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s'agit, au moyen cV une construction, d'en déduire les inconnues mises sous la même forme. On doit, en d'autres termes, exécuter une épure. A ce genre d'application appartiennent, en particulier, tous les procédés de la Statique graphique, et nous entendons par là non seulement ceux à qui cette dénomination est plus spécialement réservée et qui dérivent systématiquement des propriétés des polygones funiculaires, mais encore tous ceux qui se déduisent d'autres considérations géométriques, tels, par exemple, que M. Collignon en a fait connaître, et de si élégants, pour le problème de la poutre droite soumise à des charges discontinues, pour celui de l'arc parabolique surbaissé, etc.

Les épures ainsi substituées au calcul numérique sont, en général, fort simples, fort expéditives, et les ingénieurs accusent une tendance de plus en plus marquée à y recourir. Mais elles sont encore en dehors du sujet que nous avons en vue ici, et qui a trait à un autre mode d'application de la méthode graphique. Celle-ci peut, en effet, fournir la représentation sur un plan, au moyen de certains systèmes de courbes faciles à construire et construites une fois pour toutes, des équations qui lient entre elles les quantités soumises au calcul. De tels Tableaux graphiques, ou abaques, pour employer un terme que l'usage a aujourd'hui pleinement consacré, donnent les résultats à déduire de la formule à laquelle ils s'appliquent par une simple lecture. Ils suppriment donc, une fois construits, toute espèce d'opérations, et se trouvent ainsi réaliser l'idéal que nous définissions plus haut.

Leur exécution, il est vrai, représente un certain travail; mais celui-ci, qui est loin d'être aussi important qu'on pourrait le croire au premier abord, est, en tout cas, incomparablement plus simple et exige infiniment moins de temps que celui de la construction des Tables numériques (1), pour fournir les mêmes résultats que celles-ci dans le cas où elles sont réalisables, et s'étendre à une foule d'autres cas pour lesquels elles ne seraient pas pratiquement possibles, faute de se pouvoir prêter à plus de deux entrées.

(') Il est assez difficile de chiffrer l'économie de temps résultant de la substitution d'un abaque au calcul d'une table numérique à double entrée. Notre expérience personnelle nous permet d'affirmer que, bien souvent, le rapport des temps employés dans l'un et l'autre cas, atteint celui de i à 20 et même davantage.

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Il est bien évident d'ailleurs que la construction des abaques ne sera véritablement avantageuse que lorsqu'il s'agira de formules d'un usage fréquent. Mais celles-ci sont assez, nombreuses pour attester la haute utilité pratique de la méthode et attirer sur elle l'attention des gens techniques en raison du profit, en quelque sorte permanent, qu'ils ont à en tirer.

Nous souhaiterions même que l'usage des abaques entrât assez dans leurs habitudes pour que les auteurs écrivant sur des sujets techniques fussent amenés, en faisant connaître quelque formule nouvelle applicable à un objet pratique, à en faire immédiatement la traduction sous forme d'abaque, de façon à donner mieux que la formule elle-même, à savoir les résultats auxquels elle doit conduire dans les cas où elle est applicable ( ' '). Il nous semble de même que le recueil des formules relatives à une certaine profession pourrait être avantageusement remplacé par l'atlas des abaques correspondants. Cette considération n'a pas été étrangère à l;i pensée qui nous a guidé dans la rédaction du présent Travail, dont nous faisons ressortir le but un peu plus loin.

Rappelons d'abord qu'il y a fort longtemps qu'on a songé à utiliser la méthode graphique en vue de la suppression du calcul numérique. U Arithmétique linéaire de Pouchet, fondée sur cette idée, remonte à 1790. Nombre de travaux datant de la première moitié du siècle et dus à d'Obenheim, Bellencontre, Allix, s'en sont également inspirés. Terquem semble avoir, le premier, énoncé un principe général sur le sujet en faisant remarquer que la représentation graphique des équations à trois variables pouvait être identifiée à la représentation plane d'une surface topographique par les projections de ses courbes de niveau.

Depuis lors, M. Lalanne, en imaginant le principe de l'anamorphose qui lui permit d'apporter une grande simplification dans la construction de certains abaques d'un usage tout à fait courant, ouvrit une voie nouvelle, dans laquelle il fut suivi par de nombreux auteurs, notamment par MM. Gollignon (formules d'Hydraulique),

(') Ce vœu se trouve déjà réalisé dans divers Ouvrages ou Mémoires techniques, notamment dans le Traité de Nivellement de haute précision de M. Lallemand, qui fait partie de l'Encyclopédie des Travaux publics, dans la remarquable Étude sur le dessèchement des pays watringués, de M. Crépi u (Annales des Ponts et Chaussées, 6e série, t. \, p. ig5; 188 1), etc.

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Ghérj (formules de la résistance des matériaux), Massau, qui a énoncé le principe de l'anamorphose dans toute sa généralité, etc. Il est inutile de rappeler longuement les services rendus par les abaques construits par M. Lalanne, d'après son principe, pour le calcul des profils de terrassements, alors qu'étaient dressés les projets des lignes de notre grand réseau de chemins de fer.

Plus récemment, une application tout à fait remarquable des abaques, et d'abaques conçus d'après uu principe nouveau, a été faite au Service du Nivellement général de la France, par M. l'Ingénieur des Mines Lallemand, chargé de diriger les opérations de cet important service. Grâce à ces abaques, dits hexagonaux ('), sur lesquels nous aurons occasion de nous étendre au cours de ce Travail, M. Lallemand est parvenu à faire faire en quelques minutes une besogne qui se répète journellement et qui absorbait auparavant tout le temps de certains employés attelés au travail ingrat et rebutant des calculs de correction.

Cette application seule des abaques suffirait à fixer sur eux l'attention de tous les hommes techniques qui, dans chaque spécialité, n'ont pas moins d'avantages à en attendre.

Ayant eu, pour notre part, fréquemment occasion d'y recourir, nous avons aussi rencontré divers procédés susceptibles, en certains cas, de faire naître de sérieuses simplifications. Nous nous sommes donc trouvé tout naturellement conduit à faire une étude comparative des diverses méthodes connues, de façon à essayer d'en faire saillir les traits généraux, et nous avons été ainsi amené à reconnaître, entre des méthodes en apparence assez dissemblables et tirées par leurs auteurs de points de départ tout différents, un lien qui les fait rentrer toutes dans un cadre commun et unifor-

(') Sauf une Note très succincte présentée à l'Académie des Sciences {Comptes rendus, t. Cil, p. 816), M. Lallemand n'a pas encore livré au public l'exposé de sa Méthode, l'autographie qui en a été faite et que nous citons plus loin, dans la Note bibliographique, n'ayant pas été mise en vente. Néanmoins, ce savant ingénieur a bien voulu nous engager à donner dans le présent Ouvrage les principes encore inédits de sa Méthode. Nous tenons à lui en faire nos remerciements, et nous avons l'espoir que ce que nous disons ici de ses abaques hexagonaux donnera à nos lecteurs la curiosité de prendre connaissance, dès qu'elle paraîtra, de la publication détaillée qu'il compte leur consacrer. Il y a d'ailleurs lieu de noter que la façon dont nous présentons ces principes, qui dérive de notre méthode générale, diffère absolument de celle par laquelle leur auteur les a établis.

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mément dériver de certains principes à la vérité bien simples ci bien élémentaires.

C'est donc, à proprement parler, l'ensemble d'un petit corps de doctrine que nous avons constitué en des matières jusqu'ici assez éparses. Il serait plus exact de dire que ce n'est encore que l'ébauche d'un tel corps de doctrine. Mais, tel qu'il est, nous avons pensé qu'il y avait utilité à faire connaître le fruit de nos recherches, tant au point de vue didactique, pour mettre une certaine uniformité dans l'exposé des méthodes déjà connues et rendre par là leur assimilation plus aisée à ceux qui les abordent pour la première fois, qu'au point de vue pratique, pour faciliter l'extension et les applications ultérieures de ces méthodes.

Notre exposé se trouve naturellement complété par un certain nombre d'exemples. Nous avons généralement choisi ceux-ci moins pour leur importance propre qu'en raison des remarques particulières auxquelles ils pouvaient donner lieu sur l'application de la théorie.

Nous nous sommes néanmoins appliqué à les prendre dans la pratique courante, notamment dans celle du métier d'ingénieur ( *).

Nous tenons encore à présenter une observation sur un point de méthode de l'exposé qui va suivre. La théorie des points isoplèthes qu'on trouvera plus loin (Chap. IV) et pour laquelle nous employons un système spécial de coordonnées tangentielles, les coordonnées parallèles, pourrait évidemment être faite en coordonnées cartésiennes ordinaires. Il suffirait, pour cela, au lieu de représenter le point par une équation en coordonnées parallèles dont les coefficients sont fonctions d'un certain paramètre, de le représenter par ses deux coordonnées cartésiennes, fonctions de ce paramètre. Mais, outre que l'emploi de ces coordonnées parallèles est aussi simple que possible, puisque toutes les notions qu'il exige tiennent en quelques lignes (n° 28), il a l'avantage, en

(') Nous tenons aussi à dire que nous avons dû, par suite de nécessités typographiques, établir la plupart des abaques qui figurent dans cet Ouvrage à une échelle inférieure à celle qui serait adoptée dans la pratique en vue d'obtenir le degré d'approximation requis par les applications. Par la même occasion, nous adressons nos remerciements à M. le Conducteur des Ponts et Chaussées Gucrchc. pour le soin avec lequel il a dessiné les figures de cet Ouvrage.

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établissant une corrélation parfaite entre la théorie des points isoplèthes et celle des droites isoplèthes, de rattacher celle-là comme celle-ci au principe fondamental par où débute cette étude et qui se trouve ainsi la dominer tout entière. 11 n'en aurait pas été de même si la théorie des points isoplèthes avait été faite en coordonnées cartésiennes.

Nous ne supposons d'ailleurs, dans tout notre Travail, que l'emploi des coordonnées soit ponctuelles cartésiennes, soit tangentielles parallèles. Il est bien évident qu'on pourra, le cas échéant, en utiliser d'autres, et notamment celui des coordonnées polaires. Les principes de la méthode n'en seraient, pour cela, nullement modifiés.

Nous n'avons pas cru devoir nous arrêter spécialement au cas des équations à deux variables qui ne présente aucune notable particularité. Il suffît d'ailleurs, pour être ramené à ce cas, de supposer, dans le cas de trois variables, une de celles-ci remplacée par une constante.

Arrivé au terme de notre recherche, nous avons pensé qu'il y avait lieu de désigner, par une dénomination propre, le petit corps de doctrine spécial qu'elle avait mis en relief à nos yeux. Comme il s'agit, en somme, de la représentation graphique de la loi qui unit plusieurs quantités simultanément variables, loi dont ce qu'on appelle équation n' est que l'expression analytique, nous avons cru pouvoir adopter le terme de Homographie (yduoç, loi), inscrit en tête de cette étude.

Au point de vue philosophique, on peut faire un rapprochement entre la Nomographie et la Géométrie descriptive. L'un et l'autre de ces corps de doctrine ont pour but la mise en application de certains principes des Sciences mathématiques, sans l'intervention d'aucun autre principe étranger à ces Sciences, en vue de certains besoins absolument pratiques.

La Géométrie descriptive ramène au plan les faits de Y espace, la Nomographie ceux du nombre. L'une repose sur l'emploi de quelques propositions simples de Géométrie pure, l'autre sur quelques principes non moins élémentaires de Géométrie analytique.

Avril 1891.