M'A "" BA "" AM

et, par suite,

RQ=SP.

49. Il est bien évident qu'on pourra, dans un très grand nombre de cas, obtenir par des procédés particuliers, en appliquant des propositions de Géométrie élémentaire, les abaques auxquels conduit la méthode des points doublement isoplèthes. Outre l'intérêt qu'il y a, au point de vue théorique, à faire découler d'un principe unique tous les abaques d'une même famille, on peut remarquer que la méthode en question a généralement l'avantage de conduire d'emblée, ainsi qu'on l'a vu au numéro précédent, à l'abaque le plus simple. Voici, à ce point de vue, un autre exemple qui est frappant.

Abaque des lentilles.

oO. Prenons la formule des lentilles dans le cas où les deux faces de la lentille plongent dans des milieux différents

où /et/' sont les distances focales, p et/?' les distances du centre de la lentille à deux points conjugués. Si nous posons

ce qui nous donne, pour les deux systèmes de points simplement isoplèthes, les points de division des axes, l'équation des points doublement isoplèthes est

On voit donc, d'après la formule (II) du n° 28, que, pour une même valeur de /?, on a des points distribués sur la droite joignant l'origine B au point de division p de l'axe A m, et, pour une même valeur de/?', des points distribués sur la droite joignanjt l'origine A

au point de division/?' de l'axe Bi? {fig* 36). Ce sont, par suite, ces droites issues respectivement de B et de A qui constituent les isoplèthes (/?) et (/?').

Si donc on connaît/?, / et/?' et qu'on veuille avoir/', on n'a qu'à lire la cote du point où B(^ est coupé par la droite joignant le

Fig. 36.

point/* de Âi/ au point de rencontre des radiantes/? et/?' issues de B et de A.

Dans le cas particulier de /==/', on retrouve l'abaque de M. Gariel, que celui-ci a obtenu par un procédé particulier basé sur l'emploi combiné d'une anamorphose et d'une transformation perspective (*). La marche ci-dessus indiquée est incontestablement plus directe et plus rationnelle.

51. Nous avons développé l'exemple précédent pour faire voir comment la construction de l'abaque de M. Gariel se rattache au principe des points doublement isoplèthes. Nous ferons remarquer maintenant que la formule des lentilles peut se mettre en abaque encore plus simplement. Il suffit d'un quadrillage, tel, par exemple, que celui qui est imprimé sur le papier à croquis qu'on trouve dans le commerce.

(*) Voir Fàyaro et Terrier, Calcul graphique, p. a 19.

Ayant choisi dans ce quadrillage des axes Ox et Oy (Jig- 37), on voit que la verticale correspondant à la valeur de/ et l'horizontale correspondant à la valeur de/' doivent se couper sur la droite

Fig. 37.

(f)^(pf

qui joint le point/? de Taxe O^ au point/?' de l'axe Oy. Cela tient tout simplement à ce que l'équation de cette droite est

L'abaque ainsi obtenu et celui de la Jig. 36 sont corrélatifs, selon le mode indiqué au n° 29. On peut remarquer, dans un intérêt purement théorique, que ce dernierabaque se rattache immédiatement aussi, si l'on veut, au principe des points doublement isoplèthes. Il suffît, pour cela, d'observer que l'équation

est représentable par les deux systèmes de points simplement isoplèthes

u-Jrv = ip' (jr = o, y = p'),

et le système de points doublement isoplèthes

«(I -/)-+- P(H-/)- 2/'= o ix^/,y=f),

90 CHAPITU TI.

Équations à cinq et à six Taiiables.

52. La méthode des points doublement isoplèthes, exposée au n" 4o pour le cas de quatre variables, peut évidemment s'étendre aux cas de cinq et de six variables par l'introduction de nouvelles variables dans la seconde et dans la troisième ligne du déterminant (£'") (n'' 4). On a ainsi, dans le cas de cinq variables, deux points doublement isoplèthes

«/i(«, o)-+-i;/,(a, 8)H-/,(a, o)=o, "?i(P» t)-hPOt(^y e)-+-tp,(?, e) = o,

et un point simplement isoplèthe

dans le cas de six variables, trois points doublement isoplèthes

Chaque point simplement isoplèthe donnant naissance à une courbe graduée, et chaque point doublement isoplèthe à un système double de courbes isoplèthes, les équations à cinq variables ici envisagées donneront naissance à des abaques constitués par deux systèmes doubles de courbes isoplèthes et une courbe graduée, les équations à six variables à des abaques constitués par trois systèmes doubles de courbes isoplèthes.

En général, les portions utiles de ces trois systèmes doubles d'isoplèthes S, S| et S2 se superposeront au moins partiellement, et la flgure ainsi obtenue présentera à l'œil un enchevêtrement inextricable. Pour obviera cet inconvénient, tout en laissant fixe un des systèmes S, faisons glisser les deux autres S| et S3 parallèlement à une direction arbitraire, l'un vers la droite de la longueur dt, l'autre vers la gauche de la longueur 0^3, de manière à les séparer complètement de S (Jig» 38). Dès lors, pour chaque lecture, le point /?j déterminé dans le système S'^ devra préalablement être reporté de la longueur d2 vers la droite, dans la direction du glissement, soit en p2y et le point p'^ déterminé dans le système S\

de d^ vers la droite, soit en/7|. Les points />< et/>2 sont, dès lors, alignés avec le point p déterrainé dans S. Il y a évidemment là une petite complication qiiMl vaudra mieux éviter chaque fois que

Fig. 38.

faire se pourra par la construction d'un abaque oii les parties utiles des trois systèmes doubles d'isoplèthes ne se pénétreront pas.

Isoplèthes tangentielles.

53. Nous ferons enfin remarquer que la méthode de correspondance corrélative que nous avons indiquée au n° 29 pour la transformation des abaques sur lesquels Tapplication des coordonnées ponctuelles donnerait trois cours de droites isoplèthes peut aussi bien être appliquée dans le cas de trois courbes isoplèthes quelconques. Cette transformation aura pour effet de substituer à des isoplèthes ponctuelles des isoplèthes tangentielles, c'est-à-dire que les isoplèthes, au lieu de se correspondre parle passage de trois d'entre elles, de systèmes différents, en un même point, se correspondront par la langence de trois d'entre elles, de systèmes différents, à une même droite. Une telle transformation, fort importante lorsqu'elle permet de substituer des points isoplèthes à des droites isoplèthes, serait sans intérêt pratique lorsqu'elle n'aurait pour effet que de remplacer certaines courbes par d'autres courbes. Elle peut cependant avoir des avantages lorsqu'on l'applique à des abaques dans lesquels deuic des systèmes d'isoplèlhes sur trois sont composés de droites, mais seulement lorsque les isoplèthes du troisième système, qui sont des courbes, sont plus simples sur le nouvel abaque que

92 CHAPITRE YI. — MÉTHODE bES POINTS DOUBLEMENT ISOPLÈTHES.

sur Pancien (^). Le nouvel abaque comprend alors deux courbes graduées et un système d'isoplèthes tangentielles. A cette dernière catégorie appartiennent, en particulier, les Tableaux graphiques de M. Willotte pour la mesure des surfaces des profils de terrassements (Ann. des Ponts et Chaussées, 1880, 2*sem.; p. 3o3). Nous ne faisons d^ailleurs cette remarque qu'à simple titre de curiosité. Il nous semble inutile d'insister davantage sur ce sujet.

(*) En particulier, on n'aurait aucun avantage à appliquer une telle transformation à l'abaque du mur de soutènement décrit au n*> 16, attendu que les cercles de celui-ci se transformeraient en hyperboles.