TT

dtf .dx dy dzj'

^ dy'^ dz'^ dsKdx^ dn^ di.

— Cas oà des presaions indé^mes ne produire la rupture.

:as sont ceux où par suite de la déforma s suivent la loi bydroslatique ; alors en is ne peuvent être amenées à se dépis puisqu'en leur donnant la mobilité du Qui mt en équilibre.

'es les formules (3) et (4), il faudra p( pressions tangentîelles P ' , Q ' , R ' et P , Q , R égales ; p étant leur valei , V, w devront satisfaire tes conditions :

du , du,

Tz+r,'

dv

"• Tz

dv

da ~ dz

DES SOLIDES De GRANDES DIMENSIONS.

en désignant par cp une fonction inconnue ; on en tire :

dydz dxdz

~ ' dydz "■" dxdy

d^v , rf*M?

dxdz

ainsi :

dUi dydz

On trouverait de même , .

dxdz dxdy

premières formules (9) donnent aussi :

d'il rf*cp

dxdydz dydz

— — — -= 0. Les trois

rficdy* da;Vy

ou :

dz*^dx^ '

d'cp d*œ dy'^dz' '

amsi :

d^tp

Les dérivées secondes de cp étant toutes nulles, on

a (p = a' X + 6 ' î/ + ^ ' ^ ^ — ^y ®*^ désignant par a, a', 6', c' des constantes; la pression p a donc une forme analogue; mais si a\ b\ c' ne sont pas nulles à la fois, cp sera, à un facteur constant près, la distance du point quelconque {x , y , z) à un plan fixe qu'on aurait pu prendre pour celui des xy, et dans ce cas ç se réduit à hz, h étant une constante ; les valeurs suivantes satisfont alors les équations (9) :

■■il

NOTE SUR L'ÉQUILIBRI

la: v=—ay w^—az, /)==5ji

ions ne sont pas les plus g lient donc en' leur ajoul ', «', w' , et il est clair dernière, devraient être ;

V, w par h', v' , w', et <

e ci-dessus - — = o, et ei dydz

est indépendant de x, et i ;s conditions seraient analo;

/+/■, v- = n'x-lz+r,

, étant des constantes; e uules (9), il faudra qu'on ;

lation que représentent ce sion de quatre autres, ainsi

— /' , w' ^ f" , mnTwent d« i ïf ^nx, w' = ô moniemtiit '' = 0, w' = — mx = — tz, te' ^ ly

Ainsi les solutions générales se composent des formules (10) ou (11) suivies d'un mouvement qui ne change rien à la situation relative des particules et peut être laissé de côté.

Pour abréger, nous désignerons par (A) la déformation que représentent les formules (11), et dans laquelle chaque particule se déplace vers l'origine, de façon que leur ensemble reste semblable à lui-même ;p est constante, et les équations (7) montrent que la force est nulle. Ce mouvement se produira donc dans un solide quand toute la surface extérieure est libre et qu'il lui est appliqué partout une même force normale p. Dans cerlÊk tains cas, il se réalisera de la même manière dans un solide et un fluide; supposons par exemple celui-ci placé dans un cône de révolution ayant son axe vertical, le sommet en bas ; dans la condensation produite par l'application de la pression p à la surface, chaque particule se déplacera vers le sommet proportionnellement à sa distance, car de cette façon la surface reste horizontale et le groupement moléculaire est partout identique; le fluide subirait donc la déformation (A) ; mais en le remplaçant par un solide, celui-ci la subirait également, car les déplacements le long des parois leur sont tangents, et les autres conditions sont satisfaites.

Pour nous rendre compte du mouvement représenté par les formules (10), nommons plans méridiens ceux qui passent par l'axe des z supposé vertical; la déforma-

tion est la même tout autour de 1 axe puisque - = -.

Cherchons d'abord celle d'un petit volume entourant un

point M (x, j/, z); soient a, /3, y, les coordonnées d'un

point voisin par rapport à l'origine M, et «', j3', y', ce

Archives, t. IV. — Juillet 1880. 2

iS MOTE SUR l'équilibre

qu'elles" deviennent : on aura «' ^ « -]- «' — déduira'de u en y remplaçant x, y, z par a; + ' 2-^y; on trouverait de même /3',-/; mais à ca symétrie du mouvement nous poserons ensnii plaçant ainsi le point M dans le plan des^x; geant les termes du 2° degré on aura :

= a + ft2a + hx-i ,

Ce mouvement relatif résulte de la succe deaic autres; dans le premier, les déplacemi -{-hxy, 0, — hxa, de sorte que le groupe enlii d'un même petit angle hx autour de la normal par M au plan méridien; dans le 2", les ments sont hzx, Az(3, Asy; le groupe éprouve aU formation (A) en restant semblable à lui-mêmt tation relative étant hz. Quant aui déplacée groupe même ou du point M, il sufSt aussi d poser dans le plan des zx :

Soit 0' un point quelconque pris sa OX ; décrivons

DIvS SOLIDEIS DE GRANDES DIMENSIONS. 19

circonférence de centre 0', de rayon 00'= c; plai-y le point M et soit (^ son angle polaire MO'X, et r islance MO ; on aura :

:(l-Hcos (f), 2=:csîn f, r'=i'4-2'=2c'{l+cos ç),

( = Ac' (i -f- cos ç) sin ç = — Ar' cos I (p — x-\

= — Ac^ (1 + COS !f) cos y = -â-Ar'sin Ty ~- J.

e polaire cp-

donc sur la circonférence dans le sens de la flèche. 1 p= — SftAs; la force est donc — 5fiA, ou verticale laut en bas.

'OHf concevoir on cas où cette déformation se réalise, ins tourner un cercle tel que le précédent autour de 3 des z; enlevons du tore ainsi décrit la moitié supérieure au plan des xy, et regardons l'inférieure comme une surface creuse, qu'on remplira tour à tour d'un fluide et d'un solide, sans pression à la surface, mais avec une force constante et verticale agissant sur la masse; les valeurs (10) de m, v, w donneront bien les déplacements du solide puisqu'ils s'effectuent le long des parois; les pressions seront les mêmes que dans le fluide; mats celui-ci en se condensant conservera une surface horizontale ; dans le solide au contraire, le déplacement étant nul en 0, la surface acquerra une légère courbure de forme paraboioïde, et par suite les déplacements dilTéreront de ceux du fluide.

NOTE SUR i/ËQUlLlBRE

omène consiitiie une propriété mais d'ailleurs ne peut en rien i mparaison pour ce qui suivra.

— Ruptures sans changement extérieure.

ns qu'un solide soumis à d'énor r) équilibre après avoir été p 'asé; dans ce nouvel état, les [ 3nt avoir des valeurs indéfinies igentielle ne peut dépasser ia I

giisseatent, nombre qu'on | it en comparaison des antres | 1) ont toujours lieu et l'on vern

que / étant la pression tange rmate od a :

/Y'— ntX')'+c;Z'— »X')'+(inZ'-

— î»X', ou Im (Y,— X,)-|-, elc, r de X; il en est de même des le , , Zj , parce que ce sont des [ ainsi on en pourra dire autant i que les pressions normales parai rès peu entre elles. Nous verrons ;s jusqu'à quel point cetle vali lydrostatique, et quelle analogii nents moléculaires d'un solide t

SOLIDES DE GRANDES DIMENSIONS. âl

is d'abord le cas simple oii le corps est placé j cylindrique vertical, une pression k agisirrace libre supérieure. Si c'est un fluide el B la pesanteur, il prendra partout la près- ■ concevoir les déplacements moléculaires,

partagé en 1res petits éléments; le groupe ;onsliluani l'un d'eux devra se condenseï

tous sens, en restant semblable à kii-méme:

le temps tous descendront, de façon à com-

produits par la condensation, ipiace le fluide par on solide à l'état naturel, *e les parois, en prenant pour origine ur ase, l'axe des z de bas en haut, \c. déplaculaire sera purement vertical ; on aura :

1^10 = — -—-z, a ou 3i^

j conditions sont ainsi satisfaites. Comme )ression sur tout plan vertical est normale;

la pression langentielle sur toat plan incliné

alement, d'après la formule (6), - (R — Pj

i pression k sera suffisante, et certainemenl

ra - & > X, il y aura rupture ou écrasement

]ue les déplacements moléculaires ne seroni lent verticaun, ou représentés par les valeurs

de u, V, w; mais après une rupture par

des particules se détacheront d'une couche po

comme des coins dans la cuuche inférieure;

ment sera ainsi assez analogue à ceux du fluii

La pression normale sur un plan horizonta

stamment k pour valeur moyenne; c'est néc(

l'équilibre de la portion de masse située au

plan ; quant à la pression P sur un plan vertici

cément ci-dessus aura pour effet de l'augmei

ce que soit inférieur a a.

Le phénomène précédent est nécessairemen et il arrivera un instant où des fragments r( seront entourés de portions tout à fait écras< partout la pression uniforme k; les fragment! ront alors dans le cas de l'expérience (A) et ne puurrum plus être brisés, quelle que soit la pression.

La valeur de > a été déterminée avec une grande précision pour quelques substances; on a trouvé pour le calcaire 121 kil. par centimètre carré; pour la brique 30; pour le fer 3200 à 3400 (l'expérience se réalisant lors de la rupture des boulons). Quant à la résistance à l'écrasement, les expériences n'ont pas été faites dans les conditions précédentes, mais dans des cas où le solide n'étant pas appuyé latéralement il y avait changement de forme extérieure.

Examinons maintenant le cas où le solide est une sphère homogène dont toutes les parties s'attirent suivant la loi Newtonienne; la surface est libre, sans pression extérieure, et aucune autre force n'agit. Prenons l'origine au centre ; soient c le rayon, p la distance du centre au point quelconque M (x, y, z); l'attraction lui est proportion-

tre représentée par hp , h étant une con- Ta donc subslittier dans les équations (7)

-kx, Y = — Ay, Z= — Aï.

m d'abord le i^olide remplacé par nn Qiitdd té, les équations (7) donneraient

ivoii- p = à la .siirface pour p:= c.

nt le flnide d'abord homogène, puis soumis force, chaque élément de volume, comme précédent, se condenserait sur lui-même,

nae temps se tasseraient vers le centre où

I serait la plus grande.

3tait un fluide solidifié, il aurait les mêmes

iléculaires, tes mômes pressions. Supposons

'il soit d'abord à l'état naturel, puis soumis force ; on satisfera alors aux équations (8)

islante arbitraire; le déplacement est ainsi vant le rayon et le même en tous sens; les tit avoir la même symétrie, il suffit de chérir en plaçant le point M sur l'axe des a;.

= z = o après les différenciations on trou-

Q = R=a(t(g/i^7a;'), P=a[i('5/'— Ha;').

NOTE SUR l'ÉQ luler à la siirfa I remplaçant x f