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Mais, dans ce cas encore, il faut remarquer que pour les corps hé- | térogènes, ce coefficient varie suivant le sens de l'effort et que pour - les bois, par exemple, il est plus fort quand il agit dans le sens des fibres, que quand il s’exerce dans le sens perpendiculaire. |

Raideur. — Le module d’élasticité peut être pris pour mesure de

la raideur du corps, on dit, en effet, qu’un corps est d’autant plus raide qu’il faut une plus grande force pour y produire une déformation déterminée et la raideur d'un barreau soumis à un effort donné est, en conséquence, mesurée par le rapport de la variation de la force exercée à la variation correspondante de l’allongement produit. Dans la formule :

à RE ; ) HAT .

la raideur serait donnée par la dérivée a aurait donc, en l’appe- “Jant € :

On voit donc que si l'on suppose une barre de longueur et de section égales à l'unité, sa raideur est mesurée par le module d’élasticité, puisque dans ce cas : — E.

La raideur reste constante tant que les allongements restent proportionnels aux charges, c'est-à-dire tant que la limite d’élasticité n’est pas dépassée ; si, en decà de cette limite, elle éprouve de légères variations, c’est que l’élasticité du corps n’est pas parfaite ;: on peut donc dire que la constance de ce rapport caractérise l’état d’élasticité parfaite, état qui ne se rencontre d’ailleurs d’une façon absolue dans. aucun corps.

ag +

Courbe des allongements. — Si l’on construit une courbe en pre- À nant pour abscisses les tractions exercées sur un barreau donné, et . pour ordonnées les allongements par mètre courant correspondants, * nous avons dit déjà que cette courbe se confondra sensiblement avec : une ligne droite, tant que les allongements resteront proportionnels aux tractions, c'est-à-dire, tant que la limite d’élasticité ne sera pas dépassée.

Cette ligne droite passera par l’origine des coordonnées et la cotangente de l'angle «, qu’elle fait avec l'axe des æ, mesurera. le produit du module d’élasticité multiplié par l’aire de la section droite du barreau :

p cotang x — Fr AE.

Au delà de la limite d’élasticité, la courbe s’élèvera au-dessus de la ligne droite et tournera sa convexité vers l’axe des x, en s’élevant de plus en plus rapidement, jusqu'à la charge de rupture où elle s'arrête brusquement.

Une courbe ainsi construite suffit pour représenter complétement les propriétés élastiques développées par l'extension dans un barreau d’essence donnée.

En effet, l’inclinaison de la ligne droite qui peut la remplacer au début donne, comme nous l'avons dit, le coefficient d’élasticité. Les coordonnées de l'extrémité de cette ligne droite, ou du point où elle cesse de se confondre avec la courbe, font connaître la charge limite

d’élasticité et l’allongement correspondant.

La forme de la courbe au delà de cette limite et le point où elle s S’arrête montrent aux yeux la facon dont se comporte le bois sous des efforts croissant jusqu’à la charge de rupture, et permet de reconnaitre, par comparaison, les différences que présentent, sous ce rapport, les divers échantillons éprouvés.

Résistances vives d’élasticité et de rupture. — I] est même possible

d'obtenir, à l’aide de ces courbes, une mesure mathématique de ces

différences. En effet, lorsqu'un corps s’allonge sous l’action d’une force qui letire dans le sens de la longueur, sa résistance à cette déformation développe, pour chaque élément de l'allongement total, une quantité de travail mesurée par le produit de l'effort exercé et de cet allongement.

+ We à ; x

Il résulte de là que, si l’on mesure l'aire de la courbe construite ainsi qu'il a été dit plus haut, on aura la valeur du travail pour un al- Jongement donné, correspondant à l’ordonnée extrême.

Cette quadrature, effectuée depuis l’origine des coordonnées jusqu’à l’'ordonnée correspondant à la limite d’élasticité, donne le travail développé par la résistance du corps pour arriver à cette limite. Poncelet a donné à ce travail le nom de résistance vive d’élasticilé 1, et il le désigne par la lettre Te.

"Si l'on pousse la quadrature jusqu’à l’ordonnée qui correspond à la rupture, on aura le travail total qui à été nécessaire pour rompre le corps, travail que le même auteur nomme résistance vive de rupture, et qu'il représente par la lettre T, .

On voit que le travail T: ou la résistance vive d’élasticité est donné par l'aire du triangle dont la hauteur est l'allongement total corres- * pondant à la limite d’élasticité et la base, cette charge limite elle-même, ce qui donne, en kilogrammes, pour un barreau de section droite A,

l'unité de longueur étant le mètre :

DR

Te = : EAL:?.

…. Quant à la résistance vive de rupture, elle ne peut être obtenue qu’en mesurant graphiquement l’aire de la courbe. F Plus la résistance vive d’élasticité d’un corps sera considérable, et plus ce corps sera susceptible de conserver son élasticité sous l’action ‘des efforts qui tendent à l’allonger, plus sera grande aussi la charge que l'on peut lui faire supporter, sans danger, d’une façon permamente.

—…. Plusla résistance vive de rupture seraconsidérable, et par conséquent supérieure à la résistance d’élasticité, et moins il y aura de danger à dépasser accidentellement la charge limite que le corps doit être app pelé : à supporter d’une facon permanente.

È Coefficients de sécurité. — La grandeur relative de ces deux quan- “ités peut donc donner des indications utiles au point de vue de l'emploi des matériaux dans les constructions. Le rapport de la première à la seconde peut servir, par exemple, à mesurer la sécurité relative de

| 4 En Angleterre, la résistance vive est désignée par le mot résilience, propose ur Young.

MS

l'emploi de matériaux qui peuvent être soumis à des efforts accidentels si, ce qui est le cas habituel, on s'impose la règle de ne faire sup-. porter, comme charge permanente, qu'un effort fixé d’après une cer- : taine relation avec la charge correspondant à la limite d’élasticité.

Nous désignerons, d’après ce qui précède, le rapport de ces deux résislances vives, sous le nom de coefficient de sécurilé. Il est évident que selon l'usage auquel sont employés spécialement les matériaux, on peut obtenir d’autres coefficients de sécurité, ayant une signification analogue, en considérant soit le rapport de l'allongement au moment de la rupture à l'allongement correspondant à la limite d’élasticité, soit encore le rapport de la charge de rupture à la charge limite d’élasticité. |

D’après le mode d'emploi habituel des matériaux de construction, c'est même ce dernier qu’il y a le plus souvent intérêt à considérer; il a l'avantage, d'ailleurs, de présenter à l'esprit un sens plus précis que le rapport des résistances vives, et d’être aussi plus facile à déterminer.

Variations de la raideur. — La construction des courbes indiquées ci-dessus peut encore fournir des renseignements sur la variation de l’élasticité, ou plutôt de la raideur des corps, lorsque la charge qui correspond à la limite d’élasticité est dépassée. La cotangente de l’angle que fait avec l’axe des x la tangente en chaque point de cette courbe représente, en effet, la raideur en ce point, raideur qui, d'après la forme de la courbe dont la convexité est tournée vers l'axe des 1 va toujours en diminuant depuis la limite d’élasticité jusqu’à la rupture.

La variation plus ou moins considérable de la raideur, entre ces deux limites extrêmes, peut servir aussi d’élément pour caractériser les corps éprouvés. Pour les métaux tels que le fer et l'acier, la raideur. subit un changement relativement brusque, dans le voisinage de la limite d’élasticité, puis elle conserve sensiblement sa nouvelle valeur, comme s’il s’était produit un changement d’état du corps, ayant eu pour résultat de constituer un nouveau métal, toujours élastique, mais de raideur moindre. Pour les bois, le phénomène est différent : une fois la limite d’élasticité atteinte, la raideur décroit progressivement jusqu'au moment de la rupture, mais sans variations brusques et sans discontinuité bien apparente. |

Mesure des effets d'extension. — Telles sont les notions théoriques

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