OA

On en déduit le point A' et par conséquent le point A. Il y a deux solutions, mais elles peuvent se réduire à une seule ou devenir imaginaires.

39. Utilisation du centre euclidien. — Le centre riemannien de n masses est donné par Téquation

M g" '^ 1 ma.

En prenant le carré et en divisant par le carré du paramètre, on obtient l'équation

un x^ A; Af

M = 2 m, m cos

cette équation détermine la masse résultante. Le centre euclidien des masses est donné par l'équation

g^ 2m = Ima; on a donc

La construction ordinaire du centre euclidien peut être exécutée en perspective ; le centre riemannien est donné par une quatrième proportionnelle dans l'espace, construction qui s'exécute également en perspective.

40. Applications. — La composition des masses conduit assez rapidement à certains théorèmes de la géométrie rieman-

nienne ou de la géométrie sphériquc.

Attribuons des masses m, zi, p, aux sommets A, B, C (fig. 15) d'un triangle riemannien. On trouve trois droites qui passent par le centre de ces masses en joignant l'une des masses au centre des deux autres.

Chacune de ces droites divise un côté en deux segments ; le rapport des sinus des angles mesurés par segments s'exprime par un rapport de deux masses ; on reconnaît immédiatement que le produit des trois rapports est égal à un. Cette propriété caractérise un système de trois droites joignant les sommets d'un triangle à un même point, car si elle est satisfaite, on peut trouver les rapports des masses à composer ; si l'on donne le point de concours, on décompose une masse quelconque appliquée en ce point.

Considérons une masse n en B, une masse — p en C, et deux niasses + m et — m en A. Les masses du point A forment un système nul ; les masses B et C se composent en une masse appliquée au point G conjugué harmonique du point D obtenu précédemment. Ce centre G se trouve aussi sur la droite E F, car E est le centre des masses — p et — m, F est le centre des masses n et m, et le centre des quatre masses est G. On en déduit la condition qui caractérise les segments déterminés par une sécante sur les côtés d'un triangle.

On attribue des masses aux sommets d'un quadrilatère riemannien. En groupant les points deux par deux, on trouvje trois droites qui passent par le contre des masses ; en groupant les points par trois et un, on trouve quatre autres droites qui passent par le même point.

411;.. OfntpoiUtion des segments. Deux points A et B des iuar5i>tft> 711. et H déterminent un segment de masse m n qui est repiHftïifttté par :

L«* moment de ce segment est le moment des vecteursmasj^e» des deux extrémités ; le moment d'un système de sefçments t^îst la somme des moments de chacun d'eux. Deux systèmes de segments sont équivalents quand ils ont même moment Ia\ composition ou la décomposition des segments ct^nniste *\ remplacer un système de segments par un autre tHiuîvalent.

ho moment d'un segment autour d'un centre situé dans le plan H'oblîont on abaissant du centre une perpendiculaire rlouumuitMUio qui est le bras de levier; le moment est le produit do la masse par le sinus du segment et le sinus du bras do h^vlor. La somme des moments des segments autour d'un point qu(^Io()n(iuo ne change pas quand on remplace le système ôqui va Ion t. Pour démontrer ce théorème, multiplions le moment voolorlol du système par la coordonnée vectorielle^ du centre dos nionu^Us ; on obtient :

c }i m n M a b = 1 m n (c âlS).

Lo piMMhih do tmis vecteurs est le volume du parallélipipède cnii^trult sur oos trois vecteui-s; en prenant pour base le paralh'«loHrnMnno construit sur les coordonnées des extrémités du Mt^Hinont ol on (hVsjgnant le bras de levier par p, on a :

'^ m H M a h - :i m n k sin -^ k* sin — r— •

Il fnilt ôvhlonnnont donner au produit de sinus le signe que Vnu doll doniH»r au volume du parallélipipède; on donnera le mI^ho pliiw <|'***'*^' '*^ iH>lation de C A en C B s'effectue dans le MOffM <lll MioiivtMUont «les aiguilles d'une montre, et le sig^ne MJMliMHJiinw h» oas oonUaiix^. Loi-squ'on compose ou décompose j^M M(^MMionlM, lo prtMuior membi^ de l'équation précédente ne

change pas, car les facteurs restent les mêmes ; le second membre ne change pas non plus; cela démontre le théorème des moments autour d'un centre.

Prenons le moment des vecteurs-masses de deux systèmes de points ; nous obtenons :

Mlmalnh^lmnMab.

Le second membre de cette équation est le moment d'un système de segments qui est le produit des deux systèmes de masses. Il résulte de la valeur du premier membre que le produit de deux systèmes de masses reste équivalent à luimême quand on compose ou décompose les systèmes de masses qui sont les facteurs du produit.

On peut multiplier les vecteurs-masses de trois systèmes de points ou le moment d'un système de segments par le vecteurmasse d'un système de points. On obtient comme produit une quantité algébrique qui peut s'interpréter soit comme une somme de produits de volumes de parallélipipèdes euclidiens multipliés par des masses, soit comme une somme de produits de sinus par des masses. Ce produit ne change pas (|uand on compose ou décompose les facteurs. Le théorème des moments des segments autour d'un centre est un cas particulier de ce théorème ; il suffît, pour l'obtenir, de multiplier le système de segments par le centre des moments en donnant à ce dernier une masse égale à l'inverse du paramètre.

42. Transformation d'un segment. — On peut faire subir à un segment toutes les transformations qui ne changent pas son moment. Un segment peut être transporté sur sa propre droite prolongée. On peut réduire la masse du premier point à Tunité en donnant au second une masse égale à la masse du segment. Soit le segment A B (fig. 16) de masse m n ; soit p ^extrémité du vecteur-masse du point B supposé de masse m n. Menons par p une parallèle dans l'espace euclidien au rayon A ; on peut prendre comme vecteur-masse du second point, la coordonnée d'un point quelconque p' de cette parallèle, car le moment des deux vecteurs ne change pas quand on

ajoute au second un vecteur parallèle au premier. Si la droite ? ?' coupe la droite du segment riemannien en un point B', oi peut remplacer le segment donné par le segment A B' de massi

Fig. 16.

<6^ale à l'unité. Il est souvent avantageux de prendre Textrc miU\ du vecteur-masse du second point sur la tangente eucli du>iino au premier point du segment riemannien. On peut din iilovH que le segment riemannien est représenté complètemcn par un segment tangentiel de l'espace euclidien, car le monieii iin Hegmçnt donné est identique au moment du segment tan p;itniUd autour du centre de la sphère idéale. La longueur du mtuiment tangentiel euclidien est le sinus du segment ramem ii Timlté de masse.

43. Constructions ' de la résultante. — Le moment d*un seg-ment peut être considéré comme le vecteur-masse d'un point ; ce point est le pôle absolu de la droite du segment. Au système de segmients, on peut faire correspondre un système de masses réciproques. D'après les définitions de la composition des masses et des segments, la résultante deé masses réciproques est la réciproque de la résultante unique des segments. C'est une première manière de composer les segments; mais il convient de construire la résultante) d'un système de segments sans utiliser les pôles absolus de ces segments.

Le problème sera résolu si nous savons construire la résultante de deux segments. Soit (flg. 16) A le point d'intersection des segments prolongés ; nous pouvons y transporter les deux segments et réduire la masse de leur premier point A à l'unité. Soient B et C les extrémités des deux nouveaux segments à composer. Composons les masses de ces deux points ; soient D leur centre et p la masse résultante. Je dis que le segment résultant est :

p AD.

En effet, le système de segments peut être considéré comme le produit du point A de masse un par le système des deux masses Bet C; ce produit reste équivalent à lui-même quand on compose les deux masses.

On arrive à une construction très élégante en représentant les deux segments par leurs segments tangentiels euclidiens. Je dis que la résultante de ces segments euclidiens est le segment tangentiel de la résultante cherchée. En effet, le moment de la résultante euclidienne autour du centre de la sphère idéale est la somme des moments des segments composants ; la résultante euclidienne représente donc un segment équivalent au système des segments donnés.

Dans l'espace euclidien, on obtiendrait la résultante des segments tangentiels, en construisant un parallélogramme sur ces segments. En perspective, ce parallélogramme devient un quadrilatère dont les côtés opposés se coupent sur la droite de

rinflni du plan tangent au point A de la sphère idéale. On sait ' que cette droite de Tinfini est Taxe radical euclidien commun à tous les cercles riemanniens qui ont pour centre le point A et son opposé ; c'est la perpendiculaire élevée au milieu de la droite euclidienne qui joint le point A à son opposé.

Soient P et Q les longueurs des segments riemanniens à composer, dans l'hypothèse où les masses sont réduites à l'unité ; soit R la longueur du segment résultant dans la même hypothèse. Nous avons dit que dans l'espace euclidien, les longueurs des segments tangentiels sont les sinus des segments riemanniens correspondants, supposés de masse égale à l'unité. On a donc, dans le parallélogramme construit sur les segments tangentiels,

sin — sin -^^ sm

rh rC fC \

sin (Q, R) sin (R, P) sin (P, Q)

On peut aussi obtenir immédiatement cette relation en composant les masses réciproques. Les masses réciproques sont proportionnelles aux sinus des segments ; les distances des pôles mesurent les angles des segments. Il suffit d'appliquer la relation trouvée au n° 38.

44. Homographie, réciprocité, involution. — La méthode que nous avons employée pour établir l'homographie et la réciprocité des masses et des produits de masses s'applique sans aucune modiflcation aux géomé tries non euclidiennes,, quel que soit le nombre de dimensions. On transforme le vecteur-masse par une fonction linéaire ; les systèmes équivalents de masses ou de produits de masses sont encore équivalents après la transformation. On obtient un système réciproque d'un système donné en prenant les moments des vecteurs transformés par une homographie.

On peut déterminer l'homographie dans un plan riemannien, en se donnant trois masses et leurs correspondantes, non en ligne droite, car la fonction linéaire est déterminée quand on donne les correspondants de trois vecteurs.

On peut aussi déterminer l'homographie, en se donnant un quadrilatère A'B C D et son correspondant A'B'C D' et les niasses

des points D et D'. En effet, nous pouvons décomposer la masse D en trois masses appliquées aux points A, B, C ; après la transformation, la masse D' sera aussi décomposée en trois masses appliquées en A', B', C On peut trouver ces trois masses et Ton est ramené au cas précédent.

Les droites doubles de la fonction linéaire dépendent d*une équation en g du troisième degré. Si les racines sont réelles, on a, dans l'homographie du plan riemannien, trois points doubles et trois droites doubles. Si deux racines sont imaginaires, on a un point double et une droite double contenant deux points doubles imaginaires.

Si deux racines sont égales, deux cas peuvent se présenter. Il peut se faire que les droites doubles correspondantes soient indéterminées dans un plan. Dans le plan riemannien, on a un point double et une droite formée de points doubles ; c'est le cas de Fhomologie. Il peut se faire aussi que les droites doubles qui correspondent aux racines égales, viennent coïncider ; on a alors, dans le plan riemannien, un point double et une droite double qui ne contient qu'un point double ou analytiquement deux points doubles superposés. .

Si les trois racines sont égales, deux cas peuvent se présenter. Il peut se faire que les droites doubles soient ndéterminées ; dans Tespace euclidien, la transformation est une similitude; dans le plan riemannien, les masses sont multipliées par la racine unique g. Il peut se faire aussi que les trois droites doubles viennent coïncider ; on a alors un seul point double sur une droite double. On a alors pour un vecteur quelconque

posons

on déduit là qu'aux vecteurs

on fait correspondre :

Le vecteur a détermine le point double ; les vecteurs a et p déterminent la droite double ; le vecteur y doit être le vecteurmasse d'un point qui n'est pas sur la droite double.

La réciprocité est définie par le symbole

c'est-à-dire qu'on l'obtient par deux transformations successives, une homographie et la polarité absolue. Nous avons démontré pour l'espace à n dimensions (cours déjà cité, p. 460) la formule

M 9 = rrio Ç> M;

dans cette formule, ç' est la conjuguée de «, rUo est le rapport entre un volume et le volume transformé par <f. Il résulte de là que la polarité absolue peut précéder l'homographie, mais pour obtenir le même résultat, la fonction cp doit être remplacée par l'inverse de sa conjuguée, cette inverse étant multipliée par le coefficient nio.

En effectuant successivement deux fois la même transformation réciproque, on obtient une homographie définie par

M 9 M cp = rUo ?j M* (jp = mo (± 9 <p)

Lorsque l'espace que l'on étudie a un nombre impair de dimensions, on doit prendre le signe inférieur. Nous avons alors démontré que les deux involutions possibles sont le système focal et la polarité des quadriques.

Dans le cas qui nous occupe, on obtient une involution si

On en déduit encore :

mais le cas d'une fonction égale et contraire à sa conjuguée doit être écarté, car m^ est nul. La seule involutîon possible est donc fournie par une fonction auto-conjuguée. C'est la polarité par rapport à une conique.

mais à une masse représentée par e, on fait correspondre un segment de la polaire dont le moment est © e L'involution est parfaite lorsque l'on a

TUo =- X = 1.

On retombe sur la polarité absolue en donnant à o une valeur égale à l'unité. Dans les espaces euclidiens, la polarité absolue est la polarité déduite du cercle, sphère ou hypersphère de rayon i.

L'homographie est la transformation analytique la plus générale qui conserve les droites riemanniennes. En effet, toute transformation de cette espèce définit une transformation des rayons qui émanent du centre de la sphère idéale; en faisant une coupe par un plan, on obtient une transformation dans un plan euclidien qui conserve les droites euclidiennes ; la transformation homographique est la seule qui possède cette propriété.

La réciprocité définie par une fonction linéaire est aussi la seule qui fait correspondre une droite à un point et un point à une droite. On ramène la question au cas du plan euclidien par le raisonnement précédent.

45. Moments d'inertie riemanniens. — Le moment d'inertie d'un système de masses par rapport à une droite est la somme des produits des masses par les carrés de leurs sinus-distances

à Taxe. Soient : m Tune des masses, a la coordonnée vectorielle non homogène de cette masse, s la coordonnée homogène de la droite ; le moment d'inertie I est

L'enveloppe des droites qui correspondent à un même moment d'inertie T a pour équation, en coordonnées tangentielles,

/g* -=^ lm{e a)\ Posons ;

cette équation devient

En demandant à I toutes les valeurs, on obtient une famille de coniques homofocales.

46. Centres et axes principaux absolus. — Toutes ces coniques ont mêmes centres et mêmes axes ; ce sont les centres et axes principaux d'inertie absolus. En prenant ces axes pour côtés du triangle de référence, on a ;