AVERTISSEMENT

Une partie àe la notice que je publie a été présentée à la Société d'encouragement pour Tindustrie nationale, le 4 décembre 1838, ainsi que le constate le procès-verbal de la séance du lendemain (*), et je ne Taurais imprimée que plus tard, si je n'avais été décidé à ne pas différer davantage, par les doutes qui ont été émis dernièrement sur l'exactitude du frein dynamométrique.

Je n'ai cependant pas eu Tintenlion d'entrer en discussion sur les principes de la mécanique; j'ai écrit pour les personnes qui croient à ces principes, et je me suis proposé seulement de publier un travail dont j'ai depuis longtemps établi- les bases, et qui me semble pouvoir être de quelque utilité.

(*) Voyez le bulletin publié par cette Société pour décembre i838.

mv Vttattitixbe tt bvlv rusttje.

FREIN DYNAMOMÉTRIOUE

1 • L'extension latijotii'd erôhsànte de$ àrfs tnëca^ nî<|ues tendant aujourd'hui à t^endre de plus en plus fréquent l'usage du précieux appareil dynâmométrique dont M. de Prony a doté l'industrie, j'ai pensé que la publication de quelques recherches sur Texactitude des expériences faites au i&oyen de cet appareil poarraît n'être pas sansin-^ térêt pottf les ingénieurs et les naécaniciens; j'^y ai joint des observations sur les modificatioiis qtké le défaut d'espace oblige souvent les expérimen** tateurs d'apporter au dispositif jwpoposé par l'iïlustre inventeur, et sur les moyens de faciliter l'usage de cette machine.

J'ai été conduit à faire cm rechercha par une discussion srur laquelle j'ai été consulté, et doïil l'objet était de Savoir si le moteur d'une usine était assez puissant, ou si les opérateurs (les machines destinées à exécuter le travail) absorbaient une trop forte quantité d'action dynamique* Sans doute, cette question n'aurait offert aucune diffî^ culte, si la solution n'en avait été réclamée immédiatement, et que le temps m'eût ()efmis de

faire venir de Paris un manchon en fonle tourné régulièrement, et propre à être placé sur le principal arbre de rotation. -Privé de toutes ressources autres que celles que Ton trouve dans une campagne, j'ai dû faire préparer aussitôt sur les lieux un frein, un manchon et tous les accessoines ni^r cessaires pour opérer sans délai (*).

Comme je n'étais pas sans inquiétude sur le de-

(^) J'indiquerai aux personnes qui pourraient se trouver dans la^ même position le? soins que j'ai pris pour obvier, autant que possibfe, aux vices de l'exécution du manchon, dont la construction présentait plus de difficultés que celle

des autres pièces.

Ce manchon consistait en une poulie d'une grande épais-< seur, et dont la gorge avait o"- 5oo de diamètre. Le calcul avait fait reconnaître que cette dimeosioq, qui était imposée par la disposition des lieux, suffirait à la rigueur. En mat*tant en mouvement la roue de l'usine, on put tourner l^ gorge assez bien pour l'arrondir, mais non pour la rendre très-unie et empêcher l'arrachement des fibres ligneuses sur tous les points où le grain d'orge et la plane les attaquaient à rebours. Il ne fallait pas songer à employer le manchon dans cet état, parce que le bois, frottant alternativement sur le fil et sur le biput contre les mâchoires , eût produit un frottement si inégal que toute observation eût « été impossible. Je fis donc gainjr la gorge d'une bande niince de fer laminé, fixée par des vis à t^ois noyées dans des trous fraisés. L'application exacte de ce fer sur le bois, de manière à ne lui laisser faire aucune soufflure sous là grande pression qu'il devait éproiivet, fut l'obstacle qui, dans mon déûûsment, me donna le plus de peine» Je parvins cependant à le surmonter. Q^ant à la solidité du raanchpn, je l'assurai en faisant fabriquer en fer les clefs d'assemblage de ïa ppitliç ainsi cjue leurs chevillettes, et en reliant les flancs de

gré d'approximation que cet appareil^ improvisé et si imparfaitement exécuté, me permettrait d'atteindre, je crus devoir déterminer à priori Tamplitude de Tare décrit par l'extrémité du bras du frein ^ pour une variation donnée, dans le frottement. Telle est Torigine des calculs que je vais exposer, après avoir rappelé sommairement la théorie du • frein dynamométrique, et posé les principes qui seront nécessaires pour la discussion.

cette poulie par des lames aussi en fer, noyées dans le bois, et maintenues solidement par de fortes vis.

Il fallut renoncer, faute de temps et d*outils, à tourner la bande de fer qui revêtait le manchon ainsi disposé; les mâchoires du frein n'auraient pu, non plus, être parfaitement régularisées que dans un atelier de construction de machines. Privé de la faculté de donner ce degré de perfection à mon appareil, je me bornai à faire rouler le manchon dans le frein médiocrement serré, jusqu'à ce que le fer fut blanchi et adouci ; je fis également suspendre plusieurs fois l'alimentation du filet* d'eau continu, destiné à rafraîchir les surfaces frottantes. Les mâchoires, conime je m'y attendais, s'échauflerenC aussitôt, et se rodèrent si bien en se charbonnant légèrement, que le tour ne leur eût certainement pas donné plus de rondeur.

Au moyen de ces précautions, l'expérience réussit dès le premier essai, et quoique le leviei: eût 4"^* 5o de longueur, mesurée entre Taxe de rotation et le point de suspension, les oscillations^ auKlessuset au-dessous de l'horizontale, ne dépassèrent pas sensibleiuent o™* i6; ce qui me donna beaucoup de satisfaction, parce que le calcul me démontra que l'erreur possable était assez petite poiu* ne pouvoir influer d'une manière préjudiciable sur le degré d'approximation dont j'avais besoin.

8 IVOTÏCE

f, l'effort tapgQutiel qui résulte du frottemwl^ Qt da la pr^^aio^ exçrcéf&^p^r le tirage 4es boulous.

r, U ^*ayou du cercle sqir lequel ^'qpère Iç frot-» temeAtr

F, la poids total sM3peudu au point d'appUcatioo^

JP', ^e poids du-freiuj de ^s mâchoires^ de §eâ boulons.

l, le bras de levier du poids P.

l'y le bras de levier du poids P', supposé rasseu^blf^ au centre de g;ravité de l'appareil.

(Ces mesure^ se rapportent à la position normale du frein.)

T> le nombre des tours faits dans Tunité de temps par l'axe de rotation , lorsque eet axe possède la vitesse normale.

A^ Le travail dynamicju^ normal transmis par cet axe dans l'unité de temps et exprimé en kilogrammètres.

'^f le rapport de la tîirconférenee au diaiA^tre*

Le travail consommé dans runité de temps par le frotteipent exercé à la circonférence du manchon sera exprimé par 2nr X P X '^; ^t, comme le frein e^t destyié à consommer le travail du PAQteur à mesure que ce tmv^ii e§t. produit j, on; a^nra é.videmment , lorsque cette conditioA ser^ remplie^

D'ailleurs, le poids P place à l'extrémité di^ levier^ à une distance horizontale l de raxe> a pour moment P/, et ce moment, joint au moment PT du

poids du fmn^i doit, daa$ le cas d'équilibre ^ être constaipmçpt égal au moment Fr de l'effort taugentiel F du frottemeut qui s'exerce à rextrémité du ra^oa r. Ou a donc :

P/^^PT «=iFr (2),

d'où,

Remplaçant F dans Tëquation (1) par cette valeur^ et réduisant^ on parvient à la formule

A=2^T(P/-hP7') (4),

qui donne, en kilogrammétres, le travail transmis et consommé^ dans Tunîté de temps.

Cette expression n'est que la formule ordinaire des auteurs, généralisée par l'introduction du moment P7' (^). Lorsque l'on équilibre le frein et que le centre de gravité se confond avec l'axe de rotation , T devient zéro, et la formule , dans ce cas particulier, se réduit à l'expression

A = 2t/Pt . (5),

Corme aofu^ laquelle o« la trouve le plua couvent dans le$ traités de oxéqanique appliquée.

(*) On voit aussi qu'elle revient implicitement à celte- cî î ^ ïï FV + F V ; dans latpxeUe V et V sont les vitesse» ^^Ir e% %^Vry fue teadfnt viriwelkment; è prendre les e^U'évii^ àm braa de levier let^V des puissances F et F, Ces extrémités posséderaietnt efiEectiven^nt ces vitesses, si le frein était entl'aW dans le mouvement de Tarbre tom^nant.

Si l'on voulait obtenir ces formules pour le temps élémentenre d^, il suftvaiode ronplacer, dana oeqat précède, T, ?etV^par*r, dVctdV.

3, Je dois prévenir une objection qui pourrait être faîte contre l'emploi d'une équation de statique ( car l'équation des moments n'est pas autï*e chose ) pour la solution du problème de dynamique qui fait l'objet de ce mémoire.

Il importe peu, dans le cas qui nous occupe, que l'équation appartienne à la statique. Le travail étant consommé à. mesure qu'il est produit, si Téquilibre subsiste pendant l'instant élémentaire dtf il subsistera pendant un temps quelconque t. En effet, «oit que Ton considère le moteur comme produisant dans l'instant élémentaire ui^e quantité de mouvement élémentaire md^, ou une vitesse virtuelle 2 -^^ / d r, ou une quantité de travail élémentaire d A::=Px27r Zdr, ou une force vive élémentaire 2 m i^ di^, et que l'on applique celui que Ton voudra des principes connus, on arrivera toujours à cette conclusion, que la consommation égale à la production empêche toute variation de quantité de mouvement) de vitesse, de travail, de force vive; que, par conséquent, l'équilibre qui subsiste dans le premier instant d t doit subsister dans le second dt, dans le troisième , et en6n pendant toute la durée du temps fini quelconque t, quelle que soit cette durée.

4. Lorsque l'axe de rotation commence à passer du repos au mouvement, le moteur, par des efforts additionnels/ ou bien la résistance, par une diminution monlentanée de son intensité (*) , permet

(*) On accomplit cette dernière condition dans les usines, en évitant d'engrener, pendant les premiers instants de la

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. ji

au système mobile d'accélérer sa marché jusqu'à la vitesse normale. Quand ce régime est atteint el qu'il seconserve, le moteur etlarésislance prennent aussi leurs intensités normales respectives , de manière à se faire équilibre pendant un temps quelconque, aussi court ou aussi prolongé que Ton veuille le supposer (3). Leurs efforts contraires se détruisent'donc mutuellement et instantanément comme dans le cas précédent; mais le système continue à se mouvoir uniformément en vertu de son inertie et de la vitesse qu'il a acquise pendant l'époque transitoire' d'accélération dont nous venons de parler. L'équation des moments, en exprimant cet équilibre, exprime donc aussi, comme conséqiience, que, pendant tout le temps de cet équilibre, le mouvement ne pourra être îii accéléré ni ralenti, et que le travail se consommera uniformément à mesure qu'il sera produit (*).

On pourra faire encore une objection et dire que, si la consommation régulière du travail autorise à se servir de l'équation du frein, lorsque cet

mise en marche ,- quelques* uns des opérateurs , puis en chargeant progressivement et convenablement \t moteur. On parvient ainsi à atteindre presque instantanément la vitesse de régime,' qui, théoriquement parlant, ne s'établirait qu'au bout d'un temps infini si l'on n'employait ce moyen. Voyez le Cours de mécanique appliquée aux machines, professé par M. Poncelet, à l'école de l'artillerie et du génie, à Metz, section l'^yn** 3o.

(*) Nous croyons inutile d'insister sur ces considérations qui se trouvent développées dans tous les traités de mécanique appliquée. (Voyez notamment le ConrsàeM, Poncelet.)

lî NOTICE .

instrument eonserTe, sans variation^ sa position norm^ey il n'en est plus exactement de même lorsque l'équilibre est troublé. Nous en conTenons, et c'est précisément pour cela que nous allons di»* cuter l'importance des inexactitudes qui résultent alors de l'emploi de cette équation.

5. Occupons-nous d'abord de déterminer Terreur que l'on commet sur la valeur du bras de le* vier en introduisant dans la formule , pour cette valeur, la distance entre Taxe de rotation , et le point de suspensiop, comme si cette distance, mesu** rée sur le plan horizontal, représentait réellement

le bras de levier moy^n sur lequel s^it la charge. Nommons :

x' l'arc qui sous-tend l'angle BOB' ( fig. 1 ), et qui a l'unité pour rayon. On voit d'ailleurs que l'angle BOB' est compris entre le .plan horizontal qui passe par l'axe de rotation et la ligne OB' lorsque le bras du frein s'est abaissé jusqu'à la limite de Toscillation, et que le point B est venu en B' (*}.

x\, le nomlH^e des degrés '( sexagésimaux ) de cet arc.

V ) les quantités analogues pour l'élévation „ \du bras du frein et le passage du point B

^ »' jen B".

(*) Ce sera toujours par cet single que nous mesurerons les amplitudes des oscillations» et non par l'angle à sommet variable que décrit dans son mouvement la face inférieure du levier du frein. Il est visible, en effet, que cett^ face se meut autour d'un cercle de rayon H^ auqpiel elle resta ccmstamm^nt tangente.

/> l'arc qui saus-tend l'angle AOB compris dans la position normale du frein , entre le point A et . le plan horizontal qui passe par l'axe de rotation. Cet arc est aussi considéré comme ayant 1 pom* rayon.

i^o, le nombre des degrés de cet arc «

Remarquons que les arcs od et od* sont mesurés positÎTement^ chacun dans le sens où il est décrit, à partir de la ligne OB, c'est-^-dire x* de B en B', et a^'^deBenB". .

Conservons d'itilleurs les dénominations du numéro (2), et supposons que le point A soit le poticit d'application de la charge P.

Nous aurons

OB = OB' = OB^' = t.... (6)

pour la valeur du bras <ïe levier que l'on emploie ordinairement dans la fôrmtite. Le point A de suspension décrira Tare h!" khi* du rayon AO, et il est aisé de voir qu'au Keu de rester constant et égal à l^ le bras de levier variera, enître de certaiu/ea limites que noua allons, examiner.

Eut effet ( atteadu qii&i)B 3=: AO ce» ^)^ on s

AOis: r = ^ (7>.

cos <r cos <r ^ {

^^t\j& vateur sera celte du bras de levier maximum^ lorsque AO coïncidera avec l'horizon taie OB. Le bras de levier minimum sera égal à OD'^ ou à OD''^ selon que l'une ou l'autre de ces deu;s: quanjtités sera plus petite que l'autre.

On voit donc évidemmenl qne la méthode oru

dinaire de ealcul est inexacte , et qifau lieu de prendre /, pour le bras de levier moyen , comme on le fait ordinairement, on devrait prendi^ la valeut réelle de ce bras de levier moyen , valeur que le calcul intégral donne d'une manière extrêmement simple avec toute Tapproximalion que Ton peut désirer (*)•

6. Sans entrer dans le détail de cette intégration, nous nous bornerons à rappeler que l'on démontre en mécanique que, pour un arc circulaire de rayon AO, le bras de levier moyen p est donné par l'équation

(^) Il est important de ne pas perdre de vue que Téqua-

tion AO = suppose la proportion OB : AO : : cos<f : i ;

que, par conséquent, to^ i est rapporté au rayon = i , et que nous pouvons, pour prendre dans les tables la valeur de ce cosinus, entendre par J^soit Tare (Tmême, soit le nombre «To des degrés de cet arc, si «T est donné par le nombre de ses degrés. Cette remarque s'applique a toutes les autres lignes trigonomé triques que nous devons, employer. Nous ne fai> sons, au reste, ici, cette remarque bien connue que parce que nous allons faire usage du calcul différentiel ; ce qui nous obligera de considérer les valeurs linéaires des arcs, au lieu du nombre de leurs degrés.

On n'oubliera pas, non plus, que la méthode qui £ait obtenir la valeur du bras de levier moyen repose précisément sur ce que la puissance développerait , en agissant constamment et normalement a. l'extrémité de ce bras^ la même quantité de travail que quand elle agit à l'extrémité du bras de levier variable. ( Voyez le Cours de méeamqiie -professé à iWtetz par M. Poncelct, sect. 11, n** 5ï.) .

SUR LE FREIN PYNAMOMÉTRÏQUE. a

ds étant l'élément de l'arc , et d/ Télément de la projection sur un axe parallèle à la direction de la puissance.

Dans le cas dont nous nous occupons , on aura donc :

? *" arc A' A A" W-

Or, AO=A'0=tA"0=^j; (iO),

D'A' = A'O { cos [90 — (x' — «T)] ) = = A'Osin (x'-0==^sin (x'-^J) (1 i )

D"A" ==. A"0 { cos [90 '— (x" 4- j^ )] } = = A^'O sin(a:"+/)=^ sin (x"+/) (1 2),

arc A'A A" = AO ( arc AA'+ arc AA")=

Gomme on le voit, dans la prévision que nous allons recourir à la diffërentiatîon, nous ramenons, comme tous les autres arcs, l'arc A' AA" à sa valeur linéaire exprimée en fonction de l'arc semblable /r' + ^"^ dont le rayon est 4. Les autres expressijoiis , ainsi que nous l'avons fait obserrer (deuxième note de l'art. 5 ), sont également déjà rappoj(^tées à «des arcs dont le rayon est 1 , et qui. ne réclament aucune préparation.

On conclut de ce qui précède, en faisant lei substitutions^

cos <r \cos <r ^ -^ ' cos <r ^ *^ ^y

cos <r ^ "^ '^

Cette équation peut être simplifiée^ car

sin (x' — <f) S5B sin x' cos j^ — sin j^ cos j?', sin (a/' -^ «T*)— sin jr" cos / -f- sin j^ cos ^".

Substituant^ observant que - — j= tang <r, et ré-

l'Os o

duisant^ on trouve :

ç s a / , // [sin ^'+sin a;"— tang / (cos V — cos ^ j] ( 1 5) .

En prenant, comme on le fait ordinairement, / au lieu dje cette valeur, on commet donc sur la valeur du bras de levier ime erreur donnée par la formule

^ [ I — ■ r» ff [sim '-f sin x'"-^ tang <f (cos ^— cos J^'J] ( 1 6) .

On pourrait;,, au reste ,. éviter facilemeiU celle er« reur, en prenant^ au lieu de /,.la va^r exacte de ç.

7. On voit, an premier coup d'œî!, qtt'eh $u]>poisant «T, a?' et af' vatiables^ à la fois?, ou ise jetterait dans une question de m^aximum et de minimum fort compliquée. Mais- on peut simiplifier cette recherche en observant que si , dans les e^pérÎ€»€es, le bras de ïevier ne s& maintrent pas constamment horizontal, l'usagief est de

StJR LE FREIN DYNAMOMÈTRIQUE. 17

le considôrer comnie lel lorsque le rayon B, dans ses oscillations, s*écarte autant au«de.ssus qu'au-dessous du plan horixcmtal; ce <|ut doûne

jc'=:^".

Faisons donc, dans l'équation (16), Ar' = x^\ tet réduisons, nous Cn)uverons, pour Terreur correspondante à l'arc {a:' + A:" =2 a:'),

Cherchons maintenant la valeur de x' qui rendra i'*-^ç un minimum ou un maximum^

Four cela, mettons l'équation (1 7) sou$ la forme

Différentions la partie variable, et égalons à zéro le coefficient différentiel ; nous aurons

x'^ * sin x' — .r' " * cos x' = 0,

ou, après réduction,

sin .V — a?' cos x'

On en tire,

sm «' , , ,

cos or ^

Mais il est évident que l'arc x^ ne peut être égal à sa tangente que quand il est en même temps égal à zéro. La valeur de x'^ et par conséquent de son égal a:", correspondante au maximum ou au minimum chercjié, est donc

x' z=zO.

Mais, comme cette valeur réduit non- seulement à

n NOTICIE

0, mais à — le coefficient difFérentiel, il faut en-

core vérifier si la valeur de — est ici réellement 0.

La méthode connue fait voir, après deux difféi^entiations successives du numérateur et du dénominateur^ que la valeur de ce coefficient est effectivement 0, quand or' =^.

"Cta voit bien d'ailleurs quex'est à un minimum que correspond cette valeur; car lorsque ar' = 0, le^^itit A ne quittant pas sa position^ le bras de levier est constant et égal à OB = /y ainsi l'erreur c»t nulle, et l — f =0. On doit donc trouver, dans réquation (17),

1 fiîLî: ==, 0.

'Or quand on fait o:' =: dans cette expression, on retrouve de nouveau la fraction — , car on parvient

Mais en recherchant encore par les méthodes

connues la valeur de — 7— quand ar=0, on trouve

quie cette valeur est 1 , et ce théorème est même énoncé ex;plicitement dans beaucoup d'ouvrages. Ainsi, malgré l'indétermination apparente de cette expression, les considérations du problème nous font voir que, dans le cas examiné, la valeur de la

nouvelle fraction — est 1 .

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. t^

Âinsi^ encore, Terreur commise sur lé bras de levier, nulle quand ûc' sera zéro, croîtra de plus en plus avec a:'.

On n'oubliera pas que tout ceci suppose que l'on fait l'expérience, selon le mode usité, en ayant soin que a:' = a:'\ Si ces deux quantités n'étaient pas égales, la question devrait être discutée différemment, et ne conduirait pas tout à fait aux mêmes conclusions».

8. S41 n'est pas exact de considérer l comme le bras de levier moyen , il ne l'est pas davantage de ne tenir jamais compte du.travail qui-résulte du déplacement du centre de gravité du firein., lorsque ce centre de gravité ne coïncide pas avec l'axe de rotation, et que son déplacement donne naiasanc^ à un travail appréciable.

Nous devons faire observer que, bien que celto^ précaution ait été abandonnée, dans la construction de la plupart des freins que l'on a faits depuis celui que M. de Prony a décrit, pour la première fois, dans les jérm. des mines, t. 12^ année 1826, elle a été non-seulement prise, mais encore indiquée et motivée explicitement par cet ingénieur*. La figure 2 représente l'appareil tel qu'il l'a. créé.

Si donc l'obligation de se conformer aux exigences des dispositions locales a forcé de modifier trop souvent la forme de la partie inférieure du frein,, on ne doit considérer ce changement q^iie-

comme un inconvénienl imposé par la nécessité^ et non comme une améliora tiou.

9. Lorsque cet inconvénient existe, on t'efforce ordinairement, dans la pratique^ d'y remédier en équilibrant le frein placé dans sa position normale, par un contre-poids agissant en sens contraire de la charge/ sur le point d^application de cette cliarge; ou bien, ce qui revient au même, en tenant compte du poids qu'il faudrait ainsi ap* pliquer pour établir Téquilibrei et en ajoutant le chiffre qui exprime ce poids à celui de la charge même.

Mais il faut remarquer que^ quand un établit ou t|ue Ton détermine ainsi ce coQtre-poids, on place le bras du frein dans sa position normale , et quV lors toute la partie du frein qui peut se décomposer en deux systèmes symétriques, par rapport au plan vertical de Taxe de rotation, et qui comprend le collier, les boulons, le coussinet, et une por-^ tion du bras^ a son centre de gravité dans le plan vertical dont nous parlons. Cette partie n'agit donc pas plus sur la détermination du contre-^ poids que si elle n'existait pas. Mais il en est autrement, dès que le frein vient à quitter S8| position normale, le centre de gravité de celte partie de l'appareil s'écarte du plan vertical de l'axe, vient, par exemple, de g en g-', et développe un travail dont on doit tenir compte.

Cependant il est visible que, si le rayop B ospille au-dessus et au-dessous de l'horizon taie, le

travail dont nous parlons sera alternativement po^ sitif et nëgalif^ et s'il est ëgal numériquement dans l'un et dans l'autre cas, c'est-à-^ire si les oscillations sont égales au-dessus et au-dessous de B, il ne donnera^ à la fin de l'opération, qu'une somme nulle. La méthode ordinaire de calcul ne peut donc occasionner, dans ce cas, aucune erreur, par suite du déplacement du centre de gravité du frein.

10. Dans le cas contraire, on devra tenir compte de ce déplacemeiit, et l'on évitera également toute erreur en déterminant exactement le travail qui en résultera. Pour y parvenir, on calculera les dimensions du frein que l'on voudra construire, de manière que le centre de gravité de tout le système vienne tomber dans l'étendue du coussinet, aux environs du point que nous avons désigné par g'. Après la construction du frein, on déterminera exactement la situation de ce centre de gravité, en plaçant l'appareil en équilibre sur une forte pointe conique émoussée. Puis, en observant les arcs décrits pendant les oscillations qui entraînent le centre de gravité, à droite du plan vertical qui passe par l'axe de rotation, et en déterminant le bras de leviei: moyen, au bout duquel agit le poids du frein pendant ce déplacement, on connaîtra le travail qui en résultera. On fera le même calcul pour les arcs décrits pendant les oscillations qui entraînent le centre de gravité à gauche du plan vertical de l'axe. On soustraira ces travaux l'un de Vautre, et Ion en ajoutera la différence^ avec le

ti NOTICE

signe epQvenable, au (ravatl de la charge susp^n*due au. point d'application.

On parviendra donc aussi, dans ce cas, à éviter toute erreur r^ultante de la cause que aous Te-* nons de discuter , et ^ comme ilous ne pouvons supposer que l'on prenne volontairement une më<thode inexacte de calcul , lorsque Ton en possède une rigoureuse, applicable à tous les modes d'éji^ pérîmentation et à tous les dispositifs usités, nous considérerons le déplacement du eentre de gravité, comme ne devant pas occasionner d'erxeur sur la quantité de travail observée , dans lea opérations, faites avec le frein *

{!• Bien que 1 expreèsion du frottement <lispa*« raisse de la formule (4) , le ealeul n'en repose pasmoins sur légalité constante entre le travail transmis par le moteur et le travail consommé par le frottement qui se développe à la circonférence du manchon»

Si Tune ou l'autre de ces deux quantiti^ vient à éprouver une variation qui trouble Téquation (2) des moments , le levier est entraîné , et il quitte la position horizontale.

Si la variation est durable, elle occasionne une déviation qui ne peut être coi*dgée que par la ma-» nceuvre des boulons, ou par un changement dans le poids suspendu au point d'application; mais, si elle n'est qu'instantanée, si elle provient des inégalités du frottement des surfaces» ou des irré** gularités périodiques du travail du moteur, elle . cesse pi^oinptement d'elle-même dans le cours de

diaque période. Aloi's le système oscille, et Ton prend ordinairement pour base des calculs sa position moyenne entre ses deux positions extrêmes. On considère alors /comme étant le bras de levier moyen ; mais, ainsi que nous Tavons fait observer (5), il en résulte des erreurs dont nous aurons a discuter Timportance.

A oescauses d'inexactitude il faut ajouter celles qui consistent ou peuvent consister :

Dans l'influence de l'inertie des passes de l'appareil et de la charge;

Dans leSi. r^tstances pas^ves des accessoires dont le frein est souvent accompagné. «

Npusallonsexaminer successivement lesefTetsdes causes d*erreur que nous venons de signaler Ç^).

(*) Une méthode devant être appréciée, paria pœcîsioa

* qu'elle donne quand elfe est suivie ponctuellement, nous ne pouvons évidenainent comprendre, da<as cette ënumération des erreurs^ cdiles que l'on conmiettratt en mesurant mal

* la lodgUBur du bras. :de levier^ eu déplaçant le cenU*e de gravité du système, ert un mot toutes les erreurs occasionnées par la distraction et le défaut de dextérité.

Ce qiie nous disons suppose donc que Ton donne à l'expérience les soins qu^elle réclame; car si, par exemple, on ne maintient pas; pai* une manceuvre exacte des boulons, la constance eiia négularité du frottement, si le manchon n'est pas rond,st la roue hydraulique n'est pas centrée, si le travail du moteur n'ost pas parvenu a un régime uni* £c»:me, on restera plus ou moins loin de l'exactitude que nous allons calculer, mais on ne devra s'en prendre qu'à sa négligence, et même on sera encore averti de l'incertitude du résultat par la grandeur et l'irrégularité des oscillations du frein.

12. Reoherchons d'abord la nature de Tin^ fluence dc$ variations survenues dans rintensité du frottement^ lorsque le trayail du moteur res-^ tant parfaitement constant, le frottement éprouve seul des variations périodiques.

En reprenant Téquation (1 )

nous voyons que F est proportionnel à ^. Si donc F devient F -h m F, il faudra, pour que Téquation continue de subsister, que a devienne a -h m a, et

D'ailleurs, uous n'entendons parler que des usines mues par de bonnes machines a vapeur ou par des roues hydrauliques. Les petits ateliers mus par des manèges ne sont pas des usines, et deviennent tous les jours de moins e<i moins nombreux dans l'industrie manufacturière. Pour ces ateliers, Fin-égularité de l'action du moteur ne permettrait pas Tapplicatiou des principes que nous établissons dans cette^ notice ; mais l'inexactitude viendrait des variations de l'intensité de l'action motrice, et non de l'imperfection du frein dynamométrique. Il faudrait donc recourir à l'emploi des appareils additionnels indiqués, par M; Poncelet, et appliqués dernièrement avec tant d'extension et de succès par M. 1\forin.

Il va sans dire aussi que, pendant les expériences sur les machines à vapeur, on maintient à un régime constant le chauffage des chaudières^ la pression du manomètre^ et généralement l'égalité de la marche Si l'on poussait le feu irrégulièrement, on rendrait toute observation inexacte.' Il en serait de même pour une roue hydraulique, dont on ma-. niBuvrerait continuellement la vanne pendant la durée de l'opération. De semblables maladresses, qui ne sont sou*mises à aucune règle, ne doivent pas même être supposées dans le calcul.

la sensibilité de rin^trument sera d'autant plus grande que m pourra élre rendu plus" petit sans cesser d'être apprécia^e*

D'ailleurs, m^ lorsque nous le prenons positif, répond à une augnienlatîon de l'effort tangehtiel exercé par le frottement, et, par conséquent, à une augmentation proportionnelle du. frottement.

Or, quand J! diminue un peu, m deVient négatif, et le frein, qui est entièrement libre, se trouye entraîné instantanément par la charge, jusqu'à ce que la somme des moment^ de P et de P' (11) soit redevenue égale au moment de F, ce qui arrive aussitôt par la diminution du bras de levier de P. En effet, ce levier s'abaisse, et son bras. n*est plus alors autre chose que sa projection OD' sur sa première position horizontale.

Or, OD'=:OA'cos(a;' — <f) =5= :(cosy^co8<W-8in^'sin<f),

d'où

D' = / (cps x' H- tang <f sin x') (1 9)-

Alors l'équilibre se rétablit, et Ton trouve, en formant iine nouvelle équation des moments,

F (1 —m) r=V l (cos jc'-t- tang<Psin x') -f-PT (20);

inais on a apssî F r = P / -4- P' i', puisque cette équation est celle des moments dans le cas de la position normale du frein (2 ); on aura donc, çn dégageant m et en réduisant :

P / ( 1 — COS ^' — tang i sin x ) ,« .^

La différence numérique des^ travaux, calculés pour Tunité du temps dans ces deux situations du frein supposée» successivement permanentes, est évidemment m a^ et si l'on prenait la nouvelle situation pour la situation normale, on. tomberait dans une erreur égale à m a ou à — m. a, selon le sens dans lequel serait commise cette erreur.

Nous devons prévenir une objection fondée sur l'influence possible de Tinertie, et faire remarquer que les variations dans l'intensité du frottement et de l'action ^notriee se font par degrés insea- ^sibles, et ne parviennent que peu à peu aux valeurs 7/1 A et m F, |)our décroître enstiite; que l'équation (20) est établie pour l'instant où roscil— lation se termine, où par conséquent la vitesse acquise et l'influence de l'inertie sont nulles; enfin que l'équation (2) est aussi relative à une circonstance semblable, puisqu'elle exprime que le trjivail est consommé à mesure qu'il est produit. L'emploi que nous venons de faire de ces deux équations est donc légitime; et l'on voit d'ailleurs qu'elles^ sont indépendantes de là durée du temps pendant lequel elles subsistent. Nous reparlerons; au restè^. avec plus d'étendue, des* effets de l'inertie (15).

13. On reconnaît sans peine que l'exactitude de l'appareil ne dépend pas du rayon dti manchon. Ce rayon n'influe que sur Tintensité du fi^temènt,. et par suite sur le tirage des boulons et sur l'user des mâchoires. La longueur du levier du frein ne change rien non plus au nombre des degrés des oscillations , quoiqu'elle rende ces oscillations ,

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. t1

d'autant plus visibles qu'elle est plus grande; et il suffît^ par conséquent, d'employer un levier assez long pour que les amplitudes des oscillations soient facilement appréciables, et que la charge P ne soit pas trop considérable.

Ce que nous venons de dire, ne concerne que le cas où, le frottement diminuant, la charge tend à entraîner le frein. Lorsque, au contraire, le frottement augmente, le frein tend à entraîner la charge; et, comme le moment de cette charge diminue en même temps, parce que son bras de levier devient plus court, il en résulte que, si Taug*mentation du frottement persévère, le frein est emporté sans revenir à sa position normale. (Voyez la figure première.) Qr, puisque lexpérience prouve que les oscillations, dans ee sens, peuvent être reu^ dues égales à celles qui ont lieu dans le sens op* posé, il faut reconnaître que l'augmentation légère de l'effort tangentiel exercé par le frottement n'est qu'instantanée dans les appareils bien cons^ truits, et fait aussitôt place à une diminution cou** traire qui permet au levier de rétrograder, malgré la diminution de sa projection horizontale, et qui, par conséquent, au moment où l'oscillation se ter* mine,' est sensiblement ^ale à ce qu'avait été Taugmentation. La valeur de celle**ci nous est donnée par la valeur de celle-là, et elle esi sensiblement égale, à ;/i F. . ,

Cette première diminution ramène le fnein à sa position normale, et est aussitôt suivie d'une se^ eonde diminution qui permet au système de faire

un écart de l*autre côté de la ligne horizontale.

Âinsi^ en définitive, la quantité 2m F représente la difFéreqce entre l'efibrt tangentiel maximum et TefFort tangentiel minimum résultant du frottement ; ces deux limites ne s'éloignent chacune que de m F, de la valeur moyenne que Ton prend pour leur valeur réelle.

Ce qne nous disons ne s'applique toutefois qu'au cas où l'équation des moments n'est troublée, dans ce sens, que pendant un temps extrémemait court , par conséquent au cas où le» expériences se font au moyen d*un frein et d'un manchon parfaits, et où l'action du moteur est assez régulière. Lorsque ces conditions ne se réalisent pas, et que l'augmentation sensible du frottén^ent ou de l'intensité de Faction motrice persévère pendant un temps très-appréciable, le .bras de levier continue de di-» minuer, le frein est entraTiné, et il éprouve des perturbations qui désolent les expérimentateurs dont les appareils présentent peu de précision, et qui rendent même souvent toute observation im-r possible.

Il est évident, en effet, que l'équilibre du freiit» dans ce sens, est un équilibre instable, analogue à celui des balances dites balances Jolies ^ Aoni le centre de gravité est placé trop haut,:'et qui ne tendent pas à revenir à leur position horizontale lorsque l'équilibre a été tant soit peu troublé.

Il est d'ailleurs aisé de voir, en consultaint la figure première, que cet inconvénient n'existe pas dans l'autre sens du mouvement, et que la diroi-*

nutîon du Was de levier y rétablit promptemeni l'équilibre.

Au reste, quand on a moBté aur l'arbre toiirnant un manchon en fonte parfaitement tourné et poli | que Von a eu soin de fra{^r toutes les cales al-* ternativement et à petits coups^ afin de ne pas déformer la surface cylindrique; que le travail du moteur est régulier^ du moins autant que le permet la pratique des arts ; on peut, méixie sans l'emploi de la graisse^ et ai se bornant à avroset* les surfaces frottantes d'un filet d'eau toujours égal^ obtenir un frottement pour ainsi dire cons« tant.

Les expériences de M. A^in sur les turbines (voyez leméfnoire de cet ingénieiir, pag. 19) en donnent un exemple remarquable^ et prouvent qu'en prenant les soins convenables, on peut ré^ duire Xo à 1 degré au plus. Si, dans certains cas, le frein éprouve les secousses eontinuenes et les soubresauts dont se plaignent quelques personnes, c'eM toujours par suite du nou-*ac6omplissement de ces conditions ; ou parce que, le manchon n'étant pas d'un rayon assez grand , la pression sur^ passe la limite de l'élasticité parfaite des surfaces frottantes qu'elle écrase en les déformant; ou, en* fin, parce que l'on emploie^ au lieud'un manchon en fonte, une poulie en bois qui, présentant alternativement le fil et le boot de ses fibres aux mâchoires du frein, ne peut donner naissance qu'à un frottement extrêmement irrégulier.

Quant à la possibilité contestée par un méca-

80 nancE

nicien, de faire tourner l'axe de rotation avec dè^ vitesses très-différentes, et de mesurer facilement le travail développé et consommé pour ces vitesses, nous ne pouvons que renvoyer aux travaux publiés par tous les ingénieurs qui ont fait des expériences au moyen du frein dynanoméCrique, notamment à ceux de MM. de Prony, Poncelet, Morin, Saint-Léger, Egen, Wedding et autres, qui ont opéré sous toutes les vitesses angulaires sur lesquelles il leur a plu de faire porter leurs recherches. Nous avons nous-méme fait varier dans des expériences la vitesse de l'arbre tournant, sans rencontrer ni même soupçonner aucune difficulté de ce genre, et ce n'est que pour les très-petites vitesses, ou pour les pressions excessives, que nous avons remarqué dans le levier du frein un frémissement saccadé.

1 4. Loraque l'effort du moteur est variable, i) se présente des phénomènes semblables à ceux qui sont produits par la variation du frottement, et l'égalité des moments F r et P Z -+• P' /', exprimée par l'équation (2), n'existe plus constamment.

Il en résulte des oscillations d'autant plus étendues, que les limites entre l'effort maximum et l'effort minimum sont plus distantes .

On s'est donc occupé et l'on s'occupe encore de la mesure du travail développé par les moteurs dont les. efforts sont variables; les recherches de MM. Eytelwein, Poncelet et Morin ont jeté un grand jour sur cette question, dont la solution

complète semble ne devoir pas se faire attendre.

Au reste^ cette solution n'est pas nécessaire dans le cas qui nous occupe^ celui de la mesure du travail développé par les moteurs des grandes usines^ c'est-à-dire par les roues hydrauliques et par les machines à- vapeur munies de volants. En efFet^ Teffort exercé par les roues hydrauliques est théoriquement constant^ et ne peut varier que par suite des petites imperfections de ces roues. Celui des machines à vapeur employées dans les manufactures n'est pas uniforme^ il est vrai, mais uniformément périodique, et les volants dont ces machines sont accompagnées reçoivent des proportions telles que la vitesse approche beaucoup de l'uniformité dans les différents instants d'une même période.

On a soin, en effet, de régler les volants de ma-* niére que la vitesse varie dans des limites telles, que la différence totale entre ces limites soit tout

au plus — de la vitesse normale. Alors, si l'on appelle n cette vitesse normale, polir l'extrémité B du bras de levier l de la charge du frein, et S la

différence entre ces limites, le rapport -^ est donné par l'équation,

I car S = n par hypothèse ; d'où -^ sr/i j ,

et le nombre n est précisément celui que l'on

trouve dans (ouïes les^ fomniles relatives au caktit des valants (^).

Alors, pour l^extrémité B du bras dû leVier l^

lavïte8semimmum(**)ftcrau-*-— a=acaf I -^^} (a3), la vitesse moyenne =n (M%

la vitesse maximum ÇïA a=n(i A J (aS) .

ïkiùMM alix quanlités analogues relatives au Ipoids de Tappareil des dénominations sosiblabies niftts accentuées, et observons que

nous aurons

eii sorte que n sera le même pour n' que pour n i et par conséquent on aura aussi,

^ , lia vitesse minimum =n'( i -^ •^i (^)»

Pour le centre 1 \ un/

. de;gravité /la vitesse moyenne zsSl' (27},

' / la vitesse maximum îss n'| i -+- ^"** ) (*8).

C) Voye^ le Cours de mécanique appliquée aux machines ^ de M. Poncelet, sect. 11^ n° g5.

(^*) Nous devons faire observer qu'il s'agit de la vitesse que l'extrémité du bras de levier prendrait si elle était em<» portée dans le mouvement de l'arbre de rotation, et que ce mouvement prit un régime uniforme. (Voyez la note du n^ 2.) Cette vitesae est 2 ^ / r; il ne faut pas la confondre avec la vitesse variable effective que le point B prend pen<^ dant les osciUarttons du frein.

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. Zt

' Mais lorsque la vitesse de l'axe de rotation a diminué, que les extrémités de l et de Z' ne tendent plus

virtuellement qu'à prendre les vitesses n 1 1 ^ J

et n' (l ), c'est parce que le travail fourni

pat* la machine, dans l'instant élémentaire, a diminué dans le rapport de a et a' à n / 1 j

et à a' ( ^ "^ ""^ ]j c*est-à-dire dans le rapport

de A à ^ fi j. En effet, la résistance opposée par la production de l'effet utile restant constante, comme nous le supposons, il suit, du principe de Tégalité de l'uction et de la réaction, que l'effort exercé ne subit pas d'altération; que ce qui y manque momentanément est suppléé par le travail emmagasiné dans le volant ou dans les autres pièces mobiles ; que la vitesse seule éprouve une diminution , et que cette diminution est proportionnelle à celle du travail transmis actuellement par le moteur. Par conséquent, ce

travail est réduit de a à a ( 1 ) , si la va-

» \ un]

riation se prolonge pendant un temps fini, ou

de d A à d A ( 1 — ), si elle n'a lieu que

pendant le temps élémentaire; et, comme on le

voit, — n'est autre chose que ce que nous avons

représenté par m (i2).

u NoiriCÊ

L'équation (21) donne donc :

j[ P/(i — cosx' — tang/sin^')

Ce qaie nous avons dit du cas où l'intensité de racûon motrice diminue s'applique mot pour mot, sauf un simple changement de signe^ à celui ou cette intensité augmente. Nous croyons donc inutile d^insister sur cette dernière circonstance.

i 5. LHnertie des niasses du frein et de la charge n'exerce, comme il est facile de s'en assurer, aucune influence fâcheuse sur l'exactiluile des indication^.

Considérons, en effet, le frein au moment où, en ôscilUnt, il passe dans Sa position normale. 11 est alors à son maximum de vitesse, et cette vitesse s'éteint graduellement jusqu'à la limite de Torscillalioh. Fendant que la vitesse diminue ainsi ^ l'inertie vient bien en aide au moteur Ou à la résistance qui i^ntraine le frein de ce côté ; mais lorsque le frein rétrograde, pour accomplir l'osdllation suivante , sa vitesse redevient Croissante^ et l'inert e jôiie alors un rôle tout opposé au. précédent. Elle détruit donc le travail qu'elle avait pu ajouter à celui des agents dont ttôus yenôtts de parler, et par conséquctit, après un temps fini, la somme algébrique de ses travaux . partiels est nulle.

S'il restait quelque inquiétude pour celles des oscillations où des causes perturbatrices occasionnent des saccades dans le ttécroissement gra-^^

SUR LE FREIN DYNAMOMETRIQUE. 3i

dUtel de la vitesse, noU3 ferions obsérVer que les oscillations nolablémeht irréguHères èont descbtceptiôns peu frëqùenles, du moins quand Texpërience est bien faite. D'dilleurs, aux limites extrêmes des oscillations, lat vitesse eèt nulle, et les équations (2) et (20) subsistent, dans toute leur rigueur; Enfin^ comme la vitesse décroît toujours depuis le milieu dès oscillattons jusqu'à leur limite extrême, Tinfluence de ririerlie ne pourrait consister, si des secousses la reridaient appréciable, qu'en lïri agrandissement dès artipliiudes.

Or nous verrons plus loin que c'est d'après Tamplitudè de^ oscillations. observées que nous jugeons du maximum de l'erreur possible. Si donc 6n recdnnaît que toutes les oscillations soient régulières et d'Uiie égale étetidue, on déterminera cette ëtehdue sans embarras, et Ton en conclura le tnàximunii chercbé. Si, au contraire, on aperçoit des variations dans la grandeur des arcs décrits, on calculera l'amplitude moyenne en la supposant plutôt trop grande que trop petite, et comme le thaxtmùm def Teireur possible croît avec l'amplitude des oscillations, ainsi que nous le ferons voir (18), et que Ton peut déjà le pressentir d'après ce que nous avons dit (7), on péchera plutôt par excès que par défaut dans l'estimation de l'iiinpcfrtaricc possible de celte erreur.

Ali reste, si ûobs faisons ces dernières observâflions, c'est par pure déférence pour la stricte rigueur dé l'analyse et non pour l'utilité réelle.

Etf effet, pour lès plus grandes oscillations de

la praliquci Terreur, comme nous le ferons voir, est une fraction très-petite du travail total. Une légère inexactitude dans révaluàtion de Tamplitude de ces oscillations ne représenterait donc qu'une faible fraction de cette très-petite fraction, et le rigorisme que l'on pourrait mettre dans cette mesure ferait dégénérer la précision en minutie.

Nous considérerons donc l'inertie comme ne pouvant occasionner aucune erreur dans les indications données par le frein. '

16. Les résistances passives des appareils accessoires dont le frein est souvent accompagné ont des inconvénients; elles absorbent toujours une certaine quantité de travail, qui, lorsque l'oscillation approche du terme de son' amplitude, devient fort comparable avec Texcès développé par le moteur ou consommé par la production de l'effet. Ces résistances accélèrent donc le moment où cet excès est annulé, et par conséquent elles diminuent l'amplitude des oscillations et la sensibilité de l'instru* ment.

On peut donc regarder comme nuisible toute espèce de complication apportée à la construction d'un frein dynamométrique et capable d'engendrer une^ résistance passive. Ou sent bien, d'ailleurs, que ce défaut, d'autant plus grave que les résistances ainsi développées sont plus considérables, échappe à un calcul général. On ne pourrait en déterminer les effets que pour chaque appareil en particulier, et nous n'avons pas^ d'ailleurs, à en tenir compte, puisque nous regardons

le frein comme devant être construit dans toute sa simplicité.

17. En revenant sur les causes d'inexactitude que nous avons discutées séparément, nous voyons qu'il est inutile de nous occuper de Tinfluence de l'inertie, ni des résistances passives occasionnées par les accessoires que nous recommandons de ne jamais employer.

L'erreur que .l'on pourra commettre ne résultera donc que de l'emploi, dans la formule, du bras de levier /, au lieu du bras de levier p, et, par conséquent, sera exprimée par l'équation (16), qui se réduit dans le mode d'expérimentation ordinaire,

ou jc = a: , a

/ Siû or' \

Nous avons fait voir a la fin du numéro (7) que cette erreur, nulle quand ûc' = O^ croit de plus en plus avec cet arc, et que l'on peut l'anéantir en employant dans le calcul la valeur de f à la place de celle de /.

Nous avons aussi fait voir (12) et (14) que les oscillations sont causées par les variations dans rintensité de Faction du frottement et de l'action du moteur, et nous avons déterminé les amplitudes correspondantes à des variations données. Il se présente donc à nous deux manières d'envisager la question . La première consiste à rechercher l'amplitude maximum qui peut résuher des variations les plus grandes que là pratique des arts

98 ryOTICE

fasse observer dans rinlensité du frottement ou de l'action motrice, et à vérifier, par Tobservation et Texpërience, si les lirailes indiquées p^ir le calcul pour les amplitudes ne sont pas dépassées dans lexécution ; la seconde à rechercher l'erreur commise lorsque les oscillations ont une amplitude donnée, jst, par conséquent aussi, Iprsqu^elles ont l'amplitude maximum déterminée par le calcul ou par l'observation.

Nous allons traiter ces questions ppyr les disrpositifs les plus ordinaires.

18. Commençons par celui du frein réduit à S2| plus grande simplicité.

Supposons donc cet appareil tellement équilibré que son centre de gravité coïncide exactement avec son axe de rotation, nous aurons /' = 0, et l'erreur commise sur le bras de levier pour un arc total d^ x'o -f- x"p = 2 x\^ degrés sera donnée par l'équation (17).

(sin x^ \

On voit d'ailleurs que cet, appareil a rinconvénient de ne posséder que Téquilibre instable, dans le cens' vers lequel l'augmçntation de rintensité dji ffxxttement ou de l'action du moteur tend ^ enp traîner le frein.

On se rappellera que l'erreur, nulle pour vC =0, croîtra 4a pl"^ en plus avec ce' (7).

, Dans la^ formule (30) , o^' est la valoir de relire décrit du rayon 1, et, pour obteair le nÇifia**

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. ^ft

bre jc'o des degrés de cet arc, on a évidemment ' Xo = -^^r X 360: comme d'ailleurs sin x' ne dif-