CHAPITRE PREMIER

Géométrie plane.

§ 1. — GÉOMÉTRIE RIEMANIENNE.

2. Projection stéréo graphique. La géométrie plane doit être identique à la géométrie ordinaire de la sphère, où les arcs de grands cercles sont considérés comme des droites, car ces deux géométries reposent sur les mêmes axiomes. Par une projection stéréographique, nous obtiendrons une géométrie riemannienne dans un plan eucliden. C'est cette géométrie que nous allons construire ; c'est un cas particulier de la géométrie de l'espace, car nous verrons plus loin que tout plan riemannien peut être amené dans une position où il devient identique à un plan euclidien.

Soit (fig. 1) une sphère de rayon k;k est le paramètre de la

géométrie que nous considérons.

Le plan de projection est le plan des axes rectangulaires X, et a:, ; le centre de projection stéréo graphique est le point P de la sphère situé sur le prolongement de l'axe 0:x:° perpendiculaire aux axes des x^ et des x^.

A tout point A de la sphère corres-

{fig- i)

pond une projection A'. Les figures du plan x^ x^ sont dites égales quand elles sont les projections de deux figures de la sphère qui satisfont à Tégalité euclidienne. Il résulte de là que les longueurs, les angles et les surfaces des figures planes, sont les longueurs, les angles et les surfaces des figures correspondantes de la sphère.

(fig- 2)

Nous supposerons évidemment que le plan des x^ x^ soit le plan du dessin, comme nous l'avons représenté figure 2. Le point de vue de la perspective, ou centre de la projection stéréographique, est le point de la sphère situé devant le plan du dessin et qui se projette orthogonalement au centre de la sphère. Le plan des x^ x^ coupe la sphère suivant une circonférence qui se confond avec sa projection stéréographique; la surface intérieure de ce cercle est l'image en creux de la demisphère située derrière le plan de dessin ; la partie extérieure est l'image de l'autre demi sphère; les points infiniment voisins du centre P de projection sont projetés à l'infini. La circonférence de rayon k qui se projette stéréographiquement sur elle-même, est une première droite riemannienne. Nous obtenons immédiatement d'autres droites riemaniennes en menant des droites euclidiennes par le centre ; car si par l'une de ces droites, nous menons un plan perpendiculaire au plan des x^ x^, ce plan détermine un grand cercle de la sphère passant par le point de vue P ; les lignes qui projettent la circonférence de ce grand cercle se trouvent dans le plan, et la projection stéréographique de cette circonférence se confond avec la trace du plan sur le tableau. Le point Xo, diamétralement opposé au point de vue, se confond en projection avec le centre de la sphère ; les trois droites riemanniennes Xo x^, x^ x^y x^ x^^ forment un triangle triréctangle ; en prolongeant ces trois droites, on décompose le plan en huit triangles égaux au point de vue riemannien ; quatre de ces triangles forment la surface du cercle de rayon fc ; les quatre autres forment la surface extérieure à ce cercle et ont un sommet commun qui se transporte à Finfîni euclidien ; au point de vue de la géométrie riemannienne, ce point se trouve à

une distance fc t: du point et à une distance — fc tt de la droite

Les propriétés de la projection stéréographique sont bien connues ; nous allons cependant les démontrer afin de pouvoir faire quelques remarques qui nous seront utiles dans ce qui va suivre.

3. Représentation conforme, — Théorème, — Aux limites relatives, les figures infiniment petites de la sphère sont sem-

blables à leurs projections stéréographiques ; le rapport de similitude est (flg. 1) :