IMPRIMERIE DEQUE3NE-MA5QUILLIER & FILS

SUR LES

GÉOMÉTRIKS NON EUCLIDIENNES

1. Dans le discours que nous avons prononcé à rassemblée générale du 30 octobre 1904, nous avons indiqué comment on peut construire, dans notre espace et d'une infinité de manières, une géométrie non euclidienne de paramètre donné. Nous nous proposons, dans cette note, de donner quelques applications, d'établir des formules et de construire des épures.

Ce n'est pas en suivant les exposés classiques des géométries nouvelles que nous pourrons atteindre notre but ; les constructions des figures y sont bien indiquées, mais si nous les appliquons en nous servant de nos règles et de nos compas, nous obtenons toujours des figures euclidiennes. Pour représenter par le trait une géométrie de paramètre donné, nous devrions disposer d'instruments qui se déformeraient en obéissant à l'égalité qui caractérise cette géométrie. Or", nous ne disposons que d'instruments euclidiens ; nous ne pouvons donc construire les figures d'une géométrie d'un paramètre donné k, qu'en étudiant les propriétés euclidiennes de cette géométrie ou bien en rapportant les figures à un système d'axes euclidiens.

Les non euclidiens nous objecteront, sans doute, qu'il n'est pas démontré que nos instruments ne satisfont pas à une égalité de paramètre K. Il serait aisé de les satisfaire en résolvant le problème suivant : « Construire une géométrie de paramètre fc au moyen d'instruments qui satisfont à une égalité de paramètre X». Ce problème pourrait être résolu, si l'on connaissait le paramètre K. Or, les non euclidiens avouent eux-mêmes que ce para-

mètre est tellement grand que, dans les limites des observations, les figures sont les mêmes que si K était infini. Il est donc inutile et impossible d'introduire ce paramètre mystérieux, et nous pouvons considérer nos instruments comme euclidiens.