III. — Propriétés de la lentille bi-convexe

On appelle axe principal {voir fig. 6) la ligne xy qui joint les centres etO' des deux surfaces sphériques.

Si un rayon lumineux BI tombe sur une lentille de verre, par exemple, dont l'indice moyen de réfraction par rapport à Tair est égal à n, il subit une double réfraction et suit une marche BIl'B' identique à celle qu'il parcourrait à travers un prisme dont les deux faces seraient les plans tangents en I et r aux surfaces sphériques qui limitent la lentille.

Fig. 6.

Or, si D est l'angle de déviation, on aura, d'après ce qui a été dit précédemment, entre cet angle et l'angle réfringent A du prisme, la relation :

Car, à cause de la faible ouverture de la lentille, les angles d'incidence et de réfraction sont toujours très petits, ce qui permet de les remplacer par leurs sinus et réciproquement.

Si je désigne par /3 et |3' les angles du rayon incident et du rayon émergent avec l'axe principal, l'angle D, extérieur au triangle BKB', sera égal à j3 H- /3', et la relation précédente deviendra :

Mais l'angle A est égal à Tangle rK'O des deux normales 01 et OT qui ne sont autre chose que les rayons R et R' des surfaces sphériques qui limilent la lentille; de sorte que, si l'on appelle y et y les angles de ces normales avec l'axe principal, on aura :

et, par suite :

Ou bien, en remplaçant par leurs sinus les angles /3 et /3',

y et y qui sont très petits :

sin p + sin ^' = (n — 1) (sin 7 + sin 7')

Des points I et F, je mène les lignes la et IV perpendiculaires à l'axe principal, et j'obtiens :.

Mais quand l'épaisseur de la lentille est négligeable, on peut admettre que les deux lignes la et l'a' sont égales; de plus, à cause du peu d'amplitude de cette lentille, on peut regarder comme égales, d'une part les deux lignes BI et BE, d'autre part les deux lignes BT et B'E', E et E' étant les points où l'axe principal rencontre les deux surfaces sphériques; et en désignant BE par f et B'E' par /?', on obtiendra , après avoir divisé tous les termes de l'expression ci-dessus par la :

i + i. = («l)(^ + ji.) ■ (4)

Cette relation très simple montre que la position du point B' est indépendante de l'inclinaison du rayon incident; il en résulte que les rayons lumineux centraux émanés du même point B de l'axe viendront, après la réfraction, passer par un même point B' de cet axe. On dit que le point B' est le foyer conjugué du point B.

Tous les rayons partant du point considéré venant tous.

après leur passage dans la lentille, concourir au point B', si l'œil est placé dans la direction des rayons réfractés, il verra le point B' comme si c'était un point lumineux; ou bien, si un écran se trouve en B', sa surface sera éclairée en ce point. On a donc en B' une image réelle du point B.

Si le point lumineux, au lieu d'être à une distance finie de la lentille, était situé à l'infini, tous les rayons qu'il enverrait sur la lentille pouvant être considérés comme étant parallèles à l'axe principal, la formule précédente deviendrait :

et l'on tirerait de cette nouvelle égalité :