TT

d'abord la matière, les apothèmes des faces du dodécaèdre régulier et de l'icosaèdre, et les apothèmes des facés des octaèdres. Cette condition de parallélisme fait passer les cercles qdi ÿ répondent' par les points de la surface de la sphère où aboutissent les dia< mètres parallèles aux apothèmes dont je viens de parler, c'est-a-direauxpointsa,a',a'',etc.,^ pour les apothèmes des faces de lücosaèdre; aux points 5, h’, 6'" pour les apothèmes des faces du dodécaèdre régulier; et aux points c,'c^, c", c/', pour les apothèmes des

faces des octaèdres.

J'essaierai donc aussi les cercles qui, partant des pôles des grands cercles principaux, passeront par les points a, a', a", bM ,1”; c\ c/, r/', c/'; parmi le nombre infini des

perpendiculaires aux grands cercles princi^

paux, ccus-là sont encore des perpendicu-

Vaires choisis dans des coitdilfons de sjmétrie plus coinplètes que ceui que nous laissons de côté , au moins pour le momenf« Au moyen de leur adjonction nous aurons un très grand nombre de cercles autiftaires qui se couperont en une multitude de points, et qui formeront sur la sphère un réseau d^è très serré.

> Les pôles des 6 1 grands cercles principâut sont au nombre de 122« Eti y Joignant les points qui sont au nombre de 00, on a déjà 192 points de croisement. "

- Si Ton y joint les points b qui sont aussi au' nombre de 60, et les points ô qui Sont au nombre de 120, le nombre des points de eroisement se trouvera porté à 362, sans compter un très grand nombre d'intersec^ tions qui seront multiples, parce que plu^ sieurs cercles s'y rencontreront à la fois; comme on en voit difTérents eiémples sut la projection pi. Y, parmi les grands cercles principaui seulement.^

On trouvera peut-être, néantflditis , qué je. mets une sorte de parcimonie arbitraire ^ dans le choix des cercles auxiliaires dont me propose d'essayer remploi, et que niénle^'T sans sortir de la série des grands cercles per«< pendiculaires aux cercles principaux, j'aurais pu ne pas m'arrêter à ceux qui passent aux

points a, 6, c, et essayer aussi les cercles qui passent par certains points symétriquement placés dans le réseau, tels que les points d, e, pl. V ; mais il sera toujours temps d'en jenir à des cercles passant par ces points et par d’autres encore, si la nécessité s’en faitsentir; et c’est à dessein, dans le but d’arriver plus sûrement à la partie principale de l’objet que j’ai en vue, que je me restreins à l’essai des cercles que j’ai désignés.

La cristallographie est parvenue a fixer la

limite des plans possibles cristallograpbîque-

ment, et peut-être la géologie parviendrait-

elle à son tour à fixer la limite du possible

dans le choix des grands cercles de comparaison des Systèmes de montagnes. Mais n’ayant pour guide, quant à présent, que la série des 210 angles formés par les intersections des grands cercles de comparaison des Systèmes de montagnes de l'Europe^ série dont tous les termes sont affectés d’incertitudes plus ou moins grandes, il pourrait y avoir de la témérité à ne pas se borner à chercher quel peut être le principe de coordination des cercles de la sphère géologique, et à ' vouloir trouver de prime abord la limite ex- ' trêmede leurs combinaisons possibles. Or si ^ le principe de coordination de ces cercles est j réellement le principe de symétrie du réseaux

pentagonal y ce principe est surfîsamment développé, et développé d’une manière assez variée dans les cercles que j’ai adjoints au réseau, pour qu’il soit raisonnable dépenser que ses principales applications devront être faites par leur moyen, et que l’essai de ces cercles devra suffire pour essayer le principe lui-même.

Dans l’étude des systèmes cristallins, même les plus. développés, la cristallographie a toujours été bien loin d’épuiser la série des plans possibles cristallographiqiiement. Elle a au contraire presque toujours réussi à représenter la plupart des facettes des cristaux, et surtout les facettes les plus habituellesetles plus étendues, par des plans dont la définition cristallographique est très simple; au point que la plus grande partie des travaux cristallographiques ont roulé sur cés plans d’une définition assez simple, et que les plans d’une définition plus compliquée n'ont été employés que dans des cas comparativement assez rares, et sont restés le plus souvent sans emploi dans l’arsenal de la science.

, Il m’a paru assez naturel de penser qu’ildoit en être à peu près de même des cercles de la sphère géologique , et que si le principe de syméirie du réseau pentagonal est '

réélfement celui d’dprès fëquel lés |fén<ià cercles de coruperaisori des différeilts Syslênies dé montagnes sont coordonnés entre eux

sur fa surface du globe, la plupart au moins

dé ces grands cercles doi^^cnt aé reucohlfér^ parmi ceux que j"ai introduits dans fe' féseau, attendu que ces grands cercles , déji

très nombreux, comprennent^dvfdefràiddt'

tous ceux dont rinstaflation est ufl pèu simple'.

S'il y a eu quelque justesse dans ta Cofhpf^ raison que j*al faite de rinsuccès dé mes éfforis pour représenter les Syührûes êê lUMtagnes éürùpéenSy au moyen des grands^ clés prf fiel peut du réseau seuleifîetrf f lïviSé celui qui attendrait le erfstafiugrapM qiil voudrai! fepréseniéf toutes les faeêlteâ^d^iiu cristal du système régulier avec tés sétlfea faeesducube, de roctaèdreetdododéCaédre rhofnboldal; il doit être égalément Julie de dire que si la plupart au moins des SysièmeÊ de montagnes européens ne pouvaient paa^ être représentés par les cercles que j'ai intrus doits dans \é réseau^ e'eit que leur ajustage répondrait a ces cas rares en cristallographie, où, pour représenter toutes les facettes d'un . cristal, on doit recourir principalement à des' faces d'une installation plus compliquée que celles des beiatétraèdres, des trapézoèdres et

des pyramides les plus simples, appuyées sur les arêtes de dodécaèdre rhornboïdal. Or les angles essentiels de- la symétrie pentagonale se reproduisent trop souvent et trop approximativement parmi ceux que Tobscrvation nous a fournis pour qu'une pareille supposition ne doive pas paraître improbable.

Je vais donc procéder d’abord comme si les cercles auxiliaires les plus simples et les plus symétriquement placés, que j*ai tous introduits dans le réseau, devaient répondre à tous les besoins de la question, sauf à aviser. plus tard si la nécessité s’en fait sentir.

Afin de désigner plus commodément les cercles auxiliaires que j’ai introduits dans le réseau et auxquels j’ai déjà donné des norfis génériques , on pourra se servir des lettres qui indiquent les points par lesquels ils passent, en distinguer les diverses séries à l’aide d’une notation analogue à. celles employées en minéralogie et en chimie, et arriver ainsi à désigner le représentant de chaque système de montagnes par une formule composée de deux ou trois caractères. Les avantages des* notations de ce genre sont bien connus, et en permettant de les étendre à la géologie, le réseau peulagor

nal pourra pcul être, par cela seul, rendre quelque service à la science. Je ne me hâterai cependant pas d'arrêter dénnitivcmeiit la notation a laquelle je viens de faire allu* sion, parce* que pour avoir toute rulilité dont elle est susceptible, elle doit réunir autant que possible les avantages de la simplicité à ceux de la génénàlité, objets quMI sera difCcile de concilier sûrement tant qu'on ne sera pas fixé sur le nombre plus ou moins grand des cercles auxiliaires qui seront déOnilivement introduits dans le réseau et sur la limite du possible à Tégard de ces cercles.

Pour le moment je puis me borner à indiquer les cercles par les lettres désignatives des points par lesquels ils passent en y joignant quelquefois des numéros d'ordres et des exposants pour exprimer le nombre et Péloignement plus ou moins grand de ces points. Ainsi j'aurai à considérer des cercles DD, DI, DH, DT, II, III, IT, HH, HT, TT, et des cercles Da, D6, De, la, 16, le, Ha,H6, He, Ta, T6, Te. Les notations DD, DI ne s'appliquent qu'aux grands cercles primitifs

du réseau ; la notation II s'applique unique-

ment aux grands cercles primitifs et aux dodécaédriques rhomhdidaux; la notation HH s'applique uniquement aux grands cercles

primitifSf aui octaédriques et aux dodécaédriques réguliers. Toutes les autres notations, au nombre de 18, comprennent à la fois des grands cercles principaux et des auxiliaires. Les cercles tels que a5, ac, ad, etc., qu’on pourrait aussi avoir l’idée de considérer, n’entrent pas en général dans la série des perpendiculaires aux grands cercles principaux que j'ai seuls introduits dans le réseau.

Ceux auxquels je me restreins forment déjà, d'après la notation précédente, dixhuit catégories; ils sont extrêmement nom* breux et dans des positions très variées.

Il est facile de déterminer leur nombre, ou du moins le maximum de leur nombre, en partant du nombre des points par lesquels nous les avons assujettis à passer.

Ces points sont au nombre de 362 ; mais ils sont opposés deux à deux , et chaque couple détermine un diamètre de la sphère. Comme un grand cercle qui passe par un point passe aussi par son antipode, il suf6t de compter le nombre de ces diamètres , ou de tenir compte de la moitié des points, de ceux, par exemple, qui sont contenus dans un hémisphère.

Nous avons, par conséquent, à considérer seulement 181 points, savoir : 61 points D, I, H, T, par chacun desquels nous fai-

sons passer en principe unf inQoU44a,MSclçs et ’i20 points a, 6^-c, qui nous seneat seuleroept à arrêter notre choix sur les cer-» clés 5|ui, parlant 4es autres points,. vjennenli

Ÿ 9^ iliè ' ^ NuusconsidérfMTCÎiis d'abord tous lef 'cercf^

9iMjuignea.t entre eux le«6i points IfH«T

qui XQut les pôles des cercles principaux du

rôseaUi et qui, relativement au rôle que

QOUeUMr faisons jouer actuelleptent , peu*

yqii^ être qualifiés de points rayoniiautSe

^JLq arcs de jonction, qu'ei.

peiit..UieF/éfil*<P<^ d'eux et tous le»

^^resjê^ exprimé par (6J — 1) (61 ) *?* 3660. .

^ naïade des arcs de jonction qu'on peux

tirer entra les 61 points, rayoneaiils et le» 120 points a, 6, c, qu'op peut qualifier d» points à% croisement, est exprimé par 61.120 >^.73$tD*f..Nous aurions donc en principe 10>.^4 cercles, parmi lesquels sont , » la xdrité, compris les 61 cercles principaux du. r4^u I mais ce nombre exprime seulemenl un maximum y parce que nos points de rq|onneipont et de rencontre sont placée de manière qu'un cercle, qui passe par deux d'entre eux, passe en mémo tempe par plusieurs autres dans le même bémi*

sphère, ce qui réduit le nombre des cercle»

réellement dilTérents du réseau à un nqmbro.

inférieur de beaucoup à 10,980. Mais on conçoit que si un cercle en représente plusieurs autres, il augmente par cela même en importance dans Tordonnance générale

du réseau, et cette remarque conduit naturel-

lement à l'idée de comparer les cercles sous

le rapport de leur importance, et même

d*évaluer en nombres Timporiance, ou ce

qu'on pourrait appeler le poids de chaque

cercle, en employant ce mot dans le même

sens que dans le calcul des probabilités.

Pour y parvenir, il faut tenir compte de ce qu'on peut appeler Vinlensilé du rayonnement autour de chacun des points rayonnants.

Lorsque nous imposons aux 48 faces du solide élémentaire de la symétrie quadrilatérale la condition de s'appuyer sur les arêtes du dodécaèdre rhornboïdal , et aux cercles qui les représentent sur la sphère, la condition de passer par les points I, nous rendons 12 de ces faces parallèles à chacune des quatre diagonales du cube, et nous faisons passer 6 cercles par chacun des points I qui leur correspondent sur la sphère.

Lorsque nous imposons aux 48 faces du solide élémentaire de la symétrie quadrilatérale la condition de se placer deux à deux dans un seul et même plan, ce qui les réduit

à 2.4, chacune de ces 24 faces en représente réellement deux, et son plan doit être considéré comme composé de 2 plans confondus en un seul. Maintenant, lorsque les 24 faces sont parallèles quatre h quatre aux 6 diagonales des angles du système tri-reclangulaire, ce qui donne le trapézoèdre, ce sont réellement 8 plans qui deviennent parallèles a chacune de ces 6 diagonales, et nous faisons passer 4 cercles par chacun des points T, qui représente leurs extrémités sur la sphère.

Par la même raison, lorsque les 24 faces deviennent parallèles huit à huit aux 3 axes du système tri- rectangulaire , ce sont réellement 16 plans qui deviennent parallèles h chacun de ces 3 axes, et nous faisons pas- * ser 8 cercles par chacun des points H qui les , représentent sur la sphère.

11 faut tenir compte en outre de ce que chaque point I appartient à deux systèmes tri-rectangulaires, ce qui double le nombre des cercles qu’on y fait passer.

On voit, en résumé, qu’en représenlantj, par des cercles sur la sphère les 48 faces^ d’un solide élémentaire de la symétrie qua-,. drilatérale, assujetties à l’une des conditions que nous considérons, et transportés dans . leféseau pentagonal J nous faisons passer

12 cercles par chaque ponit 1 , 8 cercles par chaque point H, ou 4 cercles par chaque point T, suivant que nous considérons Tune au l'autre des trois conditions que nous avons établies.

Lorsque nous opérons de la même ma* nière relativement aui 120 faces d'un solide élémentaire de la symétrie pentagonale , nous sommes conduits de même à , faire passer 8 cercles par chaque point H, savoir: 4 correspondant aux faces appuyées sur les arêtes de Picosaèdre, et 4 correspondant aux faces appuyées sur les arêtes du dodécaèdre régulier , et à faire passer 10 cercles pour chaque point D.

Si maintenant nous réunissons ces deux séries de cercles , nous verrons que nous avons fait passer en tout 10 cercles par chaque point D, 12 par chaque point 1, 16 par chaque point et 4 seulement par chaque point T; d'où il résulte que Vinlensilé du rayonnement autour de ces différents points est proportionnelle aux nombres 10, 12, 16 et 4, ou, ce qui revient au même, aux nombres 5, 6, 8 et 2.

Ainsi, Ton peut considérer chaque point T comme le centre de deux rayonnements superposés, chaque point D comme le centre de cinq, chaque point I comme le centre

de six, el-cbaque4)oinl 11 çuminé U centre de huit rayonnemenu superposés. Par conséquent, chaque cercle peut être considéré coinnie en représentant 9 s’il part d'un point T, 5 s'il part d'tin point.D, 6 s’il part d’un point 1, et 8 yu, part d’un peint H; tnt, ce qui revient au inéme*, chaque point 'P peut être considéré comme la réunion de deux points rayonnants très. voisins, chaque point D do 5, chaque point I det>, etchaquq point U de 8.

f On peut,,, en effet, considérer le résean pentagonal comme unelimile dont un réseau irrégulier se serait rapproché par degrés, et chaque point T comme la réunion Qnale de 2 points qui d’abord auraient été distinets, chaque pointD comme la réunion finale de 5, points, etc. Chacun de ces points serti ainsi remplacé par une sorte dp petite pléiade de points rayonnants égaus entre eux, sous le rapport de l’intensité du rayonnement. Puis on considérera les cercles menés deeba<t cpn des points de chaque pléiade à chaquq point de toutes les autres, sans lier entra eux les divers points d’une même pléiades et lorsqu’on supposera finalement ebaque pléiade réduite à un point unique, tous les cercief qui Joignaient deui pléiades se coa* fondront ep pq seul. , -Ai

dri

• Si f'on cherche énsufte quel és( fè rfrtffihfè total des cercles qui Joignent lèsf |)dints D,

I, H et T, Soit entre eui^ soit aVec les points ■■ a,b,c, on trouvera qu’en appelant N, N'f)'' N"' lé nombre des points D, I, H et T rcspectltctnent, et n le nombre des points a, b,c, lé nombre total des Cereles est exprimé pér (S(N — 1) 4- 6 N' 4- 8N"-f 2 N"') N-{^ (8N-f-6(N' — 1)-|- 8 N" 4- 2N'')N'4- (5N 4- 6 N’ 4-8 (N"— 1 ) 4- 2'N'") N’' 4- (SN4-6 N’ -f 8N'.'4-2(N'" — s) N'" 4- (SN.-f- 6 N'4-8N''4- 2N''’)n==(5N 4- e N’ -f '8 N'' 4- 2 N'") (N 4- N' 4- K'' -j-N'" 4- n — 1).

Et comme, en ne tenant compte que d’un hémisphère^ on a N ==6, N' *= io,*N" =• 15 N"=^ 30etn= 120, Cette quantité se réduit à (30 4^ 60 4- f 20 4* • 20) (6 rj- 10 4* 1 o 4“ 30 4“ 120 — 1) == 59,400.

Dans notre inanièrede compter, ce nombre de S9,400 ii’expriine pas celui des cercles réellement difîérents du réseau'j puisque chaque cercle 'est compté pour 2 ou pour un plus grand nombre; il exprime ce qu’on pourrait appeler la somme de leurs poids, celui des cercles les moins pesants étànt ex-' primé par 2. ^ ' i

' H';est en effet naturel de prendre pour mesure de l’importance relative, ou du poids

de chaque cercle, le nombre des cercles superposés qu'il représente.

Ce nombre devient très grand relativement à certains cercles qui traversent un grand nombre de points de rayonnement.

Pour en avoir la mesure, il sufût d'appliquer la formule précédente, non plus à tous les points de rayonnement eide croisement que renferme un hémisphère , mais à tous les points de rayonnement et de croisement que traverse un cercle dans la moitié de sa circonférence, chacun des points de rayonnement étant considéré comme ayant été d'abord une petite piétacte réduite ensuite à un point unique.

Si l’on considère un cercle Te, qui, dans un hémisphère, traverse seulement un point T et un point c, la formule se réduit pour

lui à 2. (1 1 I 1) = 2.

Mais si l’on considère un des grands cercles primUifSy on trouvera, d’après la projection pl. V, que dans un hémisphère il traverse 2 points D, 2 points I, 2 points H, 2 points T, 2 points a et 2 points b, de sorte qu’on a pour lui N = 2, N' = 2, N'' = 2, N''' = 2, n = 4. La formule rapportée à

lui seul devient donc

Ainsi, dans noire manière dé compter, il représente 462 cercles superposés, et son poids est exprimé par 462.

Pour un oclaédriquCy on a N =0 , N' e» 0, N"' = 3, N'" = 6, n = 9, et la formule rapportée à lui seul se réduit à

Pour un dodécaédrique régulier^ on a N = 0, N' = 0, N- = 3, N’*' = 0, n .= 5, et la formule se réduit à

Enfin, pour un dodécaédrique rhomhoi^ dal, onaN=Ô, N'=2,N'^ n = 2, et la formule se réduit a son égard :

De là il résulte que, parmi les grands cercles principaux, et même parmi tous les cercles du réseau, ceux dont Pimportance relative est la plus considérable sont les octaédriques dont le poids est de 612 ; viennent ensuite ,les grands cercles primitifs du réseau 462, puis les dodécaédriques réguliers 360, et enfin les dodécaédriques rhomboidaux 110.

Le poids total des 15 grands cerclespri* mitt/s est représente par . . . 6,930

Celui des iO octaédriques ^ pef* ‘ 6,t20 Celui des 6 dodécaédriques réguliers, par . . " 2,160

Celui des 30 dodécaédriques

rhombùidaux, par 3,300

Le poids total des 61 grands cercles principaux est exprimé

prir. * . 18,310

C’est presque le tiers du nombre 39,400 que nous avons trouvé être, dans la mèmé manière de compter , Texpression du poids, total dos cordes que nous avons entrepris de considérer dans le réseau.

Sans attacher une signifleation définitive h CCS chiiTres, dont la valeur changerait et serait augmentée si Ton introduisait dans le réseau de nouveaux points de croisement et de nouveaux cercles auxiliaires , on y trouve toujours un moyen de faire ressortir rimporlance relative des grands cordes priii-. cipaux du réseau, qui sont eu quelque sor(n> ses inemj)rures principales cl les représentants essentiels de sa symétrie. Les octaé^ driques se trouvent être les cercles dont lo poids est le plus considérable, et cela est d’accord avec la circonstance que chacun d’eux joue, pour ainsi dire, un rôle triple, , parce qu’en vertu do la réduction que j\ai indiquée p. 913, rhacun d’eux pst paraücle

à (ieui des faces de deux ociahdree . dilfércnlSy et, de plus, chacun d'eux est parallèle à deux faces de Vicosaèdre.

Le poids de tous les cercles auxiliaires que nous avons introduits dans le réseau est égal à 59,400 —18,510=40,890. Le poids de chacun de ces cercles est très variable. Pour un certain nombre d’entre eux, il se réduit à 2; mais, pour beaucoup d*autres, il est plus considérable, et s’élève, par exemple, à 13,^à 14, a 48, sans atteindre jamais cependant le nombre 110, qui exprime le poids d’un dodécaédrique rhom^ boidal.

. Si, en moyenne, leur poids s’élève à 10, leur nombre doit être d’environ 4,000. On pourrait en faire le calcul ; mais il serait fort long et de peu d'intérêt pour notre objet en ce moment. 11 est bon de remarquer toutefois que ce nombre est déjà probable- .ment bien supérieur à celui des systèmes de montagnes qui existent réellement sur la .surface du globe, ce qui peut rassurer, au moins en partie , au sujet de l’insuffisance .possible du choix que nous avons fait pour les cercles auxiliaires à introduire dans le réseau.

Du moment où l’on assigne un poids aux cercles , on peut . en assigner un aussi

aux angles quMls forment en se coupant. Si un cercle* est formé de deux autres cercles superposés, on peut le considérer comme la limite de deux cercles très voisins Tun de Tautre. S'il en coupe un troisième , Tangle qu'il forme avec lui peut être considéré comme la réunion de deux angles superposés , et le poids de cet angle peut être représenté par 2 ou par 2X1, produit des poids respectifs des deux cercles qui se coupent. On verra de même aisément que le poids de Tangle formé par deux cercles, dont les poids sont p et p\ a pour mesure parce que cet angle résulte de la réunion en un seul ou de la superposition de p.p\ angles qui étaient distincts, lorsque les cercles superposés étaient légèrement séparés.

Ainsi , le poids de l'angle de 72 degrés que forment les grands cercles primitifs du réseau au sommet de chaque triangle équilatéral, a pour mesure (462) 11 en est de même de Tangle de 36'', que forment aussi aux mêmes points les grands cercles primttifs du réseau ; mais pour avoir la mesure de rimportance de ces angles dans le réseau, il faut tenir compte non seulement de leur poids, mais aussi du nombre de leurs répétitions. L'angle de 72 se répète 60 fois,

puisque c^esi celui des 20 triangles équilatéraux, qui forment la base du réseau ; ainsi, son importance totale dans le réseau peut être exprimée par

L’angle de 36 degrés, qui résulte de la division des premiers en deux parties égales, est deux fois plus répandu ; son importance totale dans le réseau peut être exprimée par

Le poids de l’angle de 70®. 3l'.43",62, que forment deux octaédriques en chaque point T, a pour mesure (612)2; gt comme les points T sont au nombre de 60, l’importance de cet angle dans le réseau , par suite seulement de son existence aux points T, peut être exprimée par

Le poids de l’angle formé par 2 cercles Tr, dont le poids est égal à 2, serait luimême égal à 4, et son importance dans le réseau serait exprimée par le nombre 4, multiplié par le nombre des répétitions du même angle. Ce produit ne peut jamais

approcher des nombres que nous venons de trouver.

Dans cette manière de compter, Pimpor*tance des angles formés par les cercles prin* cipaux du réseau serait toujours exprimée par des nombres considérables, et Ton conçoit que ce doit être un point essentiel pour notre objet d'avoir trouvé qu'il existe un rapport marqué entre la série formée par ces angles, et celle formée par les angles fournis par l'observation.

Nous avons trouvé que le poids* total des cercles que nous nous sommes. bornés provisoirement à admettre dans le réseau pentagonal est exprimé par le nombre 59,400, Ce serait le nombre des cercles du réseau, si plusieurs cercles ne se confondaient pas en un seul. Comme chaque cercle coupe tous les autres, et coupe même chacun d'eux en 2 points diamétralement opposés, le nombre des angles simples, ayant pour poids l'unité qui résulte des intersections de ces cercles, est exprimé par (59,400 — 1) X (59,400) == 3,528,300.600, entre trois et quatre milliards; c'est le poids total des angles du réseau.

Dans le réseau pentagonal tel que nous l'avons constitué, le nombre des angles est singulièrement réduit f puisque le poids total

restant le même» on y trouTe tel angle dont le poids, au lieu d’étre égal à Tunité, est exprimé par

Ce n'est pas là une vaine fantasmagorie numérique. Ces nombres, par leur grandeur, aideront à saisir quelques considérations importantes.

Dans les spéculations précédentes, nous avons été amenés à considérer le réseau pen* tagonal avec les cercles auxiliaires ^ue nous y avons introduits comme un réseau qui, formé d'abord de cercles disposés irrégulià* rement, se serait ensuite régularisé. Des cer* des, au nombre de 59,400, jetés au hasard sur la sphère, se seraient rapprochés successivement d'une disposition régulière dans laquelle ils auraient flni par se placer, et dans laquelle ils passent tous par Tun , au moins, des points D, I, Ij^T, dont la position est donnée par le réseau pentagonal, et en outre par un autredes points D, I, H, T, ou par l'uû des points a,b,o. .En régularisant ainsi leur position, ces cercles se seraient superposés les uns aux autres, au moins deux à'deux, et quelquefois en beaucoup plus grand nombre , de sorte que le réseau régularisé renferme beaucoup moins

de cercles différents et beaucoup moins *d'angles .distincts que le réseau irrégulier dont il dérive.

Les angles d'un poids généralement égal à l'unité seulement, qui se comptent par milliards dans le réseau encore irrégulier, mais déjà plus ou moins voisin de la forme pentagonale, affectent toutes les va* leurs imaginables, et ces angles, rangés par ordre de grandeur dans le quart de la cir* conférence, y seraient distribués sans loi définie,* et généralement d'une manière sensiblement uniforme. Cette uniformité disparaît lorsque le réseau se régularise; car, à mesure qu'il approche de sa forme définitive, on voit une partie de ses angles se rapprocher par centaines^ par milliers et même par millions^ de certaines valeurs dé* terminées qu'ils atteignent tous à la fois, lorsque la régularité devient parfaite.

Les valeuradonf ils se rapprochent en plus grand nombre sont celles des angles essen* tiels du réseau pentagonal , données dans le tableau de la p. 933. Ces dernières sont généralement du nombre de celles dont se

rapprochent, par groupes, les angles que nous ont donnés les grands cercles de comparaison provisoires des différents Systèmes demonlagneSj et par là le réseau formé par

ces grands cercles^ dont la détermination n’est encore qu'imparfaite, présente déjà une analogie frappante avec un réseau formé d’abord de cercles placés au hasard, et qui achèverait de se régulariser pour devenir le réseau pentagonal.

Mais dans la régularisation du réseau d’abord irrégulier, tous les cercles ne viendront pas se confondre avec les cercles pria* cîpaui du réseau et tous les angles ne viendront pas se perdre et se confondre dans les angles d’un poids immense que ces cercles forment entre eux. Les cercles auxiliaires resteront distincts chacun à la place que nous lui avons assignée, et ces cercles formeront entre eux des angles dont un grand nombre seront distincts de ceux des grands cercles principaux que nous avons déjà calculés et sur lesquels nous avons raisonné. Ces derniers ayant tous un poids beaucoup 'moindre que ceux des grands cercles principaux résultent d’une concentration beaucoup moins nombreuse des angles du réseau irrégulier; cependant les angles du réseau régularisé dont le poids est le plus faible ayant encore un poids égal à 4 et chacun d’eux étant répété 60 fois au moins et généralement 120 fois, puisqu’il n’y a pas dans le réseau pentagonal un seul angle qui ne

66 répète 60 ou 120 fois , suivant que son sommet est situé sur le contour ou dans Tintérieur de Pun des 120 triangles rectan* gles scalènes, on voit qu'il n'y aura pas un seul angle du tableau relatif au réseau régularisé qui ne représente la réunion en un seul , de 4.60 ou de 240 , et plus souvent encorexle 4.120 ou de480 angles du réseau complètement irrégulier , angles qui généralement n'étaient égaux que deux à deux.

Cette concentration ne s'opérera jamais en des points du quadrant pris au hasard, mais en des points déterminés par les conditions delà symétrie pentagonale. Le tableau relatif au réseau régularisé dilTérera donc du tableau relatif au réseau irrégulier en ce que le nombre des valeurs d'angles y sera beaucoup moindre, peut-être dans le rapport de *15,000 h 1 et en ce que ces valeurs seront placées en des points déterminés du quadrant, deux circonstances qui donneront à ce tableau un caractère tout particulier.

Pour se rendre compte de l'ordonnance qu'afîecteront dans l'étendue du quadrant les valeurs d'angles du tableau régularisé qui dilTéreroiit de celles des angles formés par les cercles principaux , il sufOt de remarquer que deux grands cercles perpen-

dicotaires à deux autres font sur la sphère un angle différent de celui que font les deux derniers, mais que la dilTérénce est égale à Pexcès sphérique d*un certain quadrilatère ou à la différence des excès sphériques de* deux triangles formés par les quatre cercles. Or, les grands cercles auxiliaires que nous avons introduits dans le réseau sont tous perpendiculaires h Tun des grands cercles principaux. Les angles qu'ils forment entre eux ne diffèrent donc de ceux des grands cercles principaux que d'une quantité égale à l'excès sphérique d'une figure construite elle-même sur les donnéès du réseau pentagonal. Si l'on suit par la pensée tous les grandes cercles auxiliaires perpendiculaires aux deux mêmes cercles principaux, on verra que tous les angles que les premiers font entre eux sont égaux* à l'angle A que forment les derniers , diminué des excès sphériques e, c^ que je viens d'indiquer de manière à être représentés par A — i, A — A — ♦

relativement à deux autres grands cercles principaux qui forment un angle B les angles des cercles auxiliaires seront B — c, B — t/, B — e/', etc... Or, les quantités

quantités quelconques Elles sont respectivement en rapports avec les angles A, B, etc. ;

souveBt elles sont très petites^, souvent elles sont égales entre elles, d'autres fois elles sont telles que A — c = B — i/, d’où il résulte que toutes les valeurs d’angles que je viens de mentionner portent, si je puis m’exprimer ainsi, le cachet pentagonal, et forment une série, dont tous les termes sont coordonnés, suivant une loi déterminée, en rapport elle« même avec celle qui détermine la distribution des angles À, D, etc....

On arrive a la même conclusion en jetant un coup d'œil sur la manière dont on cal< culerail tous ces angles.

L’angle formé par deux grands cercles,

ou, ce qui est la même chose, par les plans

de ceideux grands cercles, est égal à l’angle

compris entre des perpendiculaires aux deux

plans menés par le centre de la sphère, et, par suite, il a pour mesure l'arc qui joint les pôles des deux grands cercles.

Tous les grands cercles auxiliaires que nous avons introduits dans le réseau pussent par les pôles des grands cercles principaux du réseau ; par conséquent ils ont tous leur

propres pôles sur ces grands cercles principaux. Ceux qui passent à la fois par les pôles de plusieurs des grands cercles principaux, c’esi-à-dire par plusieurs des points D, I, U, T, ont leurs propres pôles aux intersections dé ces grands cercles. Ceux qui passent simple-

ment par un des points D, 1, H, T et par uu des points a^h^c ont leurs pôles aux inter** sections des grands cercles principaux et des grands cercles qui ont pour pôles les points a, cercles qui sont au nombre de nos auxiliaires les plus symétriquement placés. 11 résulte de là que les positions des pôles de nos cercles auxiliaires sont toutes déterminées sur les grands cercles principaux par des arcs qui ont une signification définie dans Tordonnance générale du réseau pentagonal et dont un grand nombre sont déjà la mesure d'angles formés par les grands cerc^s principaux.

. Les angles formés paff^ grands cercles auxiliaires qui se coupent en un des points D, 1, H, T, pôles de Fun des grands cercles principaux, ont pour mesure les tronçons dans lesquels ce grand cercle est divisé par les au^ très grands cercles principaux et par les auxiliaires, dont les points a, b, c sont les pôles , ou bien des sommes ou des différences de ces tronçons et par suite, s’ils ne sont pas égaux à des angles des grands cercles principaux , ils ont avec ces angles des rapports simples, souvent ils sont égaux à leurs sommes . ou à leurs différences et , dans tous les cas, ils entrent naturellement dans la même série. .

.Quant out gtahda cercles auxiliaires qui ne se coupent pas aux points de rayonne* ment D, I» mais en des points quel*> conques de la sphère , là distance de leurs pôles qui donne la mesure de Tangle qu'ils forment entre eux se détermine par le calcul du troisième côté d'un triangle sphé* rique dont deux côtés sont des tronçons des grands cercles principaux ayant une lon-^ gueur appropriée au réseau pentagonal et où l'angle compris entre ces tronçons est celui des grands cercles principaux eux-^ mêmes. On conçoit que l'arc ainsi calculé est lui-même en rapport avec les mesures fondamentales du réseau; souvent sa valeur est celle de l'un des angles des cercles fon- ^ daroentaux et dans tous les cas elle li'est. Jamais exempte d'un certain rapport avec ces angles. Lorsqu'on manie cette matière trigonométrique d'une manière un peu suivie » on voit s'opérer^ soit dans les valeurs des angles , soit dans les formules qui doivent les donner, une' foule de réductions inattendues qui sont autant de conséquences. de la symétrie du réseau, et qui ne peuvent manquer decontribuer à donner un caractère particulier au tableau général des angles.

Le mécanisme par lequel s^opèrent ces .

rdductions et les divers rapprochements qui se manifestent dans les valeurs numériques des angles et des arcs est très simple, et dérive en grande partie de la nature des données fondamentales du réseau pentagonal.

Chacun des 120 triangles rectangles scaiènes dans lesquels les 15 grands cercles primitifs du réseau divisent la surface de la sphère a trois angles, Tun de 90 degrés, l’autre de 60 degrés et le troisième de 36 degrés. Les lignes trîgonomélriqucs des côtés du triangle rectangle scalène fondamental , et ensuite celles des angles et des côtés des divers triangles rectangles par le moyen desquels on calcule les angles que forment entre eux les cercles principaux d’un réseau et les longueurs des arcs dans lesquels ils se divisent mutuellement, se déterminent par les formules de la résolution des triangles rectangles, qui ne comportent que la multiplication et la division, au moyen des lignes trigonométriques des angles de 90 degrés, de 60 degrés et de 36 degrés. Or les valeurs de ces lignes sont très sim-

ples, car on a cos. 90® == 0, cos. 60®

cos. 36®=-^i-j- 1/5) ; et les autres lignes

Irigonométriquos des mêmes aogles qui se «

déduisent de celles-là par les règles connues sont très simples aussi.

Lorsqu’on vient à combiner toutes ces valeurs entre elles par voie de multiplication et de division pour obtenir la valeur de Tune des lignes trigonométriques d’un angle ou d’un arc, puis à former les expressions des autres lignes trigonométriques de cet angle ou de cet arc, et ensuite à combiner ces arcs entre eux par voie de multiplication et de division, ou par les formules très simples qui donnent les lignes trigonométriques de la somme ou delà différence de deux arcs, on obtient toujours uniquement des combinaisons arithmétiques de ces quantités dans lesquelles il s’opère une foule de réductions qui amènent souvent des valeurs simples ou qui ramènent des valeurs déjà connues et qui donnent toujours des arcs ou des angles dont les lignes trigonométriques ont entre elles des relations assez simples.

On ne peut prévoir ces réductions tant qu’ôn considère les formules trigonométriques dans leur forme générale. On ne les voit pas s’accomplir en opérant par logarithmes, mais on n’en trouve pas moins leur résultat, qui cause toujours un premier mouvement de surprise. Si on veut les voir . s’opérera it suffit de s’écarter de la marche

habituelle du calcul, et de former, en allant de triangle en triangle , les valeurs des lignes trigonométriques des arcs^t des angles qui les composent. ' On forme ensuite |cs logarithmes de ces valeurs en se servant des logarithmes des nombres, et on obtient, au moyen des tables des logarithmes des sinus et tangentes, les valeurs en degrés, minutes et secondes , des angles et des arcs. En opérant de cette manière , on trouvera, par exemple , pour l’angle T'"' 5D , formé par un trapézoédrique et un octaédrique :

Tang.r"'bD = — W S.7 + 3.3. (^5

et on en déduira :

Angle T'"' bD = 50" 26' 47"

valeur à laquelle on arrive également en suivant la marche habituelle.

En tant que ces réductions tiennent aux propriétés des nombres 1, 2, 3, 4 et 5 qui existent seuls dans les trois cosinus d'où tout le reste se déduit, ces réductions sont Tattrî* but essentiel du réseau pentagonal^ et le cachet particulier qu'elles impriment à la série des valeurs d’angles et d’arcs obtenus peut être appelé, à juste litre, \e cachet pentagonal.

Le rému guadrilalérql a . aussi sou cachet propre, résultant de ce que les cosinus des trois angles de Tun de ses 48 triangles

scalcnes sont cos.

9QQ =0 , cos.

Tout est analogue de part

et d’autre I sauf la différenco des nomWes; on n'a plus ici le nombre 5.

Les réductions qui s'opèrent dans cesquan^ lités en vertu de la nature même de leurs éléments constituants sont précisément le mécanisme qui fait que les arcs obtenus ont la propriété de s'ajuster les uns au bout des autres, de manière à composer des circonférences entières, ce qui est raltribut esscn> tiel d'un réseau régulier. .Les propriétés do réduclibilité inhérentes aux quantités qui entrent dans les cosinus de 90 degrés, de 60 degrés et de 36 degrés sept pur conséquent la quinlessence do la symétrie penta^ gonulo. Tous les cercles qui sont liés aux bases de ce réseau par des lignes trigonomé- ^ triques dont les valeurs sont composées do combinaisons arithmétiques de ces quantités sont par cela môme susceptibles d'avoir avec la symétrie fondamentale une corrélation particulière. Cette corrélation peut être plus QU mains simple suivant la nature des

réductions qui viennent à s’opérer. Dans Texemple que*j’ai cité entre mille autres qu’on pourrait présenter, les réductions ont introduit les nombres .premiers 7 et 13 , d’autres nombres premiers peuvent naître ainsi dans d’autres cas.

Dans cet exemple, il s’agit des rapports

entre un cercle auxiliaire et un des cercles

principaux du réseau. On pourrait scruter delà même manière les relations des cercles auxiliaires entre eux; on trouverait des expressions du même genre plus ou moins compliquées; quelques unes sans doute se trouveraient très simples accidentellement , au moins en apparence, 'l\ y a à étudier là un jeu de combinaisons numériques , qui renferme peut-être la clef du phénomène de la récurrence des direclions dont j’ai déjà parlé plus d’une fois. D’apres les idées que je me suis formées de ce plicriornène , il me paraîtrait très naturel que les cercles auxquels appartiennent ces combinaisons nu- .inériques simples fussent précisément ceux dont se compose essentiellement la sphère géologique. .

La recherche et la limitation de la série complète des cercles auxquels ces propriétés numériques s'étendent nous conduirait à l’étude des propriétés des iioipbree deas

leurs rapports avec la division de la sphère et avec rexisteiice des polyèdres réguliers, étude sur laquelle d'illustres géomètres se sont exercés. Je n'aborderai pas ce sujet pour le moment, parce qu'il m'est moins directement nécessaire de pénétrer dans ce sanctuaire des relations des nombres et de l'étendue que de trouver des valeurs d'angles que je puisse mettre en rapport avec les 210 angles que l'observation m'a fournis. Je me bornerai à remarquer ici que les arcs qui Joignent les pôles de nos grands cercles auxiliaires sont tous du nombre de ceux dont on'peut former les lignes trigonométriques comme je viens de rindiquer, car on peut les déterminer en poursuivant la série des triangles rectangles dérivés des bases fondamentales du réseau. Cette propriété s'étend aussi aux longueurs des arcs dans lesquels ces cercles auxiliaires se subdivisent mutuellement; car, à cause de la propriété des triangles pôlaires, ces arcs sont les suppléments des angles des triangles formés par les pôles des mêmes cercles qui sont des points des grands cercles principaux déterminés comme il a été dit. .

La réductibilité de toutes les quantités dont il s'agit serait immédiatement entra-

vée, si Ton introduisait des cercles dont

les pâles seraient situés dans des positions arbitraires , soit sur les grands cercles principaux, soit à côté, parce qu’aîors on introduirait des quantités qui , généralc- J'ment parlant , seraient irréductibles avec celles qui proviennent des trois angles fondamentaux du réseau et qui portent avec eiles-mémes le cachet particulier de sa symétrie fondamentale dans toute la série des lignes trigonométriques et des angles ou arcs*ddnl"je viens d’indiquer la filiation. ^Les cerclés^' dont les lignes trigonométriques contiendraient ces quantités étrangères, seraient pour ainsi dire des métis , et les angles qu’ils^ donneraient Wrtiraient naturellemeiit de la série des angles frappi£s du cacket pentagonal,

Ôn conçoit maintenant comment ces leurs d’angles et' d’arcs, malgré leur grande "variété, peuvent former dans Tétendue du quart'de^la circonférence une série intermittente, et pourquoi la série des angles et celle des arcs suivent une loi analogue et ont un grand nombre de termes identiques.

On volt que si, au lieu de former simplement le tableau des valeurs des ang4es, on en formait un qui renfermât, confondues ensemble 9 les valeurs des angles et celles

des arcs, ce tableau, plus étendu -que le premier, présenterait cependant le même caracière et la môme disposition générale.

J’ai déjà présenté précédemment un exemple approximatif d’un fait de ce genre sur lequel je vais revenir un instant : je veux parler du tableau planche IV et du tableau général qu’on peut former avec les 1,050 valeurs d’angles des tableaux page 840 et suivantes.

Les trois premières colonnes de ces lableaux contieimenL les angles formés à Milford, au Bingcr^^och et à Corinthe par des parallèles aux grands cercles de comparaison des différents systèmes de montagnes menées respectivement par ces trois points.

Ces parallèles sont des grands cercles perpendiculaires aux perpendiculaires abaissées respect! veinent de ces trois points sur les grands cercles de comparaison. 11 résulte de là que pour Milford, par exemple, chaque parallèle va renconlrer le grand cercle de comparaison auquel elle se rapporte sur la circonférence du grand cercle dont Milford est le pôle; d'où il suit que les arcs de ce grand cercle qui mesurent les angles que forment entre elles les parallèles qui passent par Milford ne sont autre chose que les 9rcs dans lesquels ce même, grand cercio est

tronçonné par les grands cercles de comparaison des systèmes de montagnes correspondants. Ces arcs n'ont pas les mômes valeurs que les angles formés par les grands cercles de comparaison qui les déterminent; les tableaux montrent qu’ils en diiïèrent souvent de plusieurs degrés, mais le tableau dont la planche IV ofl’re une tranche montre aussi qu’ils suivent à peu près la même loi de coordination. Le grand cercle dont Milford est le pôle jouit donc sensiblement, par rapport aux grands cercles de comparaison des systèmes de montagnes, des propriétés dont jouissent, sous ce rapport, les grands cercles principaux du réseau penla^ gonal et que nous cherchons à retrouver dans les grands cercles auxiliaires que nous y introduisons; il est tronçonné suivant la loi que suivent les angles formés par les grands cercles de comparaison eux-mêmes.

Il en est de même des grands cercles dont le Binger-Loch et Corinthe sont les pôles respectifs.

Cela prouve , en faity que ce que nous cherchons dans nos grands cercles auxiliaires n’est pas impassible à trouver, et qu’à cet égard le choix des trois points dont j’ai fait usage a été plus heureux qu’on n’auràit pu l’espérer d’un choix fait à l’œil sur la carte «

Une autre circoustance dont* il est moinSfi facile de rendre compte , c'est que lesi moyennes des trois valeurs d'un même an* | gle trouvées pour Milford, le Binger-Loch et * Corinthe, moyennes qui remplissent laqua* > trième colonne, suivent encore la même loi. 1 Quoiqu'il en soit, elles la suivent aussi,. et r l'on comprend maintenant comment j'ai pu me servir des valeurs contenues dans ces .’ quatre colonnes pour renforcer, en quelque sorte, la loi suivie par les valeurs des angles ^ 'tormés par les intersections des grands cer« ) cles,de comparaison et pour rendre cette loi i plus apparente en réunissant toutes les va-^q leurs ensemble dans la sixième colonne du tableau dont la planche IV est une tranche horizontale.

Revenant maintenant aux grands cercles i auxiliaires que nous avons introduits dans; * * le réseau pentagonal^ on concevra que le calcul de tous les angles qu'ils forment, quoique devant donner naissance à un très grand 1 nombre de valeurs nouvelles, ne donnera • cependant que des valeurs coordonnées avec celles des angles des grands cercles principaux.

Si l'on rangeait tous les angles du réseau par ordre de grandeur et sur plusieurs colonnes suivant leurs poids respectifs, les au«

gles des cercles principaux dont le poids est le plus considérable se placeraient comme les chefs de flle des groupes diversement conGgurés que formeraient les autres.

De là il résulte qu’en constatant, d’après les résultats de calcul, qu’il existe un rapport marqué entre la série des angles formés par les grands cercles de comparaison des difTérents systèmes de montagnes et la série des angles formés par les grands cercles principaux du réseau pentagonal y nous avons acquis d’avance l’assurance qu’un pareil rapport doit exister entre la série des angles fournis par l’observation et l’ensemble des angles formés par les grands cercles auxiliaires que nous avons introduits dans le réseau. Un rapport analogue existerait même encore, par des motifs semblables, à un degré plus ou moins prononcé , entre la série des angles fournis par l’observation et l’ensemble des angles qui naîtraient de l’introduction dans le réseau de nouvelles catégories de cercles qui seraient liés aux grands cercles fondamentaux par des relations géométriques moins simples que celles auxquelles nous nous sommes arrêtés provisoirement.

On pourrait faire sur le réseau qua^ drilatéral une opération tout à fait sem»

blabla à celle que noua avons faite sur le> réseau peftlagonal , y introduire âes cer<* clés auxiliaires suivant une lof analogue ^ et dresser le tableau général de tous les angles qui en . résulteraient» Dans ce tableau, les six angles qui existent dans la système du cube, de l'octaèdre et du dodé-^, caèdre rhomboldal , seraient les points de ^ mire auxquels se rapporterait la disposition,^ symétrique de tout le tableau ^ de mème*^ que dans le tableau relatif au réseau p0Hi<k$j gonal tout se coordonnerait aux 33 angles , que forment les grands cercles principaux* ^ Or la série des angles que Tobservation nous ^ a fournis est en rapport (comme nous Ta^^, Yonsdéjè remarqué p« 938) avec la série des ^ 3 3 angles essentiels de la symétrie pentagonale^ i et non avec la série beaucoup plus restreinte^ des 6 angles essentiels de la symétrie quadri^ latérale i d'où U résulte qu'il n'y aurait pas les mêmes rapports entre la série des angles observés et k tableau générai des angles.d^i’^ réseau quadrilatéral ^ qu'entre cette même série et le tableau général des angles du ^ réseau pentagonal. Si, dans le grand nombre des angles que présenterait le premier tableau, on trouvait, comme la chose est proW^ bable, des valeurs très peu difTérenles de cel les que l^bser vation a fouroieS| ce seraieot

des renconlres accidentelles au lien d'étre des rencontres qui, tout en paraissant d'abord (également accidentelles, sont cependant en harmonie avec rordoniiance générale des angles du tableau, cl par suite, ce gui est le point capital, avec la disposition générale des cercles sur la sphère.

Le résèau quadrilatéral et le réseau pen^ iagonal, développés Tun et l'autre autant que possible par l'adjonction des cercles auxiliaires, sont comparables a des variations sur deux airs dilTércnts : leur accord ne peut être qu'accidentel. Sans avoir étudié la musique , tout le inonde comprend qu'il ne doit pas être facile de parvenir à faire danser une walse sur un air de cotitredanse.

On peut , en cristallographie , représenter une facette donnée d'un cristal avec toute rapproximalion désirable, au moyen il'un décroissement pris dans un système cristallin quelconque; mais si l'on n'est pas parti de la véritable forme primitive du cristal, on reconnaîtra qu'on n'a obtenu qu'une rencontre accidentelle, parce que les autres facettes homologues du système cristallin n'auront pas de rapport avec le cristal, dont les angles formeront une série dénuée de toute- harmonie avec celle des

angles du système cristallin qu'on aura choisi malencontreusement.

11 estindiibitable qu'en multipliant suffisamment les cercles auxiliaires dans le réseau quadrilatéral , on reproduirait de même, avec une approximation suffisante, les valeurs de tous les angles que l'analyse des observations a donnés; mais ces valeurs seraient noyées au milieu d’un nombre immense d'autres valeurs dont la coordination générale n'aurait aucun rapport avec celle des angles déduits de l'observation.

En multipliantau même degré les cercles auxiliaires dans le réseau pentagonal , nous reproduirons aussi, avec une approximation suffisante, les valeurs d'angles fournies par l'observation, et ces valeurs seront également noyées au milieu d'une foule d'autres, mais avec cette différence essentielle que la distribution de ces dernières, dans le quart de la circonférence, sera en rapport avec la distri* bution des 33 angles essentiels de la st/méirie pentagonale.

Un grand cercle quelconque étant tracé arbitrairement sur la sphère, on finira tou. jours par lui trouver, dans l'un et l'autre réseau, un représentant suffisamment approché; mais, pour le trouver dans le réseau quadrilatéral f on aura couvert la sphère de

lOOl

cercles dont l’ordonnance gdndrale n’aura aucun rapport avec notre objet ; tandis que, pour le trouver dans le réseau penlagonal^ on aura couvert la sphère de cercles dont* l'ordonnance générale sera en rapport avec celle des grands cercles de comparaison des 21 Systèmes des montagnes européens»

Quant à ce qu'il y avait encore d’incomplet ou de trop grossièrement approximatif dans les rapports indiqués plus haut, p. 935, entre les 33 angles essentiels du réseau pentagonal et la série des 210 angles déduits de l’observation, ce n’est plus maintenant une difficulté. En admettant la nécessité d’introduire dans le réseau pentagonal des grands cercles auxiliaires pour représenter une partie des Systèmes de montagnes de VEurope^ nous avons admis implicitement que ce seraient ces cercles qui donneraient les valeufs d’angles correspondantes à celles d’une partie de nos 210 angles. C’est donc parmi les valeurs d’angles que ces cercles auxiliaires pourront nous donner, que nous aurons à chercher les angles et les groupes d’angles qui ne se retrouvent pas avec une approximation siifOsante parmi les 33 angles essentiels de la symétrie pentagonale.

Pour éclaircir, en les appliquant, ces considérations générales, j’ai dû me livrer à

nne suite d’essais tendant à trouver, parmi les grands cercles auiiliaires que j’avais in* Iroduits dans le réseau, les représentants d’une partie au moins des grands cercles de comparaison des Systèmes de montagnes européens.

D’après la considération de ce qui m’avait surtout manqué pour compléter ma première tentative d’ajustage , j ai introduit dans le calcul les cercles correspondant à lin dodécaèdre pentagonal, dont les faces forment avec les faces des cubes des angles de 8* 48'. 2'*, 60, cercles qui présentent, dans l’ensemble du réseau , des rapports de situation assez remarquables.

- I.e dodécaèiire pentagonal n’est un dodé' caèdre que par l’effet derhémihédriequi fait disparaître la moitié de ses faces. Il en comporte réellement 2* parallèles entre elle.s ilêiixàdeui, ou, pour mieux dire, il fait partie d’un hexatétraèdre composé de ;2t faces qui se divisent en deux séries formant chacune un dodécaèdre pentagonal. Ces deux dodécaèdres pentagonaux , considérés en eux-mêmes, sont égaux en tous points ; mais ils sont placés sur le cube dans deux po.sitions telles que celles de leurs arêtes, qui sont parallèles aux arêtes du cube, se rencontrent à angle droit. Or il résulte de

là que, dans la charpenle rectiligne du •reseau pentagonal , ces deux dodécaèdres pentagonaux sont placés tout diiïércmment, et que les cercles qui les représentent sur la sphère, partant tous des points H du réseau, ceux qui représentent Tun des deux sont placés, par rappo/t aux grands côtés de Pangle droit des 120 triangles scalènes du réseau, comme les autres, par rapport aux petits côtés de l'angle droit des inêmes triangles. Ces cercles forment par suite deux séries, dont le parcours dans le réseau est différent, et lès deux séries doivent être calculées par des triangles différents.

J'ai calculé d'abord les cercles de l'une des ’ deux séries au nombre de 30; ils sont compris parmi les cercles auxiliaires que r.ous avons adoptés. Chacun d'eux passe par deux points T et deux points a, et peut être désigné par HaTTa. Sou poids a pour expression (8 + 4) (1 4-2 + 2— 1) = 48. Ces cercles qui méritent à la fois le nom de do*» décaédriques pentago7ianx (il de trcpczocdr'h gués ^ peuvent être appelés dodécaédriques pentagonaux trapésoédriques: ils sont au nombre de nos cercles auxiliaires les plus pesants, et par conséquent au nombre de ceux dont la position doit être le plus en rap-

lOÛi

port avec rordomiance générale du réseau.

Les angles obtenus se sont en effet présentés avec les mêmes allures que ceux déjà donnés par les grands cercles principaux du réseau. Ils se sont| pour la plupart, massés avec ces derniers, de manière à rendre plus compacte la représentation théorique des groupes d’angles observés. C’est là toujours ce qui constitue leur propriété caractéristique au point de vue qui m’occupe, et ce qui établit un rapport intime entre le réseau pentagonal et la slruciure slraiigraphiqiie de l’écorce terrestre. Ces nouveaux angles ont donné aussi des représentants théoriques pour certains angles isolés qui se trouveront beaucoup moins excentriques qu’ils ne le paraissaient d’abord. Certains angles, mais en grande minorité, sont tombés dans les intervalles que l’observation avait laissés en blanc : j’ai déjà expliqué cette circonstance.

Quant aux cercles de la seconde série, également ou nombre de 30, qui représentent les cinq dodécaèdres pentagonaux conjugués avec les premiers, leur position dans le réseau est, comme je l’ai dit, tout à fait différente et beaucoup moins régulière. Leur cours est tout autre que celui des 30 premiers, partant chacun d’un point H, et passant nécessairement par le point H, qui sert

d'anlîpode au premier, mais iis ne passent par aucun aulredes pointsD, I, H, T, a, &, c; de sorte qu'ils ne font pas partie de la série des cercles auxiliaires que nous avons introduits dans le réseau, et en leur appliquant la Jormule de la p. 971, on trouve zéro pour l'expression de leur poids.

Ces cercles sont cependant liés àlasymé* trie pentagonale par une condition géométrique bien définie, qui est de passer par un point H, et d'étre perpendiculaires en ce point à l'un des grands cercles auxiliaires les plus symétriques du réseau , condition qui néanmoins les lie moins étroitement aux bases du réseau que celle de passer, par un des points de croisement que j'ai indiqués. J'ai voulu voir.ee que cette condition donnerait, et j'ai calculé tous les angles formés par les intersections de ces cercles avec les grands cercles principaux et avec les 30 cercles auxiliaires déjà calculés. Les valeurs de ces angles suivaient encore une marche assez analogue à celle des précédentes; il m'a paru cependant qu'elles se rapprochaient moins habituellement des valeurs des angles observés, et qu'elles pourraient bien fournir déjà un exemple d'une catégorie de cercles trop indirectement liés à la symétrie pentagonale pour pouvoir être em«

ployés comme ouiiliaires; el comme d’aitleurs ces eerdes ne font pas partie de l«i férié des cercles auxiliaires que je dierche maintenant a essayer , j'ai mis les angles obtenus de côté jusqu’à nouvel ordre.

J’ai entrepris ensuite de calculer lès angles formés par des cercles correspondants à un dodécaèdre pentagonal dont une face passe par une arôie d’un cube, ou, pour mieux dire, d’un système Iri-reelnngulalre différent de celui sur lequel ib s’appuie el h son conjugué.

Les cercles qui correspondenl au premier, nu lieu d’èire au nombre de 30, sont au nombre de 6 seulement,- parce qu’ils se confondent 5 à 5, el ces 6 cercles ne sont autre choie que les dodécaédriques réguliers HH*, H’ H'*, etc., de la pl. V. Les 5 dodécaèdres pentagonaux, que les plans parallèles à ceux de ces cercles étaient appelés à former, se réduisent è un seul, qui est le dodécaèdre régulier.

Le dodécaèdre régulier a en effet des faces pentagonales; cependant on n‘est pas dans l’habitude de le comprendre dans la série des dodécaèdres pentagonaux, de la cristallographie, parce que ce n’est pas un des soldes possibles cristallograpbiquement, attendu que Tangle représenté dans la pt. V

parlliir, qui est, ainsi que nous ravons, déjà vu, de 3l°43’ 2 ', 92 , et qui est la mesure de rinclinaisun des faces du dodécaèdre, par rapport à celles du cube, a une

tangente égale à — quantité irra-

tionnelle, qui ne peut se réduire au rapport de-deux nombres entiers ; mais cela n’empèche pas qu'au point de vue des simples relaiiona de symétrie dont nous avons uniquement k nous occuper, le dodécaèdre régulier ne soit compris parmi les dodécaèdres pentagonaux dont il est réellement le type et la forme limite*

• Le dodécaèdre penlagonali conjugué avec celui que nous venons dé considérer, lui étant égal en tous points, est également régulier; mais les cercles qui lui correspondent n'étant pas placés de la même manière dans Je réseau i iréprouveot pas de réduction dans leur nombre « et sont ad nombre de 30. Ils passent par les points il ; et comme iis y sont perpendiculaires aux dodécaédviques réguliers,, compris parmi les cercles principaux du réseau , ils passent par les pôles de CCS cercles, c’est-à-dire que chacun dieux passe par un centre de pentagone. U est aisé- do voir qu’ils y divisent en deux

parties égales de 18 degrés chacune les angles de 36 degrés formés par les grands cercles primtfî/s du réseau.

Ces grands cercles auxiliaires jouént dans le réseau un rôle très simple et très symétrique ; le poids de chacun d'eut est exprimé par (8 + 5) (I + 1 — 1) = 13.

Ces cercles auxiliaires , passant par les points D et H| peuvent être désignés par DH; et comme Ils méritent à la fois le nom de dodécaédriques et celui de diamélraux^ on peut les appeler dodécaédriques diamé^ traux.

Il existe une autre classe de dodécaédri-* ques pentagonaux déterminés par la condition de s'appuyer à la fois sur les arêtes de deux des systèmes tri- rectangulaires du réseau; car les octaédriques vont d'un point H à un autre > comme les dodécaédriques régu^ liers 9 mais dans une direction différente, ainsi qu'on peut le voir sur la figure 5. Les oclaédrtguespassant2 à 2, dans des positions symétriques, et constamment en rapport avec les mêmes côtés des 120 triangles scalènes par chacun des points H, les six octaédriques qui passent aux trois points H d'un même système tri-rectangulaire, représentent les 12 plans d'urî dodécaèdre pentagonal, dont les faces font, avec celles du cube correspon-

danfles angles de 20^54' 18'% 58. Ces dodécaèdres pentagonaux peuvent aussi être considérés comme formés par les faces des 5 octaèdres du système, ou par les faces de ricosaèdre, combinées convenablement 12 à 12, et prolongées suffisamment.

La tangente de Tangle de 20” 54' 18", 58, que les faces de ce dodécaèdre pentagonal forment avec celles du cube, est égale, à

quantité essentiellement ir-

«rationnelle. Il en résulte que ce solide est impossible cristallographiquement comme dodécaèdre pentagonal, quoique les faces qui le composent, rapportées aux autres cubes du système, soient possibles cristallographiquement, chacune en particulier, comme faces d'octaèdres.

Ces 5 dodécaèdres pentagonaux ont leurs conjugués qui ont des formes identiques, qui, comme eux , seraient impossibles cristallographiquement, et qui sont représentés par des cercles passant par les points H perpendiculairement ûUT hetaédriques ^ et en formant par conséquent, avec les petits côtés, des triangles rectangles scalènes des angles de 20® 54' 18", 58. Ils ne se réduisent pas à 10 comme les octaédriques; ils sont

aandmbre de 30, et ils passent par les pôles des octaédriques^ c*est-à*dire par les points I, sommets des pentagones. Il est aisé de voir qu*en chacun de ces points 1 ils divisent en deux parties égales de 30 degrés chacune les angles de 60 degrés formés par les cer* des primitifs du réseau.

Ces nouveaux auxiliaires sont, relative-» ment aux octaédriques et aux points I, ce que sont les auxiliaires que nous venons de considérer relativement aux dodécaédriques réguliers et aux points D. Ils ont de leur côté une disposition très simple et. . très symétrique dans le réseau. Le poids de chacun d'eux est représenté par (8 + 6) (1 + 1-^1)== 14.

On peut les désigner par H 1 ; et comme ils méritent à la fois le nom de dodécaédri^> ques pentagonaux et celui dediagonaux^ on peut les eppélet dodécaédriques pentagonaux diagonaux.

J'avais déjà calculé les octaédnques comme cercles principaux du réseau; mais j'at entrepris le calcul des dodécaédriques pentago-^ naux que je viens de définir et qui leur sont conjugués.

J'ai, de même entrepris le calcul des angles formés par les cercles correspondants à un trapézoèdre, dont les faces sont perpen-

diculaires aux faces de l'octaèdre adjacentes k celles sur les côtés desquelleselless'appuient. Ces faces trapézoédriques forment, avec les faces de Tun des cubes du système, des angles de 7°45'40'', 48, Les cercles qui leur corresponden^L vont d’un point T au point I, pôle de l’un des deux octaédriques qui pas-

sent en T. lis sont au nombre de 60 dans le réseau ; deux d’entre eux passent en chaque point T, et six passent en chaque point L iis peuvent être désignés par IT ; et comme ils méritent à la fois le nom de trapézoédriques et celui de diagonaux , on peut les appeler diagonaux trapézoédriques. Le poids de chacun d’eux est exprimé par (6-f-2) (1 + 1 — 1) = 8.

Les points I et T peuvent encore être liés de diverses autres manières, de sorte que les 60 auxiliaires dont je viens de parler ne sont pas les seuls qu’on puisse désigner par IT, et appeler diagonaux trapézoédri^, ques.

J’ai également commencé à calculer les angles formés par les cercles qui correspondent a un autre Irapézoèdre, dont les faces forment, avec celles de l'un des cubes du sys« tème, des angles de 15“27'1'', 55. Ces Ira* pézoédriques se dirigent d’un point T vers un point H , où ils forment avec l'un des

grands cerclés primilifs l’angle qui vient d’êlrc indiqué. Ils sont au nombre de 60 dans le réseau, 2'd’enlre eux passent par chaque point T et 4 passent en chaque point H. Ils peuvent être désignés par HT, et comme iis méritent à la fois le nom de trapézoédriques et celui de' dodécaédriques pentagonaux i on peut les appeler dodécaédriques pentago7iaux trapézoédriques. Le poids de chacun d'eux est exprimé par (8 + 2)(l+l— 1) = 10.

Des points H et T peuvent encore être liés de plusieurs autres manières, de sorte que les 60 auxiliaires dont je viens de parler ne sont pas les seuls qu’on puisse désigner par HT et appeler dodécaédriques pentagonaux trapézoédriques.

Plus tard, ainsi que nous le verrons ultérieurement, j’ai encore déterminé des angles appartenant à d’autres catégories des cercles auxiliaires que nous avons introduits dans le réseau.

Les angles auxquels je suis arrivé dans ces diverses séries de calculs ont suivi les mêmes allures que ceux obtenus par le' calcul complet de la première série des dodécaédriques pentagonaux, inclinés de 2"60 sur les faces du cube. Ils ont continué à se grouper avec une prédilection

parliculière vis-à-vis des groupes d’angles fournis par robservalion.

II m’a paru probable, d’apres cela, sans pousser plus loin l’exécution des calculs, que la loi qui me sert de guide se soutiendrait ‘ assez constamment dans ces nouvelles catégories de cercles cl<même selon toute apparence dans la plupart, au moins, de celles I que j’ai introduites dans le réseau pour don-

ner de nombreuses chances de succès aux recherches que je pourrais faire pour y- Irouver des représentants des grands cercles de comparaison d’une partie au moins des systèmes de montagnes de l’Europe.

D’après cela et partant toujours de l’idée ' que si l’application du réseau' poulogonal à la géologie était possible, elle devait pouvoir se faire, ad moins en grande partie, par leg cercles les plus simplement installés dans le réseau, c’eat-à-dire par ceux que j’y avais introduits, j’ai pensé que je ne pouvais mieux employer mon temps qu’à essayer de trouver dans mon réseau tel que je l’avais constitué, une combinaison de cercles qui représentât au moins la majorité des grands cercles de comparaison provisoires, dont j’ai indique la position dans le cours de cet ou- ! vrage.

1 Si je parvenais à. l’y reconnaître d’une

mauière assez frappante pour^que mon ré* seau se trouvât nettement engrené dans les anfractuosités de J'écôrce terrestre, j'avais entre les mains une preuve de fait de la possibilité de m'en servir; or, on conçoit qu'une pareille preuve ne saurait être indifférente à un auteur qui a encore en perspective une longue série de calculs numériques et qui serait menacé de voir le résultat de tout son travail s'évanouir si le réseau calculé ne pouvait être appliqué.

J'ai donc repris immédiatement les essais que j'avais déjà tentés sans succès, avec un nombre de cercles' trop restreint pour adapter le réseau pentagonal au réseau que forment les 21 systèmes de montagnes que j'ai étudiés dans l'Europe occidentale.

Mais le grand nombre des cefcles auxiliaires que j'avais introduits dans le réseau

rendant extrêmement embarrassant le choix

de ceux qu'il faudrait employer et la manière dont il faudrait les adapter aux divers systèmes de montagnes de l'Europe, j'ai songé à tourner la difficulté par un expédient en quelque sorte matériel.

J'ai pensé que si les 15 grands cercles primitifs du réseau pentagonal représentaient ce qu'on pourrait appeler la forme primitive de la configuration eitérieuredu

globe, il suffiraii de placer sur un globe terrestre le réseau formé par ces 15 cercles pour rendre possible à la vue rencontrer \di position dans laquelle il devrait être placé pour se trouver en harmonie avec Tcusemble des conûgurations géographiques ; que, si une pareille position existait, mon œil devait Gnir par la saisir , et que si en effet il la saisissait, le principe même de mon travail serait sanctionné ipso /ac^o, et la possibilité de son accomplissement assurée.

En conséquence, j'ai placé sur un globe de 50 centimètres de diamètre un filet mo^ bile composé en principe de vingt mailles ayant chacune la forme d'un triangle équilatéral de la grandeur voulue pour que le Glet s'applique exactement sur la surface sphérique et l'embrasse avec une rigoureuse précision. Puis sans compléter d'abord entièrement le réseau, j'y ai ajouté les cercles et portions de cercles nécessaires pour en rendre la forme et les principales applications faciles à comprendre et à exécuter.

J'ai Gguré une partie des cercles principaux du réseau, des oclaédriqueSy des dodécaédriques réguliers^ des dodécaédriques rhomhoidaux , et même quelques cercles auxiliaires.

Ces cercles sont liés entre eux d'une ma-;

nière invariable, mais leur ensemble est mobile sur la surface du globe. Quelques tâtonnements préliminaires m'ont conduit à installer tout simplement le réseau sur le triangle tri-rectangle ou à peu près tel dont J’ai fait mention ci-dessus, p. 766, 770 et 815, triangle dont j’ai souvent parlé dans mes leçons à l’École des mines et au Collège de France. 11 est formé, ainsi qu’on l’a déjà vu par les grands cercles de comparaison, les systèmes de Ténare, des Alpes principales et de la grande traînée volcanique des Andes et du Japon. Ce triangle se cornpose dans mon installation d*un grand cerclé du réseau fondamental (Ténare) et de deux dodécaédriques rhomboidaux , trois grands cercles qui seraient probablement autant d’exemples de récurrence. Or, on peut voir d’un coup d’œil, qu’installé de cette manière, le réseau s’adapte assez heureusement, et même avec des circonstances d’une précision singulière, et qu’il serait difûcilc de regarder comme fortuites, à la structure de la surface entière du globe; d’où je me suis cru fondé à conclure que le principe do symétrie du réseau pentagonal existe réellement dans la nature.

J’ai présenté ce réseau ainsi installé a l’Académie des sciences dans* sa séance

du 9 septembre 1850, accompagné d’une note qui est une première ébauche de mon travail actuel et qui est imprimée dans les comptes rendus, t. XXXI, p. 325.

Ce résultat était encore très nouveau et je conservais quelques doutes sur la ques- ■ lion desavoir si l'installation que je présentais était la meilleure qu’on pût trouver; mais une étude prolongée les a dissipés.

Pour éclaircir complètement la chose, j'ai d’abord refait mon réseau tel que je viens de le décrire, mais avec plus de précision, quoique sur un globe plus petit, de 16 centimètres seulement de diamètre et par cela même, plus facile à manier. J’ai rendu en même temps ce réseau plus complet que le premier. J’y ai figuré les 61 cercles principaux du réseau pentagonal, les 30 dodécaédriques diamétraux DH, p. 1007, qui sont conjugués aux dodécaédriques réguliers ,‘les 30 dodécaédriques 'pentagonaux diagonaux ni, p. 1009, qui sont conjugués aux octaédi iques et un certain nombre d’exemples de cercles appartenant a d’autres catégories; mais je n’ai pu compléter ces dernières catégories dont un grand nombre comportent chacune 60 cercles, parce qu’après avoir fixé environ 140 cercles sur mon petit globe, j ai trouvé que les configurations géogra-

phiques devenaient déjà difficiles à suivre et J'ai préféré les laisser assez visibles pour qu'on pût toujours bien saisir les rapports que les cercles déjà construits présentent avec elles* Je conserve d'ailleurs la faculté, dont j!use continuellement, d'essayer l-un quelconque de mes cercles auxiliaires en tendant un (ii, à la main, sur le globe, de manière qu'il passe par les points du réseau exécuté qui déterminent sa position*

Ce petit instrument ÿ que chacun peut se procurer, à son tour, à bien peu de frais, puisque le globe qui lui sert de noyau sc vend à Paris 9 à 10 francs, m'a été extrêmement commode. Je l'ai eu constamment sous les yeux, concurremment avec le diagramme de la planche Y, en écrivant la dernièra partie de.ce volume, et il m'a évité une foule de ces tâtonnements fastidieux qui naissent.de la, difficulté de se bien représenter l'ajustage d'une foule de cercles tracés sur une sphère qu'on ne verrait que des yeux de l'esprit.

Une élude attentive du réseau installé comme je l'ai déjà dit d'après l'angle presque droit (à moins de 8' près) que forment les arcs de grands cercles qui joignent l'Etna au pic de Ténériffe et au Mouna-roa, m'a révélé une foule de rapports entre sa struc-^

ture et celle de Técorce terrestre. Parmi les 15 grands cercles primitifs du réseau, la plupart se sont trouvés employés dans une partie plus ou moins considérable de leur circonférence à représenter des accidents importants de la configuration extérieure du globe tels que de grandes lignes de cétes, des chaînes de montagnes ou des aligne^ ments remarquables. Il en a été de même des oclaédriques f des dodéc^riques réguli^r$ et d"un assez grand nffiibre de dodécaédriques rhombdidaux. Ceux des accidents de ce genre qui ne sont représentés par aucun des grands cercles principaux rencontrent leurs représentants parmi les grands cercles auxiliairesv et on peut remarquer que dans chacune des catégories de ceux-ci le nombre des cercles >4urtrbî|vent un emploi évident, est d'autant plus grand que les cercles de cette catégorie ont plus d'importance dans lé réseau par la symétrie de leur position. Les pôles des cercles principaux qui sont les points d'où rayonnent les cercles auxiliaires tombent généralement en des points singuliers vers lesquels les accidents orograpbiques convergent plus ou moins manifestement, et il en est à peu près de même des points a, 6,0 et même des points tels que d^e^i de la planche V. Abstraction faite

de ceux de ces points qui tombent sur la mer,Join des côtes et des Iles ou dans Tintérieur de pays încdnnus, on compterait certainement beaucoup plus aisément ceux qui tombent dans des points indifîérents, que ceux qui tombent dans les positions remarquables sous un rapport ou sous un autre.

On peut ajouter qu’à ces divers égards aucune partie 0 globe n’a d’avantage ou de désavantage marqué sur les autres, cl que les côtes de la NouveHe-HolIande et de l’Amérique russe sont aussi bien partagées que l'Europe occidentale et les bords de la Méditerranée.

Une circonstance particulière que ce genre d’observations m’a révélé, c’est que les chaînes de montagnes ne sont pas seulement en rapport, par leurs directions, avec les cercles de la sphère géologique; elles le sont aussi par leurs terminaisons. Elles s’arrêtent presque toujours à la rencontre de l’un des cercles principaux ou auxiliaires du réseau, de sorte qu’un système de montagnes est composé de chaînons parallèles à un grand cercle du réseau et terminés à la rencontre des cercles qui coupent le premier ; à peu près comme un filon est composé de tronçons terminés et rejetés transversalement à la

rencontre des filons croiseurs ou de simples fissures >

Les caps et les fonds des golfes anguleux se trouvent être très habituellement les points par lesquels les cercles du réseau passent de la terre sur la mer.

Lesaccidents orographiques sans longueur comme les pics bien détachés sur les chaînes de montagnes y les volcans isolés y les Iles isolées au milieu de l'Océan se trouvent très souvent au point d'intersection de deux cercles du réseau ; les fils qui sont tendus sur mon globe, se croisent très fréquemment sur eux ou très près d'eux, à peu près comme les fils d'une lunette sur l'image d'un objet vers lequel elle est presque exactement pointée.

Delà il résulte qu'indépendamment du réseau formé sur la surface du globe par les grandes lignes géographiques, il y existe aussi un quinconce de points qui suivent dans leur disposition respective la loi de la. symétrie pentagonale et qu’on pourrait appeler le quinconce pentagonal.

Ce quinconce a cela de précieux que les données qui en fixent tous les points se trouvent en chiffres dans la Connaissance des temps et dans les autres recueils de positions géographiques. Il fournira peut-être les

moyens les plus précis et les plus ptompts pour fixer rinstallation définitive du. réseau pentagonal»

Instinctivement et avant d'avoir fait la totalité des remarques précédentes, j'avais installé provisoirement mon réseau d'après trois points^ trois grands volcans, TElna, le pic de TénérifTe et le Mouna-roa. .

Ces remarques contenaient à mes yeux le germe d'une vérification, et, j'ose le dire, d’une vérification péremptoire des principes que j'ai exposés dans cet ouvrage et qui, de* pois vingtans,m'ont constamment guidé dans mes travaux, car si ces principes étalent inexacts, comment le réseau pan(a^onal,iiuî ep est laquintessence élaborée, pourrait-il se trouver dans un accord même seulement

* approximatif avec les chiffres qui ont été consignés dans les catalogues de positions géographiques indépendamment, sans aucun doute, de tout système géologique et avec les cartes qui sont la mise en scène de ce vaste arsenal numérique ?

• Je devais avoir à cœur de vérifier sur quel degré de précision je pouvais compter dans l'accord dont je viens de parler. Cet accord se manifeste à l'œil d'une manière

• générale sur mon petit globe couvert de sou réseau, mais il y est affecté d'une double

série d’indérlitudes ; celles inhérentes à l« construction du globe dont le collage ne peut être parfait et celles plus grandes en4 cure qui résultent de la construction impar- . faite de mon réseau dont les mailles fondamentales ne peuvent avoir qu'une égalité approximative. On pouvait craindre que ces deux séries de causes fortuites n'eussent conspiré pour produire une quantité de rencontres illusoires. A la vérité la chose était peu probable, car le hasard conspire beaucoup plus souvent pour masquer une régularité réelle que pour produire une régularité trompeuse* 11 y.avatt même à parier que

l'ordre que j'apercevais malgré les chances variées du hasard, était, au fond, plus réel encore qu'il ne le paraissait; mais il fallait a'en assurer.

Pour cela il n'y avait pas dautre moyen certain que de traduire mes résultats en chidres propres à . devenir la base de constructions à exécuter sur des cartes d'une précision su fûsante. > .

Celte opération n'exigeait que âe la patience; il y avait cependant dès l'abord une question à résoudre. - ^

Le grand cercle de comparaison du système du Ténare (Etna-Mouna-Roa) est orienté à la cime de l'Etna (lat. ,37%

long. 12% 44',10'S E.) verd le N. 10% 29',

44" 0. Le grand cercle de comparaison dont ' Je me sers provisoirement en ce moment pou r le système des Alpes principales {Eim — TénérifTe) est orienté au même point vers TE. 10®, 21% 45” N. L'angle formé par.ces deux grands cercles vers le N. O., c’est-àdire dans l'intérieur du triangle presque tri-rectancle dont j’ai déjà parlé plusieurs fois et qui m'a fourni l'installation de mon réseau n'est pas exactement de 90"', mais seulement de 89°, 52%1”. Il difîère d'un ^ angle droit de 7% 59” ou d'environ 8% C'est * peu de chose sans doute; cependant il fallait savoir quels chiffres je chercherais dans les tables de logarithmes; ceux du cercle Etna — Mouna-Roa, ceux du cercle Etna — Ténériffe, ou des chiffres se rapportant à une moyenne?

Je devais naturellement viser à ce que le travail un peu long que j'allais entreprendre

ne fût pas perdu, et par conséquent à

m'engrener déprimé abord dans la série des résultats à peu près exacts, en mettant autant que possible meâwcbiffres en accord dès le début avec ceux qui, dans la connaissance des temps et dans le précieux recueil de M. Littrow { Geographische ortsbesiimmuÿen), représentent pour ainsi dire en secret,

et sans qu*aucun signe les trahisse , les positions de divers points du quinconce pentagonal. Pour cela, je devais commencer par exécuter avec des chifTres un tâionnemenU du même genre que celui que j'avais d'abord exécuté sur Tensemble du globe avec mon réseau funiculaire , pour le mettre en posi-. lion.

J'ai examiné I à cet effet, le cours des cercles principaux qui, sur la fig. pl. Y, se croisent au point T'' que j’avais fixé à l'Etna, et j'ai vu qwV octaédrique T" prolongé vers le S. -O. , passe dans l'océan Atlantique méridional, tout près des petites Iles de Marlin-Yaz et de Trinidad.

Le célèbre navigateur sir James Ross a constaté dans l'Océan, à peu de distance de ces petites Iles , une profondeur de près de 10,000 mètres. Elles doivent, par conséquent, former le sommet d’une proéminence considérable de l’écorce terrestre , et elles méritent peut-être autant que l'Etna, le pic de Ténériffe et le Mouna-Roa de servir de point de repère pour l'installation du réseau pentagonal.

L’Ilot principal du groupe de Martin-Yaz est situé par lat. 20” 27' 42^' S., longitude 31” 12'58"0. de Paris. D'après ces données, l’arc Martin-Yaz— Etna a une longueur de

71° 21' 40'', 70 , et il fait à VEtna avec le méridien un angle de 136® 42' 50", 02. Or Tangle H'” T ' H de la planche V est de 123*> 13' 5r',8l, d’où il résulte que si VociaédriqueV* H'" passait à Marlin-Vaz, le primitif y T'' H , qui doit représenter le système du TénarCy ferait avec le inéridieii. de l’Etna un angle de 136° 42' 50", 02 — 125° 15' 5f',81 == Mo 36' 58", 21 , c’està-dire supérieur de 1° 7' 14",2I, à celui que forme avec le même méridien l’arc Mouna-R6a— Etna. L’IIot de Martiii-Yaz , d’après sa distance à l’Etna, ne coïnciderait, d’ailleurs, sur Voctaédriquey avecaucun point de croisement remarquable.

La petite île de Trinidad, qui se rattache au groupé de Manin-Vaz, se trouve par lài. 20’ 32' 26 ' S., long. 31" 39' 50" O. ; l’arc qui la joint à l’Etna a une longueur de 71" 39' 55'', et n forme avec le méridien de l’Ètna un angle de 136» 24' 8", 27. Si l’octaédrique passait à Trinidad, le primitif formerait à l’Etna avec le méridien un angle de 136° 24' 8'', 27 ^ 125" 15' 51", 81 = 11“ 8' 16", 46, qui ne diffère plus de 10’ 29' 44'', orientation de l’arc Etna — Mouna- Roa que de 38' 32",46, mais qui est toujours un peu plus grand. L^'oclaédrique présente, dans cette région, un point de eroi-

âcment analogue au point g de la pl. Y qui 8C Irouveà 71°52'34",67 deT'^ distance qui surpasse de 12'39",67 seulement celle de l'Etna à Trinidad. Or, il serait fort possible que le poste assigné à ce point g dans Tin- . slallation vraie du réseau pentagonal fût précisément Textrémilé S. -O. de la petite chaîne des Ilots de Martin-Vaz et de Trinidad ; la coïncidence serait alors d^une assez grande précision; toutefois, pour rétablir

tout à fait , l’arc T' H devrait probablement • ^

s’éloigner du méridien de l’Etna de quelques minutes de plus que ne le fait l’arc Etna — Mouna-Roa.

D’autres tâtonnements du même genre

m’ont conduit de môme à conclure que le défaut de Tare Etna — Mouna-Roa doit être plutôt de s'approcher trop du méridien que de s’en trop écarter. Or si on lui substituait un arc perpendiculaire à l’arc Etna — TénérilTe, on le rapprocherait encore du' méridien de 8', et si on prenait une moyenne, on l’en rapprocherait de 4'.

Quoique ces résultats fussent d’une nature conjecturale, ils m’ont décidé à courir la chance d’opérer l’installation pxovisoire du réseau pentagonal d’après l’arc Etna — Mûuna-Roa de préférence à tout autre.

Pour exécuter cette opération , j’ai em-

ployé un procédé que j’aiidéjà pratiqué plusieurs fois dans le cours de cet ouvrage, et qui me parait très commode en ce qu'il permet de faire tous les calculs au moyen de triangles sphériques rectangles. ■

Par un premier triangle rectangle, j’ai calculé la position du point où le grand cercle de comparaison du système du Ténare (Etna — Mouna-Roa) coupe perpendiculairement le méridien. Ce point tombe par lat. 81” 43' 12'', 20 N., long. 70” SO' 29 ",49 O. de Paris et à 51" 46' 1 1",66 de l’Etna.

Maintenant l’arc représenté sur la figure pl. V par T" D, étant de 13° 16' 57",08, j’ai eu 51® 46' 11", 66 — 13» 16’ 57 ',08 = • 38° 29' 14'', 58 pour la distance du point D

à celui où l’arc Etna — Mouna-Roa est perpendiculaire au méridien , et en résolvant un nouveau triangle rectangle, dont je connaissais deux côtés, j’ai trouvé que le point D, centre du pentagone qui renferme l’Europe, est situé par

■ Lat. 50” 46' 3v,08 N.

Longit. 8“ 53' 31'',08 E. de Paris,

et. que le grand cercle de comparaison du système du Ténare y est orienté vers le

L’arc DH est un demî-côlé de l’àn dès 20 triangles équilalëraux du réseau. Ainsi , l'orientation que je viens de donner se rapporte à un côté de triangle équilatéral. Ces trois chiffres iBxcnt Tinstallation provlsoire que je crois le plus convenable de donner, quant à présent, au réseau peuiagonaL On peut en déduire les positions de tous les autres points du réseau.

En effet, connaissant Torientation deTun des grands cercles primUifs^ qui se croisent au point D sous des angles de 36 degrés^ on peut en déduire celle des quatre autres; puis calculer le point où chacun d’eux coupe perpendiculairement le méridien et en portant ensuite sur chacun dans le sens convenable une longueur de 63® 26' aura les centres de 5 nouveaux pentagones, ce qui en fera 6 en tout; puis en prenant les antipodes de ces 6 premiers points, on aura les 6 autres.

On peut aussi calculer les" positions des points H, H'. H", H'", H"'', qui sont tous placés, à 31® 43' 2", 92 du point D. De chacun de ces points part un nouveau grand cercle primili/ perpendiculaire à celui dont on s’est servi pour le calcul, et qu’on peut également employer pour arriver à des points.D, H, etc. ; on peut de même se ser-

vir des deux octaédriques et du dodécaédi'ûque rhomboidal qui se croisent à i'Eliia. On a ainsi des moyens de vérifier ies calculs et de mettre en évidence les fautes de calcul, ce qui if est jamais à dédaigner.

J'ai déterminé ainsi de prime abord les positions des 12 points D, centres des 12 pentagones du réseau, et celles d’un certain nombre de points H et I, ainsi que rorien^ talion de Tun des grands cercles principaux du réseau en chacun de ces points. Je me suis alors empressé de construire ces points sur de bonnes cartes et de tracer pour cha'> que point les cercles principaux qui y passent,

ët même un certain nombre de cercles auxi*

liaires, de manière à y former une sorte de rosèy dont tous les rayons étaient rigoureusement déterminés par les lois de la structure du réseau. J'ai pu ainsi constater, avec toute la précision que comporte un travail graphique un peu soigné, que l'accord entre le réseau pentagonal et le tracé des cartes géographiques les plus exactes surpasse de beaucoup, en général, ce que le réseau funiculaire placé sur mou globe m'avait indiqué. L'accord pour une fouie de positions et pour quelques grandes lignes, telles que celle de la côte du Chili, celle de Iq côte N.-E, de la mer Rouge, celle de la c^to

N. -O. de la Nonvelle-Hollande , etc., est vi^rilablement d'une précision singulière.

I^'un des grands cercles primitifs du réséau qui partent du centre du pentagone du Chili. en dessine exactement la longue côte rectiligne qu'il suit vers le sud jusqu'à Ttle Madre de-Dios et au cap Santiago. Vers le nord I il sort du continent de l'Amérique ' méridionale à quelques minutes à ro. du cap Codera, et il va passer près de Terre-Neuve, entrela petite Ile de Saint-Paul et lecap nord de nie du cap Breton, suivant une direction parallèle aux accidents nombreux que présente la structure de cette dernière. L'un des dodécaédriques diamétraux du Chili sort des terres d'Amérique par les Ilots de Diego- Ramirez, ultima thule de la Terre de Feu. L'ile de la Moeba, nie de Mas-a-Fuero, différents caps remarquables sont rasés ou traversés par les autres rayons de la même rose.

Le grand cercle primitif du réseau qui suit la côte de la mer Rouge sort des terres dé l'ancien monde, en passantd’un côté par le milieu du petit groupe des Iles Secheylles, et de Fautre par l'angle N. -O. de la plateforme sous-marine qui supporte les Iles* britanniques, pour aller dans le nouveau monde raser le rivage N.-O. du Lac-Supérieur (cette autre mer intérieure), parallèle-^

t • ik a»

ment aux filons trappéens de Ttle Royale , ' et de la côte adjacente, cités précédemment, p. 703.

Un point H de ce même cercle tombe à Tangle N.-O. du Lac-Supérieur,' et les grands lacs de TAmérique s’engrènent par une partie des anfractuosités de leurs contours dans les 12 rayons qui en partent suivant les angles donnés par le réseau.

Le même point H se lie au grand cercle primitif du Chili par un dodécaédrique régulier qui coupe le premier à angle droit au nord de Plie Saint-Paul, après avoir rasé parallèlement à sa longueur la longue !le j d’Anticosti , et qui va raser ensuite de la même manière l’archipel des Açores et le petit groupe de Madère et de Porto-Santo.

Un autre dodécaédrique régulier, partant d’un pointH du premier situé un peu au delà de l’extrémité occidentale des Açores, va raser d’une part la côte du Brésil et Plie de Géorgie, et de l’autre passant près du pôle, va suivre à l’est de PAsie la grande ligne presque méridienne de Pîlc Tarrakaï ou

Sahalien, de Pile Jeso, des lies Bonin, des

Iles Mariannes, de la terre de Carpentarie et de la terre de Van-Diémen (p. 67G).

Deux points H de ce cercle tombent Pun | dans la Nouvelle-Guinée etj’autre près de

la terre de Van-Diémen^ et les cercles qui en parlent sous les angles donnés par le réseau rencontrent généralement les caps de leurs côtes et les petites îles adjacentes.

Un centre de pentagone tombe dans l’Amérique russe, et ses dix rayons s'engagent dans les anfractuosités singulières de ses côtes, si bien explorées par les hardis navigateurs du dernier siècle et de celui-ci.

Un point H tombe au pied du versant oriental de l’Oural, et les 12 rayons qui en partent rencontrent chacun un point remarquable de la charpente minérale de cette chaîne.

En voyant toutes ces rencontres, celles que présente l’Europe, dont la planche V donne un aperçu, et une foule d’autres non moins précises, quoique moins faciles à indiquer en quelques mots, j’ai dû conclure d’abord que l’installation , d’après l’arc Etna-Mouna-Roa, répondait assez bien a ce* que je cherchais, et sentir augmenter aussi l’espérance que mes chiffres renferment Texpression d’une loi naturelle, et que U réseau pentagonal, dans son installation provisoire actuelle, représente déjà à peu près le Irait de compas d’après lequel la charpente des continents est tracée.

Ces rencontres ne tiennent pas au grand

nombrè des cercles auiiliaires que J'ai intro* duiis dans le réseau; car, dans celte première et rapide excursion, Je rfai employé absolument que les 61 cercles principaux, les 30 dodécaédriques diamétraux conjugués aux dodécaédriques pentagonaux^ et les 30 dodécaédriques pentagonaux diagonaux conjugués aux octaédriques. Aussi , un certain nombre de points, même des plus remarçuables, tels que Ttlc de Sainte-Hélène et l’Ile do l’Ascension, restcnl-ils positivement en dehors des combinaisons de ces 121 cercles; c*esl une preuve de la nécessité des autres cercles dont le domaine est encore fort étendu, quoique les grands cercles principaux et leurs auxiliaires les plus symétriques représentent bien évidemment les traits fondamentaux du tableau, les axes principaux de la symétrie générale.

Le peu d’étendue des divergences que j'ai remarquées entre les cercles ou les points que j'ai construits et les accidents géographiques qui s'y rapportent directement, me porte à croire que les corrections que devra subir plus tard l'installation provisoire actuelle du réseau pentagonal^ ne sera pas très sensible par des cartes où le degré du méridien n’a pas plus de 1 ou 2 centimètres, f/accord est surtout remarquable pour les cercles

peu éloignés dii méridien sur lesquels U est naturel de penser que rinfluencé possible cleraplatisscmen t, dont j'ai déjà parlé p. 771, mais dont Je n'ai pas encore tenu compte, a dû être moins sensible que sur les autres.

J'ai fait tous les calculs , suivant Tbabi- *ude que J'en ai prise depuis longtemps, en tenant compte des dixièmes et des centièmes de seconde. On sait qu'en se servant des tables à sept décimales, il n'est pas possible d'obtenir toujours les centièmes, ni même les- dixièmes de seconde avec exactitude, a ussi^n^ai-Je'^pàs^ toujours trouvé les mêmes chiffres poûr lesTdixIèmes et pour les centièmes de^fônée^ tohqûe Je suis arrivé à un même point par plusieurs voies diffé* rentes; méis après itvo^lnhiné les fautes, J'ai constammentobtenu des résultats qui ne différaient qué d'un petit nombre de dixièmes de secondes et J'ai toujours conservé le résultat obtenu par le moyen le plus direct qui présentait moins de chances pour que les petites erreurs inhérentes à l'usage des tables à sept décimales s'accumulassent entre eux. Je me bornerai à donner dans le tableau ci-après les positions des centres des 12 pentagones du réseau pentagonal et l'orientation initiale d'un cété de triangle équilatéral partant de chacun d'eux.