Relation entre Vanomalie moyenne et Vanomalie excen
trique. — Pour déterminer la position d'une planète dans l'orbite, nous allons, comme en géométrie euclidienne, déterminer d'abord l'anomalie excentrique. Nous faisons correspondre i un point de la conique à un point de la circonférence décrite sur I le grand axe comme diamètre ; les points correspondants se | trouvent sur une même perpendiculaire au grand axe ; tels sont les points N et D (fig. 13). L'anomalie excentrique est l'anomalie mesurée dans le cercle en prenant comme pôle le centre qui se trouve aii milieu des axes de la trajectoire ; cette anomalie est donc
u = DyoA.
Il s'agit de transformer l'équation (35) ou (36) en introduisant l'anomalie excentrique u au lieu de l'anomalie vraie 0. Reprenons l'équation (35)
dS= Cdt (35).
La correspondance entre la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre et la conique riemannienne est une homologie. Il suffît de prendre les axes euclidiens des trois centres
de la conique comme droites doubles et de prendre les constantes égales à l'unité, sauf
ff.= a
La fonction linéaire ainsi définie ne change pas les coordonnées d'indice zéro et un ; mais la coordonnée d'indice deux est multipliée par g*, , et Ton reconnaît immédiatement que la transformée du cercle est l'ellipse. Soit d S' la pseudo-aire élémentaire dans le cercle, en prenant toujours le foyer comme pôle ; on peut considérer d S' comme le produit de 3 points de masses égales à l'unité savoir : le foyer, un point de la circonférence et un point infiniment voisin. Après la transformation par l'homologie, ce produit est multiplié par le produit des constantes g et devient
g,dS' = m' dS.
Ce produit devient en elîet le produit de troi» points correspondant aux trois points primitifs ; le foyer qui est sur l'axe homologie se correspond à lui-même ; les deux autres points de la circonférence deviennent deux points de la conique riemannienne, mais acquièrent des masses que nous avons représentées par m. L'équation (35) devient donc
C dt ^ ^' , • m
La pseudo-aire d S' s'exprime par
en représentant par e la coordonnée du point de la circonférence. Si le pôle des pseudo-aires était le centre de la circonférence, on obtiendrait
Uo M e d e == A* sin* v- du ;
si le pôle était choisi à la rencontre du grand axe et de la tangente à la circonférence, on aurait
u' M e de =0,
le vecteur unité «' mené par le centre de la sphère idéale, passe par le i>oint du grand axe qui se trouve à une distance X du centre, donnée par l'équation
tg— - = tg— - . cos u.
Nous pouvons décomposer le vecteur c suivant les vecteurs Uo et II' ; on a
c = a u -\ ^ u' D'où
d S' = oclTo Me de = Cf. k' sin* —-du.
Or, on trouve facilement
sm
sin — i-
ou, en remplaçant la tangente de la distance x par sa valeur,
— sin ,
cos u
a .- COS , k
Nous poserons
Notls obtiendrons
d S' = fc* sin* — cos — (1 — ë cos u) âu.
Pour calculer la masse m, nous remarquerons qu'au point de la circonférence
y 09 Xty y%9
on fait correspondre un point de l'ellipse
Xof y 19 s* 3^1*
Le carré de la masse du nouveau point est
En exprimant les coordonnées du point de la circonférence au moyen du rayon et de l'angle a, en remplaçant ^, par sa valeur, on trouve après quelques calculs :
(* m* «= 1 — sin* — sin* u.
Nous pouvons maintenant calculer le second membre de réquation qui donne la différentielle du temps ; on trouve :
tg — Cdt = k' sin' A cos -^ * 1 - ^' c«8 ^
tg 1 — sm* sm* u
Remplaçons la constante G par sa valeur déduite de l'équation (41), on obtient
2 7cdf c 1 — e'cosu .
— Tf^ — = cos — du.
^1 — sm* — 8m*u
On trouve, en intégrant,
1 + sin -- sin u 2 t: t c e A -^=arctgcos — tgu "tt 1»» ^f^
Cette formule diflëfirnofèi^^émeiyt de la formule eorrespoir dante de kl? fiéesoiique euclidienne. Cependant, si le rapport d^ kr distsmce c au paramètre h est considéré comme une quantité très petite du premier ordre et si Ton néglige les quantités du second ordre vis-à-vis de l'unité, on trouve
— — — =r u — e' sin ii.
Si on suppose, en outre, que le grand axe de Tellipse est aussi très petit vis-à-vis du paramètre A, le rapport e' se rapproche de l'excentricité euclidienne. Remarquons aussi que nous aurions pu noui^ passer de l'équation (41) et arriver à l'équation (48) en désignant par T une quantité quelconque ; on reconnaît que cette quantité représente la durée de la révolution par l'équation (48); on retrouve alors l'équation (41).
58. Relation entre Vanomalie excentrique et l'anomalie vraie. — Nous calculerons la valeur de la tangente du rayon vecteur en fonction de l'anomalie excentrique et nous égalerons cette valeur à celle qui est donnée par l'équation de la conique. Le sinus du rayon vecteur s'obtient en multipliant, par le rapport n, le sinus de la distance à la directrice ou le cosinus de la distance au pôle absolu de cette directrice ; on obtient le cosinus ^du rayon vecteur par la formule qui donne le cosinus de la distance de deux points. En prenant, dans l'espace, les axes euclidiens qui déterminent les centres de la conique, on obtient :
Vo sin -T — y, cos -r-
Xo cos -^- + y, sin -^
Ôr, on a :
a y. — rotg-^ cosu;
on trouve donc :
c' a & sin — — ^ f^ cos ^ cos H
c , a cos -j~ + *ë» "T" c^® "
Cette expression doit être égalée à la valeur :
n sin w
tg-ïT =
Nous remplacerons
c' par f.> + c ;
il se produit de nombreuses simplifications; on peut supprimer le facteur commun
n cos 0) ;
on trouve, en remplaçant n par sa valeur' déduite de l'équation (26),
cos u — e'
cos 9 == -, -, (49).
1 — e cosu ^ '
Cette formule est semblable à celle de la mécanique euclidienne ; on en déduit aussi la valeur de la tangente de la moitié de l'anomalie vraie.
59. Rayon vecteur. — Nous venons d'établir une formule qui donne la tangente du rayon vecteur en fonction de l'anomalie excentrique ; mais cette formule contient la distance c' du centre à la directrice. Nous calculerons le sinus et le cosinus de cette distance au moyen des formules (23) et (26) ; en multipliant et divisant ces dernières membre à membre,
on obtient des égalités entre des carrés ; en extrayant la racine, on trouve :
n sm-r— = cos — tg — k k k
n cos — -= sm — cotff — k k ^ k
La valeur de la tangente du rayon vecteur devient, en introduisant ces valeurs et en divisant les deux termes de la fraction par le cosinus de la distance c,
r X « 1 — e' cos II
tg-T- = tg^i -^ (50).
^ ^^ 1 + e' tg'— - cos u
On peut retrouver Téquation (49) en égalant les valeurs données par l'équation (50) et l'équation (30). Pour arriver au but, il faut introduire dans l'équation (30) la valeur
t^T-^- == (1 - e é) tg-|- (51)
et dans le dénominateur de l'équation (50), la valeur
«' tg' — = T^r^ (52).
Pour trouver l'équation (51), on calcule le rapport des carrés des tangentes des demi-axes en fonction de c et de a ; on remarque que l'on déduit des formules (47) et (31), la relation
sm*--— k
sm*-— k
le rapport dont il s'agit prend la forme :
1 — e e' ; la formule (51) résulte alors de l'équation (28).
Pour trouver réquation (52), on applique les formules (47) et (31) ; on élimine c et l'on calcule la tangente de la moitié du grand axe.
60. Trajectoires fermées. Nous nous proposons de résoudre le problème suivant: on admet que les planètes sont attirées par le soleil suivant les droites rieçianniennes qui passent par le centre du soleil ; on admet que l'intensité de la force est une fonction seule de la distance riemanienne ; on suppose connu ce seul fait que les trajectoires sont des courbes fermées, quelles que soient les positions et les vitesses initiales ; on demande de déterminer la loi de l'attraction d'après cette seule donnée.
Il s'agit d'une force centrale ; l'équation de la trajectoire est donc l'équation (38). Posons :
cotg
'|(c)==-2 ( F di réquation (38) donne :
On peut appliquer à cette équation les raisonnements de Bertrand sans aucune modification ; la variable z doit varier entre deux limites qui sont deux racines de l'équation que l'on obtient en égalant la quantité sous le radical à zéro. En intégrant entre ces deux limites, on doit trouver un angle / commensurable avec r. On ne trouve que deux solutions :
^' == -::) pour ^^ (z) = A, ^ = '^^ pour 1' (^) = B 5 " •
IjR force est alors donnée par
posons
on
trouve les deux lois
k' sin^
u. k sin — k
, r cos —
Nous écarterons la seconde loi, parce que le centre du soleil serait toujours au centre de la trajectoire, ce qui est contraire aux observations. Il ne reste donc que l'attraction universelle riemannienne telle que nous l'avons définie.
En géométrie euclidienne, il y a une restriction à faire : les trajectoires ne sont fermées que si la vitesse initiale ne dépasse pas une certaine limite qui dépend delà position de l'astre. Ici il n'y a aucune restriction à formuler ; on peut bien avoir une parabole ou une hyperbole, si la vitesse est assez grande ; mais les trajectoires sont toujours fermées ; tous les mouvements sont périodiques.
Il peut se faire cependant que la trajectoire soit rectiligne ; cela se présenterait si la vitesse initiale était dirigée vers le centre d'attraction. L'équation du mouvement rectiligne peut être intégrée facilement. Lorsque le rapport e est égal à zéro, la trajectoire est une circonférence. Ce rapport ne peut jamais devenir imaginaire. En effet, si dans l'équation (44), nous exprimons la constante h par les dérivées initiales des coor-
données polaires, si on élimine la dérivée de 9 au moyen de la valeur de C, l'équation (44) prend la forme
61. Force répulsive. — La force répulsive émanant d'un point est identique à une force attractive émanant du point opposé. Un point sollicité par une force répulsive qui varie en raison inverse du carré du sinus de la distance au centre d'action, décrit donc une conique autour du point opposé au centre d'action comme foyer. Le centre de répulsion est également un foyer, mais il est situé sur le grand axe de la courbe opposée à la trajectoire.
62. Beautés étranges de la mécanique riemannienne. — Lorsque le paramètre k tend vers l'inflni, la géométrie riemannienne devient identique à la géométrie euclidienne ; il en est de même de la mécanique riemannienne, et toutes les formules que nous avons établies conduisent aux formules de la mécanique euclidienne lorsque le paramètre tend vers l'inflni. Les non-euclidiens peuvent parfaitement soutenir que l'attraction universelle riemannienne explique aussi bien le monde que l'attraction ordinaire ; il suffît de supposer le paramètre assez grand pour que les différences entre les deux géométries soient plus petites que les erreurs d'observations. Mais en examinant la question de plus près, on aperçoit que la mécanique riemannienne présenterait des singularités qui sont contraires à toutes les idées reçues. Ainsi, on considère comme évident que la grà-. vitation universelle doit décroître quand les distances augmentent indéfiniment. Nous venons de dire que le soleil attire les planètes, c'est dire que le point opposé au soleil les repousse. L'attraction ne décroît pas constamment quand la distance augmente ; elle passe par un minimum quand la distance devient im quadrant ; elle augmente ensuite avec la distance, et c'est quand la distance est la plus grande possible que l'attraction redevient infinie comme à une distance nulle. Le point fictif qui est l'opposé du soleil posséderait donc cette
propriété de repousser avec une force infiniment grande les particules matérielles qui lui sont infiniment voisines. Les noneuclidiens qui affirment que les géométries non euclidiennes ne changeraient pas la mécanique, ne paraissent pas avoir examiné avec attention toutes les beautés étranges de la mécanique riemannienne.
63. Mouvement périodique de deuxième espèce. — Les deux lois de force qui conduisent à une trajectoire fermée donnent une conique riemannienne pour cette trajectoire. On peut le démontrer sans calcul, en remarquant que l'équation (53) a la môme forme que l'équation que l'on trouve en mécanique euclidienne. La variable z représente alors l'inverse du rayon vecteur ; on obtient donc une conique euclidienne en prenant comme coordonnée dans un plan l'angle 6 et l'inverse de z. Projetons la trajectoire riemannienne du centre de la sphère idéale sur le plan tangent à cette sphère mené par le centre d'action ; le point de la courbe projetée a pour coordonnées :
et p = Aj tg
On voit donc que le rayon vecteur de cette courbe est proportionnel à l'inverse de z ; cette courbe est donc une conique euclidienne, . et la courbe sphérique correspondante est une conique riemannienne. Lorsqu'on adopte la première loi de force, le centre d'attraction est le foyer de la conique euclidienne ; il est facile d'en conclure que c'est aussi le foyer de la conique sphérique. Pour la seconde loi de force, le centre d'action est le centre de la conique euclidienne et de la conique riemannienne.
On arrive au même résultat en intégrant l'équation (53). Nous avons déjà traité le cas de la première loi de force ; pour la seconde loi, on trouve :
En égalant la quantité sous le radical à zéro, on trouve deux valeurs de z* que nous représenterons par des cotangentes ; nous aurons :
COtg'-^COtg*^ - -g7-
co%' j- + cotg* -^ ^ -^r- - 1
Le double de l'angle s'exprime par un arc cosinus ; on en déduit facilement :
Z' = cotg' £ =- cotg* -^ cos^ + cotg* -r- sin'0 (54).
C'est l'équation d'une conique dont les demi-axes sont a et h. On obtient la position du point en fonction du temps en appliquant l'équation (36) ; on remplace dans cette équation le sinus du rayon du vecteur par sa valeur en fonction de l'angle G. On est conduit à poser
. b sin -"
% tg n (55) ;
sin -7-
on trouve par des calculs faciles,
k* sm -r- sin — k k
On exprime C au moyen du produit des cotangentes des demiaxes en appliquant l'une des formules qui donnent les axes en fonction des constantes d'intégration ; on trouve :
„ = — Lyz (56).
ah ^ ^
cos -r cos Vk k
Pour interpréter l'angle u, 11 suffit de faire correspondre la conique riemannienne à la circonférence décrite sur le grand axe en faisant correspondre les points situés sur des parallèles au petit axe ; Fangle ii est Tangle du cercle qui correspond à Tangle 0* Pour le démon trer,on calcule les coordonnées du point de la circonférence en fonction de Tangle a ; on en déduit les coordonnées du point correspondant de la conique ; on retrouve l'angle 9 donné par la formule (55).
La durée de la révolution s'obtient en donnant à u une valeur égale à 2 :: ; on trouve
r= -^=1 cos — cos — (oi).
Les révolutions sont approximativement isochrones lorsque le i>aramètre est très grand vis-à-vis des axes ; mais Tisochronisme absolu n'existe plus comme dans la mécanique euclidienne* Si l'un des demi-axes tend vers un quadrant, la durée de la révolution tend vers zéro; les vitesses tendent vers rhifînî. Il faut remarquer que la force devient aussi infinie j
lorsque la distance au centre d'action devient un quadrant. Si |
la distance dé|>asse un quadrant, la force change de signe ; elle devient donc répulsive. On i>eut dire aussi que la force est toujours attractive, mais que l'on doit prendre comme centre d'action celui des deux centres opposés qui est le plus rapproché du point sollicité.
Si la force était répulsive par rapport au centre le plus rapproché, on devrait changer le signe de u. 11 faut alors changer le signe de
cotg'— ;
on trouve une conique dont l'un des axes est imaginaire. I^s axes redeviennent réels en prenant l'un des deux aulres centres. On |>eut encore trouver l'angle G en fonction du temj>s;
mais deux cas peuvent se présenter. Les formules précédentes sont encore applicables si Ton a
cotg* < 1.
On remplacera le sinus du petit axe par
y/l- cotgv^
Dans le cas contraire, Tangle ii s'exprime par des exponentielles ou une tanfçentc hyperbolique. Dans les deux cas, il se présente une singularité analogue à celles que Ton rencontre en mécanique euclidienne quand la force est infinie. 11 est impossible de savoir ce qui se passe quand le point arrive à une distance d'un quadrant du centre d'action, c'est-à-dire à l'un des sommets réels de la conique. L'intégrale des pseudo-aires est l'intégrale ordinaire des aires appliquée à la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe euclidien qui joint le centre de la sphère idéale au centre d'action ; la projection de la trajectoire est un arc d'ellipse dans le premier cas, et d'hyperbole dans le second cas. Le rayon vecteur de cette courbe projetée doit engendrer une aire euclidienne qui croit i)roportionnellement au temps. Que se passe-t-il lorsque le point projeté se trouve à l'extrémité de l'arc ? Si le rayon continue à tourner dans le même sens conformément au théorème des aires, on trouve que le point matériel doit occuper des positions imaginaires sur .la sphère. Si le rayon vecteur s'arrête ou tourne en sens contraire, l'intégrale des aires n'est plus respectée. Si l'on prend cette position critique comme position initiale, on trouve une vitesse infinie dirigée suivant la droite que joint le centre d'action au point matériel et une force infinie. 11 y a une infinité de mouvements qui réalisent ces conditions ; il est donc impossible de déterminer le mouvement qui se produit après la position critique. On rencontre une difficulté du môme genre dans le mouvement rectiligne euclidien d'un point soumis à une attraction qui varie en raison inverse du carré de la distance ;
la formule que Ton établît indique que la vitesse change de *!-f-nf5 en passant par Tintîni, lors4|ue le point atteint Ia«position du centre d'action. En rvalilé, il y a indêtemiination,'el en prolongeant les mêm^i^s constantes d^intê^rration au-delà de la position critique, on trouve un résultat impossible.
$ 52. — GÉOMÉTRIE LOBATSCHEWSKIEXXE-
64. Généralités. — On obtient la géométrie lobatschewskienne en changeant le signe du carré du paramètre dans les é<{uatîons de la géométrie riemannienne. Nous poserons donc :
k = ik
La sphère idéale est alors une sphère imaginaire ; on y applique la projection stéréographique ; les ligures projetées sont dites égales quand les figures correspondantes de la sphère le M>nt. Ces mots ont un sens purement analytique, mais absolument précLs. Les formules du n* 16 permettent de déterminer un point (x^ y) du plan, au moyen des coordonnées du point de la «»phêre; le mouvement d'une figure lobatschewsldenne invariable dans son plan,est défini par un mouvement euclidien sur la sphère, c'est-à-dire par une substitution orthogonale dans l'espace euclidien. Les formules qui donnent les mesures euclidiennes des grandeurs sur la sphère imaginaire sont applîiciabht^ à la gécjmétrie lobatschewskienne, car ces formules s^>nt des int^^grahfs d'éléments infiniment petits que l'on mesure [lar l'/^galfté; fiar définition, les éléments du plan sont dits itiÇHUx quand les éléments correspondants de la sphère le sont; <lonc ces éléments ont la même mesure.
Toiil^*s Uth prrjpriét^-s de la géométrie riemannienne sont applicables à la g/?ométrie lobatschewskienne, car elles jM^vent Hrt* vérîfî#Vfs par l'analyse et ces vérifications sont îndéi>enda«tr^ de la valeur réelle ou imaginaire du paramètre. Mais il r*st bien évident que les points réels d'une géométrie {Kmvent devenir imaginaires dans l'autre, et inversement.
I>*s formub^ de la trigométrie sphérique sont applicables aux triangb^ lol^it^^rrhenskiens, mais les côtés doivent être divisée Ipur un rayon iuia^f inaire ; les lignes trigonométriques des
- loi -
angles qui correspondent à ces cotés, s'expriment par les lignes trigométriques hyperboliques.
65. Vecteurs spéciaux, — A tout point réel du plan correspondent des coordonnées d'un point de la sphère idéale ; elles sont données par les formules (4) et (5) du n° 16. En tenant compte de la valeur imaginaire du paramètre, on reconnaît que les coordonnées x^ et x^ sont réelles, tandis que l'on a :
Xo = z i,
z étant une quantité réelle. La coordonnée vectorielle d'un point réel du plan est donc :
e = X, II, + a:, u, + ^ î Uo.
C'est un vecteur imaginaire d'un domaine que nous appellerons le domaine spécial ; le vecteur lui-même sera appelé vecteur spécial. De plus, le carré de ce vecteur est égal au carré du paramètre ; il est donc négatif.
Les coordonnées homogènes s'obtiennent en multipliant les coordonnées ordinaires par un rapport constant ; nous supposerons ce rapport réel. La coordonnée vectorielle homogène est encore un vecteur spécial dont le carré est négatif.
Réciproquement, si l'on donne arbitrairement une coordonnée vectorielle homogène, et si l'on peut la ramener dans le domaine spécial en la divisant par une quantité quelconque, les formules (2) détermineront deux points du plan, en remplaçant le paramètre par :
± \/xl + xl + xl
Ces points correspondent à deux points opposés de la sphère ; nous les appellerons encore points opposés dans le plan.
On reconnaît facilement que ces deux points sont réels, si le carré du vecteur spécial est négatif. Si ce carré est positif, on obtient deux points opposés imaginaires ; mais la perspective du vecteur est réelle, car le rapport des coordonnées x et y est réel.
Le domaine spécial des vecteurs est donc divisé en deux parties : 1*" le domaine des coordonnées vectorielles des points réels du plan, dont le caractère distinctif est que les carrés des vecteurs sont négatifs ; 2° le domaine des vecteurs spéciaux, dont les carrés sont positifs, il correspond à un domaine imaginaire spécial du plan, caractérisé par cette propriété que les points imaginaires conjugués sont des points opposés.
Ces deux domaines sont séparés par le cône isotrope qui est le cône des coordonnées vectorielles dont le carré est nul. Pour abréger le langage, nous dirons que les coordonnées vectorielles des points réels sont à l'intérieur du cône isotrope et que les coordonnées vectorielles des points du domaine imaginaire spécial du plan sont à l'extérieur de ce même cône.
Le vecteur spécial est une fonction linéaire à cœffîcients réels des trois vecteurs
u. , uT , î Uo ;
chacun de ces vecteurs est spécial ; les deux premiers sont à l'extérieur du cône isotrope et déterminent les points imagi naires de la sphère idéale situés sur les axes O x, et Ox, ; le troisième est à l'intérieur du cône isotrope et détermine un point réel Xo qui, en projection stéréographique, se confond avec le point 0. En géométrie riemannienne, les trois axes déterminent un triangle trirectangle qui est le triangle de référence ; en géométrie lobatschewskienne, ce triangle a deux sommets imaginaires et se réduit à un angle droit.
66. Théorème des {lecteurs normaux, — Si un vecteur est cà l'intérieur du cône isotrope, les vecteurs qui lui sont normaux sont à l'extérieur. Dans un système d'axes trirectangulaires du domaine spécial, l'un est à l'intérieur du cône isotrope et les deux autres à l'extérieur.
Soient e, e\ deux vecteurs normaux du domaine spécial ; leurs projections sur le plan des x, , x, , sont deux vecteurs réels ; le carré du moment de ces vecteurs réels est positif. Exprimons ce carré par la formule connue, et tenons compte de la condition de perpendicularité des vecteurs, on trouve :
(e' — xl) e" — e' x'I > 0.
On déduit facilement de cette inégalité que les carrés des deux vecteurs sont de signes différents.
Si l'un des vecteurs est A l'intérieur du cône isotrope, les deux autres doivent être à l'extérieur; mais il faut encore démontrer que les trois vecteurs ne peuvent pas être à l'extérieur de ce cône.
Supposons que les deux vecteurs orthogonaux e et e' soient à l'extérieur du cône isotrope ; le troisième vecteur est proportionnel au moment des deux premiers. Ce moment est une fonction linéaire à coefficients réels des trois vecteurs
ïïo, îu., îïï, ;
il n'est pas dans le domaine spécial, et pour l'y ramener, il faut le multiplier par î ; le troisième vecteur est donc de la forme
mi M ee' ;
le carré de ce vecteur est
il est négatif; donc le troisième vecteur est à l'intérieur du cône isotrope.
Si l'on fait mouvoir, dans le domaine spécial, les axes trirectangulaires primitivement choisis, on obtient un nouveau système d'axes qui détermine encore un triangle, trirectangle qui se réduit à un angle droit ; les deux autres sommets sont dans le domaine imaginaire spécial ; les perspectives des trois axes sont réelles.
67. Les deux mondes lobatschei^^skiens. — Nous avons vu en géométrie riemanienne, que le cône isotrope détermine sur la sphère idéale le cercle de l'infini dont la projection stéréographique est le cercle imaginaire
Dans la géométrie lobatsche wskienne, ce cercle devient réel ; c'est le cercle de centre O et de rayon k\ Il est facile de voir que la circonférence de ce cercle est l'infini lobatsche wskien. En
effet, reprenons la formule (9) du numéro 20 ; on peut la mettre sous la forme :
k sm
Si les deux points sont h l'intérieur de la circonférence de centre O et de rayon A', la distance est réelle. Si l'un des points tend vers cette circonférence, la distance tend vers l'infini. On peut donc construire une géométrie complète à l'intérieur de cette circonférence.
Si les deux points sont à l'extérieur de cette circonférence, la distance est encore réelle et peut tendre vers l'infini ; on peut donc construire une seconde géométrie complète à l'extérieur de la circonférence limite. On peut dire que dans le plan euclidien, il y a deux mondes lobatschewskiens séparés par une circonférence euclidienne ; pour les géomètres de chacun dès deux mondes, cette circonférence est l'infini et l'inaccessible.
Comme en géométrie riemannienne, le cercle de l'infini est normal à toutes les droites, c'est donc un cercle dont le centre et les rayons sont partout ; mais il ne faut plus dire que la circonférence n'est nulle part, car cette circonférence est réelle et occupe une position euclidienne bien déterminée. Dans la géométrie riemannienne, l'infini est imaginaire ; il est réel dans la géométrie lobatschewskienne.
Un vecteur homogène situé à l'intérieur du cône isotrope, détermine deux points opposés A et A' du plan ; on a
OA OA' ^ — k' = A'V
A tout point de l'un des mondes, correspond un point opposé dans l'autre monde ; à toute figure de l'un des monde, correspond une figure opposée dans l'autre monde ; les longueurs, les angles et les surfaces sont les mêmes dans les deux figures. La géométrie que nous considérons est donc une géométrie double ; on obtiendrait une géométrie simple où les figures opposées sont confondues, en projetant les figures sphériques du centre de la sphère idéale sur un plan tangent.
— ior> -
Si Ton applique la formule de la distance écrite plus haut aU cas de deux points situés dans deux mondes différents, on obtient une distance imaginaire; on peut mettre cette distance sous la. forme :
le premier terme représente la distance du premier point à son opposé; le second terme représente la distance réelle de cet opposé au second point et peut avoir les deux signes. On peut dire que la distance des deux points de mondes différents est supplémentaire d'une distance réelle.
Sur une droite réelle, la distance de deux points du domaine imaginaire spécial est réelle, la distance d'un point réel à un point du'domaine imaginaire spécial est complémentaire d'une distance' réelle. Sur une droite imaginaire, la distance de deux points du domaine imaginaire spécial est l'arc qui mesure un angle réel, dans la circonférence dont le rayon est le paramètre. On démontre facilement ces propositions en choisissant convenablement les axes trirectangulaires de l'espace euclidien. Nous les choisirons de manière que les points imaginaires de la droite réelle aient pour coordonnées
on doit avoir :
on trouve :
COS -r- = ,
Le cosinus est réel, plus grand que l'unité ; on trouve une distance réelle.
Si l'on prend comme premier point, le point
en conservant le même second point, on trouve une distance complémentaire de la précédente.
Si Ton prend les deux points :
on trouve :
cos -r- = ,
le second membre est le cosinus d'un angle réel.
68. Droite lohatschewskienne, — I/équation homogène du premier degré, la plus générale, en coordonnées de l'espace euclidien, peut toujours se mettre sous la forme
Fig. 17.
Nous ne considérons que les équations qui sont à coefficients réels, lorsqu'on introduit la coordonnée z au lieu de la coordonnée Xo. Le vecteur a est alors un vecteur spécial ; c'est la coordonnée vectorielle de l'un des pôles absolus de la droite ; nous dirons que c'est la coordonnée de la droite. Dans l'espace euclidien, l'équation représente un plan normal au rayon du pôle.
Si la coordonnée de la droite est à l'intérieur du cône isotrope, les pôles de la droite sont réels, mais en vertu du théorème des vecteurs normaux, la droite est dans le domaine imaginaire spécial. Si la coordonnée de la droite est à l'intérieur du cône isotrope, les pôles de la droite sont dans le domaine imaginaire spécial ; la droite est en partie dans le domaine réel et le domaine imaginaire spécial.
Gomme en géométrie riemannienne, les droites sont des circonférences de même puissance par rapport à l'origine O ; elles sont orthogonales à une circonférence fixe. Mais ici cette puissance est positive et la circonférence fixe est réelle ; c'est la circonférence limite.
Soient (ftg. 17) Ox, x^ les axes situés dans le plan de vue et qui sont leurs propres perspectives ; le troisième axe x^ se montre suivant un point qui se confond avec l'origine 0. La circonférence limite est réelle ; son rayon est
Toutes les droites euclidiennes qui passent par sont normales à la circonférence limite ; ce sont aussi des droites lobatschewskiennes. Toute droite réelle B A coupe la circonférence limite en deux points X et Y ; le centre euclidien se trouve à l'intersection des tangentes menées aux points X et Y à la circonférence limite. Le plan de vue coupe la sphère idéale suivant une circonférence qui est la droite vue en vraie grandeur ; mais ici cette circonférence est imaginaire ; c'est le côté imaginaire du triangle trirectangle qui correspond aux axes.
69. Problèmes sur la droite, — Nous allons résoudre au moyen d'instruments euclidiens, les problèmes que nous avons résolus au n° 6 en géométrie riemannienne.
1°. On donne (Vig. 17) un point A, trouver son opposé A' par lequel passent toutes les droites menées par A. On tire O A, on mène la perpendiculaire A D jusqu'à la circonférence limite ; la tangente en D à la circonférence limite détermine le point A' sur A.
2°. Mener une droite lobatschewskienne par deux points non opposés A et B. La construction donnée au n** 6 n'est pas changée. Il en est de même pour les deux autres problèmes : mener une droite touchant une droite euclidienne en A ou faisant en A un angle donné avec une ligne donnée.
3^. Tracer une droite lobatscheswskienne, connaissant son centre euclidien. Du centre donné I, on mène deux tangentes à la circonférence limite ; on prend l'une des tangentes comme rayon euclidien.
4°. Trouver les pôles d'une droite donnée. Ces pôles sont imaginaires ; on les détermine en menant deux droites lobatschewskiennes normales à la droite donnée ; on peut prendre, pour l'une des droites, la droite euclidienne qui joint le point au centre euclidien I de la droite donnée.
i"". Décrire une droite d'un pôle donné. La droite ne sera réelle que si le pôle est dans le domaine imaginaire spécial. On détermine ce pôle par l'intersection de deux droites M Y et H F. Le problème revient alors à mener une perpendiculaire commune à ces deux droites. Le centre euclidien de la droite cherchée est conjugué aux centres euclidiens des droites données dans la circonférence limite ; il est donc à l'intersection des polaires X' Y' et HF de ces deux centres. Si le pôle donné est réel, la droite est imaginaire ; on trouve cependant son centre euclidien, soit par la construction précédente, soit en cherchant le conjugué harmonique du point par rapport au segment qui joint le pôle à son opposé ; ce centre euclidien est un point réel situé à l'intérieur de la circonférence limite ; le rayon euclidien est imaginaire.
6°. D'un point donné M, abaisser une perpendiculaire à une droite donnée AB. La droite cherchée est une circonférence euclidienne qui passe par le point M et son opposé, et dont le centre se trouve sur X Y, polaire de la droite donnée dans la circonférence limite.
T. Construire la perpendiculaire commune à deux droites. Ce problème est résolu plus haut.
70. Droites parallèles. — Soit B G (fig. 18) une droite quel-
Fig. 18.
conque et A un point extérieur ; si Ton joint le point A à un point C de la droite donnée, on obtient une sécante qui coupe cette droite en deux points opposés C et C ; si le point C tend vers l'infini, c'est-à-dire vers le point X, la sécante a pour limite la droite AX qui est l'une des parallèles de Lobatschewsky ; la droite A Y est l'autre parallèle menée du même point A. Abaissons, du point A, la i:erpendiculaire A JB à la droite donnée ; une formule connue du triangle sphérique rectangle appliquée aux triangles ABX et A i3 y donne
AB cotg XA B == cotg Y A B= i sin -r- •
Les deux angles égaux donnés par cette formule sont l'angle du parallélisme.
Si le point A se déplace en A' sur la parallèle et tend vers rinfmi, on a dans les deux géométries euclidiennes et non euclidiennes,
limXA'B' = 0;
on a donc aussi, en géométrie lobatschewskienne,
limA'B' = 0.
La droite A X a donc plutôt le caractère d'une asymptote que celui d'une parallèle. Il arrive souvent que les propriétés des parallèles euclidiennes se transmettent aux parallèles de la sphère ou lignes équidistantes ; quelquefois elles se transmettent aux perpendiculaires à une même droite ; elles se transmettent rarement aux parallèles de Lobatschewsky.
71. Cercle lobatschewskien. — On détermine un cercle en se donnant un centre réel C dans le premier monde et un rayon réel ; ce cercle a un second centre C opposé du premier, mais alors le rayon est imaginaire ; il est le supplément du rayon réel. Comme en géométrie riemannienne, le cercle lobatschewskien est un cercle euclidien dont le centre euclidien est le conjugué harmonique du point par rapport au segment qui joint les deux centres non euclidiens. En faisant varier le rayon, on obtient une famille de cercles concentriques dont fait partie la circonférence limite. Si le rayon issu du point C varie de zéro à l'infini, on trouve des cercles intérieurs à la circonférence limite. Si le rayon issu du point C varie de zéro à l'infini, on obtient des cercles situés à l'extérieur de cette limite. L'un de ces cercles est une droite euclidienne ; c'est l'axe radical commun de tous les cercles. On l'obtient en menant une perpendiculaire euclidienne sur le milieu de CC. Si l'on fait tourner une figure plane autour du point C dans son plan, toutes les circonférences concentriques, y compris la circonférence limite, glissent sur elles-mêmes.
72. Lignes équidistantes. — Donnons-nous un centre et son o pposé dans le domaine imaginaire spécial ;. nous le détermi-
nerons (fig. 17) par l'intersection de deux droites non sécantes MA et H F. En prenant pour rayon un quadrant de la sphère imaginaire, on obtient la droite A B, polaire absolue du centre donné. En donnant au rayon un accroissement réel positif ou négatif, nous obtiendrons les circonférences concentriques ou parallèles ; ce sont les lignes équidistantes de Lobatschewsky. La circonférence limite fait partie de la famille des circonférences concentriques ; l'axe radical euclidien commun est donc la droite euclidienne X Y qui joint les points à l'infini de la droite A D. Les lignes équidistantes sont donc les circonférences euclidiennes qui passent par les points X et Y; elles s'étendent dans les deux mondes.
Toutes les normales à la droite A JB sont les rayons des circonférences concentriques ; l'un de ces rayons est la droite euclidienne I ; c'est l'axe radical euclidien commun à tous ces rayons. Les circonférences concentriques et les rayons forment en géométrie euclidienne deux familles de circonfé- , rences orthogonales. Il est à remarquer que la même figure euclidienne peut être interprétée par la géométrie riemannienne comme par la géométrie lobatschewskienne. On peut facilement déterminer le centre et le paramètre d'une géométrie riemannienne où les circonférences concentriques deviennent des rayons passant par les points opposés X et Y et les rayons deviennent les circonférences concentriques de centres X et Y.
73. Lignes limites. — Donnons-nous un centre C (fig. 19) sur la circonférence limite ; on le déterminera en géométrie lobatschewskienne en se donnant une droite et le sens dans lequel on doit porter la distance infiniment grande. Le centre étant à l'infini, il faut évidemment prendre un rayon infini pour obtenir une circonférence ; la définition ordinaire du cercle devient donc illusoire. Nous y substituerons la suivante : les circonférences dont le centre est un point C à l'infini sont les trajectoires orthogonales de la famille de droites parallèles ou asymptotiques à 1^ droite donnée qui se dirigent vers le point C.
La famille de ces droites parallèles est une famille de circonférences euclidiennes ayant en 6" une tangente commune OC. On reconnaît immédiatement que ces trajectoires orthogonales forment une famille de circonférences touchant la circonférence
limite en C. Ces circonférences sont les lignes limites de Lobatschewsky.
Fig. 19,
75. Problèmes sur le cercle lobatschewskien. — Nous allons reprendre les problèmes que nous avons résolus au n° 7 en géométrie riemannienne et les résoudre en géométrie lobatschewskienne au moyen d'instruments euclidiens.
1"*. Construire un cercle, connaissant le centre et un point de la circonférence. Si le centre^est réel, il n'y alaucun changement à apporter dans la solution déjà donnée. Si le centre est dans le domaine imaginaire spécial, on mène d'abord (fîg. 17) la polaire absolue A B du centre supposé donné par l'intersection de deux droites ; cette droite coupe la circonférence limite aux points X, y, communs à toutes les circonférences concentriques ; on trace une circonférence passant par le point donné M et les deux points X, Y. Si le centre est à l'inflni en C(fig. 19), on trace une circonférence passant par le point donné et touchant la circonférence limite au point C.
2°. Trouver les deux centres lobatschewskiens d'un cercle donné. La solution donnée au numéro 7 n'est pas changée, sauf pour la ligne limite où les deux centres sont immédiatement donnés ; c'est le point de contact de la ligne limite et de la circonférence limite ; il est son propre opposé.
3" Construire Taxe radical euclidien commun à tous les cercles concentriques à un cercle donné. On construit Taxe radical du cercle donné et de la circonférence limite ; cet axe est une corde ou une tangente commune quand la circonférence donnée atteint la circonférence limite.
4" Déplacer une figure lobatschewskienne invariable dans son plan. Si le centre de rotation finie est réel, l'angle 6 de la rotation est réel et le déplacement d'un point situé à une dislance r dd centre est, comme sur la sphère,
s z= 6 fc sin
Si le centre de la rotation finie est dans le domaine imaginaire spécial, la polaire de ce centre glisse sur elle-même ; l est le déplacement de glissement, on a
ce qui prouve que l'angle de la rotation est imaginaire. Les lignes équidistantes de la polaire glissent aussi sur ellesmêmes ; si h est la distance à la polaire, on a
ce qui donne
l cos
Lorsque le centre de la rotation finie est à l'infini, on doit se donner le glissement s^ de l'une des lignes limites ; à la distance h en fuyant le centre, on aura
cos + k sm
On arrive à cette formule en appliquant l'une ou l'autre des précédentes et en passant à la limite.
4" Porter une distance lobatschewskienne A B (fig. 4) à partir d'un point C, sur une droite donnée C F. La construction donnée au n" 7 subit de grandes simplifications à cause de la réalité du cercle de l'infini. Il s'agit d'amener par une rotation la droite A B en C F ; toutes les trajectoires sont des circonférences ayant même axe radical euclidien, et la circonférence limite est une de ces trajectoires ; il résulte de là qu'une circonférence arbitraire détermine, en coupant trois trajectoires, trois cordes qui passent par un même point de l'axe radical euclidien commun. On trace la trajectoire AC comme il a été dit ; en menant un cercle, par le point B, qui coupe la circonférence A C et la circonférence limite, on déterminera deux cordes, on en déduira une troisième corde BB' dans la trajectoire inconnue du point B. Cette trajectoire est alors déterminée, car son centre euclidien se trouve sur la droite qui joint le point O au centre euclidien de A C.
La construction se simplifie encore davantage lorsque la trajectoire A C coupe la circonférence limite en deux points
Fig. 20.
réels A', Y; toutes les trajectoires passent par ces points et la trajectoire du point B s'obtient en menant une circonférence par ce point et les i)oints X et Y.
Il est intéressant de constater que cette construction réussit encore quand il s'agit de porter une distance dans un autre monde. Soit (fîg. 20) à porter la distance AB à partir du point C sur la droite CF. On mène les tangentes euclidiennes A if et C H, on circonscrit un cercle au triangle AHC ; le milieu T de l'arc A C détermine les tangentes à la trajectoire A C. Cette trajectoire coupe la circonférence limite en deux points A", Y; on tm^'o la trajectoire du point B, qui est une circonférence déterminée, par les trois points B, A' et Y; on obtient le point F.
On peut supposer que la droite AB fait partie d'une figure quelconque ; cette figure passera dans l'autre monde en satisfaisant à l'égalité lobatschewskienne. Dans ce mouvement, la circonférence limite glisse sur elle-même ; mais les points X et Y restent immobiles ; la figure XAB vient on XCF; le point M vient en N. On voit que la seconde position de la figure ressemble vaguement à une position symétrique de la première par rapport au point A.
Il est bien évident que, pour le géomètre lobatschewskien, ce mouvement sera impossible à concevoir; car, quelle que soit la rapidité avec laquelle la figure se déplace, elle ne pourra jamais atteindre l'infini. Nous pouvons concevoir ce mouvement, parce que nous mesurons les distances autrement, et nos vitesses finies deviennent infinies ou impossibles pour le géomètre lobatschewskien.
Cependant, même au point de vue euclidien, il y a une discontinuité dans le mouvement. Nous avons dit que le point X est immobile ; le point M décrit la trajectoire MN ; mais il ne peut passer par X, car en X il deviendrait immobile. L'analyse explique parfaitement cette antinomie.
Si l'on adopte les trois coordonnées déduites de la considération de la sphère, on passe de la première position à une position quelconque par une substitution orthogonale ; il n'y a lieu de considérer que les substitutions où les coefficients deviennent réels en introduisant les coordonnées z. Dans une substitution orthogonale, le carré d'un vecteur est un invariant ; or, le carré de la coordonnée vectorielle d'un point réel est négatif; il est donc impossible que cette coordonnée
atteigne le cône isotrope, car son carré serait nul. Si dans les équations (4) et (5), on suppose le point sur la circonférence limite, on trouve que les valeurs de / et des coordonnées deviennent infinies ; pour amener un point du plan sur la circonférence limite, il faut donc que les coefficients de la substitution deviennent infinis, ce qui est une impossibilité. Il résulte de là qu'au point de vue euclidien, la figure A B peut se rapprocher autant que Ton veut du point X, qu'elle peut sauter au-delà du point X ; mais le point X est une interruption ponctuelle de toutes les trajectoires.
76- Distances. — Les constructions des n* 10, 11 et 12, qui permettent de porter des distances égales sur deux droites, sur une même droite ou sur une même circonférence, sont applicables à la géométrie lobatschewskienne. Lorsque les deux droites se coupent en un point du domaine imaginaire spécial, on fait correspondre les points situés à la même distance de la polaire absolue du point d'intersection ; cette distance peut être portée dans l'un ou l'autre sens. La détermination du point de fuite des droites euclidiennes est beaucoup plus facile qu'en géométrie riemannienne. Dans le cas de droites ou de lignes équidistantes, les points à l'infini se correspondent, ce qui donne immédiatement le point de fuite. La perspective du centre de l'espace est le pôle de l'axe radical euclidien commun par rapport au cercle considéré ; c'est le point de rencontre des tangentes à l'infini. Dans le cas d'une circonférence ordinaire, l'axe radical euclidien commun s'obtient en coupant, par un cercle arbitraire, cette circonférence et la circonférence limite.
On peut se proposer de traduire les distances en nombres. La droite sur laquelle les distances lobatschewskiennes sont égales aux distances euclidiennes, est une droite imaginaire. On doit donc prendre une unité de longueur et construire une échelle sur une droite lobatschewskienne quelconque ; ce mètre ne peut se transporter à la manière d'un solide, mais on ramène toutes les distances sur ce mètre par un faisceau euclidien ; les distances s'obtiennent par une différence de cote.
On fieut se prrifioser <le construire un mètre lol»atschewskien sur une droite fiassant par le point O ; la construction directe de cette échelle par les droites euclidiennes est illusoire ; on
- il? -
peut sans doute la déduire d'une autre échelle que Ton peut construire par cette métliode, mais on peut aussi construire le mètre demandé en utilisant la formule de la distance. Appliquons la formule (9) du n" 20 en prenant, comme premier point, Torigine 0, et comme second point, un point dont la distance euclidienne au premier point est r ; on trouve
on en déduit :
Posons :
on trouve :
Nous construirons d'abord l'échelle des u par la méthode que nous avons indiquée dans notre note sur le calcul des cotisations des sociétés de secours mutuels (i). Nous avons pris comme unité de longueur lobatschewskienne,
Nous portons (fîg. 21)
PQ
PR
on trouve l'échelle des u sur la droite RU; les chiffres indiquent les valeurs absolues des distances correspondantes.
(i) Bulletin mensuel de l'Association des Ingénieurs de Gand, mai
— IIH — Nous trouvons ensuite Téchelle des r par la construction
Fig. 21.
indiquée dans notre mémoire sur Tintégration graphique (i). Les droites issues du point P qui déterminent l'échelle des u forment un système du premier degré. Or, Téchelle des r est une échelle homographique de l'échelle des tt. On l'obtient donc en faisant une coupe linéaire du système de droites : cette coupe AOB est déterminée par les conditions :
OB = k\
Il suffît de construire l'échelle des distances d'un seul côté du point O ; l'autre partie est symétrique de la première. La construction s'applique aux deux parties ; mais pour les distances positives, elle sort des limites du dessin.
77. Problèmes et théorèmes divers. — Tous les problèmes et théorèmes de la géométrie riemannienne peuvent s'appliquer
(t) Annales de V Association des Ingénieurs de Gand, 1883-1884, pp. 84- ^,n-lfl2etl93.
à la géométrie lobatschewskienne ; nous croyons inutile de reprendre toutes les questions traitées aux n°* 14, 15 et 13. I^ous nous contenterons de faire les remarques suivantes.
Les pôles absolus des droites réelles sont imaginaires ; aussi, quand nous avons utilisé ces pôles, nous avons toujours indiqué une autre solution directement applicable à la géométrie lobatschewskienne. Les cercles non euclidiens que nous avons employés peuvent devenir des lignes équidistantes ou des lignes limites. Dans l'un des cas de la construction du triangle, nous avons fait glisser un triangle sur sa base ; le sommet décrit évidemment une ligne équidistante que Ton construit immédiatement en utilisant les points de la base situés sur la circonférence limite. Le sommet des triangles de même base et de même surface décrit une ligne équidistante passant par les opposés des sommets de la base. Le conjugué harmonique du milieu d'un segment est le pôle imaginaire de la perpendiculaire élevée au milieu du segment. On détermine facilement, par un faisceau euclidien issu de 0, les conjugués harmoniques des deux infinis, par rapport à un segment ; tous les points compris entre les conjugués des infinis ont des conjugés imaginaires. Le sommet d'un faisceau harmonique ou anharmonique peut être dans le domaine imaginaire spécial ; les droites du faisceau sont alors des normales à la polaire absolue du sommet du faisceau. Les théorèmes concernant les centres de similitude des cercles peuvent subir de nombreuses modifications ; l'un des centres de similitude peut passer dans le domaine imaginaire spécial ; les droites issues de ce centre sont les normales à la polaire absolue de ce centre. Les cercles peuvent devenir des lignes équidistantes ou des lignes limites.
78. Exemple. — Pour montrer toutes les transformations que peut subir une même question en géométrie non euclidienne, nous prendrons, comme exemple, le petit problème suivant : étant données deux. droites A C ei A B (fig. 15) et un point D, mener par le point D une sécante dans l'angle des droites, telle que le point D soit le milieu de la sécante.
Supposons le problème résolu ; le conjugué harmonique du point D par rapport à la sécante C B est distant du point D d'une longueur égale à un quadrant. Soit G ce point ; on trouvera la
droite A Gr en remarquant que c'est la conjuguée harmonique de la droite AD dans Tangle des deux droites AC et A B. Le point G s'obtient donc en coupant la droite A G par la polaire absolue du point D, On peut se passer du point G en remarquant que la polaire de ce point est la perpendiculaire abaissée du point D sur la droite A G ; la sécante cherchée s'obtient donc en élevant en D une perpendiculaire à la normale abaissée du point D sur A G. Cette dernière construction est directement applicable à la géométrie lobatschewskienne.
En géométrie lobatschewskienne, il peut se faire que les droites données G A et B A se coupent en un point A du domaine imaginaire spécial. On considère alors la polaire du point A sur laquelle les quatre droites du faisceau harmonique déterminent une division harmonique C D' B' G (le lecteur est prié d'imaginer la figure). On a alors la solution suivante : on mène la perpendiculaire commune C B' aux deux droites A C et A B ; on abaisse du point D une normale DD' k cette perpendiculaire commune ; on cherche le conjugué harmonique G du point D' par rapport à C B' en construisant le faisceau harmonique euclidien C D' B' G ou un autre faisceau non euclidien; en G on élève la perpendiculaire G A à la droite C B' ; du point D on abaisse une perpendiculaire à G A ; la sécante cherchée est normale à cette perpendiculaire.
Il peut se faire que le point G passe dans le domaine imaginaire spécial ; on construit la polaire de G en menant une perpendiculaire commune aux deux droites G et C' B' qui déterminent ce point ; cette polaire coupe la droite G- B' au pôle de G A ; ce pôle est un point de la polaire de G ou de la perpendiculaire élevée au milieu de la sécante; on trace cette perpendiculaire et la sécante qui lui est normale.
Il peut arriver que les constructions précédentes donnent une sécante qui coupe les deux droites données en deux points du domaine imaginaire spécial ; le point D est à égale distance de ces deux points, mais cette distance est imaginaire. Ces distances seront encore égales en retranchant un demi quadrant ; on a donc résolu le problème suivant : étant données deux droites G et B, mener une droite X par un point D telle que le
point D soit équidistant de la perpendiculaire commune à Cet A'', et de la perpendiculaire commune à X et B.
79. Interprétation par Vhyperholoïde. — Nos figures riemanniennes peuvent être considérées comme une vue en creux de figures sphériques ; nos ligures lobatschewskiennes peuvent aussi être considérées comme une vue de figures tracées sur une sphère ; mais comme cette sphère est imaginaire, cette interprétation ne dit rien à l'esprit. Nous arriverons à une interprétation réelle en transformant la sphère imaginaire et toutes les projetantes ; nous adopterons la transformation qui consiste à diviser la coordonnée x„ par i ; c'est-à-dire qu'à un point Xo, X,, x^ de la première figure, nous ferons correspondre un point xr, x,, x,. La sphère imaginaire se transforme en un hyperboloïde de révolution, dont l'équation est
xj + x; - c* « A- ;
le cône isotrope devient le cône asymptote de l'hyperboloïde.
Nous dirons que deux figures tracées sur Thyperboloïde sont égales, quand les figures correspondantes de la sphère imaginaire le sont. L'égalité sur la sphère imaginaire s'exprime par une substitution orthogonale; les formules qui expriment l'égalité lobatschewskie nue sur l'hyperboloïde, s'obtiennent en introduisant les coordonnées ^ dans la substitution orthogonale. Le mouvement sur la sphère est un mouvement euclidien ; la figure mobile est supposée invariablement liée à trois axes rectangulaires menés du centre de la sphère ; on donne à ces axes un mouvement euclidien. Les axes coordonnés sont des axes de la sphère ; la transformation étant linéaire et homogène, les axes de la sphère deviennent un système de diamètres conjugués de l'hyperboloïde ; cela s'applique aux directions et aux grandeurs réelles ou imaginaires des diamètres. La transformation par l'égalité lobatschewskienne est elle-même une transformation euclidienne linéaire et homogène complètement déterminée en faisant correspondre aux trois axes de l'hyperboloïde, trois diamètres conjugués.
Les plans qui déterminent les grands cercles de la sphère se
transforment en d'autres plans qui coupent Thyperboloïde suivant des hyperboles ; ce sont les droites lobatschewskiennes. Elles s'étendent dans les deux nappes qui sont les deux mondes lobatschewskiens.
En menant par le centre une droite ou un plan qui ne coupent pas l'hyperboloïde, on obtient des points et des droites imaginaires ; ce sont les points et droites du domaine imaginaire spécial. Le théorème des vecteurs normaux revient à dire que, de trois diamètres conjugués, un seul coupe l'hyperboloïde. La rotation d'une figure autour d'un point fixe doit se comprendre de la manière suivante : on joint le centre de l'hyperboloïde au point fixe ; on considère ce diamètre comme le diamètre fixe d'un système mobile de trois diamètres conjugués ; toutes les trajectoires sont des sections planes de l'hyperboloïde faites par des plans conjugués au diamètre fixe; ce sont les circonférences concentriques lobatschewskiennes. Si le diamètre fixe coupe l'hyperboloïde en un point du domaine imaginaire spécial, les trajectoires ont des branches infinies, ce 3ont les lignes équidistantes. Si le diamètre fixe est sur le cône asymptote, les trajectoires sont des paraboles ; ce sont les lignes limites.
Nous pouvons appliquer la transformation de Xo en z aux lignes de la projection stéréographique de la sphçre imaginaire ; les lignes projetantes restent droites ; nous obtenons une projection stéréographique de l'hyperboloïde. Or, la projection stéréographique se trouve dans le plan qui ne change pas par la transformation ; elle reste donc la même, et par conséquent nos figures lobatschewskiennes du plan peuvent être considérées comme une vue de figures tracées sur un hyperboloïde de révolution. Nous retrouvons ainsi un cas particulier d'une propriété connue : les projections stéréographiques des sections planes de la quadrique sont des cercles quand le point de vue est un ombilic.
En résumé, les figures planes lobatschewskiennes que nous avons construites, peuvent être considérées comme une vue de figures de l'espace tracées sur un hyperboloïde de révolution ; le point de vue est l'un des sommets de l'hyperboloïde. La nappe postérieure au plan de vue est vue en relief sous la
forme d^un cercle dont la circonférence est la circonférence limite. La projection de la nappe antérieure occupe la partie du plan extérieure à la circonférence limite; on peut la considérer comme une vue en creux, mais il faut supposer que l'observateur se retourne. Les droites et cercles sont les vues des sections planes de Thyperboloïde ; les projections des branches infinies viennent se joindre sur la circonférence limite et forment des courbes fermées. La perspective des centres des sections planes sont à l'intérieur du cercle ordinaire et à l'extérieur des droites et lignes équidistantes.
80. Projection centrale. — On obtient une autre géométrie plane en projetant les figures de la sphère idéale sur le plan
Xo **=* Ky
ou les ligures de l'hyperboloïde sur le plan
z -= fc'.
Les coordonnées euclidiennes du point du plan sont alors déterminées en fonction des coordonnées homogènes du point de la sphère, par les équations
Xo
Xo
Les coordonnées de l'espace peuvent être considérées comme les coordonnées homogènes euclidiennes du point du plan ; on obtient les coordonnées euclidiennes ordinaires de ce point, en donnant à l'ordonnée d'indic'e zéro une valeur égale au paramètre. Il résulte de là que la géométrie de position reste identique à la géométrie euclidienne ; les droites et les courbes d'ordre n sont les droites et les courbes d'ordre n de la géométrie euclidienne. Nous avons défini l'homographie et la réciprocité par les deux symboles
o et M(p;
Ce sont précisément ces symboles qui définissent l'homographie et la réciprocité euclidienne. On obtient une involution quand la fonction o est autoconjuguée ; Finvolution est donc identique à la polarité euclidienne relative à la courbe
e cp e = 0.
La polarité absolue est définie par le symbole M; on a donc :
la courbe devient :
e' = 0, ou bien :
X' + r* + fc* = 0.
Cette courbe est la circonférence limite qui correspond à la trace du cône isotrope sur la sphère idéale ; elle est la même dans les deux systèmes de projection.
Le mouvement non euclidien se déduit du mouvement euclidien de trois axes rectangulaires autour du centre de la sphère idéale ; ces trois axes déterminent un triangle autopolaire au point de vue absolu ; on peut définir le mouvement plan en disant que c'est une transformation linéaire telle qu'un triangle autopolaire reste autopolaire dans toutes ses positions et que les points de la circonférence limite se correspondent.
Dans cette nouvelle projection de la sphère idéale, les points opposés se confondent. En géométrie riemannienne, ils occupent toute l'étendue du plan euclidien. En géométrie lobatschewskienne, ils occupent l'intérieur de la circonférence limite ; ces points sont aussi les projections des points des deux nappes de l'hyperboloïde considéré au numéro précédent. Les points du domaine imaginaire spécial correspondent aux vecteurs situés à l'extérieur du cône isotrope ou aux vecteurs situés à l'extérieur du cône asymptote de l'hyperboloïde ; dans la nouvelle projection, ces points imaginaires ont une représentation réelle. Les distances non euclidiennes sont les mêmes dans les deux projections et sur la sphère idéale; la circonférence
limite est toujours Tinaccessible et Tinfini pour le géomètre non euclidien, mais il se fait que nous pouvons représenter par des points euclidiens réels, des points situés à des distances imaginaires et que le géomètre non euclidien ne pourra pas concevoir.
Ainsi, par exemple, un triangle euclidien autopolaire quelconque par rapport à la circonférence limite est un triangle trirectangle; chaque sommet est le pôle absolu du côté opposé ; les longueurs des côtés sont égales à :
Des trois sommets, un seul est accessible au géomètre noneuclidien et il ne peut parcourir que les parties euclidiennes des deux côtés qui passent par ce sommet et qui sont situées à rintérieur de la circonférence limite.
A la même figure de la sphère idéale, on peut faire correspondre deux figures non euclidiennes différentes, en adoptant la projection centrale ou la projection stéréographique. On peut se proposer de passer de Tune de ces figures à l'autre. Pour résoudre ce problème, il suffit de remarquer que dans la projection stéréographique, la droite e3t une circonférence qui coupe la circonférence limite en deux points X et Y ; en passant à la projection centrale, les points X et Y sont conservés, mais la droite devient euclidienne et on peut la tracer. Les droites qui passent par le point O sont communes aux deux figures. Connaissant un point A de la projection stéréographique, on mène une droite lobatschewskienne par ce point ; la droite qui y correspond dans la projection centrale coupe la droite OA au point A' qui correspond au point A. Le problème inverse se résout avec la même facilité.
On peut aussi dire que le pôle absolu d'une droite en projection centrale est le centre euclidien de la droite en projection stéréographique. La transformation est alors applicable à la géométrie riemannienne. Le pôle absolu est le pôle de la droite par rapport au cercle de centre et de rayon ki.
La géométrie méf rique, en projection centrale cojnme en pro-
jectîon stéréographique, consiste à mesurer les grandeurs sur la sphère idéale. Cependant, les rapports anharmoniques en projection centrale sont encore identiques aux rapports euclidiens. En effet, le rapport anharmônique de 4 points est celui du faisceau des rayons de la sphère ; il se reproduit en projection centrale. Le rapport anharmônique de 4 droites est celui de leurs pôles absolus ; il se reproduit également. 11 est facile de démontrer que dans les deux espèces de projection, la distance l de deux points satisfait à l'équation
R désignant le rapport anharmônique de la droite divisée par les deux points à l'infini. Cette formule existe dans la sphère idéale. En effet, les points à Tinfîni se trouvent sur les droites isotropes du plan méridien qui détermine la droite ; l'un de ces points divise la droite dans le rapport
„ sin a
sm
on a
tg a = i ; on trouve :
L'autre rapport s'obtient en changeant le signe de i et on obtient, pour le double rapport, la valeur écrite plus haut.
L'angle de deux droites se mesure par la distance des deux pôles absolus ; on peut encore appliquer la formule (58) ; le rapport anharmônique est aussi le rapport dans lequel l'angle est divisé par les droites isotropes ou tangentes à la circonférence de l'infini.
Au point de vue où nous nous sommes placé, la formule (58) ne permet pas de calculer la distance, car elle ramène la question à l'évaluation d'un double rapport de sinus-distances. Mais en projection centrale, le rapport anharmônique est identique au
rapport anharnionique euclidien ; à ce nouveau point de vue, la formule détermine la distance. La formule est encore applicable quand on fait subir une transformation homographique à toute la géométrie plane ; la circonférence de l'infini devient alors une conique quelconque. La formule (58) est en effet la définition qui sert de base à la géométrie absolue de Cayley. Cette formule ne serait cependant pas vraie, si Ton faisait subir une déformation ponctuelle quelconque ; il faudrait alors déformer de la môme manière la géométrie euclidienne, et dans ce cas, il est inutile de prendre une conique comme lieu des points à l'infini ; on peut conserver la circonférence.
81. Courbes du second degré, — L'équation la plus générale des courbes du second degi*é peut se mettre sous la forme (12) du numéro 24. La théorie des tangentes et polaires, des centres, des foyers et directrices, n'est pas changée, mais il faut discuter la réalité des droites et des points. Nous ne considérerons que les équations dont les coefficients deviennent réels en introduisant la coordonnée z. Dans l'équation analytique écrite au n° 24, il faut supposer que les coefficients sont des quantités réelles multipliées par un ou deux facteurs i quand il y a un ou deux indices zéro. La fonction linéaire peut être mise sous la forme :
ï> e = tto Xo -h a. x^ + a^ X, ;
les conditions que nous venons d'indiquer reviennent à dire que les trois vecteurs spéciaux
deviennent, après la transformation par ^, trois autres vecteurs spéciaux
tto î, a,, tto.
L'équation cubique en g qui donne les droites doubles de la fonction f peut se mettre sous la forme
(T, — glTo) (TZ; — glT,) ("ïï; — g-Tj = 0,
En multipliant le premier facteur par i, les trois facteurs sont des vecteurs spéciaux ; ce sont des fonctions linéaires à coefficients réels des trois vecteurs
iio i, u,, u, ;
le produit de ces trois vecteurs est facteur commun; on obtient une équation à coefficients réels.
On arrive au même résultat en mettant l'équation en g sous forme de déterminant ; tous les éléments deviennent réels en divisant par i la ligne et la colonne d'indice zéro.
Les différents cas suivants peuvent se présenter dans la détermination des droites doubles : 1° l'équation en g* a ses trois racines réelles et trois droites doubles trirectangulaires ; 2'' l'équation en g* a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées ; il y a une droite double et un plan double normal à la droite ; 3° l'équation en g- a deux racines égales et deux droites doubles qui se confondent sur le cône isotrope ; 4° l'équation en g* a trois racines égales et trois droites doubles qui se confondent sur le cône isotrope.
82. Coniques à un centre réel. — Nous supposons d'abord que l'équation en g a ses trois racines réelles ; à chacune des racines, correspond une droite double déterminée par le moment de deux des trois vecteurs spéciaux dont le produit est nul ; ce moment est un vecteur qui se ramène dans le domaine spécial. Aux trois racines réelles, correspondent trois vecteurs spéciaux; la fonction étant autoconjuguée, ces trois vecteurs sont trirectangulaires. En vertu du théorème des vecteurs normaux, l'un se trouve à l'intérieur du cône isotrope et détermine un centre réel ; les deux autres déterminent deux centres du domaine imaginaire spécial. Les trois centres forment un triangle trirectangle, les trois côtés sont lei^ trois axes ; mais au point de vue réel, il n'y a qu'un centre réel situé à l'intersection de deux axes réels. Nous donnerons l'indice zéro à l'axe qui joint le centre de la sphère idéale au centre réel et nous mettrons l'équation de la courbe sous les formes (17), (18), (19) et (20) du n'^ 28.
Nous pouvons toujours supposer g*» positif. Déterminons les
sonirnets situés sur les axes réels. Si, dans l'équation (17), nous aiiiuilons Tordonnée d'indice y,, on détermine les sommets situés sur l'axe yo y« ; on trouve :
^ \/ g, iS/go
Lorsque g, est positif, la coordoiru^î vectorielle de ces sommets est un vecteur spécial dont le carré est
«". — go.
Les sommets sont réels ou dans le domaine imaginaire spécial, selon que ce carré est négatif ou positif. Lorsque g^ est négatif, la coordonnée vectorielle détermine des sommets complètement imaginaires.
On arrive aux mômes conclusions en discutant la longueur du demi-axe /) ; on a :
Le premier membre peut être considéré comme le carré d'une tangente hyperbolique. On obtient un axe de longueur réelle quand le second membre est positif et plus petit que l'unité. Lorsque le second membre est plus grand que l'unité, on pose ;
on obtient une valeur réelle de fo'. Les polaires des sommets sont à la distance b' du centre réel. Quand g, est négatif, on trouve* une valeur réelle pour la tangente trigonométrique de l'angle qui correspond au demi-axe b ; le demi-axe prend la forme :
b ^ Vi,
h' étant une longueur réelle.
On trouve également que les sommets du second axe réel peuvent être de trois espèces. Eu combinant les différents cas
et en tenant compte des combinaisons qui deviennent identiques par la permutation des axes réels, on trouve les six genres de coniques qui suivent.
1** On a une ellipse réelle quand les longueurs a et i des demi-axes sont réelles.
2° On a une hyperbole, quand la longueur a est réelle et que Ton a
3"* On a une hyperbole de seconde espèce, quand la longueur a est réelle et que Ton a
TU fc
4** On a une ellipse du domaine imaginaire spécial, quand on a
TZ k
71 fc
Cette courbe est la polaire absolue d'une ellipse réelle dont les demi-axes sont a' et b\ 5° On a une hyperbole du domaine spécial quand on a
7Î fc
Cette courbe est la polaire absolue d'une hyperbole réelle. 6" On a une ellipse imaginaire quand
La discussion faite pour les axes s'applique aussi aux rayons
vecteurs issus du centre réel ; de Tune dos équations en coordonnées polaires écrites au n" 28, on tire
cotg'
on reconnaît que cette expression varie dans le même sens, entre les vnlonrs qui correspondent aux axes, lorsqu'on fait tourner le rayon autour du centre.
Nous obtiendrons une famille contenant les trois genres de coniques réelles en nous donnant (fig. 22) les sommets A et A' de Taxe y^ y^ et en faisant varier g-, ou fi. La forme de la courbe
Hi
NX--
E \ / Aï
^'mK^
Fig. 22.
se déduit facilement de l'équation (20) que l'on peut résoudre par rapport à y,. En faisant varier fi de zéro à l'infini ou g, de zéro à g„, on obtient des ellipses dont la dernière est
y, « ± fcsin —
La limite des ellipses est formée de deux lignes équidistantes de l'axe yoy^- Les ellipses occupent la région A X A' Y
intérieure à ces deux circonférences ; leurs opposées occupent la région opposée, extérieure à ces deux circonférences.
Les deux espèces d'hyperboles ont une limite commune que Ton déduit de l'équation (19) en faisant
gt on tg-^ = ± 00 ;
on trouve :
Cette limite se compose des deux perpendiculaires élevées à l'axe A A' aux sommets de cet axe ; ce sont les circonférences euclidiennes A D M F et A' L M' K; les points M et M' sont les opposés des points A et A'. En faisant varier g^ de zéro à moins l'infini, on trouve des hyperboles dont l'une des branches varie de la droite A M à la droite A D MF, En faisant varier g*, de go à l'infini, on trouve les hyperboles de seconde espèce ; elles occupent une région formée de quatre parties égales à AXMDA ; dans cette région, la courbe varie de la forme A X M à la forme A D M. Les deux espèces d'hyperboles ont quatre points à l'infini ; chaque branche se prolonge dans l'autre monde par son opposée.
Nous avons placé le centre de la conique au point O, centre de la sphère idéale. Si l'on donne à la figure un mouvement lobatschewskien, la forme euclidienne des courbes se modifie ; c'est ainsi que, quand la conique passe par le point 0, l'opposée a une branche infinie.
83. Ellipse. — Toutes les formules établies pour l'ellipse riemannienne sont applicables à l'ellipse lobatschewskienne ; il suffit de tenir compte de la valeur imaginaire du paramètre. La directrice s'échappe à l'infini et dans le domaine imaginaire spécial lorsque l'équation (23) donne pour c' une tangente hyperbolique égale ou plus grande que l'unité, ce qui arrive quand les foyers se rapprochent du centre ; le rapport n devient imaginaire en passant par zéro.
Les constructions que nous avons données au n** 29 sont
applicables en géométrie lobatschewskienne.
La construction parles équidistantes des axes subit une grande simplification ; on mené (fig. 23) un rayon y^ M N ; les parallèles aux axes ou équidistantes s'obtiennent en traçant des circonférences par les points M et iV et les points à l'infini des deux axes.
Y ^4. Hyperbole de
première espèce, — Fig. 23. Toute les formules de
la géométrie riemannienne sont encore applicables si l'on donne à /> et fc leurs valeurs imaginaires. Les foyers réels sont déterminés par l'équation (23) ; ils sont situés, comme dans l'hyperbole euclidienne, au-delà des sommets sur le prolongement de l'axe de longueur réelle ; ils ne s'échappent à l'infini que dans le cas oii la courbe elle-même disparait. La directrice qui, avec son foyer, divise l'axe harmoniquement, est toujours réelle.
On peut construire l'hyperbole par une construction analogue à celle de l'ellipse. De l'équation (20), on tire
h r. =r'.sin-^^
en désignant par y\ l'ordonnée de l'hyperbole limite dont le demi-axe est un quadrant et qui se réduit à deux droites. Soit (fig. 24) A D My l'une de ces droites ; pour une même valeur de y , , on trouve un point D sur la droite et un point E sur la courbe à construire. Le point D est connu ; il s'agit d'en déduire le point E qui est sur la même équidistante y, ; cela revient à
déduire Téquidisiante X E F ou y., de Téquidistante XDYou y\. Menons une droite y. H F par le centre ; soient a et p les
Fig. 24.
rayons vecteurs des points H et F déterminés par cette droite sur les deux équidistantes ; on a
. a fc
sm — k
De là résulte la construction suivante : on trace deux circonférences ayant le même centre que l'hyperbole, Tune avec un rayon arbitraire p, l'autre avec un rayon a donné par l'équation précédente ; on mène une équidistante y, coupant la droite A'D M au point D ; on mène l'équidistante X D Y qui coupe la circonférence p au point F ; la droite y„ F coupe la circonférence a^ au point H ; l'équidistante X H Y détermine le point E de l'hyperbole qui a même abcisse y^ que le point D.
On peut déterminer Thyperbole en se donnant Taxe A A' et un point E ; on trace alors les équidistantes correspondantes XD y et XE y ; on mène la droite yo H F ; on obtient les deux cercles qui permettent de construire les autres points. On peut même, en menant la droite yo ff F', utiliser deux cercles de l'autre monde.
On peut aussi déterminer l'hyperbole en se donnant les coefficients g^ et go ; on pose
on a
tg"
go
sin
sinB.
sin
On obtient l'angle B en construisant un triangle rectangle euclidien ; on obtient a et p en construisant un triangle rectangle lobatschewskien dont B est l'un des angles ; « est l'hypothénuse, p est le côté opposé à l'angle B.
La construction de l'hyperbole que nous avons indiquée plus haut ne s'applique pas aux points à l'infini ; elle est peu précise pour les points très éloignés. On peut en trouver une autre qui n'a pas cet inconvénient. Soient G et 0', les angles que les rayons yoE et yoD forment avec l'axe A A', on a
tgO . 6
^ = sm
tgô' k
On peut déduire l'angle de 0' par la construction qui détermine le point d'une ellipse dont les demi-axes seraient p et a.
85. Asymptotes et diamètres autoconjugués, — Faisons tourner un rayon autour du centre à partir de l'axe réel ; l'équa-
tion du 11° 28 qui donne le sinus du rayon vecteur, montre que ce rayon croît et devient infini pour
. h sm
tge. = ± — ^
i sm
fc
Nous obtenons ainsi deux droites qui ont le caractère des asymptotes ; cependant, toutes les parallèles à ces deux droites, au sens de Lobatschewsky, présentent aussi ce caractère. Parmi ces droites se trouvent les vraies tangentes aux quatre points de Finflni ; on les obtient en chercharit les limites de la tangente en un point qui tend vers l'infini sur les deux branches de la courbe et dans les deux sens. Les quatre tangentes à l'infini forment un quadrilatère qui est la figure réciproque du quadrilatère des quatre points à l'infini. Les coordonnées homogènes de ces quatre points satisfont à l'équation (19) et à l'équation du cône isotrope ; en éliminant successivement l'une des trois coordonnées entre ces deux équations, on obtient les équations des côtés et diagonales du quadrilatère de ces quatre points ; on détermine alors les pôles des quatre côtés. On trouve ainsi que les tangentes aux deux infinis d'une branche de la courbe se coupent sur l'axe A A' entre le centre et cette branche de courbe ; la distance l du point d'intersection au centre est donnée par la formule
Ces deux tangentes coupent les deux autres tangentes à l'infini en deux autres points situés sur le second axe de la courbe ; la distance / de ces derniers au centre est donnée par la formule
Les quatre tangentes à l'infini forment un losange dont les diagonales sont les axes de l'hyperbole. Les côtés opposés de
ce losange ne se coupent pas en des points réels ; leurs points d'intersection sont les pôles des droites déterminées par l'angle ; ils se trouvent sur le troisième axe de la courbe, c'est-à-dire à une distance du centre d'un quadrant. Deux côtés opposés sont perpendiculaires à une même droite passant par le centre réel.
Si, dans l'équation en coordonnées polaires qui donne la tangente du rayon vecteur et que nous avons écrite au n** 28, nous faisons croître à partir 0,, on trouve une tangente hyperbolique qui croit de un à l'infini ; les rayons vecteurs sont complémentaires d'une distance réelle ; on obtient des points du domaine imaginaire spécial. Le rayon vecteur devient un quadrant pour la valeur 0, donnée par la formule
tg 0. = ±
Les deux droites déterminées par cette équation possèdent aussi quelques propriétés des asymptotes de l'hyperbole euclidienne. Les points de la courbe qu'elles déterminent se trouvent sur le troisième axe de la courbe ; ces points sont donc des sommets imaginaires et les tangentes en ces points sont précisément les deux droites qui les joignent au centre réel, c'està-dire les deux droites dont nous parlons. Chacune de ces droites est un diamètre ; elle est sa propre conjuguée comme toutes les tangentes ; donc c'est un diamètre autoconjugué.
On peut retrouver cette propriété en écrivant la relation qui existe entre les angles et 0' qui déterminent deux diamètres conjugués. On obtient facilement cette relation en exprimant que l'un des diamètres est la polaire du point d'intersection de l'autre avec le troisième axe de l'hyperbole ; on trouve :
On retrouve les diamètres autoconjugués en exprimant que les deux diamètres conjugués coïncident.
Remarquons aussi que la relation entre deux diamètres conjugués est indépendante de g^ ; en donnant à ce coefficient une valeur infinie, la courbe se réduit à ses deux diamètres autoconjugués et les diamètres conjugués ne sont pas changés. Les diamètres conjugués divisent harmoniquement Tangle des deux tangentes menées par le centre, c'est-à-dire l'angle des diamètres autoconjugués. On peut se proposer de construire une hyperbole, connaissant un point et ses deux diamètres autoconjugués. En géométrie euclidienne, ce problème consiste à tracer une hyperbole connaissant un point et ses asymptotes ; la construction simple, bien connue, résulte de l'identité des diamètres conjugués pour la courbe et pour les asymptotes. En géométrie non euclidienne, ce sont les diamètres autoconjugués qui possèdent cette propriété. On arrive à la construction suivante : par le point connu, on mène une droite quelconque : le diamètre conjugué à cette corde est conjugué à un autre diamètre que l'on construit en menant par le centre une perpendiculaire à la normale abaissée du centre sur la droite ; on obtient alors le diamètre conjugué à la corde par une division harmonique de l'angle des diamètres autoconjugués. La droite est aussi divisée harmoniquement par la courbe et les deux diamètres conjugués ; on en déduit le second point d'intersection de la droite et de la courbe.
86. Hyperbole de seconde espèce. — La construction que nous avons donnée au n° 84 s'applique à l'hyperbole de seconde espèce en la modifiant de la manière suivante. La longueur b est complémentaire d'une distance réelle ; le sinus de l'angle correspondant devient un cosinus hyperbolique ; il est plus grand que l'unité ; le rayon p sera donc plus grand que le rayon a. Quand on donne les coefficients de l'équation (17), on pose
sm -Ç-
= sin -7- ==
a k sinA
sm -jk
on en déduit
«•« fo.i *
— tff* - == —
g, k cos^A
On construit l'angle A par un triangle rectangle euclidien ; on construit alors un triangle rectangle lobatschewskien dont l'un des angles est A ; le rayon a est le côté opposé à cet angle ; le côté p est l'hypothénuse.
Nous avons écrit au n° 31 l'équation d'une paire de foyers en coordonnées^ tangentielles ; dans le cas qui nous occupe, on trouve que les coordonnées vectorielles de tous les foyers sont des vecteurs spéciaux situés à l'extérieur du cône isotrope ; il y a donc trois paires de foyers situés dans le domaine imaginaire spécial ; les polaires de ces foyers sont réelles. Les polaires des foyers situés sur l'axe de longueur réelle sont perpendiculaires à cet axe et leur distance 7 au centre réel est le complément de la longueur c donnée par la formule (22) ; on trouve
i sin
On trouve de même que les polaires des foyers situés sur Taxe réel de longueur imaginaire sont perpendiculaires à cet axe est à une distance 7, du centre, donnée par la formule
sin -î—- sin i^ = 1.
Enfin les polaires des foyers situés sur le troisième axe passent par le centre et forment avec l'axe de longueur réel un angle ô' donné par la formule
a — cos — — k
fc
X sin — -— h
sm
cos
tgô'
Nous avons fait remarquer que les foyers sont trois à trois sur une même ligne droite dont le pôle absolu est sur la circonférence des points à l'infini. Les six polaires absolues des^ foyers passent donc trois à trois par un même point de la circonférence
limite. Les polaires des foyers du troisième axe sont deux droites passant par le centre réel et déterminant 4 points à l'infini ; les autres polaires sont les droites qui joignent ces
quatre points en formant un quadrilatère dont les deux premières polaires sont les diagonales. On peut dire aussi que deux polaires perpendiculaires à deux axes sont parallèles, au sens de Lobatscheinrsky, à une polaire perpendiculaire à l'autre axe. Ces six polaires ont la disposition représentée dans la figure ^.
La distance d'un point à un foyer est le complément
Pig. 25.
de la distance de ce point à la polaire absolue du foyer ; on peut donc mettre Téquation (24) sous la forme
s -i- s" = constante,
« et « étant les distances du point de la courbe aux polaires des foyers d'un même axe. Les distances doivent être affeclées d*uii sîîoie qui dépend de la situation d'un point par rapport à la droite.
ST. Coniques à un seul axe réel et fians centre réeL — Nous supposons que Téquation en ^ a une racine réelle et deux racines imaginaires conju<>ées. Nous désignerons par i\ le vecteur unité dirigé suivant la droite double qui correspond à la racine réelle. Nous mettrons les racines imaginaires de l'équation en ^ jKjur la fonction L, inverse de ^, sous la forme
Les moments qui déterminent les droites doubles correspondantes prennent la forme
« et p étant deux vecteurs spéciaux. Nous pouvons alors réduire les vecteurs unités dirigés suivant les droites doubles à la forme
On peut résoudre ces équations par rapport aux vecteurs des seconds membres ; on trouve
Il résulte de là que le vecteur ^ détermine un point réel, que les vecteurs c/, ,3, v^ sont trirectangulaires et que les vecteurs ? et v^ déterminent des points du domaine imaginaire spécial.
Prenons provisoirement les trois droites doubles comme axes coordonnés de l'espace ; nous écrirons Téquation (17) sous la forme
s ii^ = 0.
Remplaçons les vecteurs unités et les coefficients par leurs valeurs ; prenons ensuite trois axes suivant les vecteurs «, |3 et t", ; on a
ë7. =y, ; l'équation de la courbe devient
Les droites doubles de la fonction ç> ou i{^ déterminent toujours le triangle trirectangle des trois centres et des trois axes de la courbe. Mais un seul de ces centres a une coordonnée vectorielle v^ qui est un vecteur spécial ; il est dans le domaine imaginaire spécial, c'est le point déterminé par l'axe Oy,. La polaire absolue de ce centre est réelle ; c'est l'axe yo y, ; il contient les deux centres complètement imaginaires ; en calculant les cosinus-distances de ces centres à l'origine yo des axes du plan, on trouve que ces centres sont à une distance de l'origine égale à un demi-quadrant. Les axes euclidiens que nous avons choisis sont l'axe du centre du domaine imaginaire spécial et les bissectrices des axes qui passent par les deux centres complètement imaginaires.
Nous trouverons les sommets situés sur l'axe réel en annulant l'ordonnée d'indice deux dans l'équation (59). La distance des sommets à l'origine des coordonnées du plan est donnée par la formule
î sin -^ = -^ (60).
On trouve' un sommet réel et son opposé ; mais le complément de la distance o* satisfait aussi à l'équation ; il y a donc un second sommet dans le domaine imaginaire spécial, et la polaire absolue de ce sommet est réelle ; les distances à l'origine du sommet réel et de la polaire absolue de l'autre sommet sont égales et portées en sens contraires. La longueur de l'axe de la courbe est la distance entre les deux sommets ; on trouve
Le milieu de cet axe est l'un des centres imaginaires ; il est à une distance d'un quadrant de l'origine des coordonnées.
On obtient l'équation des foyers de l'axe réel en supprimant le terme en g", de l'équation (17) et en diminuant les deux autres constantes goQtg^ de la constante g-,. Cela revient à supprimer le premier terme de l'équation (59) et à remplacer
l par ï — g, ;
on trouve alors que la distance y du foyer à l'origine est donnée jîar la formule
ism-j^ g <^'1>-
On trouve un foyer réel et un foyer dont la polaire absolue est réelle ; les distances à Torigine du foyer réel et de la polaire absolue de l'autre foyer sont égales et portées en sens contraires. Nous pouvons toujours supposer g et g^ positifs ; la distance du sommet au foyer est toujours portée dans le sens de Taxe yo y. .
L'équation (24) de la courbe rapportée à ses deux foyers prend la forme
s — r==2ar;
V est la distance du point de la courbe au foyer réel, s la distance à la polaire absolue de l'autre foyer. On vérifie que les signes sont bien choisis en se plaçant au sommet.
Eliminons les constantes de l'équation (59) au moyen des équations (60) et (61), on trouve
sin sin -i
fc fc 2(7
TfT -
2a ^k cos -^—
fc
(ft4).
Le coefficient g a le signe de a*.
On peut aussi éliminer la distance au foyer en introduisant le
rapport n ou la demi-corde menée par le foyer normalement à l'axe ; on trouve, après quelques calculs,
,^ = --tg-|- tg^^ (66).
Toutes ces équations peuvent encore s'obtenir en partant de l'équation (19). On prend alors comme nouveaux axes, les bissectrices de l'angle yo y, ; on retrouve l'équation (63). Le coefficient q est alors exprimé en fonction de i> ; on élimine b au moyen des équations (22), (27) ou (28); on retrouve les valeurs précédentes.
On peut aussi déplacer l'origine des coordonnées sur l'axe de la courbe. Si l'origine est au sommet réel, on a
^ = 2y. (y, - yo cotg -^^
Si l'origine est au pied de la polaire absolue du sommet imaginaire, on a
^ =2yo (ro-r. cotg ^) (68).
On arrive aux mêmes résultats en partant de l'équation (19) et en faisant tourner les axes jo y , de l'angle mesuré par a ou de l'angle complémentaire.
Si dans l'équation (68), on réduit la coordonnée d'indice zéro au paramètre, on obtient l'équation de la projection centrale de la courbe sphérique sur le plan tangent au point yo ; on trouve, en remplaçant q par sa valeur tirée de l'équation (66),
2fctg|-fx-fctgy
C'est une parabole euclidienne que l'on construit facilement. Nous avons (fig. 26) déterminé cette parabole par ses tangentes ; nous en avons déduit les tangentes à la projection stéréographique. La courbe s'étend du sommet vers deux points à l'infini et se prolonge dans le second monde par son opposée. Les courbes de ce genre ont reçu le nom de pseudo-paraboles (uneigentliche parabel). Cependant au point de vue du rapport à n, on peut les considérer comme des ellipses ou des hyper-
boles dont l'un des sommets passe dans le domaine imaginaire spécial; on a l'un ou l'autre genre, selon que q et t sont négatifs ou positifs. On obtient une parabole proprement dite quand ces quantités sont nulles. L'équation (68) devient alors
Fig. 26.
Dans la parabole, la polaire absolue du sommet imaginaire passe par le sommet réel ; la polaire absolue du foyer imaginaire se confond avec la directrice qui correspond au foyer réel. On peut vérifier cettç dernière propriété par le calcul, mais elle résulte immédiatement de l'équation de la courb3 rapportée à ses deux foyers, qui devient ici
88. Courbes limites. — Nous examinerons plus loin les cas où réquation en g- a deux ou trois racines égales. Mais nous ferons d'abord remarquer qu'on peut arriver indirectement à ces cas en se plaçant dans un cas voisin et en passant à la limite. La circonférence est une ellipse dont les axes ont même longueur. Si les deux sommets de l'un des axes d'une ellipse s'éloignent à l'infini, on obtient deux lignes équidistantes d'une droite (fîg. 22). On peut aussi supposer que deux constantes de l'équation (17) deviennent égales. Les droites doubles qui correspondent aux valeurs égales sont indéterminées, on obtient une infinité de centres sur la polaire absolue du centre isolé. La lignes des centres peut être réelle ou son pôle absolu peut être réel. On obtient une infinité d'axes réels passant par un même centre dans le cas d'une circonférence ordinaire ; on obtient une ligne réelle des centres dans le cas de deux équidistantes.
L'équation (67) représente, quand on exprime o- au moyen de a, une conique à centre rapportée à un axe et à la'tangente au sommet. En faisant tendre a vers l'infini, on obtient une ellipse ou une hyperbole limite ; dans ce dernier cas, il y^a un point isolé à l'infini. Le centre réel, qui est le milieu Jde l'axe, se transporte aussi à l'infini, ainsi que le second centre^situé sur le même axe. On arrive au même résultat J en • faisant tendre t vers l'infini ; on pourrait donc dire aussi {que l'on obtient ainsi une pseudo-parabole limite ; mais il paraît peu logique de transporter d'abord l'un des sommets dans le domaine imaginaire spécial, pour le faire revenir ensuite'vers l'infini qui appartient encore au domaine réel.
L'équation (68) représente une pseudo-parabole rapportée à son axe et à la polaire absolue du sommet imaginaire ; en faisant tendre tj vers l'infini, nous obtiendrons une conique à laquelle on peut donner, avec plus de raison, le nom de pseudo-parabole limite.
Dans ces deux genres de courbes limites, le triangle des trois centres est dégénéré ; deux centres sont confondus à l'infini ; ils se trouvent sur un axe réel de la courbe : le second genre est caractérisé par l'absence d'un sommet réel et accessible.
11 y a un dernier genre de coniques ; ce sont les coniques doublement limites ; elles ont trois centres confondus à
rinlini. On peut les obtenir en rapportant une pseudo-parabole limite à la polaire absolue du foyer imaginaire et en rejetant Taxe de la courbe à Tinfini. Nous n'insistons pas sur ces procédés, parce qu'ils ne résolvent pas complètement la question qui nous préoccupe, savoir la détermination de tous les genres de courbes qui peuvent être représentées par une équation du second degré.
89. Coniques qui ont une infinité d'axes ou de centres. — L'équation en g exprime que les trois vecteurs analogues à
tto - gUo
sont dans un même plan ; la normale à ce plan est la droite double qui correspond à la valeur de g. Lorsque ces trois vecteurs sont parallèles, la droite double est indéterminée ; c'est une droite quelconque perpendiculaire au trois vecteurs parallèles. On reconnaît facilement, en prenant la dérivée de l'équation en g-, que cette valeur de g est une racine double. En exprimant que les trois vecteurs sont parallèles, on trouve des relations qui se ramènent à trois équations de la forme
«ou — g* = -i^^— ^".
On trouve deux relations entre les coefficients ; on peut les interprêter en disant que, dans le déterminant des neuf coefficients, les mineurs qui correspondent aux éléments à indices non répétés sont proportionnels à ces éléments. Si cette condition est satisfaite, on peut calculer g par l'une ou l'autre des équations précédentes et alors éliminer les coefficients à indices répétés de l'équation de la conique. On peut ensuite identIRer l'équation à l'équation
qui représente deux circonférences opposées l'une ou l'autre. On trouve, en identifiant les termes du premier degré, les équations
et deux autres semblables ; on trouve, en identifiant les termes du second degré, trois équations de la forme
qui sont des conséquences des trois précédentes. On peut toujours rendre <x^ réel en changeant, s'il y a lieu, le signe de réquation ; y-^ sera réel, tandis que ac^ sera une quantité réelle multipliée par i. Le vecteur a est donc un vecteur spécial. Selon que le carré de ce vecteur est négatif, nul ou positif, on obtient une circonférence ordinaire, une ligne limite ou deux lignes équidistantes. Le rayon R ou la distance s à la polaire absolue du centre est donnée par la formule
. jR . 3 s —g
cos* --^ = sm* — - = — 2 k fc «•
Le cercle est réel quand on a
la ligne équidistante et la ligne limite sont réelles quand g est positif. Lorsque g est négatif, la courbe est imaginaire ; elle peut passer dans le domaine imaginaire spécial (deux cas).
90. Coniques à un seul axe réel et deux centres confondus à V infini. — Nous supposons que Téquation en g* a deux racines égales et que les droites doubles correspondantes ne sont pas indéterminées ; ces deux droites se confondent, et comme elles sont rectangulaires, elles doivent se trouver sur le cône isotrope; elles déterminent deux centres confondus à la circonférence limite. On démontre que la troisième droite double se trouve à Textérieur du cône isotrope en appliquant le raisonnement du n° 66 à ce cas pai*ticulier.* Prenons cette troisième droite double comme axe y, ; nous mettrons l'équation de la conique sous la forme
r: + A y; + 2 B yo r . î + G r: = o.
Cette équation représente toutas les coniques qui ont un axe réel ; Téquation en g* a une racine égale à l'unité ; les deux
autres racines sont données par une équation du second degré J en étudiant le cas de deux racines réelles ou imaginaires, on retrouverait les coniques étudiées précédemment ; nous passerons immédiatement au cas où les deux racines sont égales. On trouve la condition
2 B = db (A — C).
Nous ne prendrons que le signe plus, parce que l'on peut toujours changer le signe de D en changeant le sens de Taxe y^y^- L'équation devient
r; + (Aro-cr.o(r« + r. O-o.
On trouve sur Taxe réel un sommet à l'infini du côté des y, négatifs ; on trouve ensuite un second sommet situé à une distance ^ de l'origine donnée par l'équation
it« '
fc C
Deux cas peuvent se présenter; si la valeur absolue du second membre de cette équation est plus petite que 1, on trouve un sommet réel ; si cette valeur absolue est plus grande que 1, on trouve un sommet imaginaire dont la polaire absolue est réelle. Le cas intermédiaire, où cette valeur est l'unité, est celui où la conique se réduit à deux droites parallèles ou deux lignes équidistantes de l'axe.
Dans le premier cas, nous prendrons le sommet comme origine des coordonnées du plan ; on doit alors avoir
l'équation de la courbe peut s'écrire
/^ - r. (r. - ru = (69).
Dans le second cas, nous prendrons la polaire du sommet comme axe des y^ ; on doit avoir
réquation de la courbe devient
- ro (ro + r. O - o (70).
91. Ellipses et hyperboles limites. — L'équation (69) est réquation (67) où l'axe 2a tend vers l'infini ; c'est donc bien l'une des courbes limites rencontrées au n" 88. En coordonnées tangentielles, l'équation (69) devient
q ti^2 to {to -^ t,i) = 0;
les coordonnées tangentielles sont les dérivées partielles du premier membre de l'équation (69) ; on obtient l'équation précédente en éliminant les coordonnées ponctuelles. On obtient l'équation, en coordonnées tangentielles, des foyers de l'axe y„ y, , en retranchant, de l'équation de la courbe, le terme
q(tl +tl + tl).
On trouve un foyer à l'infini et un autre situé à une distance y de l'origine ; on a
iteX = -3—.
Ce foyer devient imaginaire et a une polaire absolue réelle lorsque l'on a
dans les autres cas le foyer est réel.
On trouve les points à l'infini d'une conique en considérant l'équation de la conique et de la circonférence limite comme simultanées ; ces points sont généralement au nombre de quatre et forment un quadrilatère. Dans le cas qui nous occupe,
- Ûi -
on peut éliminer y^ ; on trouve les équations de deux côtés de ce quadrilatère ; Tun de ces côtés donne deux points qui se confondent avec les deux sommets ou les deux centres à l'infini, Tautre a pour équation
:yt î . 1
Yo 1 + 2 g '
on trouve deux nouveaux points ; mais ils sont imaginaires si la valeur absolue du second membre est plus grande que Tunité, ce qui a lieu pour
c'est ce qui caractérise l'ellipse limite.
On peut aussi trouver les foyers de la conique en appliquant ce théorème : les côtés et diagonales du quadrilatère des quatre points à l'infini de la polaire absolue de la conique sont les polaires absolues des six foyers de cette conique. Cette propriété résulte immédiatement de ce que les tangentes issues du foyer sont isotropes ou leurs propres perpendiculaires ; la coordonnée vectorielle d'une de ces tangentes est donc perpendiculaire à elle-même et se trouve sur le cône isotrope. La méthode que nous avons suivie pour trouver les foyers, revient à chercher les côtés ou diagonales du quadrilatère des points à l'infini de la polaire absolue de la conique.
Soient A et A' (fig. 27) les sommets de la courbe ; en donnant toutes les valeurs possibles au paramètre q, nous obtiendrons une famille de coniques comprenant tous les genres de la classe que nous étudions.
On obtient les ellipses limites pour les valeurs satisfaisant aux conditions (72). Elles s'étendent depuis la droite A A' qui correspond à une valeur nulle de g, jusqu'à la ligne limite ABA'B' qui correspond à la valeur 1. Ces ellipses se prolongent dans le second monde par leurs opposées ; elles forment, sur la circonférence limite, un point multiple, en coupant l'infini sous un angle que nous calculerons plus loin et qui varie de 90° à zéro.
On obtient les hyperboles limites de seconde espèce lorsque la condition (71) est réalisée. La courbe varie depuis la ligne
limite À B A' B' jusqu'à la droite D'AD qui correspond à une valeur infinie de g. On trouve une branche infinie qui se prolonge par son opposée en coupant normalement Tinfîni ; il faut cependant joindre, à cette branche, le point isolé A'.
Fig. 27.
On obtient les hyperboles limites de première espèce en donnant à q les valeurs positives ; la courbe varie de la droite Aie jusqu'à la droite lï AD; on trouve encore une branche infinie qui se prolonge par son opposée, en coupant normalement rinfîni ; il faut aussi y ajouter le point isolé A'.
Dans l'ellipse et l'hyperbole limites de première espèce, on trouve un foyer réel; dans l'hyperbole limite de seconde espèce, le foyer a une polaire réelle. Dans ce dernier cas, le quadrilatère des polaires des foyers se réduit à un triangle dont l'un des côtés est la polaire réelle précitée et dont le sommet opposé est le foyer à l'infini.
L'équation de la courbe rapportée à ses deux foyers prend une forme illusoire, mais on peut la rendre applicable en remplaçant le foyer à l'infini par une ligne limite ayant ce foyer pour centre, et s'il y a lieu, les foyers imaginaires par leurs polaires absolues réelles. On a donc les propositions suivantes : l'ellipse et l'hyperbole limites de première espèce sont les lieux géométriques des points dont la somme ou la différence des distances à une ligne limite et à un point fixe est constante. L'hyperbole limite de deuxième espèce est le lieu
des points dont la somme ou la différence des distances à une ligne limite etlà^une droite est constante. En prenant les deux autres polaires réelles de foyers, on obtient deux droites parallèles au sens de Lobatschewsky ; l'hyperbole limite de deuxième espèce est donc aussi le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites parallèles est constante ; le point de concours à l'infini des deux droites parallèles est le double centre. Remarquons aussi qu'en donnant au mot circonférence le sens le plus large et en remarquant que le signe des distances est conventionnel, on peut définir une conique comme le lieu des points équidistants de deux circonférences.
92. Pseudo-paraboles limites, — L'équation (70) est l'équation (68) où ï tend vers moins l'infini ; elle représente donc une pseudo-parabole dont le sommet réel s'échappe à l'infini et qui est rapportée à son axe et à la polaire réelle du sommet imaginaire. En écrivant l'équation de la projection centrale, on reconnaît que la courbe n'est réelle que si l'on a
L'équation, en coordonnées tangentielles, est
qtl=-2 t, (t, — to î).
On trouve aisément que l'un des foyers de l'axe réel suit l'un des sommets à l'infini et que le second foyer suit l'autre sommet dans le domaine imaginaire spécial. La polaire absolue de ce second foyer coupe l'axe à une distance y de l'origine donnée par l'équation
pour les courbes réelles, cette distance varie entre zéro et moins l'infini. En réalité, la polaire du foyer peut prendre toutes les positions, car l'origine peut être déplacée à volonté. Il résulte de là que les points à l'infini de la réciproque absolue et les polaires absolues des foyers ont la même disposition que
dans l'hyperbole limite de deuxième espèce. La pseudo-parabole limite peut être obtenue par les deux lieux géométriques qui donnent l'hyperbole limite, mais il faut changer le sens d'une distance ou remplacer la somme des distances par leur différence, et réciproquement.
93. Conique sans axe réel avec trois centres confondus à l'infini. — Nous supposons que l'équation en g* a trois racines égales ; nous pouvons toujours les ramener à l'unité en divisant i'équation par une constante. Nous pouvons mettre la fonction ^ sous la forme suivante
en déterminant les valeurs a et p comme nous l'avons indiqué au n** 44. Nous exprimerons que la fonction linéaire est autoeonjugnée en écrivant trois relations de la forme
on trouve
Je dis de plus que l'on peut choisir le vecteur y, qui est arbitraire, de telle manière que l'on ait
En effet, on peut remplacer le vecteur y par
on trouve
on détermine facilement le rapport des coefficients p et g qui réalise la condition
et l'on supprinie les accents.
Le vecteur a est un vecteur du cône isotrope ; le vecteur p, qui lui est perpendiculaire, doit se trouver à l'extérieur du cône isotrope : nous prendrons sa direction pour l'axe y, et nous écrirons
P -= m Ug.
Nous pouvons toujours amener le vecteur 7 à l'intérieur du cône isotrope en le remplaçant, s'il y a lieu, par
ce qui ne change pas les deux autres vecteurs. Nous prendrons alors
en prenant ce vecteur pour l'axe O yo- Les trois axes rectangulaires que nous choisissons sont alors déterminés. Le vecteur a doit satisfaire à trois conditions ; il est déterminé ; on trouve
^ = m* {u, — Uo i)
en dirigeant convenablement l'axe O y^.
On a alors pour l'équation de la courbe en coordonnées tangentielles
Les coordonnées y et z s'expriment par les équations
e cc = z{(x 7),
On trouve alors, en introduisant les coordonnées tangentielles ordinaires,
'.' +2mt.(t, — f„i) = 0.
Cette équation peut être considérée comme l'équation, en coordonnées ponctuelles, de la réciproque absolue de la
Fig. 28.
conique. Les côtés et les diagonales du quadrilatère des quatre points à l'infini de cette réciproque sont les polaires absolues
des six foyers de la conique. Ces quatre points s'obtiennent en posant
on trouve
t^ —toi = 0.
La première équation représente Taxe yo y^ ; on trouve les deux points A et B (lig. 28) à l'infini. La seconde équation représente une perpendiculaire à l'axe y^ y, menée par le point A ; elle détermine deux points de la circonférence limite A' et A" qui se confondent avec le point A. Le quadrilatère A A' A" Best un quadrilatère dégénéré; la droite A Best la polaire absolue de trois foyers qui se confondent au point imaginaire y, ; la droite imaginaire A A' A" est la polaire absolue de trois foyers qui se confondent en A avec les trois centres de la courbe. Le triangle des trois centres se réduit au point A et les trois axes de la courbe se confondent sur la droite imaginaire Ay^. En rapportant la conique aux deux foyers A et y,, on est conduit à cette proposition : la conique est le lieu des points équidistants de la droite A B et d'une ligne limite ayant le point A pour centre. Nous allons vérifier cette induction en écrivant l'équation de la conique en coordonnées ponctuelles.
Les coordonnées ponctuelles sont les dérivées partielles du premier membre de Téquation (73) ; en éliminant les coordonnées tangentielles, on arrive à l'équation
e^-2my.(y, -yoî)+mMr, -yoî)* = (74).
Les calculs à faire sont assez longs ; on arrive plus rapidement au but par la méthode suivante. L'équation cherchée est
Or, on a
en multipliant par "l* " ' , on trouve
L'équation (73) donne
.ë(<|; - 1)' V^ (DHr = S (^Y-= m* {y. - r„ i)'.
On trouve immédiatement l'équation (74).
On peut aussi mettre cette équation sous la forme non homogène
fc--2mr, (y. -roO+m-(y,-yoîr -0 (75).
On trouve les points à l'infini en annulant le premier terme de réquation (74) ; on retrouve évidemment le point A, on trouve ensuite un point D sur la droite
r . = Y (r, — Xoi);
cette droite est toujours réelle, car le carré du vecteur de son pôle absolu est l'unité.
La courbe coupe l'axe A B en un point situé à une distance a de l'origine des coordonnées du plan ; on obtient cette distance en annulant la coordonnée d'indice deux dans l'équation (74) ou l'équation (75). La première donne
î tg-7: ^
1 + m la seconde donne :
L^équation d*uné circonférence (ligne limite) ayant le point A pour centre, peut s'écrire :
e a ou y, — yo î = constante.
Exprimant que cette circonférence coupe Tare A B à une distance de l'origine égale à
a \- r; on trouve :
Xo + y, i =^ k e
On peut prendre r comme nouvelle coordonnée ; c'est la distance du point à la ligne limite fixe
Jo + r. i = fc e •
Introduisons cette coordonnée dans l'équation (75); exprimons aussi y 3 par un sinus-distance ; on trouve
Quand on se donne la ligne limite fixe, on trouve deux courbes homofocales et orthogonales; on passe de l'une à l'autre en changeant le sens des s positifs ; la proposition énoncée précédemment est donc démontrée.
On peut encore mettre l'équation (74) sous la forme
yl + r: + [y. - m (y, ~ y. i) y = O. (76).
Prenons comme nouvelle coordonnée la distance /'' du point de la courbe au point imaginaire y,, et la distance s' de ce point à la droite A E dont l'équation est :
y^ == rn (y, — yo i);
l'équation (76) donne :
3in-^ = îsiny5
c'est réquation de la courbe rapportée à un foyer et à la directrice correspondante. On reconnaît facilement que la droite A E que nous venons d'introduire, est la polaire du foyer y^ par rapport à la conique. Le rapport n est égal à î.
Nous avons (ûg. 28) construit la courbe au moyen des tangentes à la projection centrale. On reconnaît par l'équation (76) que cette projection est la transformée de la circonférence limite par un glissement suivant la normale à A B et amenant la droite A B sur la droite euclidienne A E dont nous avons écrit l'équation plus haut. Cette projection centrale est une ellipse osculatrice à la circonférence limite. Les tangentes à cette ellipse s'obtiennent facilement en transformant les tangentes à la circonférence limite ; on en déduit les tangentes à la conique en projection stéréographique. On voit que la courbe n'a qu'une branche infinie qui se prolonge dans l'autre monde par son opposée. Elle coupe normalement l'infini au point D ; elle touche l'infini au point A en le traversant par un point de rebroussement euclidien. La droite lobatschewskienne A E est la directrice.
94. Faisceaux du second degré. — On peut considérer une conique comme l'ensemble de ses tangentes. A tout point du plan correspond une polaire qui détermine les points de contact des tangentes menées par ce point. On peut avoir deux tangentes réelles ou imaginaires ; la frontière qui sépare les points avec ou sans tangente, est évidemment la courbe ellemême ; il n'y a pas de tangente dans les régions qui comprennent les foyers.
Il peut y avoir deux espèces de tangentes : les tangentes proprement diteg,qui touchent la courbe en des points réels, et les pseudo-tangentes, qui touchent la courbe en des points à coordonnées réelles mais situés dans le domaine imaginaire spécial Un point réel ne peut passer continûment dans le domaine imaginaire spécial qu'en traversant le cône isotrope, donc les tangentes à l'infini forment la frontière entre deux régions où une tangente change d'espèce.
Dans l'ellipse, la région sans tangente est la région limitée par la courbe et contenant le centre et les foyers. La réciproque absolue de l'ellipse n'a pas de tangente. Dans l'hyperbole de
pi*emière espèce, les tangentes à l'infini limitent un losange contenant le centre ; c'est la région oii il y a deux pseudotangentes ; en prolongeant les côtés opposés de ce losange, on trouve, entre ces prolongements, deux régions où il y a une tangente de chaque espèce. Les régions limitées par la courbe et contenant l'un ou l'autre foyer, sont les régions sans tangente. Les régions qui restent ont deux tangentes proprement dites.
La réciproque absolue de l'hyperbole de première espèce, quoiqu'étant complètement imaginaire, fournit le faisceau le plus complet ; il y a deux pseudo-tangentes qui passent par tout point du plan. Connaissant cinq de ces tangentes, on peut construire toutes les autres par la propriété de l'hexagone circonscrit à une conique, quoique la conique soit complètement imaginaire.
L'hyperbole de seconde espèce n'a pas de tangente dans la région du centre. Au point de vue euclidien, les tangentes sont à l'intérieur des deux branches fermées, dans la disposition de la figure 22.
Ces considérations s'appliquent aussi aux courbes limites, mais il y a des régions qui disparaissent.
95. Classification des coniques par la projection centrale, — En projection centrale, le triangle des trois centres est autopolaire par rapport à la conique et par rapport à la cirfonférence limite. On obtient une courbe à centre réel, lorsque la courbe coupe la circonférence limite en quatre points réels ou quatre points imaginaires, car les points d'intersection réels des côtés opposés et des diagonales du quatrilatère de ces quatre points, sont précisément les sommets du triangle autopolaire commun. On reconnaît le genre d'une courbe à centre par les tangentes que l'on peut mener du centre de la courbe. Ainsi, par exemple, une ellipse euclidienne qui coupe la circonférence limite en quatre points réels, est une hyperbole de seconde espèce, car on ne peut mener aucune tangente du centre, et il y a quatre points à l'infini.
Les courbes limites à deux centres confondus à l'infini, sont les coniques euclidiennes qui touchent la circonférence limite ; l'un des côtés du quadrilatère des quatre points à l'infini se réduit à un seul point ; le triangle des trois centres se l'éduit à une droite.
Lorsque la conique est osculatrice à la circonférence limite, le triangle autopolaire commun se réduit à un seul point et une droite ; c'est la courbe à trois centres confondus à Tinfini.
Lorsque la conique touche la circonférence limite en deux points réels ou imaginaires, on obtient deux équidistantes ou un cercle.
96. Sur Vangle d'une courbe avec VinfinL — Représentons d'abord la courbe en projection centrale et supposons qu'elle coupe la circonférence limite suivant un angle euclidien non égal à zéro ; je dis que l'angle lobatschewskien est toujours droit. En effet, nous pouvons toujours mener une tangente à la courbe et en déduire la tangente en projection stéréographique ; cette tangente est orthogonale à la circonférence limite et les angles sont reproduits en vraie grandeur euclidienne. 11 résulte de là, en général, qu'une courbe coupe l'infini à angle droit.
Cette démonstration est en défaut quand la courbe touche la circonférence limite en un point A (fig. 29), car la tangente lobatschewskienne se réduit à un point et ne nous apprend rien sur l'angle de la courbe avec l'infini. Menons alors la tangente
Fig. 29.
B D en un point M infiniment voisin du point A ; nous obtien drons en projection stéréo^raphique, une tangente B N D en un point N. Tirons la droite euclidienne A N, c'est la limite de cette droite qui nous donnera la tangente euclidienne à Tinllni et qui nous permettra d'évaluer l'angle de la courbe avec rinlini.
Nous obtiendrons cette limite immédiatement en appliquant notre méthode des limites relatives. Menons, à la circonférence limite, une tangente parallèle à la droite B D ; soit F le point de contact. Soit d l'angle de contingence des arcs A F et A M ; soit le rayon de courbure de la courbe en A ; on a
limr A B I =- limr A B F -= k' d limr A B = p d 0.
La limite relative est construite à gauche pour une valeur de 'angle de contingence égale à l'unité ; on a donc
AT - fc'
La droite A N fait en N un angle infiniment petit avec la courbe et avec la tangente à la courbe ; donc, l'angle A N I doit être remplacé par sa limite absolue qui est un droit. On trouvera donc le point N', limite relative du point iV, en traçant une circonférence sur A' F comme diamètre. Cette constrution simple se traduit par la formule suivante, qui donne l'angle a que fait la courbe avec l'infini :
cos s/
La construction se simplifie encore en appliquant notre méthode des limites relatives normales. Prenons un angle de contingence égale à deux ; la normale euclidienne à l'extrémité du diamètre de courbure, au point A de la projection centrale, coupe la circonférence limite aux points net h des normales euclidiennes au point multiple.
~ KM — Soit:
l'équation d'une courbe en coordonnées homogènes. Supposons qu'elle coupe l'infini au point A situé sur l'axe y„, y, du côté des y, négatifs. L'angle est droit, si :
dF >
Si cette dérivée est nulle, on trouve en supposant y„ égal à k,
dF
p = lim ;r-; ; r: ^ j'~T-r
dy\
clF
Xol
d'F dy\
Cette dernière valeur est encore vraie en coordonnées homogènes. On arrive aussi à cette formule en cherchant par l'analyse la limite de l'angle de la courbe avec le rayon qui joint l'origine à un point de la courbe qui tend vers l'infini.
La courbe touche l'infini lorsque l'on a :
p = fc';
généralement, la projection centrale traverse la circonférence et la projection stéréographique présente un point de rebroussement euclidien. Cependant, si le contact est d'ordre pair et plus grand que deux, il y a contact ordinaire en projection stéréographique ; cela se présente pour les lignes limites ; la courbe touche la circonférence limite par un point multiple.
97. Lacunes et controverse. — Nous avons déjà cité l'ouvrage très remarquable de M. Killing sur les géomé tries non euclidiennes. Nous nous permettrons cependant de signaler quelques lacunea de cet ouvrage et un point sur lequel nou3
ne sommes pas d'accord avec l'auteur. M. Killing définit la courbe par ses foyers ou leurs suppléants; il trouve six formes: les trois courbes à centre, les pseudo-paraboles, la parabole et une courbe qu'il appelle : « die Berûhrungskurve des Unendlichfernen ». Il ajoute que la discussion analytique de l'équation du second degré ne conduit qu'à ces six formes.
La dernière de ces six formes est le lieu des points équidistants d'une ligne limite et d'un point fixe ; c'est donc l'ellipse limite ou l'hyperbole limite de première espèce. Il y a trois genres de coniques limites qui ne rentrent pas dans cette définition, ce sont les courbes limites qui ont un foyer à l'infini et un autre dans le domaine imaginaire spécial, savoir : l'hyperbole limite de seconde espèce, la pseudo-parabole limite, et la conique sans axe. Cependant, l'équation obtenue par M. Killing est plus générale que la définition dont il est parti. En prenant, pour axes coordonnés, l'axe de la courbe et la tangente au sommet, il trouve une équation qui ne diffère de l'équation (69) que par les notations ; cette équation peut représenter une hyperbole limite de seconde espèce. La pseudoparabole limite qui n'a pas de sommet accessible et la conique sans axe ont complètement échappé au savant professeur allemand.
Nous croyons aussi que le nom donné par cet auteur à la courbe limite qu'il obtient, ne se justifie pas. Cette courbe ne touche pas l'infini. Si la courbe est une ellipse limite, elle coupe l'infini suivant un angle que l'on peut calculer ou construire, comme nous l'avons indiqué au n"" précédent. Si la courbe est une hyperbole limite, le prétendu point de contact avec l'infini est un point isolé de la courbe ; la courbe proprement dite coupe normalement l'infini. Il y a effectivement une conique qui touche l'infini : c'est la conique sans axe accessible ; c'est l'un des genres qui ont échappé à l'auteur.
98. Coniques homofocales. — On construit une famille de coniques homofocales, en traçant deux suites de circonférences concentriques telles que la distance de deux circonférences voisines soit égale à une constante. Il faut évidemment donner au mot circonférence le sens le plus étendu ; le centre de chacune des suites de circonférences est un foyer des coniques ;
il peut être réel, à l'infini ou dans le domaine imaginaire spécial. Ces circonférences découpent le plan en quadrangles ; les coniques homofocales suivent les diagonales de ces quadrangles. Ces courbes se divisent en deux systèmes ; les courbes qui ne se coupent pas sont de même système ; les courbes d'un système coupent orthogonalement les courbes du système opposé.
Si les foyers sont réels, on obtient un système d'ellipses coupant un système d'hyperboles de première espèce. Si l'un des foyers s'échappe à l'infini, on obtient des ellipses et des hyperboles limites.
Si l'on se donne deux droites réelles comme polaires absolues de foyers, on obtient une famille d'hyperboles de seconde espèce ; on trouve facilement les deux autres paires de polaires de foyers et les axes des coniques ; le premier système de coniques est normal à l'un des axes ; le second système est normal à l'autre axe. Si les deux droites données sont parallèles, on obtient des hyperboles limites de seconde espèce.
Si l'on se donne un point réel comme foyer et une droite réelle comme polaire absolue de foyer, on obtient une famille de pseudo-paraboles représentée par les équations (63) et (64) où ^ joue le rôle de paramètre arbitraire. Le premier système correspond aux valeurs de ^ supérieures à y ; le second système correspond aux valeurs inférieures. Si le foyer réel se transporte à l'infini, on obtient un système d'hyperboles limites de seconde espèce coupant orthogonalement un système de pseudoparaboles limites. Si la polaire réelle du foyer imaginaire passe par le foyer à l'infini, on obtient une famille de coniques sans axe accessible, représentée par l'équation (76) ; le premier système correspond aux valeurs positives du coefficient m ; le second correspond aux valeurs négatives ; les points de rebroussement de l'un des systèmes sont opposés à ceux de l'autre système.
On construit très facilement les suites de circonférences concentriques ; il y a toujours un rayon qui est une droite euclidienne ; on porte des distances égales sur ce rayon, au moyen du mètre lobatschewskien que nous avons construit au n** 76.
Nous prendrons comme exemple les familles qui contiennent les genres de coniques dont l'existence n'a pas été signalée.
Fig. 30,
Dans la figure 30, nous nous sommes donné le foyer A à l'infini, et la droite X Y comme polaire de foyer ; l'axe commun à toutes les coniques est la droite A K, Les pseudo-paraboles
limites coupent l'infini en A et n'ont pas de sommet accessible ; les hyperboles limites de seconde espèce coupent Taxe A K e\ ont le point A comme point isolé.
Dans la figure 31, nous nous sommes donné le foyer A à l'infini et la droite A K comme polaire absolue de foyer. Les équidistantes de cette polaire passent par les points A et K ; les distances égales sont portées sur la droite X Y. On obtient deux systèmes de coniques sans axe, ayant des points de rebroussement opposés et coupant la droite A K k 45°.
99. Equation focale en coordonnées polaires. — Nous appliquerons réquation (30) du n** 35. En multipliant par f , les deux tangentes trigonométriques deviennent des tangentes hyperboliques. L'équation de la projection centrale sur le plan tangent au foyer s'obtient en prenant comme rayon vecteur
P = fc tg-^ .
On peut toujours choisir le sens de Taxe initial et le sens des rayons vecteurs positifs de manière que le coefficient e et la tangente hyperbolique du rayon p normal à Taxe soient positifs. Pour que la courbe soit réelle, on doit trouver un sommet réel pour 6 égal à zéro ; on doit donc avoir
2Î tg^~ < 1 + e.
En donnant à les valeurs et x, on trouve les deux sommets ; en prenant la somme des rayons vecteurs, on trouve la longueur de Taxe
*«— - -{zrir m:
le coefficient n satisfait à l'équation (32).
La courbe est une ellipse quand tous les rayons vecteurs sont réels et positifs ; la formule (77) donne alors le grand axe affecté du signe plus ; on a
2Î tg^ <l-n\
La courbe est une pseudo-parabole quand le second sommet est dans le domaine imaginaire spécial ; la longueur de l'axe est complémentaire d'une distance réelle ; on a
2î tg-TT >[l-'i1
Lorsque le rayon vecteur du second sommet, qui est le plus éloigné du foyer, est affecté du signe moins, la formule (77) donne une longueur négative pour Taxe de la courbe. Il y a alors deux sommets réels et des points à l'infini ; la courbe est une hyperbole de première espèce ; on a :
2 î tg^ < n' - 1.
100. Extension à une conique sans foyer accessible. — Lorsque le foyer imaginaire a une polaire réelle, on remplace le rayon vecteur par son complément qui est la distance s du point à la polaire. On mesure l'angle par Tare correspondant l de la polaire ; l'équation (30) devient :
tg-^ = ^ ± 1 + e cos-^j cotg-| (78).
On est amené à introduire le double signe en remarquant que l'on obtient le même rayon géométrique changé de sens, en augmentant l d'une demi-circonférence ; le rayon vecteur est alors le complément changé de signe de la distance s ; la tangente et le cosinus doivent donc avoir le double signe ; on réduit alors ces deux doubles signes à un seul.
La courbe est réelle lorsque la plus petite tangente hyperbolique des distances s est plus petite que l'unité, ce qui exige
i tg-fc- >[l~e].
La longueur de l'axe est donnée par la formule (77). On obtient une hyperbole de seconde espèce ou une pseudo-parabole, selon que cet axe est réel ou complémentaire d'une distance réelle. La pseudo-parabole n'a plus qu'une branche réelle ; elle correspond au second signe de la formule (78).
Nous obtiendrons la pseudo-parabole limite en exprimant que le sommet s'éloigne à l'infini ; on trouve alors :
(1 - e) î tg 1 = 1 - e cos ^ (79).
101. Extension à la courbe sans axe accessible. — Nous pouvons, dans l'équation (79), poser :
en faisant tendre / vers Tinflni, on rejette Taxe de la courbe à rinfîni ; les trois axes et les trois centres viennent se confondre à rextrémité des l positifs. On pose :
lim e cos -r = 1 ;
on pourrait remplacer l'unité par une constante, mais en déplaçant l'origine, on verrait que cette constante peut être ramenée à l'unité ; on trouve :
itg± ==1 -e""^ («^)-
e étant la base des logarithmes népériens. Cette équation peut
e" == e"' cos — <81).
fc
Il peut être intéressant de montrer que cette équation se ramène à une de celles que nous avons établies au n** 93. Nous prendrons l'axe des l comme axe des y, mais en changeant son sens de manière que les trois centres soient situés du côté des y, négatifs. Nous introduirons la coordonné, r définie par
y. + y, i -- ke^ On a :
y, = — ro tg— ;
l'équation précédente devient
cos-—
= fce"
Or, on a :
on en déduit
y^ ^= k cos — cos — .
e '^' =-= e *' cos — .
LYîquation (81) se ramène à
co qui est Tune des formes que nous avons établies.
102. Composition des masses et des segments. Homographie, réciprocité^ involution. — Toutes les théories et les constructions données en géométrie riemanniennne sont applicables h la géométrie lobatschewskienne. Nous remarquerons seulement ((uo les centres des masses, les transformées par homographie ou réciprocité, peuvent passer dans le domaine imaginaire spécial.
lOîl. Mécanique. Forces centrales. Toutes les formules des n"* 15 A 53 sont applicables sans autre modification que celle du paramètre.
iOJ. Attraction universelle lobatschewskienne. Lois de Kepler. — Les sinus-distances deviennent des sinus hyperboli(|ues multipliés par le paramètre k' ; les cosinus deviennent des cosinus hyperboliques. L'attraction universelle lobatschoAvskienne ne choque pas autant les idées reçues que l'attraciion universelle riemannienne. Le point opposé (i) au soleil est
(0 Signalons, en passant, une petite difiQculté que le lecteur aura déjà peutH>tre remarqut^ et résolue. La distance de deux points opposés est constante et égale i\ une demi-circonférence ; cependant, si l'un des points tend vers IMnIini, son opjH>sé tend à venir se confondre avec lui. La distance s*exprime jvir une întéfçrale ; le coefficient / du n' 16 devient négatif dans le S(HH>nd inonde ; la distance entre deux points opposés est donc la dilTérenw de deux distances inflnies ; il faut en chercher la vraie valeur autn^ment. Le chanfr^^ment de signe de / explique aussi pourquoi les ligures se retournent en passant d*un monde dans Tautre ; ce retournement résulte encore de nnterprétation par Thyperboloîde. Le fait que toutes les distance» deviennent négralives dans le second monde n'est l^s fort ^^naut^ car en prenant une distance dans ce monde comme unité Joutes les longueurs redeviennent positives.
bien un centre de répulsion, mais il est inaccessible. En réalité, la force attractive décroît indéfiniment quand la distance £iiigmente.
105. Trajectoire pour une vitesse donnée. — On peut discuter la nature de la trajectoire en s'appuyant sur la relation (46) qui existe entre la constante des forces vives et le grand axe ; ce gr";nd axe est obtenu en prenant la somme algébrique des rayons vecteurs des sommets.
La trajectoire est une ellipse quand la formule (46) donne une valeur réelle et positive pour Taxe 2a, c'est-à-dire quand
on a
On trouve une pseudo-parabole quand le grand axe est complémentaire d'une distance réelle, c'est-à-dire quand
lii >h>- lil.
fc' K
Enfin, on trouve une hyperbole quand on obtient une longueur réelle et négative pour le grand axe, c'est-à-dire quand
On peut encore exprimer ces conditions en calculant, par l'intégrale des forces vives, la vitesse V qui correspond à un rayon vecteur égal à l'infini positif et la vitesse V qui correspond à un rayon vecteur égal à l'infini négatif. Lorsque ces deux vitesses sont imaginaires, la trajectoire est une ellipse ; si ces deux vitesses sont réelles, la trajectoire est une hyperbole ; si la première vitesse est réelle et la seconde imaginaire, la trajectoire est une pseudo-parabole. Le cas où l'une des vitesses est nulle donne une ellipse limite ou une hyperbole limite. La trajectoire est une parabole proprement dite, quand la constante des forces vives est nulle.
L'hyperbole a deux branches infinies ; la branche la plus rapprochée du sommet est évidemment la seule qui peut être décrite par le point mobile ; on peut se demander quelle est la
signification de la seconde branche. La seconde branche correspond à des valeurs négatives du rayon vecteur ; on peut toujours introduire le temps par l'intégrale des aires, et Téquation des forces vives doit être satisfaite pour le point fictif qui se déplacera sur la seconde branche de la courbe. A cause du changement de signe du rayon vecteur, la force devient répulsive. La seconde branche est donc la trajectoire d'un point repoussé par le foyer avec la même intensité que la force attractive et pour lequel on adopte, dans les deux intégrales des aires et des forces vives, les mêmes constantes que pour le point réel. On peut alors dire que dans le cas de l'hyperbole, les vitesses du point réel et du point fictif sont réelles à l'infini.
106. Anomalie excentrique. — Les formules des n"** 57 à 59 sont applicables au mouvement elliptique, mais il faudrait établir d'autres formules pour les autres trajectoires.
107. — Trajectoires fermées, — On trouve encore que les deux lois de l'attraction qui donnent un mouvement périodique sont celles que nous avons écrites au n** 60. Mais on n'obtient effectivement un mouvement périodique que si la vitesse ne dépasse pas une certaine limite. Cette limite est fournie par la condition établie au n° 105 quand il s'agit de l'attraction universelle. 11 nous reste à considérer la seconde loi.
108. Moui^ement périodique de deuxième espèce. — Les formules du n° 63 sont applicables, mais il faut remarquer que les valeurs réelles du rayon vecteur correspondent aux valeurs I)ositives, et plus grandes que l'unité, de la quantité
— ^' — — cotg* j- • f
La trajectoire sera une ellipse, èi l'on trouve deux rayons vecteurs réels a et b en annulant la quantité sous le radical de l'équation différentielle de la trajectoire. Cela a lieu quand cette quantité est négative pour
on trouve la condition
Cette condition peut s'interpréter en disant que l'intégrale des forces vives
V* = — a fc* 2-2 -|- /i
donne une vitesse imaginaire pour un rayon vecteur égal à rinflni.
Si cette condition n*est pas satisfaite, on trouvera un demiaxe réel a et un demi-axe imaginaire b. Mais il est facile de voir que Ton aura toujours
b -cotg* ^ > 0,
car en annulant 2, la quantité sous le radical devient négative. La longueur b est donc toujours complémentaire d'une longueur réelle ; donc la trajectoire est une hyperbole qui est toujours de seconde espèce.
109. Force répulsive. — Les formules peuvent être rendues applicables à la force répulsive en changeant le signe de f^ ou de r. On trouve toujours une hyperbole de première espèce et le point décrit la branche de courbe la plus éloignée du centre ou du foyer. On arrive à ce résultat sans calcul, en remarquant que d'après le sens de la déviation, la trajectoire doit touiours être séparée du centre d'action par ses tangentes.
110. Centre (Taction dans le domaine imaginaire spécial. — On peut appliquer les formules précédentes au cas où le centre d'action est dans le domaine imaginaire spécial ; on obtient alors le mouvement d'un point sollicité par une force perpendiculaire à une droite et qui s'exprime en fonction de la distance du point à la droite par des formules faciles à établir. La droite est une polaire de foyer, dans le cas de la première loi ; c'est un axe de la courbe dans le cas de la seconde loi.
La discussion de la nature de la trajectoire ressemble aux discussions précédentes.
(A continuer.)
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