QUATRIÈME ÉDITION

REVIE ET ANNOTER

Par M. J. BERTRAND,

De [Académie française, Sicrétaire perpétuel de 1 Académie des Science?.

Deux volumes in-8, avec planches; 1886-1887. — Prix : 15 fr.

Avertissement de la quatrième édition.

On a plus d'une fois exprimé le regret qu'un Livre aussi justement classique, et non moins utile aux maîtres qu'aux élèves, laissât complètement de côté plusieurs chapitres importants, imposés aujourd'hui par les progrès de la Science dans l'enseignement de nos écoles. Il est devenu impossible, par exemple, dans un cours d'Analyse infinitésimale, de ne pas introduire les éléments au moins de la théorie des fonctions elliptiques et les principes généraux relatifs aux fonctions d'une variable imaginaire.

Préoccupé, dans les dernières années de sa vie, d'études et de méditations d'un tout autre ordre, M. Duhamel, à qui cette lacune a souvent été signalée, n'a pu trouver le loisir de la combler, et ses papiers ne contiennent aucune étude sur cette partie de la Science. Sans prétendre ici suppléer aux pages excellentes et profondes qu'il aurait pu ajouter à son Livre, nous avons espéré qu'on trouverait avec plaisir l'exposition des principes aujourd'hui élémentaires et classiques dans l'enseignement du Calcul différentiel et du Calcul intégral.

Les Notes que l'on trouve à la fin du Tome 1er et du Tome II sont extraites, avec de légères modifications, de mon Traité de Calcul différentiel et intégral; leur lecture sera facile, je l'espère, à ceux qui auront lu et compris le Livre de M. Duhamel. J. Bertrand.

Préface de la deuxième édition.

La marche suivie dans la première Partie de cet Ouvrage est fort différente de celle qu'ont adoptée les divers auteurs qui ont écrit sur le même sujet. Elle ne se rapporte précisément à aucun enseignement existant, mais à l'enseignement tel que je crois qu'il doit être. L'ordre suivant lequel les diverses parties d'une science doivent être présentées, du moins quant à ce qu'elles ont de général et de caractéristique, est presque toujours l'ordre même suivant lequel elles ont été découvertes. Les conceptions importantes ne sont point dues au hasard : elles se présentent aux hommes éminents de chaque époque lorsqu'elles sont naturellement amenées par les besoins et

varier à l'infini. Nous en avons choisi particulièrement quelques-unes, à cause de leur importance dans la science. En Géométrie, nous avons considéré la courbure des lignes planes, le cercle oscillateur, les développées, etc. ; en Mécanique, la vitesse, l'accélération, le poids spécifique en un point d'une substance non homogène, etc. Nous avons étudié aussi la question générale du déplacement d'une figure sur un plan, et nous avons vu comment se résolvent les problèmes de tangentes auxquels elle donne lieu.

Toutes les théories dont nous avons parlé jusqu'ici se ramenant à des limites de sommes ou de rapports, nous avons cru convenable de les exposer et d'en faire des applications particulières avant d'établir les règles du Calcul différentiel et du Calcul intégral, qui donnent plus de simplicité et de généralité à l'exécution de tous les calculs auxquels elles se ramènent. Comme elles sont en elles-mêmes indépendantes des moyens d'exécution des opérations qu'elles indiquent, nous avons cru devoir les présenter avant les longues et pénibles théories d'Analyse, qui donnent les meilleures règles pour cette exécution. En suivant la marche inverse, on rebute l'esprit par des recherches abstraites dont il ne voit pas l'objet, et il est môme à craindre que les théories géométriques que l'on expose ensuite ne soient prises pour des dépendances des théories analytiques, avec lesquelles elles n'ont en elles-mêmes rien de commun, et qui ne leur servent qu'à l'exécution du calcul des limites de sommes ou de rapports, auxquelles elles ont ramené l'objet de leur recherche.

Telle est la marche que nous avons suivie dans le premier Livre de cet Ouvrage. Dans les Livres suivants, nous donnons les règles pour trouver les limites des rapports des accroissements infiniment petits de variables liées par des équations données, ainsi que les limites des sommes d'infiniment petits, représentés par une formule générale. Nous donnons à ces deux problèmes d'Analyse, dont l'un est l'inverse de l'autre, toute l'extension dont ils sont susceptibles, en restant dans le cadre qui convient à de simples éléments, et nous formons ainsi ce que l'on appelle le Calcul différentiel et intégral.

Ainsi, dans cet essai, que nous espérons rendre un jour moins imparfait, notre objet a été l'étude de la méthode infinitésimale considérée en ellemême; et les procédés si importants du Calcul différentiel et du Calcul inverse ont été les moyens d'exécution des opérations auxquelles cette méthode a ramené la solution des questions qu'elle s'est proposées. Cette subordination, que nous avons tenu à rendre bien explicite et bien sensible, donne la raison de l'ordre que nous avons suivi dans cet Ouvrage, et du titre que nous lui avons donné.

La seconde Partie a pour objet principal l'intégration des équations différentielles; mais nous ne nous sommes pas proposé de traiter cette matière avec toute l'étendue que permettrait l'état actuel de la Science. Nous avons voulu simplement présenter un cours élémentaire de Calcul intégral, à peu près tel qu'était celui de l'École Polytechnique il y a quelques années. Toutefois, nous avons cherché à n'omettre aucune idée importante, et à préparer à la lecture des ouvrages des grands géomètres, tant sur l'Analyse pure que sur ses applications à la Mécanique et à la Physique. C'est dans cette vue, par exemple, que nous avons donné des formules pour la représentation des fonctions arbitraires par des séries trigonométriques ou des intégrales définies multiples, et montré comment ces dernières peuvent servir à "l'expression des intégrales des équations différentielles et des équations aux différentielles partielles. Dihajiel.

14832 Paris. — Imprimerie GAUTHIEU-VILLAUS ET FILS, quai des Grands- Augustins, 55.