ÉQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DE TROIS VARIABLES

Principe fondamental. Définition des isoplèthes.

1. Considérons les équations de trois courbes renfermant chacune un paramètre arbitraire

(L) Fi(*,.r, «)=o,

(Ii) F2(^,r,P)=o,

(Ii) F,(a?,^,Y) = o.

A chaque valeur du paramètre a correspond, en vertu de (l|), une courbe qui peut être désignée par cette valeur de a inscrite à coté de cette courbe. Pour rappeler que l'élément a a la même valeur tout le long d'une quelconque de ces courbes, celles-ci sont dites des isoplèthes (') pour l'élément a. Nous les désignerons ordinairement par la notation (a).

De même la variation de [3 dans (I2) et celle de y dans (13) fournissent des isoplèthes respectivement cotées au moyen des valeurs de p et de y.

(') Terme proposé par l'auteur allemand Vogler et adopté par M. Lalanne.

Si nous éliminons xely entre les équations (I, ),(l2) el (ï3 ), nous obtenons la relation à laquelle doit satisfaire un système de valeurs de a, [j, y, pour que les isoplètlies correspondantes concourent en un même point. Cette relation peut s'écrire

H est donc permis de dire que le Tableau graphique ou abaque, formé parles trois systèmes de courbes cotées, qui viennent d'être définis, constitue une représentation de l'équation (E). Un tel abaque est représenté schématiquement par la fi g. i .

Fis. '

La liaison entre les valeurs de a, (3, Y qu'établit cette équation se traduit sur l'abaque parle fait du croisement en un même point des courbes pourvues des cotes correspondantes. Par exemple, sur l'abaque de la/ig. i , pour o>= 3, (3 = 4-, on aurait y = 2.

Ici se placent deux remarques essentielles au point de vue de la construction des abaques.

[° Les accroissements successifs, généralement égaux, qu'on donnera à chaque paramètre pour engendrer un cours d'isoplèthes devront être assez petits pour que l'interpolation à vue qui se fera entre celles-ci atteigne le degré d'approximation voulu; il faudra, d'autre part, que le dessin soit fait à une échelle, telle que les isoplètlies répondant à ces valeurs successives du paramètre se dégagent nettement au regard.

2° On se rendra compte a priori du champ à l'intérieur duquel.

ÉQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DE TKOIS VARIABLES. I l

en pratique, rcsle comprise chacune des variables, afin de ne pas charger le Tableau de parties inutiles.

Outre donc la forme de l'équation à représenter, on devra connaître, dans chaque cas particulier, le degré d'approximation exigé et Y amplitude de la variation de chacune des quantités figurant dans l'équation.

L'abaque étant supposé satisfaire à la condition qui vient d'être énoucée, relativement au degré d'approximation obtenu par une interpolation visuelle, nous pourrons parler des courbes que l'œil intercale de lui-même entre celles qui sont effectivement tracées au même titre que de ces dernières.

Nous dirons, par suite, aussi bien pour les valeurs interpolées des variables que pour leurs valeurs cotées, que, si l'on se donne les valeurs de deux des variables a et [3, on a la valeur correspondante de y déterminée par l'équation (E), en lisant la cote de Visoplèthe (y) qui passe par le point de croisement des isoplèthes (a) et (p).

Méthode ordinaire.

2. Il est de toute évidence, étant donnée l'équation (E), qu'on peut choisir arbitrairement deux quelconques des trois premières équations, par exemple ([,) et (Io)î (I3) s'obtient alors en éliminant a et (3 entre ces équations et l'équation donnée (E). Toute la question se réduit, étant donnée cette dernière, à choisir judicieusement (T,) et (I2) pour que les courbes représentées par celles-ci. ainsi que celles données par l'équation (T3) qui s'en déduit, soient aussi simples que possible.

On est tout d'abord amené à donner à (\{ ) et ( F2) la forme la plus simple, en posant

L'équation (I3) devient, dans ce cas,

Cela revient à prendre deux des variables pour coordonnées courantes et la troisième comme paramètre arbitraire. C'est là le procédé qui se présente le plus naturellement à l'esprit et qui est

Je plus couramment appliqué. Ici les isoplèthes (a) sont des parallèles équidistantes à Taxe des y, les isoplèthes ((3) des parallèles équidistantes à l'axe des x. L'abaque se compose en somme des isoplèthes (y) tracées sur une feuille quadrillée (Jig. 2).

Fie. 2.

Ce mode de représentation (') étant applicable à toutes les équations à trois variables, il aurait été bien inutile de le faire découler d'un principe plus général, si celui-ci ne devait, dans certains cas, conduire, par une particularisation différente, à des abaques de construction plus simple.

Principe de l'anamorphose.

3. Prenons, par exemple, une équation de la forme (E«) /(*)My)+?(P)My)-Wy)=o.

Ici nous prendrons pour équations (1,) et (L)

(lY) * = /(«),

(IV) r=?(P).

(') Les applications connues en sont des plus nombreuses. Nous citerons, en particulier, pour le soin avec lequel ils ont été dressés, les excellents Tableaux graphiques sur les questions d'intérêts et de finances de M. Eugène Pereirc.