g.U + g^ti + g, ti
D'autre part, on a ;
lâ=-t, a, + t, a, + t, a, et l'on en déduit :
t^ e = 1 m (a^ a,) f , t^ En identifiant les deux valeurs, on a :
g*, ^= 1 m a] etc.
1 m a^ a, =^ 1 m a^ ao = 1 m tto a^ ==
47. Axes principaux relatifs à un centre. — Prenons un point quelconque y© du plan comme sommet du triangle de référence. Exprimons que les droites yo y, et y© y. sont des conjuguées orthogonales par rapport aux coniques homofocales considérées précédemment. Nous pouvons prendre, comme coordonnées de ces deux droites, les vecteurs unités dirigés suivant les axes Oy, et Oy^ ; on doit avoir
Or, on a
d'où
Les axes menés suivant les conjuguées orthogonales possèdent une propriété analogue aux axes principaux euclidiens ; nous les appellerons aussi les axes principaux du point considéré.
48. Ellipse d'inertie. — Portons, à partir d'un point du plan et sur toutes les droites qui passent par ce point, des segments dont les tangentes soient proportionnelles à l'inverse des racines carrées des moments d'inertie relatifs à ces droites ; le lieu des extrémités de ces segments est une ellipse dont les axes sont les axes principaux d'inertie du point considéré.
Soit yo le point du plan ; prenons les axes principaux, d'inertie de ce point comme côtés du triangle de référence ; soient e, y^ y,, y. les coordonnées de l'extrémité d'un rayon p mené comme il a été dit par le point yo. Nous prendrons comme coordonnées tangentielles de ce rayon, les projections du vecteur
e = M Uo e, qui sont
^ 76 — on trouvé
7â-=— a, y, + a.y,; la formule quL donne I devient
I {y: + yl)- y] lmal-\-yllmal Or, on a
yl + yl - fc* - yl = fc* sin* -L,
yà = fc* cos* -'— L'équation précédente peut s'écrire
yj/tang' ~- = yj 2 ma; + yj I ma;.
Nous avons posé
le lieu des extrémités des rayons p est une ellipse rapportée à son centre et à ses axes, si la constante C ne dépasse pas une certaine limite.
. 49. Vitesse et accélération. — La vitesse d'un point en géométrie riemannienne est la dérivée du chemin décrit par rapport au temps ; c'est une grandeur dirigée suivant une droite riemannienne. On peut représenter cette grandeur par un segment euclidien tangentiel dont le vecteur est
— de
dt
mais on peut aussi la représenter par un segment riemannien. Il y a de grands avantages à prendre un segment de même
moment que le segment tangentiel, de sorte que la grandeur de la vitesse sera le sinus du segment. Lorsque le point est animé de plusieurs mouvements simultanés, la vitesse résultante s'obtient en composant les segments tangentiels euclidiens ; elle s'obtient donc aussi en composant les segments riemanniens par la règle de la composition des segments de la géométrie nouvelle.
Composons la vitesse v' à l'instant t + dt avec la vitesse v^ à l'instant t changée de sens ; divisons la résultante par dt et prenons la limite, nous obtiendrons l'accélération. Le vecteur tangentiel J qui représente l'accélération est donné d'après cette définition, par l'équation
--__rf d'7
M e J — ^ M eK> ^ M e , , •
On déduit de là que le vecteur,/ est la projection orthogonale de l'accélération euclidienne sur le plan tangent à la sphère idéale ; car d'après l'équation précédente, la dilTérence de ces deux vecteurs doit être parallèle au rayon de la sphère.
On peut aussi définir la déviation riemannienne et en déduire l'accélération ; on arrive au môme résultat, car la déviation riemannienne élémentaire est évidemment la projection, sur le plan tangent à la sphère, de la déviation élémentaire euclidienne.
50. Mécanique du point matériel. — Quand un point décrit une droite riemannienne d'un mouvement uniforme, on dit qu'il est abandonné à son inertie. Si le point possède une accélération, on dit qu'il est sollicité par une force qui est mesurée par l'accélération ; en passant d'un point à un autre, la force qui produit une accélération donnée mesure la masse. La force est donc proportionnelle ou égale à la masse par l'accélération. La force peut être représentée par un segment tangentiel ou par un segment riemannien de même moment. Le principe de l'indépendance des effets des forces s'énonce de la manière suivante : l'accélération due à l'action simultanée de plusieurs forces, s'obtient en composant les segments euclidiens ou les segments riemanniens qui représentent les accélérations due§ à chacune
de ces forces. Il résulte de là que les forces se composent par la règle de la composition des segments riemanniens. Remarquons que ce principe pourrait aussi s'énoncer : les déviations élémentaires dues a plusieurs forces se composent comme les déplacements élémentaires simultanés, ou les accélérations se composent comme les vitesses simultanées.
On a, entre les vecteurs euclidiens qui représentent la force et l'accélération, l'équation :
on en déduit
Ml F =- m M e '1^ (33),
c'est l'équation du mouvement d'un point matériel. On en déduit :
R étant une quantité arbitraire. On voit que la mécanique riemanniennc est la mécanique euclidienne d'un point assujetti à glisser sur une sphère qui est le plan riemannien. Dans l'espace à trois dimensions, on doit considérer l'hypersphère.
51. Intégrale des pseudo-aires. — De l'équation (33) on déduit le théorème des moments linéaires des quantités de mouvement
mMe'^ == lM~ê F dt.
Soit G un centre des moments ; désignons par c le vecteur qui détermine ce point, réduit au vecteur-unité ; en multipliant l'équation précédente par ce vecteur, on obtient le théorème des moments des quantités de mouvement autour d*un centre. Supposons que la force passe constamment par le centre, on a
m olMev = constante ;
c'est le théorème de la conservation du moment de la quantité de mouvement. Il peut aussi s'énoncer en disant que le sinus du segment riemannien qui représente la vitesse par le sinus du segment bras de levier, donne un produit constant. On a aussi :
d S =^7M'êd7= C d t (35),
C étant une constante. On peut interpréter Tintégrale
S -= et
en disant que dans l'espace euclidien, l'aire décrite autour de Taxe qui joint le centre de la sphère au centre de la force, croît proportionnellement au temps ; l'aire S est le double de l'aire projetée sur un plan perpendiculaire à cet axe. Mais il faut interpréter l'expression S par la géométrie riemannienne. Soit A U le déplacement élémentaire du point ; le produit des trois points A, B, C, en donnant aux points A, B, des masses égales à l'unité et au point C une masse égale à l'inverse du paramètre, est précisément d S aux limites relatives ; on peut appeler cette quantité la pseudo-aire du triangle ; c'est le produit du sinus d'un côté par le sinus de la hauteur correspondante. L'intégrale S peut être appelée la pseudo-aire engendrée par le rayon C A. On a donc le théorème : quand la force passe constamment par un centre d'action, le rayon qui joint ce centre au point matériel décrit une pseudo-aire qui croit proportionnellement au temps.
52. Intégrale des forces vives. — En multipliant l'équation (34) par le vecteur du déplacement élémentaire, on obtient ^'équation des forces vives
de.
+ Jf.
Elle conduit à une intégrale lorsque le travail élémentaire de la force est une différentielle exacte. Le travail élémentaire peut s'exprimer de différentes manières en fonction des trois coordonnées, car il y a une relation entre les coordonnées çt
— saune relation entre les projections du vecteur force ; on peut aussi adopter deux coordonnées quelconques sur la sphère et mettre le travail élémentaire sous la forme d'une expression différentielle à deux variables.
