nous avons communiqué cette méthode à l'Académie des Sciences dans la séance du 23 février 1891 (Comptes rendus, t. GXII, p. 421)-
au point de division/?' de l'axe Bv {fig- 36). Ce sont, par suite, ces droites issues respectivement de B et de A qui constituent les isoplèthes (p) et (//).
Si donc on connaît y?, f et p' et qu'on veuille avoir/', on n'a qu'à lire la cote du point où Bv est coupé par la droite joignant le
Fig. 36.
point/ de A m au point de rencontre des radiantes/? et p' issues de B et de A.
Dans le cas particulier de / = /', on retrouve l'abaque de M. Gariel, que celui-ci a obtenu par un procédé particulier basé sur l'emploi combiné d'une anamorphose et d'une transformation perspective ('). La marche ci-dessus indiquée est incontestablement plus directe et plus rationnelle.
51. Nous avons développé l'exemple précédent pour faire voir comment la construction de l'abaque de M. Gariel se rattache au principe des points doublement isoplèthes. Nous ferons remarquer maintenant que la formule des lentilles peut se mettre en abaque encore plus simplement. Il suffit d'un quadrillage, tel, par exemple, que celui qui est imprimé sur le papier à croquis qu'on trouve dans le commerce.
(') Voir Favaro et Terrier, Calcul graphique, p.
MÉTHODE DES POINTS DOUBLEMENT ISOPLÈTHES. 8g
Ayant choisi dans ce quadrillage des axes Ox et Oy (fîg. 07), on voit que la verticale correspondant à la valeur de/et l'horizon- (alc correspondant à la valeur de f doivent se couper sur la droite
Fi" 3n
fi
if 5 6 1
(f) et- (p)
qui joint le point/? de l'axe Ox au point/)' de l'axe Oy. Cela tienl tout simplement à ce que l'équation de cette droite est
L'abaque ainsi obtenu et celui de la fig. 36 sont corrélatifs, selon le mode indiqué au n° 29. On peut remarquer, dans un intérêt purement théorique, que ce dernier abaque se rattache immédiatement aussi, si l'on veut, au principe des points doublement isoplèthes. Il suffît, pour cela, d'observer que l'équation
est représentable par les deux systèmes de points simplement isoplèthes
