AB ~ AB "~ D — P
d'où :
mais donc
et
Oe = OEXD:^p = B^
Oe = p-i-d DP
DP DP— d(D — P) P(D— P)+P'T-d(D — P)
ou
On tire de là :
P'(D— P)-(P— rf)(D -P)-P' (D— P)(P'+d-P)— P' ^ P— D — P ~" D-,P
et, par suite :
L (D - p) (p- + rf — p) ^ p^ (D — P) (p- + d ^ P) p m — PP "~ PP' F
Je désigne par 9 la distance C'C/ des deux foyers principaux des lentilles et 0^, j'aurai évidemment :
^ := OC — OC = P' + d — P
L'expression précédente peut donc s'écrire :
m~ PP' "^ P'""PF P'
en appelant x la distance de l'objet AB au foyer principal antérieur de l'objectif.
Cela posé, si je nomme a l'angle que fait l'axe optique de la lunette avec l'horizontale dans une position déterminée, et aîfc la projection horizontale de la distance x^ on pourra écrire :
L yoîb P^ f__ a?h P
m "^ PP' cosa P' ■" cos « ^ PP' P'
Il suit de cette formule que, pour une même valeur du rapport —, la distance horizontale x^, est constante, si toute-
fois le rapport — ^ est également constant, c'est-à-dire si
9 varie proportionnellement au cosinus de l'angle de pente «.
Or, lorsqu'il s'agit d'une observation stadimétrique, la
grandeur m de l'image est constante et correspond à l'écar-
tement des fils. On voit donc que si le rapport-- — estcons-
•> COSa
tant quelle que soit la valeur de a, à une même distance horizontale x^, correspondra une même indication L sur la . règle graduée.
Par suite, si la graduation de cette règle est telle qu'elle donne en terrain horizontal les distances réelles, elle indiquera nécessairement en terrain incliné les distances réduites à l'horizon.
Il reste à faire connaître la disposition mécanique qui permet de satisfaire à la condition que je viens d'énoncer.
-Oj-O-i-/^.. ||..-.....^^
Fig. 47.
La lentille biconcave L est mobile {/ig, 47); à cet effet, elle est montée sur un anneau guidé dans sa course par une languette latérale m glissant dans une coulisse n. Cette glissière est mise en mouvement par une manivelle dont le centre est en A, sur l'horizontale passant par l'axe de rotation de la lunette, et à une distance de cet axe égale à la moitié de la longueur ç qui sépare les deux foyers principaux C et C/ de l'objectif et de la lentille divergente ; la longueur de la
manivelle est égale elle-même à |; de sorte que, lorsque
la lunette est horizontale, le point B d'articulation de la manivelle et de la glissière est à une distance du centre égale à 9.
Quand la lunette s'incline sur l'horizon d'un angle a, la lentille biconcave se rapproche du centre 0, et le point d'articulation se trouve en B" à une distance de ce centre égale à ç cos a, puisque le triangle OAB" est isocèle.
Le foyer de Tobjectif se trouve en G", et sa distance à l'axe de rotation n'a pas varié ; mais le foyer C/, qui a suivi le mouvement de la lentille biconcave, n'est plus en G/' à une distance 9 du foyer G/, mais bien en G^" à une distance de ce point égale à 9 cos a, et il en résulte que le rapport de cette distance au cosinus de l'angle d'inclinaison est toujours égal à 9, quelle que soit la valeur de l'angle a.
Stadimètre. — La mire sur laquelle on lit les distances
se nomme stadimètre; c'est une règle graduée horizontale dd! assemblée sur un montant vertical p et pouvant glisser le long de celui-ci, de manière à occuper une hauteur quelconque au-dessus du sol {voir fig. 48).
Un aide maintient le stadimètre de telle sorte que, le montant étant vertical, la règle soit nor.male au plan de visée de l'opérateur.
Il satisfait à cette double condition, d'une part au moyen d'un petit perpendicule installé dans l'épaisseur du montant, de l'autre en visant par une pinnule n dans la direction delà lunette. Une tringle q servant au besoin de double mètre, 'permet de maintenir la fixité de la mire dans le sens transversal. Un des côtés de cette Fig.49. tringle est gra-
dué en centimètres; elle porte un petit .voyant mobile B, ce qui permet de
l'employer comme mire pour le relèvement des courbes de niveau,
La règle horizontale se compose de deux voyants disposés symétriquement par rapport au montant et portant tous les deux une série de lignes de foi blanches sur fond noir numérotées i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, à partir du montant.
L'épaisseur des lignes de foi croît dans le même ordre, de manière à ce que les images à observer aux diverses distances soient sensiblement égales. Ces images ont à peu près trois fpis l'épaisseur des fils du réticule {voir fig. 49). L'un des voyants d est fixe; l'autre d' peut être éloigné du montant par le mouvement d'un pignon et d'une crémaillère, de telle sorte qu'on puisse toujours amener deux lignes de foi de la règle en coïncidence avec les fils micrométriques de la lunette, qui sont verticaux puisque la règle est horizontale.
Voici comment la graduation a été faite :
Je reprends la formule générale relative à la stadia :
et je remplace
ce qui donne :
d'où l'on tire :
— par sa valeur - {voir § PO
Je rappelle que D est la distance de la stadia au centre optique de l'objectif, P la distance focale de cette lentille, 0) l'angle stadimétrique, et N/ la longueur interceptée sur la stadia.
Mais l'origine des distances à mesurer est l'axe de rotation de la lunette; si j'appelle, pour conserver les notations précédentes :
b la distance de l'axe de rotation delà lunette à la stadia,
THÉORIE DE LA STADIA, i05
et d la distance de ce même axe à T objectif, je pourrai remplacer D — P par ô — (P H- d)^ de sorte que la relation précédente deviendra :
N/ == « [^ — (P + ûî) ]
Si donc l'on veut que les intervalles i — 4,2 — 2, 3 — 3, etc. . . , vus dans la lunette, correspondent exactement à l'écartement des fils lorsque le stadimètre est placé aux distances i, 2, 3. . . décamètres, il faut que ces intervalles soient respectivement égaux à :
» [10 — (P + <0], ^ [20 — (P + â)\ «[30 — (P + rf)],etc.
Pour satisfaire à cette condition, on a espacé uniformément les lignes de foi 1, 2, 3, 4 de chaque voyant d'une
longueur égale à -^ iO w ou 5 w, tandis que l'écartement
des premiers traits 1 — i correspond àlOw — w(P-i-rf)i ce qui revient à réduire la première division décamétrique 4 — i d'une quantité égale à w (P -h d). On a d'ailleurs fait porter cette réduction tout entière sur l'intervalle — 4 du voyant fixe du stadimètre.
Il résulte de ce mode de graduation que le nombre des divisions interceptées par les fils est double du nombre de décamètres correspondants, et que chaque division représente un demi-décamètre de la distance.
Donc les portions de mire contenant 2, 3, 4, 5, 6. . . divisions correspondent à autant de demi-décamètres, et leur nombre est exprimé par la somme des chiffres qui répondent aux divisions extrêmes; en d'autres termes, la rfioyenne arithmétique de ces chiffres exprime la distance en unités décamétriques.
Lorsqu'il s'agit d'apprécier une distance sur le stadimètre, on pourra toujours amener le fil micrométrique de droite sur l'une des lignes de foi du voyant fixe; le fil de gauche tombera alors dans l'intervalle de deux lignes de foi quelconques du voyant mobile. Il est clair que la distance se composera
106 NOTICE SUH LES INSTRUMENTS STADIMÉTRIQUES.
d'un nombre de demi-décamètres égal à celui des divisions entières comprises entre les deux fils, plus d'une fraction de demi-décamètre égale à la fraction de division interceptée sur le voyant mobile. Il est clair encore que si l'on fait mouvoir ce dernier voyant jusqu'à ce que la ligne de foi qui forme l'origine de la partie fractionnaire vienne se placer derrière le fil de gauche, la course effectuée mesurera précisément le complément des demi-décamètres contenus dans la distance. Cette quantité complémentaire s'apprécie très facilement en mètres et fractions de mètre ; les mètres sont indiqués par le nombre de divisions apparentes d'une petite échelle ^'A {voir fig. 49) mises successivement à découvert par le mouvement du voyant mobile.
Les fractions de mètre sont marquées sur un cadran circulaire J divisé en 40 parties égales alternativement rouges et blanches et dont chacune correspond à un décimètre; l'aiguille de ce cadran est reliée à cet effet à un pignon / {fig, 49 his) engrenant avec la crémaillère m qui sert à opérer le déplacement du voyant rf', et les relations cinématiques sont calculées de manière que chaque tour de l'aiguille corresponde à un déplacement du voyant mobile égal à une division de la règle gh^ soit à \ mètre delà distance lue.
Fig. 49 &t«.
La limite extérieure du cadran présente la forme d'une spirale dont le plus court rayon correspond au point de départ v {voir fig. 49) ; cette disposition enlève à l'opérateur toute incertitude au sujet du sens des divisions.
On lit ainsi, sans estime, jusqu'aux décimètres de la distance; mais on peut apprécier, à une unité près, le chiffre des centimètres, pour lequel d'ailleurs une incertitude d'une
OU plusieurs unités serait tout à fait sans inconvénient, même dans les levers demandant une grande précision. Voici deux exemples de lectures :
Divisions interceptées par les fils du réticule — 7 — 7 — . . 70",00
Divisions entières découvertes sur l'échelle des mètres (3). 3 ,00
Id. lues sur le cadran (6) ,60
Fractions de divisions estiniées sur le cadran (4) 0,04
Divisions interceptées par les fils du réticule (6 — 7) . . . 65'",00
Divisions entières découvertes sur l'échelle des mètres (4). . 4 ,00
Id. lues sur le cadran (7) ,70
Fractions de divisions estimées sur le cadran (5) ,05
Les voyants du stadimètre se composent chacun de deux lames superposées et articulées à Tune des extrémités, de telle sorte qu'on peut au besoin développer le système et doubler la longueur de la règle graduée ; dans ce cas, on peut mesurer les dislances jusqu'à 145 mètres.
Mais ordinairement les lames mobiles restent repliées ; la règle n'a alors que 1"*,20 de longueur, et elle suflSt à l'évaluation des distances qui n'excèdent pas 85 mètres.
