Flexion

Lois des flexions élastiques. — Lorsqu'un solide rectangulaire, pos horizontalement sur deux points d'appui, fléchit sous l’action d’une « charge placée en son milieu et agissant verticalement, sa face infé- ” rieure devient convexe et sa face supérieure concave. ‘4

On a pensé pendant longtemps que, dans ce cas, toutes les fibres longitudinales formées par les molécules des corps s’allongeaient à | partir de celles qui sont placées à la face concave ; Galilée et Leibnitz avaient admis cette hypothèse et y avaient appliqué le calcul; . | Mariotte d’abord, puis Jacques Bernouilli, ont établi les premiers, par le « calcul, que cette supposition n'était pas d'accord avec les faits, et que certaines fibres doivent être comprimées.

Les expériences de Duhamel du Monceau ont, pour la première fois, permis de vérifier que, dans la flexion des bois, il y a extension des Ë fibres situées à la partie convexe et refoulement de celles qui sont à la partie concave, et que nécessairement il existe par suite, à l’intérieur . des corps, une couche de fibres de longueur invariable 1. |

Les expériences faites, en 1851 et 1856, au Conservatoire des arts « et métiers, par M. le général Morin, pour constater la compression et \ l'extension des différentes parties des solides fléchis, ont établi, en M outre, que, dans les limites de flexions que la pratique peut admettre M et même au delà, et lorsque les solides ont des sections transversales . symétriques dans le sens vertical, de sorte que le centre de gravité de « ces sections se trouve au centre de leur hauteur, l’on peut, pour le « bois, la fonte et le fer, regarder comme suffisamment établis par l’ex- « périence les faits suivants : |

1° Les raccourcissements des fibres placées à la surface concave w sont égaux aux allongements des fibres placées à la surface convexe ; |

2° Les raccourcissements et les allongements sont proportionnels « aux charges qui produisent les flexions.

Les lois principales de la flexion des bois ont été déterminées par les expériences de Ch. Dupin, faites en 1813, à l’arsenal de Corcyre.

1 Cette démonstration à été obtenue en pratiquant un trait de scie vertical de profondeur variable au milieu de barreaux de bois, tantôt à la partie inférieure,“ tantôt à la partie supérieure, et recherchant les modifications que cette opération « apportait à la résistance des barreaux, Ê

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Ces recherches ont démontré que, toutes choses égales d’ailleurs, les flexions des pièces posées sur deux appuis et chargées au milieu de leur longueur, sont :

4° Proportionnelles aux charges 2P qu’elles supportent ;

2° En raison inverse du produit de la largeur a et du cube de la hauteur b de la pièce; |

3° Proportionnelles au cube de la portée 2c.

Formules des flexions pour un corps quelconque. — En appliquant, sur ces données, le calcul à l’étude des phénomènes de la flexion, on est arrivé aux conclusions suivantes :

1° La ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de Ja section transversale ;

2e La valeur de l'allongement ou du raccourcissement proportionnel à’ éprouvé, dans la flexion, par une fibre longitudinale quelconque, est donnée par les formules :

PATES M EI ea à T

en appelant : ;

I le moment d'inertie de la section considérée, par rapport à l'axe autour duquel se fait, dans cette section, la rotation nécessaire pour la flexion ;

M le moment des forces extérieures ;

v' la distance, à l’axe de rotation, de la fibre dont on cherche l’allongement ;

Etrle rayon de courbure de la courbe formée par la ligne des fibres invariables, au point où elle rencontre la section que l’on considère.

Mais il ne faut pas perdre de vue que ces formules générales ne s’appliquent que si les flexions sont renfermées dans les limites étroites pour lesquelles elles sont proportionnelles aux charges. Au delà de ces limites, en effet, les résistances à l'extension et à la compression cessent d’être égales comme le supposent les calculs, la couche des fibres invariables cesse de passer par le centre de gravité des sections transversales et se rapproche de plus en plus du côté où la résistance est plus grande.

Si l'on considère le cas d’un solide posé sur deux appuis et chargé en son milieu, on a, en appelant :

EN Le

20 la portée totale ou l’écartement des points d’appuis ;

2P la charge totale :

M = Pc, d'où: Po +

On a aussi pour expression générale de la flèche de courbure :

La variation proportionnelle d’une fibre donnée devient :