V.=P'-hi-g, Z.=H

'S P , etc., dont tous les termes sont néga finies comme il suit :

^du dv dw\ , f^du dv^ [d^^Ty-^^Tz)' -^^^Kry^d^,

jrs donnent lieu aus remarques suivantes :

lésigne par [i une constante positive, par ii

instante représentant la pression uniforme

îl. La face (o est supposée avant la défor

i les situations indiquées, après quoi elle s

une nouvelle face u' autrement placée; mai

etc., représentent les pressions exercées d

lutre de u', de sorte que X, , etc., sor

à l'unité de surface non déformée; leséqua

ibsistent dans cette hypothèse, en détînissar

it au degré d'exactitude, supposons que 1

le deux particules se change en r (1 + e); 1

néaire e esl très petite tant que les limites d

le sont pas atteintes; en conséquence, on n*

s erreur sensible ; en outre, x ei x' étant dt

s de deux molécules voisines, x' — x i

x' — X -\- u' — M qu'on développe par I

ylor, mais on néglige les termes du deuxièni

me - — (x' — x) , vis-a-vis de x' — x : e

= -, leur rapport est — — ; or x —

10 NOTK SUK l/ÉQUlLlBRÈ

est de l'ordre de grandeur des distances moléculaires^ et p est le rayon de courbure d'une ligne ayant x pour abscisse et u pour ordonnée : si celle-ci représentait la déviation d'une lige mince, ce serait le rayon de la courbé qu'elle forme; cette nouvelle erreur est donc encore plus faible.

3° Pour que le solide soit en équilibre, il faut que u , V , w satisfassent les équations (2) en tout point intérieur; quant à la surface limitant le solide, si une portion est fixe, il faut qu'on ait w = v = «; = o; si elle est libre, avec une pression extérieure et normale A, il faut que ses composantes soient égales aux valeurs (1) de X' , Y' , Z'; si une portion est simplement appuyée contre une paroi fixe, il faut que la projection de l'écart moléculaire sur la normale à la paroi soit nulle, et que la pression donnée par les formules (1) soit perpendiculaire à la paroi. L'ensemble de ces conditions détermine complètement les pressions.

I IL — Conséquences générales de ce qui précède.

1® Supposons le corps de nature quelconque. Il arrive * fréquemment qu'en un point la pression dans les directions principales est partout normale, c'est-à-dire qu'on a :

Xi = p, Yj = 9, Z, = r,

les autres quantités X,, etc., étant nulles. Les équations (1) se réduisent alors à :

(5) X'=-p/, T=qm, T=rn.^

Si en outre p = q ^=zr, il est clair que sur toute face la pression est normale et constante ; si l'on a seulement p =3s ç, on en pourra dire autant des faces passant par Taxe des z, ou pour lesquelles n = o, parce qu'alors X'=/p, Y'=tnp, Z'=o = «p.

Dans tous les cas, quoique les pressions soient des groupes de forces, on peut les transformer comme une force unique et en particulier décomposer celle-ci en une pression f suivant la normale, et une pression tangentielle f; la direction de f^ ayant pour cosinus /, m, n, on aura à la fois :

/'= /X' + w Y' + nZ', r+r = X'« + r» + Z'S el en remarquant que /* + w* + ^^ = ' •

ou :

r = {q — r)* m« w«+ (r — p)* »' P + {p — qyPmK

Cherchons pour quelle direction /"est maximum; supposons pour cela :

de la sorte flf et ^' sont positives et Ton a :

f^ = g^t*{l — P) + g'^n^(l — n^)+igg'Pn^.

Si m^ n'est pas nul, /* -f- w* <1, /* ou «* est infé-

rieur à - ; si par exemple /*<!-, augmentons un peu

P en diminuant d'autant m*; alors /' (1 — /*) augmente

iâ NOTb: SUR l'équilibre

de même que /^ ; pour que ceile-ci soit donc que m = o, on f = (p — r)' / comme i' -f-n' = 1, il faudra encore su

= â. et :

Ainsi la pression tangenlielle maxima et rence de la plus grande et de la plas peti principales, et la normale est bissectrice de correspondent.

.Pour toute substance, il existe une cert résistance au glissement; c'est un nombi mes par mètre carré, tel que les molécu exercer une pression tangenlielle supériei

= r et les équations (2) se réduise

dx 'du ' dz

qui expriment la loi hydrostatique.

2" Supposons maintenant qu'il s'agiss l'état naturel : la pression intérieure sup a été désignée par ^' : on ne sait pas à ji négligeable, ou s'il n'existe point une pr de l'élber dont on devrait tenir compte; e ne pouvant être augmentée ou supprimée, sion atmosphérique, resterait inaperçue è mènes ordinaires; l'expérience suivanlt question.

Supposons lin cylindre homogène, ayant son ase ver tical, sa base inférieure circulaire reposant sur un plai fixe : une pression uniforme k est appliquée à la bas supérieure : la surface convexe est libre. On observ alors une dilatation linéaire a dans )e sens du rayon, un contraction b dans le sens vertical. En prenant l'axe pou celui des z, l'origine au bas^ cette déformation est ain: exprimée :

« = ax, c == ai/, w = — bz;

tes formules (3) et (4) donnent :

X,=Y,=|i'(l4-o)+|i(fr— 4a) , Z,=ji'(l— 6)+(i(;)é— 2a]

les autres pressions X,, etc., sont nulles; l'action de I pesanteur étant négligeable, on aX^Y — 2=0. ( les équations (â) sont satisfaites. Ainsi, suivant les Iroi directions principales, les pressions sont normales et leu valeur constante,' et comme X, = Y,, la pression su tout plan vertical sera normale et égale à X, ; un élémer u de la surface convexe a subi une contraction b en bau teur, une dilatation a en largeur et s'est ainsi changé e w' = w(l 4-o)(l — 6) ou » (1 -f-o — b); la pressio extérieure étant ^' et agissant sur la surface u' do reproduire la pression X, o>; par suite :

e que f* est négligeable.

1 n'y a donc pas de pression étbérée agissant sur I(

is pondérables; quant à la pression atmc effets peuvent Être compris dans les forn; mation ; en conséquence, la pression ini regardée comme nulle et les termes qui dans les formules (3) sont censés su| ut ce qui suivra; substituant alors ces formules (2), elles prendront la forme :

H d. /du 1^ rfj^ dw\

^'^ dxKdx'^'dy^Jz)''

(/* p , „ d. rf u , dv dw\