TT

fère pas de sin x\y on peut remplacer sin x^ par sin 3(f^y et la formule (30) devient

Maintenant, si nous reprenons l'équation (4),

nous aurons, en observant qu'ici /' = 0,

û=;2:TtP/ (33).

L'erreur m A (*), que Ton commettra en mettant l dans cette formule au lieu de f, ser^ évidemment donnée par l'èxpression^

^' A =; 217tP^ -^ 2:TT P^ = 271-7 P ( i rr- f ) ,

ou ( voyez l'équation 31 ),

/ r\il 36o sin -cW m'ù^ = 2ttP/ ( I 7 — - \ ,

eu eufia, à cause de A = imVly

«iA

(36o sin xW '

i^) Il ne f^ut pas confondre la fraction m\ dont nous parlons ici, avec la fraction m dont il a été question ci-dessiis. La première y w! ^ est l'erreur commise sur la valeur du travail; tandis que la seconde, m^ est la fraction dont le tra«- V2^il du moteur ou le frottement a dû croître ou diminuer, pour que la ligne OB passât de la position normale à Tune de suppositions extrêiviç? OB', QB'', fig. i.

^ • 1 ' t 36o siij x\ ^ ,

Ce qui donne aussi m: •=. \ , — ? (3^).

L'équation (29) nous fournit le moyen de déterminer (17) Tamplitude de Toscillation résultante d'une variation quelconque //i F ou -^ Fsur-

venue dans l'intensité de l'action du frottement ou du moteur, et considérée isolement des autres causes de rentratnement du frein. L'équation (33) nous permet aussi de reconnaître l'erreur commise pour une amplitude totale 2 x\ donnée à priori y, ou bien observée dans l'expérience.

19. Comme nous T^vo^s vu, les variations du frottement ne portent guére^ qui^qd Tappareil est excellent^ la valeur de 2 x\y qu'à 2** environ. Mais, en supposant que l'on eut pour 2 x\ la valeur fort grande de 1 2°, on trouverait

/n' =. 1 — 0,9983 = 0,0017, d'où

quantité tout à fait insignifiante.

Quant à l'erreur qui peut provenir des variations de l'action du moteur, on commencera par remarquer que Téqua^ion (29) devient quand<f =0,

et Z'= 0, attendu que — = m,

— r= i — COS J?' c= Ztt (36),

et, comme dains les machines à vapeur, on ne

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. 4i

prend pas /z au-dessous de 18^ on a au moins

cos x' z=i \ (87),

ou^ ce qui revient au niême^

cos

x' '■=; i rr: -7c =: O.Q72, d'oÙ x\ IZT iS^.SÔ'.

Portant cette valeur dans Téquàtion (34), nous aurons, en observant que 1 3** 36' sont exprimés en décimales par 1 3'' 60,

, 36o sin i3°.36 m s= I — s~7»"' — .

//ï' = 1 -*- 0.9908 = 0.0092, d'où

quantité fort petite.

La moyenne des amplitudes des oscillations ne sera pas sensiblement augmentée par la variation du frottement, parce que Terreur qui provient de cette cause tendra tantôt à diminuer, tantôt à accroître l'erreur beaucoup plus appréciable que nous venons de discuter.

Nous avons aussi fait voir que l'influence de rînertîe ne changeait pas cette moyenne, qui, par conséquent, dans le cas que nous examinons, n'excédera pas 1 3'' 36' au-dessus et au-dessous de l'horizontale.

Si Ton suppose cependant que les deux erreurs s^ajouteht constamment Funé à Tautre, et que Ton

prenne même celle qui est domiée par l'équation (35), on aura pour Terreur totale :

On observera d'ailleurs que le frein que nous venons de décrire étant équilibré et n'étant soumis à aucune résistance passive, les causes d'erreur que nous venons de discuter sont les seules que l'on ait à craindre, et en portant même, pour tenir compte des légères erreurs d'observation, la valeur

de m' A à

on pourra conclure que :

Quand le frein d/namome trique , réduit à toute sa simplicité primitwe, forme au-dessus et au-dessous du plan horizontal des variai tions qui ne dépassent pas 1 3' 36', et qui, par conséquent^ répondent à une amplitude totale de 27** 1 îl' j f erreur que Ton commet par la rfiéfhode or(^i}aire^ neçcùède pas un centième et denjti du tf^avciil fatal j et pourradt même être atténuée et réduite auçc seules erreurs d'obier-vaiion^ ^ij au lieu dUntroduire l dans lajormule^ on y introduisait la valeur du rayon moyen f de fcirc total (f ampUti^de.

IjC^ projection sur Ic^ verticale du double arç de 13^36' est 2 sin 13** 36' X hpcir conséquent^ pour lin rajQn 4'u^ mètre , cette projection égale 0,470, et pour un rayon de deux mètres ellp égale 0,940,

Celte amplitude, comme nous l'avons fait voir,

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. 4â

est ramplitude maximum que la théorie imdique comme produite par les varif^ùops de l'initeiisité du moteur, dans les machines à vapeur, où le volant exerce ia moiqdre influ^ocq régulîtlrice. L'expérience confirma cette prévision du calcul j et il est même fort rare que les amplitudes observée» aient un aussi grand nombre de degrés : presque toujours ellqs çopt beaucoup moins fortes; et, par conséquait. Terreur est au3si bien inférieure à celle qui^st indiquée par l'équation (40)*

le ^eul iqçpîivénient que présente le dispositif que nou$ venqqs d'examiner est donoriostabilité despn équilibre dans un p^en^, instabilité qui exige beaucoup de précautions délicates dans l'emploi, aurtptit IprsqupJ^s varis^ticM)^ de l'intensité du mor teur Siopt gr^ïides.

?0, Lorsque le fr^^in n'est pas équilibré, les circonstance^ ne sont pas tout à fait le$ mêmes que dans la discussion qui précède, et^ si l'on suit Ip p3ode usité d'expérimentation, on doit concevoir le poids de l'appareil conxme décomposé en tleux p^irtiepi lia première est Kîellie de toute la portion A C du braç du frein, qui> dans la position normafe du système, §e trouve ep dehors de la symétrie, par rapport au plan vertical qui passe par. l'axe de cotation.

On ti^nt compte de cette partie du poids en détiçrminantla fprce quij appliquée en sena contraire au point A, y ferait équilibra, et Ton ajoute à la valeur de la charge celle de cette force ♦ qui se trouve ainçi portée en ligne de compte.

Quant au système symétrique E C F^ on voit que, quand les oscillations s'étendent autant audessus (Ju'au-dessous de B, que, par conséquent, x' = af'f les travaux qui résultent du déplacement du centre de gravité s'annulent et n'entraînent aucune erreur* Mais on voit aussi que, quand le centre de gravité est en g', le poids de cette partie symétrique favorise l'action delà résistancequi tend à entraîner le levier et augmente l'amplitude de l'os- ' cillation. Le même effet se passe quand ce centre de gravité est en g", et déplus, dans cette position, il tend à augmenter Tinstabilité de l'équilibre*

Lors donc que le frein ne sera pas équilibré, et que les oscillations s'étendront également au-dessus et aii-dessous^ de l'horizontale OB, le déplacement du centre de gravité tendra à augmenter Tamplitude des oscillations et, par conséquent, à porter, . dans les circonstances extrêmes dont nous avons parlé (19), la valeur de x'o au delà de 13® 36'. Il est rare, à la vérité, qu'elles atteignent même cette amplitude dans la pratique,* mais il est rare aussi que l'on rencontre, dans les manufactures bien établies, des machines à vapeur où n ne soit pas beaucoup plus grand que 18 (14. et 19).

Quoi qu'il en soit, puisque dans le cas où X* = x\ les travaux produits par le déplacement du centre de gravité ne fournissent qu'une somme nulle, ce déplacement ne pourra augmenter Terreur qu'en faisant croître l'amplitude des oscillations et la valeur de / — {••

Lors donc que l'on Se sera servi d'un frein de ce

genre et que l'on aura observé la valeur de x\ , on déterminera Terreur commise, en inlFoduisant cette valeur dans la formule (31 }•

21. Nous avons dit (5) que, pour observer les arcs x' et oc^' y il ne faut pas considérer les mouvements du levier du frein, mais bien ceux du rayon horizontal OB. On fera facilement cette observation au moyen d'un style S, fig, 3, composé, si Ton veut, d'un simple fil de fer, et formant, quand le frein sera dans la position normale, le prolongement du rayon OB. On comptera facilement les degrés des amplitudes sur un index I formé d'une planche ou d'un carton divisé , et Ton en conclura x^ et iTo'V P^y P^r suite, tous les résultats des formules que nous avons exposées.

22« La discussion qui précède montre évidem* ment combien est nutisible l'addition faite au levier du frein, par quelques expérimentateurs, d'un arc concentrique à l'axe de rotation et destiné à maintenir constant le bras de ce levier* Cette annexe rend instable l'équilibre du frein, tant au-<]essus qu'au-dessous du plan horizontal, tandis que, dans la construction primitive, l'équilibre n'était instable que d'un côté de ce plan* On motive, à la vérité, cette disposition sur le désir d'éviter l'erreur dont nous avons discuté l'importance ; mais, à cause de la petitesse de cette erreur que l'on peut même anéantir (6) en employant dans le calcul le rayon moyen f au lieu de Z, il est aisé de voir que l'avantage que l'on se propose d'obtenir ne com-. pense pas les inconvénients qui l'accompagnent*

46 ^XOTICÉ

Aussi les expérimentateurs qui se servent de semblables freins ne parvîennent^iU à les fijter qu'en y ajoutant des accessoires capables- de prësenler des résistances passives , qu'il faut'méme augmenter lorsque l'intensité du frottement, et surtout celle de l'action du moteur, varient notablement. Cette nécessite se fait sentir prirtcipale-»ment dans l'essai de la puissance des machines h vapeur dont la vitesse n'est pas irè^réguliére.

Évidemment, cette augmentation de résistances passives h' est qu'un palliatif préjudiciable à la précision des observations.

La petitesse deé erreurs (|ui résuUent des variations ordinaires de l'intensité de l'action du moteur doit également faire renoncer habituellement, dans la pratique des usines, aux appareils dynamométriques destinés à tenir compte de ces variations ; ces appareils ne seront utilement ap^ plicables que quand les variations sortiront des conditions consacrées par l'ùsfige, ou bien quand il s'agira des efforts de traction exercés par les animaux*

23* Tout ce que nous avons dit de l'exactitude du fi*ein dynamométrique de M. de Prony se trouve confirtné par de belles expériences que M. Egeny ingénieur prussien, a décrites dans un. ouvrage publié à Berlin en 1831 (*).

On y voit qu'en employant un manchon en

(*) Untersucliungen ùber den Effeckt einiger in Rheinland Westphalen besthehendeii Wasserwerke. — Vori Egen. —Berlin, î83i.

àUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. 47

ïbnle l'auteur a obtenu les résultats suivants :

En opérant avec des poids ( sur 18 expériences ) ,

Maximum de l'écart de l'efFort, en dehors

de l'effort moyen 0,0201

Minimum y idem. . . . • . 0,005]

Moyenne de l'écart 0,01 1

En opérant avec un dynamomètre à ressort ( sur 1 5 expériences \

Maximum de l'écart de TefTort , «n dehors de l'effort moyen, . '. 0,033

Minimum. . 0,001

Moyenne 0,015

OP

fl

Ph

tn

ne

poîn

L'appareil était du genre de celui dont nous âVonS parlé (20); la précision a éié diminuée^ parce que le manchon et une chaîne articulée qui opérait le f^ôtletnelht se rodaietit un peu , et que l'huile n'était pas régulièrement fournie. Nous devons prévenir aussi que les résultats de M. Egen sont relatifs à des moteurs d'une action parfaite*^ ment Uniforine, c'est-à-dîre à des rotiés hydrauliques.'

24. Quelque excellent que soit l'appareil dont nous avons discuté les propriétés, on a souvent remarqué, en l'ertiployânl, la nécessité d'y apporter plusieurs modifications dont nous allons examiner lès avantages et les inconvénients.

Parmi les motifs de ces modifications figure en première ligne le défaut d'espace, qui, dans beaucoup de localités, ne perttiet pas l'emploi de la

pièce inférieure destinée à équilibrer toutes les parties du frein et. à faire coïncider son centre de gravité avec Taxe de rotation.

Nous ne reviendrons pas sur ce que nous avons dit (20) des effets de cette suppression ^ et nous nous bornerons ici à discuter les moyens par lesquels on a coutume de Texécuter.

M. Poncelet, dans les^ expériences qu'il a faîtes sur ses roues à aubes courbes , s'est servi d*une bande de tôle qui embrassait Tarbre en bois sur lequel il opérait. M. Egen , que nous avons déjà cité (23)^ a remplacé , à son tour^ la bande de tôle par une enveloppe articulée composée de maillons en fer battu , et frottant sur un manchon tourné en fonte. Cette dernière modiGçation a deux inconvénients^ celui du frottement du fer contre la fonte et celui d'une pression beaucoup plus inégale que la pression qui est produite par la bande de tôle. Aussi l'auteur reconnaît-il que, dans, ses expériences, le manchon éprouvait des dégradations. Je pense donc que l'on doit s'en tenir à la bande de tôle (*) employée d'abord par M. Poncelet, en évitant, comme l'a fait cet illustre ingénieur, de mettre en contact des substances qui puissent s'al* térer autrement que par le simple user.

Or, comme maintenant on ne se sert plus que de manchons en fonte, il faut évidemment interposer entre la gorge du manchon et la bande

Ç*') Pour les foites pressions, il faudrait faire cette bande en fer battu, suffisamment épais et parMtement corroyé. .

SUR Le frein DYNAlVtOMÉ'TRIQUE. 4^

de fer baUtt une doublure qui satisfasse à la ùon-tlildon que nous venons d'indiquer.

Celte doublure doit être flexibhft , et^ parmi les «substances n^étalliques dont on pourrait la forûier, je n en connais , saut recherches ultérieures ^ au^ cune qui satisfasse à toutes les conditions dësira«bles. , Le bronze est cassant^ ainsi que toutes les compositions qui fournissent les meilleurs cousai^^ nets ; Tétain et ses alliages sont trop fusibles ; le cuivte se réduit en poudre lorsqu'il est ëchaufTé et soumis à un frottement considérable ; le bois qui | loin de roder la fonte^ s'u^ en se charbonnant un . peu, et prend, avec la plus grande facilité, la forme convenable pour ra|)pHcation complète des surfaces, est, par conséquent, la substance qui convient le mieux. Je propose donc de doubler la bande d'une planche de châtaignier refendu (^) astouplie par le séjour dans l'eau, courbée au feu, et rendue plus élastique par de petits tmits de scie pratiqués du côté de la convexité. Du mer-* rain neuf, tel que celui que Ton emploie pour la fabrication des tonnes, bien dréssé> et réduit à 2 centimètres d'^isseur au plus, remplira par-faitenlent cette indication. On empêchera le glis<sèment, en faisant lever, sur la surface intérieure de la bande qui devra être fort épaisse , des aspé^

C^) C'est M. de Saintr^Lègsr qui , le premier^ a eu Vidét d'interposer du bois entre la bande et le manchon ; mais les Youssoirs qu'il emploie peuvent occuper trop d'espace dans quelques circonstances ; alors l'emploi d'une planche fleflible itiolns volumineuse pr^ente de Tavantage.

50 NOtiCË

rites semblables à celles d'une râpe à bois , et en faisant établir ^ aux deux points où se terminera la planche , de petits épaulements destinés à empêcher le glissement. On aura soin^ d'ailleurs^ de laisser le bois déborder la tôle, de quelques ;nillimétres de chaque côté , et ^ de cette manière ^ la gorge et les gardes du manchon, ne portant que sur du bois, ne pourront éprouyer aucune dégradation. ( Voyez la figure 3. )

25. La rigidité qu'il est indispensable de donner à toutes les parties du frein^ pour en maintenir les différents points à des distances invariables , occasionne le desserrement des boulons, aussitôt que les surfaces frottantes éprouvent le plua petit user. Aussi la manœuvre dès boulons doit-elle être continuelle , surtout lorsque la pression est assez grande pour rendre l'user très-rapide. M. Poncelet a proposé d'y remédier par l'emploi d'un levier inférieur, et par l'éloignement de l'on des boulons de l'axe de rotation. La pièce inférieure, en fléchissant, légèrement, ne déplacerait pas sensiblement le centre de gravité du système, et, pour peu que la pièce supérieure restât rigide , les distances relatives des points importants du système n'éprouveraient aucune variation. On conçoit, d'ailleurs, que l'élasticité donnée aux pièces qui opèrent la pression devrait rendre l'user des surfaces beaucoup moins sensible.

Profitant de cette idée, mais désirant diminuer l'espace occupé par la partie inférieure du frein, je préfère conserver la bande de tôle ou de fer

SUR LE FREIN DYNAMOMÉTRIQUE. 5t^

battu doublée en bois, laisser les boulons aussi prés que possible de l'arbre de rotation ; mais faire porter les écrous de ces boulons sur des ressorts en acier, capables d'opposer une résistance suiBsante. ( Voyez R, R, figure 3. ) Le tirage des boulons étant alors eflfectué par les ressorts, et la tension de ces derniers diminuant fort peu, pour un user insensible des surfaces, la pression demeurera constante pendant beaucoup plus longtemps que: quand le tirage s'exerce entre des pièces absolût ment rigides. Les rech^ches de M. Morin, sur le coefficient d'élasticité de l'acier, fourniront les documents nécessaires pour le calcul des dimensions des lames, et il suffira , en raison du faible user des surfaces, que ces ressorts puissent éprouver des flexions de O^'OOâ, ou inéme de 0°*002, sans que leur résistance éprouve un changemetvC sensible; ' —

.26» Après les .modifications réclamées par le défaut d'espace, il en est une autre ti%s-importante dont personne n'a, je crois, encore parlé. Cette nouvelle modification a pour objet de disposer le frein de maniéré que l'équilibre tende à se Fétablir de soi-même lorsqu'il a été légèrement troublé.

Nous avons, en effet, remarqué (1 3) que l'équilibre du freiti dynamométrique est instable dans un des sens de son mouvement, et même (22) que, pour certains dispositifs, cet équilibre est instable daiis les deux sens.

J'ai cherché le moyen de lever cet inconvénient j

mat\9 en m'imposant la condition de n'ajouler ao^ cune eomplication ni aucune résistance passive appréciable au dispositif de M. de Prony. Yoieî comment j'y suis parvenu.

Au lieu de placer le point d'attache en A, fig. 3^ portons-^le en A^^^ fig. â, et rendons-4e fixe en suspendant la charge à un support armé d'un grain de la forme de ceux des fléaux de balance» L3 rayon ée la circonférence de rotation sera évi^ demment 0A% et Vangle BOA*'', qtie nous ayon^ représenté dans les formules précédentes par ^^ deviendra — ^ A Nous aurons^ d'ailleurs,